Ch07--间接平差--例题

Ch07 间接平差__例题

例 平差原理

在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。求此三角形各内角的最或

然值。若能选取两个内角L 1、L 2的平差值【最或然值】作为参数1ˆX 、2

ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+--=+=+=+180ˆˆˆˆ21332221

11X X v L X v L X v L 称为观测方程 可得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-=-=3

213222111180ˆˆˆˆL X X v L X v L X v 称为误差方程

为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要

的，令i i

i x X X ˆˆ0+= x X X ˆˆ0+=，则上式可写成如下形式： ⎪⎩

⎪⎨⎧-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ0

20132130

222201111X X L x x v X L x v X L x v 称为误差方程 ⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111001

B ，⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=180020130

22011X X L X L X L l ，l x B V -=ˆ 也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾，1v 、2v 、3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则：23

1

][i i v vv ∑

==

min =PV V T 可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值有一定关系

的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然

值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求： 23

1

][i i v vv ∑

==

min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：

min

)]180(ˆˆ[)](ˆ[)](ˆ[][20

201321202222011123

1

=-++---+--+--==∑=X X L x x X L x X L x v vv i i min =PV V T

按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-++------=∂∂=-++------=∂∂0

)]180(ˆˆ[2)](ˆ[2ˆ][0)]180(ˆˆ[2)](ˆ[2ˆ][0201321021220

20132101111

X X L x x X L x x vv X X L x x X L x x

vv 0=V B T

=>⎩⎨⎧=-+-+++=-+-+++)

2(01802ˆ2ˆ)1(01802ˆˆ2320

2012131020121L L X X x x L L X X x x 0=-l B Bx B T T

（2）×2-(1)=>018023ˆ33210

22=-+-++L L L X x

=>603

13231ˆˆ3

212022+-+-==+L L L X X x =>603

13

13

2ˆˆ3

211011+--==+L L L X X x l B B B x T T 1)(-=， l x

B V -=ˆ 代入误差方程式，得到观测值的平差值【最或然值】

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧++--=+--+-=+--=60323131ˆ60313231ˆ60313132ˆ3213

32123211L L L L L L L L L L L L V L L +=ˆ

例 水准网

如图所示的水准网中，A 、B 、C 为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： 1h = +1.003m ， 2h =

+0.501m ， 3h = +0.503m ， 4h = +0.505m ； 1S =1km ， 2S =2km ， 3S =2km ， 4S =1km 。已知 A H =11.000m ，

B H =11.500m ，

C H =12.008m ，试用间接平差法求 1P 及 2P 点的高程平差值。

图

解：（1）按题意知必要观测数 t =2，选取 1P 、 2P 两点高程 1ˆX 、 2ˆ

X 为参数，取未知参数的近似

值为 )(003.1210

1m h H X A =+=、 )(511.12302m h H X C =+=，令2km 观测为单位权观测，则

2,1,1,24321====P P P P 。

（2）根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下

)(ˆ)

(ˆ)(ˆˆ)(ˆ0141402323010

2221201111B C A H X h x

v H X h x v X X h x x v H X h x

v +--=+--=+--+-=+--=

代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有

2

ˆ0ˆ)7(ˆˆ0ˆ142321211-=-=--+-=-=x v x v x x v x

v

可得 B 、 P 和 l 矩阵如下

⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=01

101101

B 、 ⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000010000100002

P 、

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2070l （3）依据最小二乘原理，由误差方程系数 B 和自由项 l 组成法方程 0ˆ=-Pl B x

PB B T T

得 0711ˆˆ211521=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x

x

解算法方程，求出参数 x

ˆ )(7.27.17115112917112115ˆˆ1

21mm x x

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （4）计算参数的平差值 x X X

ˆˆ0+=； )(5083.120047.12)(7.27.1)(511.12003.12ˆˆˆˆ21020121

m mm m x x X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡

（5）由误差方程计算 V ，求出观测量平差值 V h h +=∧

；

)(5047.05003.05037.00047.1)(3.07.27.27.1)(505.0503.0501.0003.1ˆˆˆˆ4321432143

21

m mm m v v v v h h h h h h h h ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡

例 导线网平差

如图4-7所示，A 、B 、C 为已知点，

P 1、P 2是待定点。同精度观测了六个角度1L 、