2021届四川省泸县第二中学高三上学期开学考试数学（文）试题（解析版）

2021届四川省泸县第二中学高三上学期开学考试数学（文）试题（解析版）2021届四川省泸县第二中学高三上学期开学考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}20A x x =-<<，{}210B x x =-≤，则A B =（）A ．(2,0)-B ．[1,0)-C ．(2,1)-D ．[1,1]-【答案】B【解析】解一元二次不等式化简集合B ，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}{}21011B x x x x =-≤=-≤≤，{}20A x x =-<<，所以{}10A B x x ?=-≤<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2．在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果. 【详解】因为(1)1z i i i =+=-+，所以其在复平面内对应的点为()1,1-位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型. 3．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 4．若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x=26k ππ-（k ∈Z ） B ．x=26k ππ+（k ∈Z ） C ．x=212k ππ-（k ∈Z ）D ．x=212k ππ+（k ∈Z ）【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．【考点】三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ?=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由等差数列性质知()()1319329353939,?654922a a a a S a S S a ++=======，则56a =.所以5213a a d -==. 故选A.6．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名?画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据: 6.9,7.1,12.6AB cm BC cm AC cm ===，根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（）A ．(,)64ππB ．(,)43ππC ．5(,)312ππD ．5(,)122ππ 【答案】B【解析】取7AB BC =≈，设2ABC θ∠=，可得3(,)38 ππθ∈，进而得出结论．【详解】解：取7AB BC =≈，设2ABC θ∠=，则12.63622sin 0.9(7θ+≈=∈，3(,)38ππθ∴∈，232(,)34ππθ∈，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α，则2αθπ+=， (,)43ππα∴∈，故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形的边角关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．函数22cos 221 x xx y =- 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】222cos 22cos 2()()2112x x xxx x f x f x ---===-∴-- 去掉B,D;12cos1()02f =>∴ 舍C ，选A.8．从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4nmB ．2n mC ．4mnD ．2mn【答案】C【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ．9．函数()()2sin 22f x x π=+<向左平移3π个单位后图象关于y 轴对称，则()f x 在0,2π??上的最小值为（）A ．1-B ．1C．D【答案】A【解析】根据题意，先得到平移后的解析式22sin 23y x π=++，再由其对称性，由题中条件求出6π=-，得出()2sin 26f x x π?=-，根据正弦函数的性质，即可求出最值. 【详解】函数()()2sin 2f x x ?=+向左平移3π个单位后得到22sin 23y x π=++，因为平移后的图像关于y 轴对称，所以232k ππ?π+=+，k Z ∈，即6k ππ=-+，k Z ∈，又π2?<，所以6π?=-，故()2sin 26f x x π?=- ??，因为0,2x π??∈，所以52,666x πππ??-∈-，因此当266x ππ-=-，即0x =时，()2sin 26f x x π?=-取得最小值()02sin 16f π??=-=-.故选：A. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的最值，考查三角函数的平移问题，属于常考题型.10．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ?=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（） A ．23B ．34C ．5 D ．74【答案】C【解析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，根据椭圆定义，得到12BF a m =-，122AF a m =-，再由120AF AF ?=，得到12AF F △和1AF B △都是直角三角形，由勾股定理求出3a m =，再由2221212AF AF F F +=，化简整理，即可求出离心率. 【详解】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ?=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形，则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3am =，所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=，所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为5c a =.故选：C.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.11．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．32+16πC．32+8πD．16+16π【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用异面直线BD和1AB所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.【详解】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111A DBC O=.依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC==∠=?，D为半圆弧的中点，所以1111,AD BC A D B C⊥⊥且1,O O分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0 h h>，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h-，所以()()2,2,,2,2,BD h AB h=--=-，由于异面直线BD和1 AB所成的角的余弦值为23，所以212212388BD AB hBD AB h h==+?+，即222,16,483hh hh===+.所以几何体的体积为2112442416822ππ+=+.故选：A【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.12．已知函数()y f x=对任意的(,)22xππ∈-满足()cos()sin0f x x f x x'+>（其中()'f x是函数()f x的导函数），则下列不等式成立的是（）A．(0)2()4fπ>B2()()34fππ<C．(0)2()3f fπ>D2()()34fππ-<-【答案】D【解析】构造函数()()cosf xF xx=，利用函数()'F x导数判断函数()F x的单调性，将ππππ0,,,,3434x=--代入函数()F x，根据单调性选出正确的选项. 【详解】构造函数()()cosf xF xx=，依题意()()()2cos sincosf x x f x xF xx+='>'，故函数在定义域上为增函数，由() π4F F得()π04πcos0cos4ff<，即()π024f< ?，排除A 选项. 由ππ34F F>ππ34ππcos cos34f f>ππ234f>，排除B选项.由()π03F F ??< 得()π03πcos 0cos3f f ?? ?<，即()π023f f<，排除C ，选项. 由ππ34F F -<- ? ?????得ππ34ππcos cos 34f f -- ? ?，即ππ234f f-<- ? ?????，D 选项正确，故选D. 【点睛】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.二、填空题13．已知函数x ，y 满足110220x x y x y ≥??-+≤??--≤?，则22x y +的最小值为_____________．【答案】1【解析】作出约束条件所表示的可行域，利用两点间的距离的几何意义，即可得到答案. 【详解】由线性约束条件画出线性区域，其限行区域（阴影部分）的边界及内部，22x y +的几何意义是可行域中的点(),x y 与原点的距离；由图形知点B 与原点O 的距离最小，联立方程1220x x y =??--=?得()10B ,22x y +1．故答案为：1．【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题．14．计算ln 2231lg 2lg5e ----=______．【答案】0【解析】由题意结合分数指数幂的运算、对数运算直接运算即可得解. 【详解】由题意(()1233ln 22231lg 2lg532lg 2lg532lg100e ------=--+=--=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了分数指数幂及对数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 15．已知tan (5π﹣α)＝﹣12，tan (β﹣α)＝1，则tan β＝_______. 【答案】3【解析】由题意结合诱导公式可得1tan 2α=，转化条件为()tan tan ββαα=-+，再由两角和的正切公式即可得解. 【详解】因为()1tan 52πα-=-，所以()1tan tan 52απα=--=，所以()()()11tan tan 2tan tan 311tan tan 12βααββααβαα+-+=-+===--?-. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 16．下列推理正确的是______.①∈A l ，A α∈，B l ∈，B l αα∈?? ②l α⊥，m l m α??⊥ ③l α?，A l A α∈?? ④∈A l ，l A αα??∈ ⑤//l α，//m l m α?? 【答案】①②④【解析】由平面的性质：公理1，可判断①；由线面垂直的定理可判断②；由线面的位置关系可判断③④；由直线与平面平行的性质定理可判断⑤. 【详解】解：①∈A l ，A α∈，B l ∈，B AB αα∈??，即l α?，故①对；②l α⊥，m l m α??⊥，故②对；③l α?，∈A l ，可能l 与α相交，可能有A α∈，故③不对；④∈A l ，l α?，必有故A α∈，④对；⑤//l α，m α?，则l ，m 可能平行，也可能异面，⑤不对，故答案为：①②④. 【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，属于基础题.三、解答题17．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%. （1）求m ，n 的值；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参考公式：K 2＝2()()()()()()a b c d ad bc a b c d a c b d +++-++++.【答案】（1）30,160m n ==（2）答案见解析【解析】（1）根据该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例，结合列联表中的数据，即可得出m ，n 的值；（2）计算2K ，再由独立性检验的知识进行判断即可. 【详解】（1）4050014%m +=?，30m ∴=500(4030270)160n ∴=-++=（2）22500(4027016030)9.97 6.635(40160)(30270)(4030)(160270)K ??-?=≈>+?+?+?+ 即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关【点睛】本题主要考查了完善列联表以及独立性检验解决实际问题，属于中档题.18．如图1，在平行四边形ABCD 中，4=AD ，22AB =，45DAB ∠=?，E 为边AD 的中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达P 的位置，得到图2几何体P EBCD -．（1）证明：PD BE ⊥；（2）当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C PBD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）83．【解析】（1）由已知条件和勾股定理可得EB AD ⊥，根据折叠的不变性可得EB PE ⊥，EB ED ⊥，由线面垂直的判定和性质可得证；（2）由线面垂直的性质可得出PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高，再运用等体积法可得出三棱锥的体积. 【详解】（1）依题意，在ABE △中（图1），2AE =，AB =45EAB ∠=?，由余弦定理得2222cos 45EB AB AE AB AE =+-842242=+-??=，∴222AB AE EB =+，即在平行四边形ABCD 中，EB AD ⊥．以BE 为折痕将ABE △折起，由翻折不变性得，在几何体P EBCD -中，EB PE ⊥，EB ED ⊥．又ED PE E =，∴BE ⊥平面PED ，又BE ?平面PEB ，∴PD BE ⊥．（2）∵BC ⊥平面PEB ，PE ?平面PEB ，∴BC PE ⊥．由（1）得EB PE ⊥，同理可得PE ⊥平面BCE ，即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高．又45DCB DAB ∠=∠=?，4BC AD ==，CD AB ==2PE AE ==，∴11sin 454422CBD S BC CD ==??=△， 11842333C PBD P CBD BCD V V S PE --==?=??=△，因此，三棱锥C PBD -的体积为83．【点睛】本题考查由平面图形折叠成空间几何体中的线面关系，以及三棱锥的体积的求解，属于中档题.19．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，ABC ?的面积为23sin aA，且1cos cos 6B C =. （1）求角A 的值；（2）若b c +=a 的值.【答案】（1）3A π=；（2）3a =.【解析】（1）利用面积公式和正弦定理可得2sin sin 3B C =，结合1cos cos 6B C =及两角和的余弦可得cos A 的值，从而求出A 的值.（2）利用余弦定理可得2333a bc =-，再根据面积及正弦定理可求bc 与a 的关系，从而可关于a 的方程，解方程后可得a 的值. 【详解】解：（1）由题意得：21sin 23sin a bc A A=，由正弦定理得：2221(2)sin (2)sin sin sin 23sin R A R B C A A = （R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin sin 3B C ∴=， 1cos cos()cos cos sin sin 2A B C B C B C ∴=-+=-+=，()0,A π∈，3A π∴=.（2）由正弦定理可得2323sin3a R a π==，又21sin 3sin 2a bc A A =，故223339sin 2248a bc A b c bc ===.由余弦定理得：2222222cos()33a b c bc b c bc b c bc π=+-=+-=+-222883333333393a bc a a ∴=-=-?=-，3a ∴=.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，一般地，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.本题属于中档题. 20．如图，椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过焦点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点（异于长轴端点），(2,)Q t 是直线2x =上的动点．（1）若直线OQ 平分线段MN ，求证：43oQ k k ?=-．（2）若直线l 的斜率1,12k ??∈，直线MQ 、OQ 、NQ 的斜率成等差数列，求实数t 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）63,134??. 【解析】（1）利用点差法可证得结论成立；（2）令1[1,2]m k=∈，可得直线l 的方程为1x my =+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用直线MQ 、OQ 、NQ 的斜率成等差数列，可得出t 关于m 的等式，然后利用函数的基本性质可求得实数t 的取值范围. 【详解】（1）设()11,M x y 、()22,N x y ，线段MN 的中点()00,P x y ，由题意可得22112222143143x y x y ?+=+=??，上述两式相减得22221212043x x y y --+=，可得2212221234y y x x -=--， 1212y y k x x -=-，120121201222OQy y y y y k x x x x x ++===++，则2212221234OQ y y k k x x -?==--，因此，43oQ k k ?=-；（2）由(1,0)F ，令1[1,2]m k=∈，则直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =++=??得()2234690m y my ++-=，()214410m ?=+>恒成立，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，因为直线MQ 、OQ 、NQ 的斜率成等差数列，所以2OQ MQ NQ k k k =+，12122222y t y t tx x --+=?--，()()()()()()1221212222y t x y t x t x x ∴--+--=--，()()()()()()1221211111y t my y t my t my my ∴--+--=--，()()212122tmm y y y y t -++=，即()2229623434mtm m t m m ---+=++， ()2313t m m ∴+=，2331313m t m m m ∴==++，由双勾函数的单调性可知，函数1()3f m m m=+在区间[1,2]上单调递增，当12m ≤≤时，134()2f m ≤≤，所以，363,()134t f m ??=∈. 因此，实数t 的取值范围是63,134??. 【点睛】本题考查点差法的应用，同时也考查了椭圆中参数取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题型.21．（1）求证：当32x ≥时，752xe x>；（2）若函数22()xe f x ax x=-有三个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）4,256e ??+∞. 【解析】（1）设5()xe g x x=，对函数求导，判定其单调性，求出32x ≥时的最值，即可证明结论成立；（2）先由()0f x =得41x x a e =，设4()x x h x e=，为使函数22()xe f x ax x =-有三个零点，只需4()x x h x e =与1y a =有三个不同的交点；对函数4()x x h x e =求导，根据导数的方法判断其单调性，得出极值，画出大致图像，结合图像，即可得出结果.. 【详解】（1）证明：设5()x e g x x =，则656(5)()5x x x e x g x e e x x x --+-'=-=，∴当5x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当32x ≥时，()3232755552()(32)2322x e e g x g x =≥=>=．所以当32x ≥时，752xe x>；（2）当0a =时，2()0xe f x x=>，没有零点，不满足题意，所以0a ≠；由()0f x =得41x x a e=，设4()x x h x e=，为使函数22()x e f x ax x =-有三个零点，只需4()x x h x e=与1y a =有三个不同的交点；因为()334244()x x x xx x x e x e h x e e--'==，由()0h x '>得()40x x ->，解得04x <<；由()0h x '<得()40x x -<，解得4x >或0x <；所以()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，所以()h x 的极小值为(0)0h =；()h x 的极大值为4 256(4)h e =，又4()0x x h x e =>显然恒成立，画出4()x x h x e=的大致图像如下，由图像可得，当412560a e <<，即4256e a >时，直线1y a =与曲线4()x x h x e =有三个不同的交点，即函数22()xe f x ax x=-有三个零点；故实数a 的取值范围是4,256e ??+∞．【点睛】本题主要考查导数的方法证明不等式，考查导数的方法研究函数的零点，熟记导数的方法求函数单调区间、极值、最值等即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C：的参数方程是1x y αα?=+??=??，（α为参数）. 以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=.（1）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）若射线 l 的极坐标方程(0)3πθρ=≥，且 l 分别交曲线1C 、2C 于 A ，B 两点，求AB .【答案】（1）1C :22cos 20ρρθ--=,2C :221x y +=;（2）1.【解析】试题分析：（1）首先写出1C 的直角坐标方程，再根据互化公式写出极坐标方程，和2C 的直角坐标方程,互化公式为cos ,sin ,x y ρθρθρ===；（2）根据图象分析出12AB ρρ=- .试题解析：（1）将1C 参数方程化为普通方程为()2213x y -+=，即22220x y x +--=，∴1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=. 将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=. （2）将=3πθ代入1:C 22cos 20ρρθ--=整理得220ρρ--=，解得12ρ=，即12OA ρ==.∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆，∴射线=3πθ ()0ρ≥与2C 相交，即21ρ=，即21OB ρ==.故12211AB ρρ=-=-=. 23．已知函数()32f x x x =++. （1）求()f x 的值域；（2）记函数()f x 的最小值为M .设a ，b ，c 均为正数，且a b c M ++=，求证：14912a b c++≥. 【答案】（1）[)3,+∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）由（1）()f x 的最小值为3，可得3a b c ++=，由()149149a b c a b c a b c ??++=++++，然后再利用基本不等式即可证出. 【详解】解:（1）当3x <-时，()3233f x x x x =---=--，此时()()6,f x ∈+∞；当30x -≤≤时，()323f x x x x =+-=-+，此时()[]3,6f x ∈；当0x >时，()3233f x x x x =++=+，此时()()3,f x ∈+∞，综上，函数()f x 的值域为[)3,+∞（2）由（1）知，函数()f x 的最小值为3，则3M =，即3a b c ++=. 因为()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ??++++=++++++14≥+36≥ 其中，当且仅当12a =，1b =，32c =取“=”. 又因为3a b c ++=，所以14912a b c++≥.【点睛】本小题主要考查含绝对值不等式的解法、基本不等式、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化等思想方法，属于基础题.。