外弹道
2讲--外弹道学的一般概念
§1.4 空气阻力加速度、弹 道系数及阻力函数
§1.4.1空气阻力加速度
大小： 大小：空气迎面阻力Rx与弹丸质量m的比值 方向： 方向：阻力加速度矢量 ax 的指向始终与弹丸质心速度矢量v共线反向 定义式： 定义式：
Rx 1 ρ v 2 v ax = = SiCx 0 N ( ) m m 2 c 2 2 1 ρv π d v iCx 0 N ( ) = m 2 4 c
ρ •组合二： 组合二： 反映了大气对弹丸飞行的影响 大气对弹丸飞行的影响，就是空气密度函数H(y)。 组合二 大气对弹丸飞行的影响 ρ0N π v ρ0 N 10−3 v 2Cx 0 N ( ) 表示弹丸相对于空气的运动速度v对弹 •组合三： 组合三： 弹丸相对于空气的运动速度v 组合三 弹丸相对于空气的运动速度
a
id 2 ×103 m
ax
ρ ρ0N
π
v ρ0 N 10 v Cx 0 N ( ) 8 c
−3 2
id 2 × 103 •组合一： 组合一： 组合一 m
表示弹丸本身的特征(形状、尺寸大小和质量)对 弹丸本身的特征(形状、尺寸大小和质量) 弹丸本身的特征
弹丸运动影响的部分，此部分称作弹道系数C。 弹丸运动影响的部分
计算模型图
计算模型
已知微小气柱：距地面高y处，底面积A，厚度为dy。该气柱上面受到向 下的压力 ( ps + dps ) A ，下面受到向上的压力 量为 ρ s gAdy 。
ps A ，气柱微小单元体的质
对单元体建立平衡方程并整理：
dps = − ρ s gdy
p 代入状态方程 ρ = 得： dps = − g dy Rqτ
式中，
（1-8）
c0 ex = kRqτ 0 ex
外弹道的近似解析解
外弹道的近似解析解外弹道学是一门研究弹道运动问题的学科，它涉及到力学、流体力学、摩擦因子、初始条件等科学理论，在现实中被广泛应用于空海军陆军的弹道武器系统、航天器运载、飞行器投掷等领域。
近年来，随着科学技术的不断进步，外弹道学得以拓展，深入研究弹道运动的机理，并以此为基础提出了弹道运动的近似解析解方法。
弹道运动有着复杂的力学特性，而弹道运动的近似解析解法则是一种在复杂的物理关系中求出弹道运动的解，它基于一系列概念，例如理想气体运动、初始条件和施加外力等来进行分析。
近似解析解方法在研究弹道运动时，可以使用数学关系来描述弹体在不同方位和速度下的运动状况，有助于更精确地模拟弹道运动，从而进一步计算弹道运动的准确位置和轨迹。
首先，要研究外弹道运动，必须采用外力学的方法。
这种方法可以描述弹体在外力作用下的位置、速度和加速度的复杂变化关系，从而得出弹道运动的近似解析解。
其次，外力学的近似解析解通常假定空气为理想气体，这样可以计算出受到空气阻力、重力和瞬变力作用下弹体的方程，并利用这些方程来求解弹道运动的近似解析解。
空气阻力是影响外弹道运动的一个重要因素。
它的大小取决于弹体的形状、面积、速度、空气粘度等因素，所以在分析外弹道运动时，必须考虑到空气阻力对弹体的影响。
除此之外，重力的作用也会对外弹道运动产生重大影响。
一般来说，重力会使弹体受到向下的重力影响，从而使弹道运动出现偏离轨迹和减速等问题。
此外，瞬变力是一种极具挑战性的因素，它会使外弹道运动出现飘浮和偏转等现象。
外弹道运动的近似解析解是将复杂的物理学模型简化为更便于分析的数学关系而得出的。
它基于一系列观察和理论，例如外力学、理想气体运动模型和初始条件，来分析捕获弹道运动的特性，为有效的空中战力的模拟和设计供给了可行的计算工具。
从现有的外弹道学研究中可以看出，近似解析解法是对外弹道运动的一种重要的分析方法，它的准确性相对较高，为研究复杂的外弹道运动提供了便利。
外弹道学第五章
§1 坐标系及坐标变换
二、坐标变化 1、oxyz ox 2 y 2 z 2 速度坐标系可以看作是 基准坐标系经旋转两次而得： 第一次是o-xyz绕oz轴正向 右旋转过 2角到达 o x y 2 z 位 置；第二次是 o x y 2 z 绕oy2轴 负向右旋转过 1角，最后达 到 ox 2 y 2 z 2 位置。角速度2 沿 oz轴正向，角速度 1 沿0y2 轴负向。如图所示。
oz轴单位长度在 ox 2 , oy 2 , oz 2 轴上的投影为： 即
x2 x y 2 L1 y z z2
sin 1 ,0 , cos 1
cos 1 cos 2 L1 sin 2 cos sin 2 1 cos 1 sin 2 cos 2 sin 2 sin 1 sin 1 0 cos 1
相对于ox 2 y 2 z 2 系的相对导数。
dv dt F x2 d 2 dt
1
则有
m mv cos mv
1
d dt
F y2
F z2
上式即为速度坐标系内的弹丸质心运动动力学方程。此 式描述的是空间弹道，其中第一式是描述速度大小的变 化，第二式描述速度方向茬铅垂面内的变化；第三式描 述速度方向偏离射击面的情况。
二、作用于弹丸上的力矩
(1)静力矩：
Mz M z M z
0 2 Ak z v 2 1
§2 作用在弹丸上的力和力矩
(2)赤道阻尼力矩：
M zz M zz M zz sin 1 Ak zz v 1 cos 1
2讲--外弹道学的一般概念
丸运动的影响部分，称之为空气阻力函数，用F(v)表示。 丸运动的影响部分，称之为空气阻力函数
•有时候为了应用的简便，也可用G(v)或K(v)作为阻力函数，它们与F(v) 的关系如下：
8 = 4.737 × 10 − 4 v 2 C x 0 N ( M ) = vG ( v ) = v 2 K ( v )
（9）
则
有：
p ρ= Rqτ
（1-13）
τ 成为虚温，其物理意义是：与湿空气具有相同压力和密度时干 空气的温度。引入 τ 以后，就可以用干空气的Rq=287J/(kg·K)，
利用（10）式给出的状态方程来计算湿空气的ρ。 今后，除特别指明外，外弹道中所用的气温均为 τ
§1.3.2标准气象条件
气象条件不尽随地点而变化，而且在同一地点还随时间和高度变化。武器 的弹道不可能也没有必要根据具体地点、时间的气象条件来计算，只能根 据标准的气象条件进行弹道计算和编制射表。在正式射击时，则可根据当 地的气象条件进行修正。下面对我国标准气象条件予以介绍。
2.气象条件随高度分布的标准定律
由于火炮枪械弹丸飞行高度都在10km上下， 不超出平流层高度，因此我们只关心在此高度 以下的气象条件随高度的分布。 根据我国情况，对流层高度为9300m，平流 层为12km～30km。在对流层与平流层之间的过 渡成为亚同温层。
1）气温随高度的标准分布τ
对流层0≤y≤9300m
2
式中，Cx为章动角为δ时的阻力系数； δ为弧度单位，一般15-40； k为经验系数。
（1-10）
：（1 音速附近时（1-10）修正公式不能应用； 注：（1）当弹速在音速附近时 音速附近时 如：自动武器（50-100）m 火炮为300m 小初速或者空气阻力影响小 空气阻力影响小的问题不宜采用功能法 （2）对于小初速 小初速 空气阻力影响小 功能法
外弹道学
§4 抛物线理论的应用
二、相对停留时间
如果将抛物线弹道按高度等分为几个等厚层，层厚为
a。
设弹丸飞越阴影线层(i～i-1)的左右弧段(如箭头所
示)所经过的时间为 ，tii而1 由射出点0至落点C的全飞行 时间为T，则通过该层的时间与全飞行时间的比值
ti i 1
叫相对停留时间。
T
§4 抛物线理论的应用
一、等射程时高低角与瞄准角的关系 弹道刚性原理
在实际射击中，目标经常不在炮口水平面上。现在就 来研究一下在斜射程D一定时，高低角ε和瞄准角α之间 的关系。
§4 抛物线理论的应用
设O为炮口，A为目 标，OB为射线，弹道与 高低角OA的交点A坐标 为
x Dcos
y
Dxin
射角 0
将上两式代入抛物线弹道方程中并简化之，可得到斜 射程公式如下：
t成直线关系，时间越长，铅直分速越小。至顶点S，
ws=0，过顶点后，弹丸开始下降，w为负值。
§2 抛物线弹道方程
再积分一次得
x
v0
cos0t
y
v0
sin0t
1 2
gt
2
消去t，得到抛物线形式的弹道方程为
y
xtg0
gx2
2v02 cos2 0
或
y
xtg0
gx2 2v02
1 tg20
§3 弹道任意点、顶点、落点诸元
行时，惯性离心力加速度可以忽略。重力加速度主要是由
引力加速度的形状来决定。引力加速度与弹丸距地心的距
离r(r=R+y)的平方成反比，因此重力加速度与高度y的近
似关系式为
gy
g0
1
2y R
§2 抛物线弹道方程
第3章 外弹道性能试验南京理工大学版权
1)在弹丸研制过程中，通常先加工出气动模型进行风洞吹风试验，测出 各个气动力系数，并计算出稳定性因子，对弹丸的稳定性进行初步校核； 2)制出全尺寸弹或模型弹，在火花闪光阴影照相靶场或攻角纸靶射击靶 道进行自由飞行试验，测出弹丸质心运动及绕质心运动的六个参量随时间的 变化，并由此导出气动力系数，进行稳定性校核。
注：弹丸进入靶场射击试验后，通常不再专门进行飞行稳定性试验，而是结 合射程和密集度试验，定性观察弹丸的飞行是否正常，有无掉弹和弹尾先触 地的情况等，由此判断飞行是否稳定。
第3章 外弹道性能试验
弹丸靶场实验技术
弹丸飞行稳定性试验
攻角纸靶法 工作原理
纸靶试验都采用水平射击。在离炮口适当距离的一定区间内，布置一系列纸靶 ，并使靶面与射线垂直，当发射弹丸穿过纸靶时，就会在纸靶上留下一个个弹孔， 弹孔的形状及尺寸直接反映了弹丸穿靶时的姿态。所以，根据弹丸的几何形状及弹 孔尺寸，便可以推行出弹丸穿靶的章动角及进动角，如下图所示。
x K xS xs
则所取的弹道系数初始值即为所求弹道系数
CT Cb ms mT
Cb
。
则所取的弹道系数初始值即为所求弹道系数
。
第3章 外弹道性能试验
弹丸靶场实验技术
弹丸空气阻力性能的测定
阻力系数曲线的测定 测定阻力系数随马赫数的变化曲线 C x M a 主要有三种方法： 1)风洞吹风法：通过各种马赫数的喷管，有动力天平直接测出模型所受 的阻力，进而求出阻力系数；
第3章 外弹道性能试验
弹丸靶场实验技术
弹丸飞行稳定性试验
ι
C
ι
n
弹箭外弹道学
弹箭外弹道学摘要：1.弹箭外弹道学的定义与意义2.弹箭外弹道学的研究内容3.弹箭外弹道学的发展历程4.弹箭外弹道学的应用领域5.我国在弹箭外弹道学领域的发展与成就正文：弹箭外弹道学，顾名思义，是研究弹箭在发射、飞行和命中目标过程中，其外在轨迹和运动规律的学科。
它是弹道学的一个重要分支，具有很高的理论和实际应用价值。
弹箭外弹道学的研究内容主要包括：弹箭的初始速度、发射角度、弹道系数等初始条件的确定；弹箭在飞行过程中的受力分析，包括重力、空气阻力等；弹箭的飞行轨迹计算，以及命中精度的评估。
此外，弹箭外弹道学还研究弹箭的飞行稳定性和控制，以及如何提高弹箭的精度和射程等问题。
弹箭外弹道学的发展历程可以追溯到古代，当时人们为了提高弓箭和火炮的射击精度，开始研究弹道的相关原理。
随着科学技术的进步，尤其是火炮技术的发展，弹箭外弹道学逐渐形成了完整的理论体系。
在20 世纪中后期，随着计算机技术的飞速发展，弹箭外弹道学的研究方法发生了革命性的变化，从传统的理论分析和实验研究，转向了数值模拟和计算机仿真。
弹箭外弹道学的应用领域非常广泛，包括军事、民用和科研等方面。
在军事领域，弹箭外弹道学为导弹、火箭、火炮等武器系统的研制和改进提供了理论依据。
在民用领域，弹箭外弹道学的原理和方法被广泛应用于航天、航空、气象等领域。
在科研领域，弹箭外弹道学为相关学科的研究提供了有力的支持。
我国在弹箭外弹道学领域取得了举世瞩目的发展与成就。
从20 世纪50 年代起，我国就开始研制自己的导弹和火箭技术。
经过几十年的努力，我国已经拥有了一系列先进的导弹和火箭武器系统，其背后的弹箭外弹道学研究为我国的国防事业做出了巨大贡献。
外弹道
弹道分类1）理想弹道或标准弹道：在基本假设条件下的火箭质心运动轨迹。
2）理论弹道：火箭外形结构取固定值，气象条件取标准值，在某一确定的动力学模型下，通过数值积分而求得的弹道。
3）扰动弹道：计及某些干扰后的火箭弹质心运动轨迹。
4）实际弹道：在实际发射过程中，火箭弹的质心运动轨迹。
3）推力偏心推力作用线偏离火箭质心的距离(用L表示)，叫推力线偏心。
线推力偏心L：由于推力偏心，直接形成推力偏心矩。
角推力偏心：推力作用线与弹轴之间夹角。
P2）横风火箭运动过程中感受到的与运动方向垂直的横向气流，称为横风。
使攻角限制在一定范围之内，并保证其变化的趋势是减小的，这就是飞行稳定性的充要条件。
4. 为什么主动段末的角散布是引起落点散布的主要因素：控制火箭弹的散布，主要是控制其主动段末的角散布。
因为主动段内推力远大于其它力，各种起始扰动形成主动段内的摆动，会通过推力来加大这些扰动对弹道的影响，从而造成主动段末的散布。
令a表示火箭在主动段上的平均加速度，则它与v0所对应的滑轨段长度，称为“有效滑轨长度”或“有效定向器长度”。
这个s并不0eff等于真实的滑轨长度。
200eff2v s a= (7.60)火箭离轨后s a （表示火箭后定心部离轨时开始计量的弹道弧长）处的速度为v ，则有如下关系： 20ef f 2()a v a s s =+记 eff 0eff a s s s =+ (7.61)则2eff 2v as =eff s 叫做弹道弧长有效值，为简化书写，今后省略脚注“eff ”。
则22v as = (7.62)也就是说，与速度v 对应的弧长s ，起点计及了有效滑轨长度，而不是将后定心部离轨时刻作为弧长的起点。
增加有效滑轨长度可以增加火箭弹的初速和动能，增强抗干扰能力，从而减小偏角和减小散布。
增加有效滑轨长度的方法： 1. 加大在滑轨段内的推力加速度； 2. 采用助推火箭或火箭增程弹。
﹡ 攻角特性：(1) 攻角呈振幅衰减的周期性摆动变化；0ϕ引起的是正弦规律；0ϕ、0ψ引起的是余弦规律。
外弹道学
外弹道学研究弹丸或抛射体在空中的运动规律及有关现象的学科。
是弹道学的一个分支。
枪弹、炮弹、火箭弹和航空炸弹等在空中飞行时，由于受空气阻力、地球引力和惯性力的作用，不断改变其运动速度、方向和飞行姿态。
火箭弹在其发动机工作期间，还将受到推力和推力矩的作用。
不同的气象条件也将对弹丸的运动产生影响。
通常可以将弹丸的运动分解为质心运动和围绕质心运动（绕心运动）两部分，分别由动量定律和动量矩定律描述。
研究主要内容外弹道学的研究内容主要包括：弹丸或抛射体在飞行中的受力状况，弹丸质心运动、绕心运动的规律及其影响因素，外弹道规律的实际应用等。
它涉及理论力学、空气动力学、大气物理和地球物理等基础学科领域，在武器弹药的研究、设计、试验和使用上占有重要的地位。
作用于弹丸的力和力矩地球作用力主要是地球的作用力和空气动力。
地球的作用力，可以归结为重力与科氏惯性力(Coriolis force)。
重力通常可以看作是铅直向下的常量。
当不考虑空气阻力时，弹丸的飞行轨迹(真空弹道)为抛物线。
对于远程弹丸则要考虑重力大小、方向的改变和地球表面曲率的影响，其轨迹为椭圆曲线。
科氏惯性力还对远程弹丸外弹道学的射程和方向有一定影响。
相关因素作用于弹丸的空气动力与空气的性质（温度、压力、粘性等）、弹丸的特性（形状、大小等）、飞行姿态以及弹丸与空气相对速度的大小等有关。
当弹丸飞行速度矢量V与弹轴的夹角δ(称为攻角或章动角)为零时，空气对弹丸的总阻力R的方向与V相反，它使弹丸减速,称为迎面阻力。
当攻角不为零时，R可分解为与V方向相反的迎面阻力R x和与V垂直的升力Ry，后者使弹丸向升力方向偏移。
由于总阻力的作用点(称为阻心或压心)与弹丸的质心并非恰好重合,因而形成了一个静力矩M z。
它使旋转弹丸的攻角增大而使尾翼弹丸的攻角减少，因而分别称为翻转力矩和稳定力矩。
当弹轴有摆动角速度.时，弹丸周围的空气将产生阻滞其摆动的赤道阻尼力矩M.；当弹丸有绕轴的自转角速度.时,将形成阻滞其自转的极阻尼力矩M xj。
外弹道的近似解析解
外弹道的近似解析解弹道学是航空航天工程的一个重要分支，外弹道是其中的重要组成部分。
弹道学研究的是物体在自由控制作用力以外，能量保守和动量守恒作用下所进行的运动。
而外弹道是在空气动力学作用下整个弹道运动的一种特殊情况，其中影响弹道运动的主要因素有：重力、摩擦力、压力和空气密度。
弹道的数学方法有两种：精确解析解和近似解析解。
前者可以准确地解决弹道问题，但一般而言，这需要解的复杂性很高，而且由于非常多的计算量和复杂的计算过程，实际应用中几乎不会采用这种方法。
而近似解析解可以得到比较容易计算的结果，把系统的实际力学模型分解成一些简单的组合，结合外弹道特殊性，可以得到近似正确的结果。
外弹道的近似解析解可以通过一系列变换来实现。
由于重力加速度存在，弹体逃逸速度和轨道速度值实际上都时变的，其中代表最大逃逸速度的变量$V_{e}$的变化规律与时间有关。
对于一般控制加速度小的情况，外弹道的两个变量$V_{e}$和$h$可以看成是常数，这样一来，外弹道的运动就可以被视为经典的椭圆运动，而且它的运动方程也可以得到解析解。
另一种通常采用的方法是利用解析函数求解，解析函数的原理是把被微分方程拆解成某一种可解析函数的和，可解析函数为有限次积分，从而解得外弹道的运动方程。
这种方法比较简洁，但它需要的计算量很大，而且容易出现误差。
另外，也有一些采用近似方法的模型，比如二谐近似方法，它可以把外弹道的运动近似分解为多项式，然后用多项式去拟合外弹道，从而得到外弹道的近似解析解。
外弹道的近似解析解可以用于各种实际应用，比如用于精确发射、航天器运行轨迹规划以及发射任务和载荷运行轨迹规划等。
它可以更精确地分析和估计弹道系统的特性，从而提高外弹道设计效率，提高发射精度，保证航天器的安全运行。
总之，外弹道的近似解析解具有很多实际应用价值，它为计算复杂的外弹道提供了一种简单易行的方法，是航空航天工程实践中一种重要的工具。
外弹道学文档
外弹道学引言外弹道学是一门研究外弹道运动的学科，它涉及了飞行物体在大气中运动的各个方面，包括弹道轨迹、空气动力学特性、飞行稳定性等等。
在军事领域，外弹道学被广泛应用于导弹、火箭的设计与发射控制，而在航天领域，外弹道学研究则关注的是行星探测器、人造卫星等太空飞行器的轨迹规划与姿态控制。
一. 弹道轨迹弹道轨迹是飞行物体在大气中运动过程中所产生的轨迹，它是外弹道学研究的核心内容之一。
根据飞行物体的类型和用途不同，弹道轨迹可以分为抛物线轨迹、椭圆轨迹、双曲线轨迹等。
抛物线轨迹适用于短程火箭的飞行，椭圆轨迹适用于中程导弹的飞行，而双曲线轨迹则适用于远程导弹的飞行。
在计算弹道轨迹时，需要考虑飞行物体的发射速度、发射角度、大气阻力和重力加速度等因素。
这些因素会对弹道轨迹的形状和长度产生影响，因此需要进行准确的数学建模和计算。
二. 空气动力学特性空气动力学是外弹道学中一个重要的分支，它研究了飞行物体在空气中受到的气动力学力和气动特性。
飞行物体受到空气阻力、升力和侧向力的作用，这些力会影响飞行物体的飞行稳定性和控制性能。
在研究空气动力学特性时，需要通过实验和数值模拟等方法确定飞行物体的气动系数，例如阻力系数、升力系数和侧向力系数等。
这些系数的准确确定对于飞行物体的性能评估和设计优化非常重要。
三. 飞行稳定性飞行稳定性是外弹道学中一个关键的问题，它研究了飞行物体在飞行过程中的稳定性和控制性能。
飞行物体的稳定性决定了其在大气中的飞行状态是否能够保持稳定，而控制性能则决定了飞行物体是否能够按照要求进行姿态控制和轨迹控制。
在飞行稳定性分析中，需要考虑飞行物体的质心位置、飞行速度、姿态稳定性等因素。
通过分析这些因素，可以确定飞行物体的稳定性边界，并制定相应的控制策略以保证飞行器的安全和稳定性。
结论外弹道学研究了飞行物体在大气中运动的各个方面，包括弹道轨迹、空气动力学特性和飞行稳定性等。
在军事领域和航天领域，外弹道学的应用广泛而重要。
弹箭外弹道学
弹箭外弹道学引言弹箭外弹道学是一门研究弹箭在空中运动轨迹的学科，主要应用于弓箭、弩箭、投石器等射击武器的设计与使用。
本文将从弹道学的基本原理、影响弹道的因素、弹道计算方法以及实际应用等方面进行介绍。
一、弹道学的基本原理弹道学是基于牛顿力学的理论基础上发展起来的，主要研究弹箭在空中的运动规律。
根据牛顿第二定律F=ma，可以推导出弹箭在空中受到的合力等于其质量乘以加速度。
根据这一原理，可以得出弹箭在垂直方向上的运动规律。
二、影响弹道的因素弹道的形状和轨迹受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：1.发射速度：弹箭的初速度直接影响其飞行距离和轨迹。
初速度越大，弹箭的飞行距离越远，轨迹也会更加平直。
2.发射角度：发射角度是指弹箭与水平面之间的夹角。
不同的发射角度会导致弹箭的飞行轨迹不同，发射角度越大，弹箭的飞行距离越远。
3.空气阻力：空气阻力是指弹箭在飞行过程中受到的空气阻碍。
空气阻力会使弹箭的飞行速度逐渐减小，轨迹逐渐下降。
4.重力：重力是指地球对弹箭的吸引力。
重力会使弹箭的轨迹呈抛物线形状，下落速度逐渐增加。
三、弹道计算方法为了准确计算弹箭的飞行轨迹，我们需要使用一些数学模型和计算方法，主要包括以下几种：1.一维运动模型：一维运动模型是指只考虑弹箭在垂直方向上的运动规律。
根据牛顿第二定律和运动学公式，可以得出弹箭的运动轨迹方程。
2.二维运动模型：二维运动模型是指同时考虑弹箭在水平和垂直方向上的运动规律。
通过解析几何和微积分等数学方法，可以得出弹箭的运动轨迹方程。
3.数值模拟方法：数值模拟方法是指利用计算机进行模拟计算，通过迭代和逼近的方式得出弹箭的飞行轨迹。
这种方法可以更加精确地模拟实际情况，并考虑到各种复杂因素的影响。
四、实际应用弹箭外弹道学在实际应用中具有广泛的领域，主要包括以下几个方面：1.武器设计与改进：弹道学可以帮助武器设计师了解弹箭的飞行特性，通过改变弹箭的形状、重量和材料等参数，优化武器的性能和射程。
弹箭外弹道学
弹箭外弹道学
摘要：
1.弹箭外弹道学简介
2.弹箭外弹道学的研究对象与方法
3.弹箭外弹道学的主要应用领域
4.弹箭外弹道学在我国的发展现状与前景
正文：
弹箭外弹道学是一门研究弹箭在飞行过程中的各种物理现象和运动规律的科学。
它主要包括弹箭的飞行稳定性、弹箭的气动特性、弹箭的力学性能等方面的研究。
弹箭外弹道学的研究对象是各种类型的弹箭，包括炮弹、火箭弹、导弹等。
研究方法主要有理论分析、数值模拟、实验测试等。
弹箭外弹道学的主要应用领域包括军事、航空航天、能源等。
在军事领域，弹箭外弹道学的研究成果可以为武器装备的研制、改进和作战效能评估提供科学依据。
在航空航天领域，弹箭外弹道学的研究可以为飞行器的气动设计、控制系统和发射技术提供支持。
在能源领域，弹箭外弹道学的研究可以为新型推进技术的开发和应用提供理论指导。
弹箭外弹道学在我国的发展历史悠久，取得了举世瞩目的成果。
我国在弹箭外弹道学方面的研究始于上世纪50年代，经过几代人的努力，我国弹箭外弹道学研究已经取得了显著的成就。
目前，我国已经建立了完整的弹箭外弹道学研究体系，拥有一支高素质的研究队伍，并在一些领域取得了国际领先的研究成果。
外弹道方程参数
外弹道方程参数外弹道方程是描述物体在大气中飞行轨迹的数学方程。
它是根据牛顿运动定律而推导出来的，用于计算物体的速度、加速度和位置等参数。
在外弹道范畴中，需要考虑飞行物体在大气、重力和其他力的影响下的运动规律。
本文将探讨外弹道方程的参数以及其在弹道学中的应用。
1. 初速度（v0）初速度是物体在外弹道运动开始时的速度。
它是物体运动的基本参数之一。
在弹道学中，我们将其作为已知量来计算其他的运动参数。
初速度的大小和方向对物体的轨迹有很大的影响。
不同初速度将引导物体飞行到不同的位置和高度。
2. 发射角度（θ）发射角度是物体在外弹道运动开始时与水平方向之间的夹角。
它也是影响物体轨迹的重要因素之一。
当发射角度为0度时，物体将以水平方向飞行；当发射角度为90度时，物体将进行自由下落。
发射角度的变化将导致物体的飞行轨迹发生改变。
3. 弹道区间（T）弹道区间是物体在外弹道运动中所经过的水平距离。
它是物体运动轨迹的另一个基本参数。
弹道区间的长度取决于物体的速度、发射角度和飞行时间等因素。
通过计算弹道区间，我们可以判断物体的飞行距离和散布范围。
4. 飞行时间（t）飞行时间是物体在外弹道运动中所经过的时间。
它是物体运动的重要参考参数之一。
通过计算飞行时间，我们可以估算物体的运动时长和轨迹特征。
飞行时间的长短与物体的初速度、发射角度和飞行距离等因素密切相关。
5. 极高点（Hmax）极高点是物体在外弹道运动中所达到的最高位置。
它是物体运动轨迹中的一点，也是物体的运动极值之一。
通过计算极高点，我们可以了解物体的飞行高度和降落位置。
通过对外弹道方程参数的研究和计算，我们可以更好地理解物体在飞行过程中所受到的各种力的作用，以及它们对物体运动轨迹的影响。
这些参数不仅在军事领域的弹道学中有着广泛的应用，还在航空航天、火箭技术、导弹设计等领域起着重要的作用。
在实际应用中，科学家、工程师和军事专家们通过改变外弹道方程的参数，优化设计发射物体的轨迹和飞行特性。
外弹道学(课堂PPT)
31
§7-7 尾翼弹丸稳定性分析
一、低速旋转尾翼弹及共振不稳定性
质心偏离产生附加力和力矩，对于不旋转弹而言，必引起
弹道偏差，造成射程和方向的变化。而尾翼弹的外形和质量
分布的不对称性是随机的，必引起对应的射弹散布。为了减
小不对称因素引起的散布，可使尾翼弹绕弹轴低速旋转。
1、转速变化规律及平衡转速
低速旋转尾翼弹，一般是应用斜置尾翼或尾翼斜切角使弹
以弹丸质心为球心，单位长度为半径作球面，球
面上弧长的弧度值就等于对应的圆心角。
理想弹道的切线方向与球面交点L，弹轴与球面交
点A，速度与球面交点T。A点的轨迹表示弹轴在空
间的运动过程，T点的轨迹表示速度方向变化的过程。
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二、作用在弹上的力和力矩 1、空气动力和力矩
阻力、升力、马氏力、俯仰力矩、赤道阻尼力矩、 极阻尼力矩、马氏力矩 2、重力 3、陀螺效应力矩 4、尾翼导转力矩
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§7-4 追随稳定性
追随稳定性研究的内容：当弹速V受重力影响不断下降 时，具有急螺稳定性的弹丸，为什么弹轴能追随速度矢量的 下降而下降。 一、动力平衡轴和动力平衡角
忽略起始扰动，零时刻弹轴方向与速度共线同向，由于V 在重力作用下方向不断低头，而弹丸的急螺稳定性使弹轴方 向保持不变，形成章动角δ，由此引起翻转力矩Mz，该矢量 垂直于阻力面向外，随着阻力面位置的不断变化，翻转力矩 的指向也不断变化，形成了弹轴的锥形进动。
一动力平衡轴和动力平衡角一动力平衡轴和动力平衡角忽略起始扰动零时刻弹轴方向与速度共线同向由于忽略起始扰动零时刻弹轴方向与速度共线同向由于vv在重力作用下方向不断低头而弹丸的急螺稳定性使弹轴方在重力作用下方向不断低头而弹丸的急螺稳定性使弹轴方向保持不变形成章动角向保持不变形成章动角由此引起翻转力矩由此引起翻转力矩mzmz该矢量该矢量垂直于阻力面向外随着阻力面位置的不断变化翻转力矩垂直于阻力面向外随着阻力面位置的不断变化翻转力矩的指向也不断变化形成了弹轴的锥形进动
外弹道设计课件
南京理工大学外弹道设计理论与方法课程作业学生姓名：学号：学院：课程：外弹道设计理论与方法2015年 1 月作业：完成小口径火炮用榴弹的外弹道优化设计数学模型的程序设计。
要求：(1) 模型：⎰==dS vdst X f 0min min )(min ， R E X 4∈，),,,(:4321x x x x X 分别代表c b n l l l m ,,,无量纲化后的变量；(2) 设计变量取m ，l n ，l b ，l c ；(3) 约束条件R 域为：0)(01≥-=m m X g 0)(4≥=n l X g 06.1/)(2≥-=d l X g c 0)(5≥=b l X g 0)(5.5)(3≥++-=c b n X g λλλ(4) 已知条件：2/8.9s m g =，200012025002E m v J ==，kg m 5.00=，2000=d S m ，241d S π=，xon x C i C *= ，320267.032.0373.19.2H H H i -+-=， 3.0-+=b n H λλ。
备注：m 用0.4kg 无量纲化，c b n l l l ,,用d ＝0.035米无量纲化。
初始点 kg m 74.00= 0.30=n λ 65.00=b λ 7.10=c λ一、目标函数⎰==d S vdst X f 0min min )(min ， R E X 4∈，),,,(:4321x x x x X 分别代表c b n l l l m ,,,无量纲化后的变量；二、优化设计变量选取弹重m 、弹头部长l n 、圆柱部长l c 、弹尾部长l b 作为设计变量。
三、约束关系约束条件R 域为：0)(01≥-=m m X g 0)(4≥=n l X g 06.1/)(2≥-=d l X g c 0)(5≥=b l X g 0)(5.5)(3≥++-=c b n X g λλλ四、优化设计过程4.1 建立优化模型要求：1) 弹丸飞行时间少2) 弹丸气动外形好（阻力小）； 3) 弹丸飞行稳定； 4) 初速与弹重组合较佳； 5) 达到目标时的存速较大。
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火炮与炮弹相关知识（三）－外弹道研究弹丸或抛射体从发射起点到终点在空中的运动规律及伴随发生的有关现象的学科。
是弹道学的一个分支。
枪炮弹丸在空中飞行时，由于受空气阻力、地球引力和惯性力的作用，不断改变其运动速度、方向和飞行姿态。
不同的气象条件也将对弹丸的运动产生影响。
通常可以将弹丸的运动分解为质心运动和围绕质心运动（绕心运动）两部分，分别由动量定律和动量矩定律描述。
外弹道学的研究内容主要包括：弹丸或抛射体在飞行中的受力状况，弹丸质心运动、绕心运动的规律及其影响因素，外弹道规律的实际应用等。
它涉及理论力学、空气动力学、大气物理和地球物理等基础学科领域，在武器弹药的研究、设计、试验和使用上占有重要的地位。
作用于弹丸的力和力矩主要是地球的作用力和空气动力。
地球的作用力，可以归结为重力与科氏惯性力(Coriolis force)。
重力通常可以看作是铅直向下的常量。
当不考虑空气阻力时，弹丸的飞行轨迹(真空弹道)为抛物线。
对于远程弹丸则要考虑重力大小、方向的改变和地球表面曲率的影响，其轨迹为椭圆曲线。
科氏惯性力还对远程弹丸的射程和方向有一定影响。
作用于弹丸的空气动力与空气的性质（温度、压力、粘性等）、弹丸的特性（形状、大小等）、飞行姿态以及弹丸与空气相对速度的大小等有关。
当弹丸飞行速度矢量V与弹轴的夹角δ(称为攻角或章动角)为零时，空气对弹丸的总阻力R的方向与V相反，它使弹丸减速,称为迎面阻力。
当攻角不为零时，R可分解为与V方向相反的迎面阻力Rx和与V垂直的升力Ry，后者使弹丸向升力方向偏移。
由于总阻力的作用点(称为阻心或压心)与弹丸的质心并非恰好重合,因而形成了一个静力矩M。
它使旋转弹丸的攻角增大而使尾翼弹丸的攻角减少，因而分别称为翻转力矩和稳定力矩。
当弹轴有摆动角速度[o1] Φ时，弹丸周围的空气将产生阻滞其摆动的赤道阻尼力矩M[zch]；当弹丸有绕轴的自转角速度[r2]时,将形成阻滞其自转的极阻尼力矩Mxj。
如自转时有攻角存在，还将形成一个与攻角平面垂直的侧向力和力矩，称为马格纳斯力(Magnus force)Rxm和马格纳斯力矩Mym。
这些力和力矩如图1[作用于弹丸上的空气动力和力矩]在诸空气动力中，迎面阻力、升力和静力矩对弹丸运动影响较大，它们的表达式如下：[1039-01], [1039-02] , [1039-03]式中的Cx、Cy、Mz 分别为阻力系数、升力系数和静力矩系数。
它们均为马赫数M和攻角的函数；S、L、ρ分别为弹丸横截面积、弹长和空气密度。
此外，随时间、地点和高度的不同而变化的气象因素（如气温、气压和风等），将直接影响空气的密度和弹丸与空气的相对速度，使空气动力发生变化。
通常气温高、气压低或顺风均使射程增大，反之则减小。
横风将使弹丸侧偏。
但火箭弹道的主动段，由于有推力存在，风的影响规律比较复杂，与枪炮弹丸的弹道不同。
要准确地描述弹丸运动的规律，有赖于对上述空气动力的准确测量，测量的方法通常有风洞法和射击法两类，后者已发展成为实验外弹道学的主要内容。
弹丸的质心运动在攻角为零、标准气象条件和其他一些基本假设下，弹丸质心运动的轨迹将是一条平面曲线（理想弹道）。
它由初速V0、射角[oo]0和弹道系数c（炸弹弹道还有投弹高度H）完全确定。
弹道系数c 是反映弹丸受空气阻力影响大小的重要参量,[1039-04] [],式中d、G分别为弹径和弹重；i=Cx(M)/c[xon]xon(M)称为弹形系数，它是当攻角为零时弹丸阻力系数Cx与某标准弹阻力系数c[xon] xon之比；M为马赫数（弹丸速度与音速之比）。
弹道系数越小，对减小阻力、增大射程越有利在同样的初速和射角条件下,弹道系数与射程的关系如图2[ 弹道系数与射程的关系]所示。
图中弹道系数是根据43年阻力定律得出的。
通常采用减小弹形系数、增加弹丸的长细比和选用高比重材料等方法来减小弹道系数。
例如枣核弹，由于改善了弹头、弹尾的形状，减小了空气阻力，使弹形系数减小到0.7左右；底部排气弹由于采用了底部排气技术，提高了弹底压力，使弹形系数进一步减小到0.5左右；某些次口径穿甲弹，由于提高了初速、增大了长细比或采用钨、铀等高比重材料，不仅增大了射程，还提高了落速和穿甲能力。
研究质心运动规律的目的，在于准确地获得弹道上任意点的坐标、速度、弹道倾角和飞行时间等弹道诸元以及在非标准条件下的射击修正量。
由初速、射角和弹道系数（炸弹还有投弹高度）等参量可以编制外弹道表，用以直接查取或求得顶点、落点乃至任意点的弹道诸元和有关的修正系数。
火箭外弹道可分为有推力作用的主动段和无推力作用的被动段。
被动段弹道与枪炮弹丸的弹道相同。
在主动段内,火箭弹在发动机的推力作用下不断加速飞行,到主动段末，其速度达最大值Vk。
Vk的大小主要取决于火箭推进剂的性能，推进剂重量W与火箭弹的起始重量G0的比值W/G0和弹形等。
弹丸的绕心运动弹丸在作质心运动的同时作绕心运动。
当攻角不大时，绕心运动可用线性理论来描述。
起始扰动引起攻角的大小呈周期性变化。
攻角平面在空中绕速度矢量旋转，与攻角相应的升力矢量也将在空中旋转，使弹丸质心运动的轨迹成为一条空中螺旋线。
螺旋线的轴线向一方偏离形成平均偏角，它的大小和相应主要与随机变化的起始扰动有关。
这是造成跳角及其散布，特别是低伸弹道高低和方向散布的重要原因。
由重力引起的非周期性变化的攻角称为动力平衡角。
它对于右（左）旋弹丸主要偏向弹道右（左）方，与其相应的升力产生使弹丸向右（左）侧运动的偏流。
此外，由于弹丸攻角大小的变化，还将引起迎面阻力的增大和变化，使射程减小并产生散布（图3[ 螺线弹道、偏流与散布示意）。
对于尾翼稳定弹丸绕心运动对质心运动的影响，除了不形成偏流外，其他与旋转弹丸相似。
由绕心运动的规律可以确定弹丸的飞行稳定性，即保证弹丸在飞行全过程中攻角始终减小或不超过某一最大限度。
这是保证弹丸具有良好射击精度的必要条件。
弹丸的飞行稳定性取决于它的运动参量、气动力参量和结构参量。
尾翼稳定弹丸利用其尾翼作用使阻心移到质心后面，形成稳定力矩使攻角不致增大，称为静态稳定弹。
一般阻心与质心间的距离达到全弹长的10～15％时，就能保证良好的静态稳定性。
旋转弹丸不具有静态稳定性,但当其旋转速度不低于某个最低值时,就可以依*陀螺效应使弹轴围绕某个平均位置旋转与摆动，不致因翻转力矩的作用而翻转，即具有陀螺稳定性。
在重力作用下弹道是逐渐向下弯曲的，如果弹轴不能追随弹道切线以同样的角速度向下转动，势必形成攻角增大甚至弹底着地。
旋转弹丸由于有动力平衡角存在，与其相应的翻转力矩将迫使弹轴追随弹道切线向下转动，因而具有追随稳定性。
为了保证攻角始终较小，动力平衡角也不能过大。
如果弹丸旋转速度太高，其陀螺定向性过强，就可能造成动力平衡角过大，因此又必须限制转速不超过某一个最高值。
由保证陀螺稳定的最低转速和保证追随稳定的最高转速,可以确定相应的膛线缠度η（以口径d的倍数表示膛线旋转一周时的前进距离）的上下限。
通常枪炮的膛线缠度均在其上限的0.70～0.85范围内选取(图4[旋转弹丸的飞行稳定性示意图] )。
膛线缠度η 主要由弹丸的结构参量、阻心位置和翻转力矩系数来确定。
静态稳定的尾翼弹丸同时具有追随稳定性。
此外，具有静态稳定的尾翼弹丸或具有陀螺稳定和追随稳定的旋转弹丸，其弹轴摆动虽是周期性的，但摆动的幅值可能因条件不同而逐渐衰减或逐渐增大。
为了保证弹丸的飞行稳定性，还必须要求摆动幅值始终衰减，即要求弹丸具有动态稳定性。
动态稳定性与其升力、静力矩、赤道阻尼力矩、极阻尼力矩和马格纳斯力矩等有关。
从质心运动和绕心运动的有关规律，可以分析估算射弹散布的大小。
引起散布的因素很多，不仅与起始扰动、阵风等随机因素有关，而且与弹道参量、弹炮结构参量以及它们的变化范围等有关。
火箭弹的散布比一般炮弹大得多。
这是因为：在火箭弹道的主动段，发动机的推力使火箭弹加速飞行，当有攻角存在时还有一个比升力数值大得多的推力法向分量，它将产生出一个很大的侧向加速度。
同时，火箭弹离开导轨(定向器)时的速度较小,易受阵风和其他因素的干扰,其中推力偏心是影响无旋尾翼火箭弹散布的主要因素。
为了减小散布，通常采用低速旋转以减小推力偏心和其他非对称因素造成的影响，采用助推器增大火箭弹初速以提高其抗干扰能力。
火箭增程弹的弹道比一般火箭弹还多一个与发动机延期点火相应的起始段。
选择最佳点火距离并合理地控制点火的时间散布，可以获得较大射程并减小散布。
外弹道规律的应用①外弹道设计、计算：根据武器弹药的战术技术要求，应用空气动力学、现代优化理论和计算技术对相应的外弹道方程组进行弹道计算，以寻求最有利的运动条件并确定出弹重、弹径、初速和弹形结构等的合理值。
综合应用飞行稳定性和散布理论，提供满足射程、射击精度要求和减小散布的有利条件，寻求最优化的总体设计方案。
它为武器、弹药、引信等的设计、研究、试验、使用提供依据。
②编制射表与提供弹道数学模型：根据外弹道理论结合射击(或投放)试验，准确地列出特定武器的射角、射程及其他弹道诸元间的对应关系；应用修正理论给出相应弹道诸元在非标准条件下的修正量；用实验和散布理论确定出有关的散布特征量，为准确有效地实施射击（或投放）提供依据（见射击学）。
准确完善的射表或简单可*的弹道数学模型是设计制作瞄准具、射击指挥仪或武器火控系统等的基础。
脱壳穿甲弹“脱壳”瞬间简史中国战国时期成书的《周礼?夏官》及汉代增补的《周礼?考工记》中，均有关于保持射箭飞行稳定的详细论述。
这是探讨飞行稳定性的最早记载。
对于射程和射角的关系，中国早在西汉时期也已有了一定的认识。
但这些都只是初步的经验概括，直至17世纪30年代，意大利物理学家伽利略才从严格的数学力学基础上，导出了只考虑重力作用的真空弹道是一条抛物线。
1644年，法国人M.麦尔森提议把研究弹丸运动的科学命名为弹道学。
1687年，英国物理学家I.牛顿第一个提出了考虑空气阻力的空气弹道解法。
到18世纪以后，随着大气物理研究的进展，测量弹丸速度的弹道摆和落体测时仪的出现，为深入研究空气阻力创造了条件。
1753年瑞士数学家L.欧拉在进行空气阻力实验研究的基础上，提出了适用于低速弹丸(V＜250米／秒)的弹道近似分析解法──欧拉解法，并在世界范围内得到了广泛的应用。
此外，在这期间还出现过多种其他的近似分析解法，如适用于解低伸弹道的西亚切解法，至今还在应用。
直到20世纪20年代，出现了数值积分法（如差分法、龙格?库塔法等）以后，才得到了一个较为准确求解质点弹道的普遍方法。
19世纪中叶，用线膛炮发射长圆形弹丸成功后，许多国家竞相研究弹丸的绕心运动，先后创立了旋转理论和摆动理论，并逐步确定出判定弹丸飞行稳定性的准则。
20世纪以来,随着外弹道测试仪器和测试方法的进步,特别是风洞测试技术和靶道技术的发展以及闪光照像，电子计算机技术，激光、雷达、遥测技术，多普勒测速装置等应用于弹道测试后，对弹丸运动姿态和空气动力的测量日趋精密、完善和准确，逐渐形成了以线性理论为基础的动态稳定性概念，建立了动态稳定性的判别准则。