函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)

函数与导数压轴题题型与解题方法(高考

必备)

题型与方法（选择、填空题）

一、函数与导数

1、抽象函数与性质

主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）

对策与方法：赋值法、特例法、数形结合

例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当

$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。下列有关函数$f(x)$的描述：

①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；

②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；

③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；

④当$-\frac{1}{2}

\frac{1+(-1)^n}{2}$。

其中描述正确的个数有（。）【答案】C

分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，

在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，

③正确。当$-\frac{1}{2}

单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线

$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-

\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。因此，答案为

$\boxed{\textbf{(C) }2}$。

例2：定义在$R$上的函数$f(x)$满足$f(1)=1$，且对任意$x\in R$都有$f'(x)\frac{x+1}{x^2+1}$的解集为_________。

分析：根据题意，可以考虑构造函数$g(x)=f(x)-

\frac{x+1}{x^2+1}$，则$g'(x)=f'(x)-

\frac{2x}{(x^2+1)^2}\frac{x+1}{x^2+1}$的解集为$\boxed{(-1,1)}$。

例3：定义在$(0,+\infty)$上的单调函数$f(x)$，对于任意的$x\in(0,+\infty)$，都有$f[f(x)-\log_2 x]=3$，则方程$f(x)-

f'(x)=2$的解所在区间是（。）。

分析：根据题意，可以令$t=f(x)-\log_2 x$，则

$f(x)=\log_2 x+t$，$f'(x)=\frac{1}{x\ln 2}$。又因为$f[f(x)-

\log_2 x]=3$，即$f(t)=3$，因此$t=2$。代入原方程得到$\log_2 x+2-\frac{1}{x\ln 2}=2+\log_2 x$，化简可得$x=2$。因此，方程$f(x)-f'(x)=2$的解所在区间为$\boxed{(1,2)}$。

因为$f(x)-f'(x)=2$，所以$log_2(x+2)-log_2(x-1)$的零点在区间$(1,2)$，即方程$f(x)-f'(x)=2$的解所在的区间是$(1,2)$。

已知函数$f(x)=x^2+ex-(x<0)$与$g(x)=x^2+ln(x+a)$的图象

上存在关于$y$轴对称的点，则$a$的取值范围是$(\text{-

}\infty,e)$。

解法一：由题可得存在$x\in(-\infty,0)$满足$\frac{1}{2}=(-x)+ln(-x+a)$，当$x$趋于负无穷小时，$\frac{1}{2}=(-x)+ln(-

x+a)$趋近于$-\infty$。因为函数在定义域内是单调递增的，所

以$ln(a)

解法二：由已知设$x\in(-\infty,0)$，满足$x+e^x=ln(-x+a)$，画出两个函数的图象，当$ln(-x+a)$向右平移$a$个单位，恰好

过点$(1,\frac{1}{2})$时，得到$ln(a)=\frac{1}{2}\Rightarrow

a=e^2=\frac{1}{2}$。所以$a

已知函数$f(x)$满足$f(x)=f(1)$，当$x\in[1,3]$时，

$f(x)=lnx$，若曲线$g(x)=f(x)-ax$与$x$轴有三个不同的交点，

则实数$a$的取值范围是$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{e}\right)$。

解析：设$g(x)=f(x)-ax$，则$g(x)$的零点即为方程

$f(x)=ax$的根。由题意可知，$g(x)$与$x$轴有三个不同的交

点，则$f(x)=ax$的根也有三个不同的解。因为$f(x)=f(1)$，所以$f(1)=a$。又因为$f(x)=lnx$，所以$ax=e^{f(x)}$。因此，$e^{f(x)}$在$[1,3]$上有三个不同的零点。根据中值定理，$e^{f(x)}$在$(1,3)$内存在两个不同的点$x_1,x_2$，使得

$e^{f(x_1)}=e^{f(x_2)}$，即$f(x_1)=f(x_2)=ln\frac{1}{2}$。因此，$a=f(1)=ln\frac{1}{2}$。又因为$0<\frac{1}{2}<1

当$1e^{a}$，$g(x)$为减函数；$g'(x)>0$时，可得

$x

法二：当$1

已知函数$f(x)=\begin{cases}2-x,&x\leq 2\\x-

2,&x>2\end{cases}$，函数$g(x)=b-f(2-x)$，其中$b\in R$，若函数$y=f(x)-g(x)$恰有4个零点，则$b$的取值范围是（D）$[7/4,2]$。