函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)

函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。

下列有关函数$f(x)$的描述：①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；④当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图像与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$。

其中描述正确的个数有（。

）【答案】C分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。

当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。

当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，③正确。

当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。

因此，答案为$\boxed{\textbf{(C) }2}$。

例2：定义在$R$上的函数$f(x)$满足$f(1)=1$，且对任意$x\in R$都有$f'(x)\frac{x+1}{x^2+1}$的解集为_________。

分析：根据题意，可以考虑构造函数$g(x)=f(x)-\frac{x+1}{x^2+1}$，则$g'(x)=f'(x)-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\frac{x+1}{x^2+1}$的解集为$\boxed{(-1,1)}$。

例3：定义在$(0,+\infty)$上的单调函数$f(x)$，对于任意的$x\in(0,+\infty)$，都有$f[f(x)-\log_2 x]=3$，则方程$f(x)-f'(x)=2$的解所在区间是（。

）。

分析：根据题意，可以令$t=f(x)-\log_2 x$，则$f(x)=\log_2 x+t$，$f'(x)=\frac{1}{x\ln 2}$。

又因为$f[f(x)-\log_2 x]=3$，即$f(t)=3$，因此$t=2$。

代入原方程得到$\log_2 x+2-\frac{1}{x\ln 2}=2+\log_2 x$，化简可得$x=2$。

因此，方程$f(x)-f'(x)=2$的解所在区间为$\boxed{(1,2)}$。

因为$f(x)-f'(x)=2$，所以$log_2(x+2)-log_2(x-1)$的零点在区间$(1,2)$，即方程$f(x)-f'(x)=2$的解所在的区间是$(1,2)$。

已知函数$f(x)=x^2+ex-(x<0)$与$g(x)=x^2+ln(x+a)$的图象上存在关于$y$轴对称的点，则$a$的取值范围是$(\text{-}\infty,e)$。

解法一：由题可得存在$x\in(-\infty,0)$满足$\frac{1}{2}=(-x)+ln(-x+a)$，当$x$趋于负无穷小时，$\frac{1}{2}=(-x)+ln(-x+a)$趋近于$-\infty$。

因为函数在定义域内是单调递增的，所以$ln(a)<ln(e)\Rightarrow a<e$。

解法二：由已知设$x\in(-\infty,0)$，满足$x+e^x=ln(-x+a)$，画出两个函数的图象，当$ln(-x+a)$向右平移$a$个单位，恰好过点$(1,\frac{1}{2})$时，得到$ln(a)=\frac{1}{2}\Rightarrowa=e^2=\frac{1}{2}$。

所以$a<e$。

已知函数$f(x)$满足$f(x)=f(1)$，当$x\in[1,3]$时，$f(x)=lnx$，若曲线$g(x)=f(x)-ax$与$x$轴有三个不同的交点，则实数$a$的取值范围是$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{e}\right)$。

解析：设$g(x)=f(x)-ax$，则$g(x)$的零点即为方程$f(x)=ax$的根。

由题意可知，$g(x)$与$x$轴有三个不同的交点，则$f(x)=ax$的根也有三个不同的解。

因为$f(x)=f(1)$，所以$f(1)=a$。

又因为$f(x)=lnx$，所以$ax=e^{f(x)}$。

因此，$e^{f(x)}$在$[1,3]$上有三个不同的零点。

根据中值定理，$e^{f(x)}$在$(1,3)$内存在两个不同的点$x_1,x_2$，使得$e^{f(x_1)}=e^{f(x_2)}$，即$f(x_1)=f(x_2)=ln\frac{1}{2}$。

因此，$a=f(1)=ln\frac{1}{2}$。

又因为$0<\frac{1}{2}<1<e$，所以$\frac{1}{3}<ln\frac{1}{2}<\frac{1}{e}$，即$a$的取值范围是$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{e}\right)$。

当$1e^{a}$，$g(x)$为减函数；$g'(x)>0$时，可得$x<e^{a}$，$g(x)$为增函数；此时$f(x)$必须在$[1,3]$上有两个零点，则$g'(x)=\frac{1}{x}-a=0$，解得$e^{-1}<x<e^{1}$，$a=-\ln 3$。

法二：当$1<x<3$时，求$y=ax$与$f(x)=\ln x$相切时的$a$值即可。

已知函数$f(x)=\begin{cases}2-x,&x\leq 2\\x-2,&x>2\end{cases}$，函数$g(x)=b-f(2-x)$，其中$b\in R$，若函数$y=f(x)-g(x)$恰有4个零点，则$b$的取值范围是（D）$[7/4,2]$。

解析：法一：由$f(x)=\begin{cases}2-x,&x\leq 2\\x-2,&x>2\end{cases}$得$f(2-x)=\begin{cases}x-2,&x\leq 2\\2-x,&x>2\end{cases}$，$y=f(x)+f(2-x)-b$，所以$y=f(x)+f(2-x)-b$恰有4个零点等价于方程$f(x)+f(2-x)-b$有4个不同的解，即函数$y=b$与函数$y=f(x)+f(2-x)$的图像的4个公共点，由图像可知$\frac{7}{4}<b<2$。

法二：同一坐标系下作出$y=g(x)$与$y=b-f(2-x)$的图像，寻找满足已知条件的$b$即可。

已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数$\frac{1}{2}$，当$x\geq 0$时，$f(x)=\left(\left|x-\frac{a}{2}\right|+\left|x-\frac{2a}{2}\right|-3a^2\right)$，若$\forall x\in R$，$f(x-1)\leq f(x)$，则实数$a$的取值范围为（B）$[-\frac{3}{2},0)\cup(0,\frac{3}{2}]$。

解析：当$x\geq 0$时，$f(x)=\begin{cases}-a,&a2a\end{cases}$，$f(x-1)\leq f(x)$即$f(-x)\leq f(-x+1)$，即$f(x)$在$[-a,0]$上关于$x=\frac{a}{2}$对称，则$a\in[-\frac{3}{2},0)\cup(0,\frac{3}{2}]$。

若对任意的正实数$t$，函数$f(x)=(x-t)^3+(x-\ln t)^3-3ax$在$\mathbb{R}$上都是增函数，则实数$a$的取值范围是（）。

解析：由题意得，$f'(x)=3(x-t)^2+3(x-\ln t)^2-3a\geq 0$，即$2x^2-2(t+\ln t)x+t^2+\ln^2t-a\geq 0$对任意实数$x$成立。

因此，$4(t+\ln t)^2-8(t^2+\ln^2t-a)\leq 0$，即$(t-\ln t)^2+t-2t\lnt+1-2a\geq 0$对任意的正实数$t$恒成立。

令$u(t)=\frac{(t-\lnt)^2}{t\ln t-t}$，则$u'(t)=\frac{2(t-\ln t)(t\ln t-t-1)}{t^2(\ln t)^2}$。

当$00$，因此$u'(t)1$时，$t-1>0$，$t-\ln t0$。

因此，$t=1$时，$u(t)$取得最小值，即$u(t)\geq u(1)=1$，即$(t-\ln t)^2\geq t-2t\ln t+1-2a$对任意的正实数$t$成立。

因此，$a\leq \frac{(t-\ln t)^2-t+2t\ln t-1}{2}$的最小值。

当$t=e$时，$a$取得最小值，即$a\leq \frac{1}{2}$。

因此，选项为$\textbf{(A)}$。

若对$\forall x,y\in[0,+\infty)$，不等式$4ax\leq e^{x+y-2}+e^{x-y-2}+2$恒成立，则实数$a$的最大值是（）。

解析：由题意得，$4ax\leq e^{x+y-2}+e^{x-y-2}+2$，即$2a\leq \frac{e^{x+y-2}+e^{x-y-2}+2}{e^{2-x}}$。

因此，$2a\leq \frac{e^{2-x}}{2}+\frac{e^{-x}}{2}+1$。

令$g(x)=\frac{e^{2-x}}{2}+\frac{e^{-x}}{2}+1$，则$g'(x)=-\frac{e^{2-x}}{2}+\frac{e^{-x}}{2}$。