尖子生培优教材数学七年级上第四讲。平方根与立方根讲义及答案

尖子生培优教材数学七年级上第四讲。平方根与立方根讲义及答案

第四讲：平方根与立方根

知识导引：

平方根和立方根的概念在数学中起到了十分重要的作用。这些概念是通过逆运算来建立的，并且有多种不同的情况。因此，理解这些概念的最好方法是从平方和立方的概念开始。此外，还应该学会使用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题。

1.有关平方根：

1) 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

2) 算术平方根a的双重非负性：a≥0；a≥0.

3) a的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式。

2.有关立方根：

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。因此，任何数都有立方根。

3.实数的几种非负形式：

1) a≥0（a为实数）；

2) a < 0，|a|≥0（a为实数）。

4.算术平方根的主要性质：

1) (√a)²=a；

2) a≥0，√(a²)=a；

3) ab≥0，√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；

4) a≥0，b>0，(√a/√b)²=a/b。

典例精析：

例1：填空题：

1) (-3)的算术平方根是______。

2) 平方根等于它本身的数是______。

3) 和数轴上的点一一对应的数是______。

例1-1：下列说法正确的有：(填入相应的序号)。

①-8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④6根2是2；⑤根是±8；⑥9=±3.

例1-2：已知x+2+y-3+(z+1)²=______，求x+y+z的平方根。

例2：比较大小：

1) -23与-32.

2) 1/2，x，x，x(

例2-1：设a=3-2，b=2-3，c=3-2，则a、b、c的大小关系

是( )。

A、a>b>c

B、a>c>b

C、c>b>a

D、b>c>a

例3：观察下列等式：

32/22=23，33=33=43，34.

可得出一般规律是______。

例4：如图是实数a、b在数轴上的位置，化简a-b-(a-b)²。

例5：已知x，y是实数，且3x+4+y-3=0，则xy的值是

______。

2例5-1：如果实数x，y满足x+2+(y-3)=0，则xy的值是

多少。

例6：我国数学家XXX在一次出国访问途中，看到飞机

上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根。

XXX脱口而出：“39”。众人十分惊讶，忙问计算的奥妙。你

知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请按照下面的问题试一试。

33

1）由10=1000，100=xxxxxxx，你能确定是几位数吗？

2）由的个位数字9，你能确定的个位数是几吗？

3）如果划去后面三位数319得到数59，而3=27，4=64，由此你能确定的十位数是几吗？

4）现在换一个数，你能按这种方法说出它的立方根吗？

例7：已知9+13与9-13的小数部分分别为a、b，求

4a+4b+8的值。

探究活动

例：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：

1)2+1=2/1=1/2.2+1=3/2.2+1=4/3.2+1=5/4.…

2)推算出OA10的长。

3)求出S1+S2+S3+…+S10.

学力训练

A组务实基础

1、若a<0，则下列结论不成立的是（）

A、a=(-a)

B、a=(−a)

C、a²=a²

D、a=−a

2、实数：−5，22，2−2，π，3，39在数轴上的对应点，既在点A，C之间，又在点B，D之间的有（）

A、3个

B、4个

C、5个

D、2个

3、下列各式中正确的是（）

A、(±)√(1/4)=1/2

B、2²=1/4

C、4+√33=4+√33

D、

132−72=13−7=6

4、已知x满足2008−x+x−2009=x，那么x−2008²的值为多少。

5、已知实数a、b满足a+b=4，ab=−1，求实数a、b的值为多少。

6、满足−3

7、已知32x−3与33−5y互为相反数，则x的值为多少？

y

8、填空：已知40≈6.325，则4×105≈2520.设2=a，3=b，用含a、b的式子表示54为a³b²。

9、已知m满足m+m²+3m³=1/2，求m−1+m+1的值为多少。

10、如果一个正数的平方根是a+3与2a−15，那么这个正数是多少？

1、已知20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（）

A、2

B、3

C、4

D、5

答案：B

最小的正整数n，使得20n是整数，就是n=2，因为20的因数中含有2^2.

2、如图，数轴上点A表示的可能是（）A、4的算术平

方根B、根C、8的算术平方根D、8的立方根

答案：A

点A的坐标是2，而4的算术平方根是2.

3、比较2，5，37的大小，正确的是（）A、2＜5＜37B、37＜2＜5C、2＜37＜5D、5＜37＜2

答案：A

2＜5＜37，符合大小关系。

4、已知a=5，b2=3，且ab＞，则a＋b的值为（）A、8B、－2C、8或－8D、2或－2

答案：D