尖子生培优教材数学七年级上第四讲。平方根与立方根讲义及答案
专题02 立方根-解析版
专题02 立方根【思维导图】◎考点题型1 立方根的概念1、如果一个数的立方等于，即那么x叫做的立方根或三次方根，2、表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a。
例．（2022秋·七年级统考期末）关于平方根与立方根知识，下列说法正确的是（）A．如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根C．平方根是它本身的数只有0，立方根是它本身的数也只有0D．如果一个数有正负两个平方根，那么这个数也有正负两个立方根【答案】A【分析】根据平方根以及立方根的定义解决此题．【详解】解：A根据平方根以及立方根的定义，一个数有平方根，则这个数非负数，这个数一定有立方根，那么A正确，故A符合题意．B.根据平方根以及立方根的定义，一个数有立方根，则这个数可能是负数，但负数没有平方根，那么B错误，故B不符合题意．C.根据平方根以及立方根的定义，平方根等于本身的数是0，立方根等于本身的数有1或0或1-，那么C 错误，故C 不符合题意．D.根据平方根以及立方根的定义，一个数有正负两个平方根，则这个数正数，但这个正数只有一个立方根，那么D 错误，故D 不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查平方根以及立方根，熟练掌握平方根以及立方根的定义是解决本题的关键．变式1．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）下列说法；①任何数都有平方根；②4±是64的立方根；③2a 的算术平方根是a ；④()34-的立方根是4-；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可．【详解】解：①只有非负数才有平方根，故①错误；②4是64的立方根，故②错误；③0a ³时，2a 的算术平方根是a ，a<0时，2a 时算术平方根是a -，故③错误；④()34-的立方根是4-，故④正确；⑤算术平方根总大于或等于0，即不可能为负数，故⑤正确，∴有3个不正确故选：B ．【点睛】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键．变式2．（2023春·七年级课时练习）下列结论正确的是（ ）A ．216的立方根是6±B ．立方根是等于其本身的数为0C ．18-没有立方根D ．64的立方根是4D 、3464=，所以64的立方根是4，故选项D 正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了立方根的概念和求一个数的立方根的方法，熟练掌握求一个数的立方根的方法是解答本题的关键．变式3．（2022秋·浙江·七年级期中）已知数a 的平方根与其立方根相同，数b 和其相反数相等，则a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】直接利用平方根以及立方根、相反数的定义得出a ，b 的值，进而得出答案．【详解】解：∵数a 的平方根与其立方根相同，数b 和其相反数相等，∴0a =，0b =，则0a b +=，故选：B ．【点晴】本题主要考查了平方根以及立方根、相反数的定义，正确得出a ，b 的值是解题关键．◎考点题型2 求一个数的立方根1、立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。
七年级(上)培优讲义：第1讲 实数(一)
第1讲：实数（一）一、建构新知1.一般地,如果2x a=,那么________ 叫a的平方根．2.如果3x a=,那么________叫a的立方根．3.正数的_____平方根和_____的平方根，统称算术平方根．4.求一个数的__________的运算叫开平方,开平方与___________互为逆运算．5.求一个数的__________的运算叫开立方；开立方与___________互为逆运算．6．一个有正、负两个平方根,它们互为相反数；的平方根是零; 没有平方根．7.一个正数有个的立方根；一个负数有个的立方根；零立方根是．8．(1)使用计算器计算，把下面两个有理数写成小数的形式：39,511-，你有什么发现？我们发现上面有理数都可以写成___________小数或____________小数的形式．(2) 叫做无理数.9.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．10.立方根等于它本身的数有：．平方根等于它本身的数有：．二、经典例题例1．本章内容中有一个重要结论：“实数和数轴上的点一一对应”．阅读教材中的本节内容后填空：如图，以一个单位长度为边画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴的交点表示两个无理数：、．上面的操作说明：数可以用数轴上的点表示出来．也就是说数轴上的点有的表示、有的表示．例2．利用如图所示44⨯方格，你能画哪些边长为无理数的正方形？要求所画正方形的顶点在格点上．例3．(1)计算下面两组数① 6400,64,0.64.② 33364000,64,0.064(2)仔细观察计算结果及被开方数之间的关系，你发现了什么?例4.任何实数a ,可用[]a 表示不超过a 的最大整数,如[][]13,44==,现对72进行如下操作：[][][]122887272321=→=→=→次第次第次第,这样对72只需进行3次操作后变为1,类似地,①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是 .例5. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S =1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S =2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S ﹣S =22014﹣1 即S =22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）．三、基础演练 1.判断题（1）－4是16的平方根 （ ） （2）平方为4的数是2 （ ） （3）4的平方根是±2 （ ） （4）9的算术平方根是3（ ） 2.当x 时，2+x 有意义． 3.计算：22)2()3(---= ．4.（1）如果某正数的平方根是4-和1+a ，那么=a ．（2）如果2-a 和－3是某正数的平方根，则=a ，这个正数是 ． 5.若a 是有理数，则2232,,1,1b a a a a ++-中一定有平方根的数有（ ） A . 1 个 B . 2个 C . 3 个 D . 4个 6．若2-x 与3+y 互为相反数，求x y 的算术平方根．7.11的整数部分是 ，小数部分是 ．8.请写出两个正无理数，使得他们的和为有理数 ．9.下列各组式子：①－3与3--；②（－3）2与－32；③－3与 －23；④－3与2)3(-，互为相反数的个数是（ ）A. 1 个B. 2个C. 3 个D. 4个 10．给出下列命题：①若y x >，则y x >；②带根号的数是无理数；③数轴上的点都可以表示成有理数；④两个无理数的积为无理数；⑤a a =2；其中正确的命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2 个 D. 3个 11．把下列各数填在相应的括号里：2020020002.0,25.2),3(,2,2,14.3,722,101.0%,200,22-----∙∙π无理数{ …} 有理数{ …}负数{ …} 分数{ …}12.立方根等于本身的数是 ；平方根等于本身的数是 ；算术平方根等于本身的数是 ；相反数等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 ． 13.若643=a ，则a = ． 14.若313=-x ，则x = ． 15.=-+---33233)53()52()52( ． 16.一个正方体A 的体积是棱长为4cm 的正方体B 的体积的81，则正方体A 的棱长为多少？四、直击中考1. （2013山东）估计61+的值在（ ）A ．2到3之间B ． 3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间2. （2013浙江）实数π，15，0，－l 中，无理数是（ ） A ．π B ．15C ．0D ．－l3. （2013内蒙古）大于2且小于5的整数是 .4. （2013湖北）实数a ，b 在数轴上的位置如图7所示，以下说法正确的是（ ）A ．a ＋b ＝0B ．b ＜aC ．ab ＞0D ．｜b ｜＜｜a ｜ 5. （2013四川）2的相反数是（ ） A ．2 B ．22 C ．2- D ．22- 6. （2013贵州）下列各数中，3.14159，－38，0.131131113······， －π，25，17-，无理数的个数有：（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.（2013广东）四个数－1，0，12，2中为无理数的是( ) A ．－1B ．0C ．12D ．28. （2013沈阳）如果m =7－1，那么m 的取值范围是( )A ．0<m <1B ．1<m <2C ．2<m <3D ．3<m <4 9.（2013江苏）若式子12x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x >1B ．x <1C ．x ≥1D ．x ≤110.（2013台湾）k 、m 、n 为三整数，若135 =k 15 ，450 =15m ，180 =6n ，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系，正确的是（ ）A.k <m =nB. m =n <kC.m <n <k D).m <k <n 11.（2013四川）0.49的算术平方根的相反数是 （ ）A.0.7B. －0.7C.7.0±D. 012.（2013广东）若实数a 、b 满足04|2|=-++b a ，试求ba 2的值．13.（2012广东）若x ，y 为实数，且满足x 3+y 3=0--，试求2012x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值．14.（2012四川）实数m 、n 在数轴上的位置如图所示，试化简|n ﹣m |．15.（2013沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132,42+52+202=212……请你观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为 ．五、挑战竞赛1.已知实数a 满足a a a =-+-20052004，那么22004-a 的值为( )A.2003B.2004C.2005D.20062.已知m ,n 互为相反数，a ,b 互为倒数，x 的绝对值是3，则x 3－(1+m +n －ab )x 2+(m +n )2009+(－ab )2010的值等于___________.3.设x =121-,a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，试求a 3+b 3+3ab 的值.六、每周一题1.已知a ,b ,c 是非零实数，M =|abc |abc|bc |bc |ac |ac |ab |ab |c |c |b |b |a |a ++++++，求M 的值。
七年级上册的立方根知识点
七年级上册的立方根知识点立方根，又称三次方根，是指一个数的立方和该数相等的数。
在数学中，立方根是一种基本的运算方法。
在七年级的学习中，我们开始接触立方根，并且需要掌握相关的知识点和技巧。
本文将为大家介绍七年级上册的立方根知识点。
一、立方根的定义立方根是指一个数的立方和该数相等的数。
比如，一个数a的立方根是b，那么b³=a。
因此，我们可以得出以下公式：b³=√a二、求解立方根的方法在七年级的数学学习中，我们需要学会如何求解立方根。
以下是几种常用的方法：1.试除法试除法是一种较为简单常用的方法，适用于整数。
例如，求8的立方根，可以不断地试除，即：8 ÷ 2 = 44 ÷ 2 = 22 ÷ 2 = 1因此，8的立方根是2。
2.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种比较高效的求解立方根的方法，它是通过不断逼近解的方法来求解。
具体做法是：对于一个数a，首先猜测一个初始值x0，然后计算x1，x2，x3……依次逼近a的立方根。
x1 = (2x0 + a / x0²) / 3x2 = (2x1 + a / x1²) / 3x3 = (2x2 + a / x2²) / 3以此类推，直到迭代次数满足要求。
这种方法适用于任何实数的求解，但是计算量较大，需要使用计算机进行计算。
三、立方根的性质在学习立方根的过程中，我们需要了解立方根的一些性质，以便更好地掌握其应用。
1.立方根是一个实数对于任何正实数a，它的立方根也是一个实数。
例如，8的立方根是2，27的立方根是3。
2.立方根的基本运算在计算中，我们需要掌握立方根的基本运算。
例如，对于两个正实数a和b，它们的乘积的立方根等于这两个数的立方根的积，即：∛(a * b) = ∛a * ∛b3.立方根的逆运算我们可以通过立方根的逆运算来得到一个数的立方。
例如，对于正实数a和它的立方根b，a的立方等于b的三次方，即：a³ = b³四、应用在实际的数学应用中，我们需要运用立方根的相关知识。
专题31平方根-2021-2022学年七年级数学上(解析版)【浙教版】
2021-2022学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题3.1平方根姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•长春期末）1的平方根是（）A．﹣1B．1C．±1D．0【分析】根据平方根的定义解答即可．【解析】1的平方根是±1，故选：C．2．（2020春•集贤县期末）（﹣0.25）2的平方根是（）A．﹣0.5B．±0.5C．0.25D．±0.25【分析】先根据乘方的法则求出（﹣0.25）2的结果，再根据平方根的概念求出平方根，选出答案．【解析】（﹣0.25）2＝0.0625，0.0625的平方根为±0.25，故选：D．3．（2020秋•榆次区期中）一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．100【分析】利用平方根的定义得出a+3+4﹣2a＝0，求出a，进而求出答案．【解析】∵一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，∴a+3+4﹣2a＝0，解得：a＝7，则a+3＝10，4﹣2a＝﹣10，故这个正数是100．故选：D．4．（2021春•淮滨县期末）一个正数的两个平方根是2m﹣4和3m﹣1，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．无法确定【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数列出方程，求出m的值．【解析】由题意可得：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，故选：C．5．（2021春•郧西县月考）下列说法正确的是（）A．﹣4是（﹣4）2的算术平方根B．±4是（﹣4）2的算术平方根C．√16的平方根是﹣2D．﹣2是√16的一个平方根【分析】根据算术平方根、平方根的定义求解判断即可．【解析】A，﹣4是（﹣4）2的负的平方根，故此说法不符合题意；B，±4是（﹣4）2的平方根，故此说法不符合题意；C，√16的平方根是±2，故此说法不符合题意；D，﹣2是√16的一个平方根，故此说法符合题意；故选：D．6．（2021春•恩平市期末）36的算术平方根是（）A．±9B．±6C．6D．﹣6【分析】根据算术平方根（若一个正数x的平方等于a，则这个正数x是a的算术平方根）的定义解决此题．【解析】∵36＝62，∴√36=√62=6．故选：C．7．（2021春•含山县期末）√81的值是（）A．±9B．±3C．3D．9【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解析】√81=9，故选：D．8．（2020春•丛台区校级月考）求下列各式中的x：（）（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x ﹣1）2＝36．A ．x =53和x ＝2B ．x =−53和x ＝2或x ＝﹣1C ．x ＝±53和x ＝﹣1D ．x ＝±53和x ＝2或x ＝﹣1【分析】（1）根据等式的性质，可得乘方的形式，根据开平方，可得方程的解；（2）根据等式的性质，可得乘方的形式，根据开平方，可得方程的解．【解析】（1）移项，得9x 2＝25，两边都除以9，得x 2=259，开方，得x ＝±53；（2）移项，得4（2x ﹣1）2＝36，两边都除以4，得（2x ﹣1）2＝9，开方，得2x ﹣1＝±3，解得x ＝2或x ＝﹣1．故选：D ．9．（2021春•潢川县期末）平方根等于它自己的数是（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．4【分析】根据平方根的定义解答．【解析】平方根等于它自己的数是0．故选：A ．10．（2021春•潼南区期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值是64，则输出的y 的值是（）A ．√2B ．√3C ．2D ．3【分析】根据所给出的程序列出代数式，由实数混合运算的法则进行计算即可．【解析】由所给的程序可知，当输入64时，√64=8，∵8是有理数，∴取其立方根可得到，√83=2，∵8是有理数，∴取其算术平方根可得到√2，∵√2是无理数，∴y =√2．故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•闵行区期末）计算：√62+82= 10 ．【分析】利用算术平方根的定义计算即可．【解析】√62+82=√36+64=√100=10．故答案为：10．12．（2020秋•锦州期末）116的平方根是 ±14． 【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【解析】116的平方根是±14，故答案为：±14．13．（2021春•红桥区期中）√8116的算术平方根是 32 ．【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解析】∵√8116=94，∴√8116的算术平方根是：32． 故答案为：32．14．（2020秋•拱墅区校级期中）若3x m +5y 2与−34x 3y n 的和是单项式，则m n 的平方根是 ±2 ．【分析】先利用合并同类项法则得出m ，n 的值，再根据平方根的定义得出答案．【解析】∵3x m +5y 2与−34x 3y n 的和是单项式，∴m +5＝3，n ＝2，解得：m ＝﹣2，则m n ＝（﹣2）2＝4，∴m n 的平方根是±2．故答案为：±2．15．（2020春•怀宁县期末）如果a的平方根是±4，那么√a=4．【分析】根据平方根的定义解答即可．【解析】∵a的平方根是±4，（±4）2＝16，∴a＝16，∴√a=4．故答案为：4．16．（2021春•岷县月考）已知一个正数x的两个平方根是a+1和a﹣3，则a＝1，x＝4．【分析】根据平方根的性质即可求出a的值，从而可求出x的值．【解析】由题意可知：（a+1）+（a﹣3）＝0，∴a＝1，∴a+1＝2，∴x＝（a+1）2＝4，故答案为：1，4．17．（2020秋•新昌县期中）若−√3是m的一个平方根，则m+22的算术平方根是5．【分析】根据平方根的定义，即可得到m的值，再根据算术平方根的定义即可得出结论．【解析】∵−√3是m的一个平方根，∴m＝3，∴m+22＝3+22＝25，∴m+22的算术平方根是√25=5，故答案为：5．18．（2020春•邹平市期末）已知√1.7201=1.312，√17.201=4.147，那么172010的平方根是±414.7．【分析】根据被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．【解析】∵√17.201=4.147，∴√172010=414.7，∴0172010的平方根是±414.7．故答案为：±414.7．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．求下列各数的算术平方根：（1）144；（2）0.49；（3）614； （4）（−32）2．【分析】根据开方运算，可的算术平方根．【解析】（1）√144=√122=12；（2）√0.49=√0．72=0.7；（3）√614=√254=√(52)2=52；（4）√(−32)2=|−32|=32．20．求下列各数的平方根（1）49；（2）425；（3）1106；（4）0.0016．【分析】根据平方根的定义解答即可．【解析】（1）49的平方根是±7（2）425的平方根是±25 （3）1106的平方根是±11000 （4）0.0016的平方根是±0.0421．（2021春•巴楚县月考）求下列各式中x 的值：（1）x 2﹣5=49；（2）3x 2﹣15＝0；（3）2（x +1）2＝128．【分析】（1）移项后合并同类项，再开方即可；（2）先移项，方程两边除以3，再开方即可；（3）方程两边除以2，再开方即可．【解析】（1）x2﹣5=4 9，x2=49 9，x=±√49 9，x1=73，x2=−73；（2）3x2﹣15＝0，3x2＝15，x2＝5，x=±√5；（3）2（x+1）2＝128，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x1＝﹣9；x2＝7．22．（2021春•长春期末）已知正数m的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，求a和m的值．【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值，进而得出m的值．【解析】∵正数m的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，解得：a＝4，∴m＝（a+3）2＝49．故a的值为4，m的值为49．23．（2020春•霞山区校级期中）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+3和2a﹣15．（1）求a的值．（2）求这个数m．【分析】（1）根据平方根的定义列方程解出即可；（2）将a的值代入a+3和2a﹣15中，平方后可得m的值．【解析】（1）∵数m的两个不相等的平方根为a+3和2a﹣15，∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，∴3a＝12，解得a＝4；（2）∴a+3＝4+3＝7，2a﹣15＝2×4﹣15＝﹣7，∴m＝（±7）2＝49，∴m的值是49．24．（2020秋•栾城区期中）一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为256时，输出的y值是√2；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y是√5，请写出两个满足要求的x值：5和25（答案不唯一）．【分析】（1）直接利用运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案；（2）直接利用运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案；（3）运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案．【解析】（1）∵256的算术平方根是16，16是有理数，16不能输出，16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，∴2的算术平方根是√2，是无理数，输出，故答案为：√2．（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，∴当x＝0和1时，始终输不出y的值；（3）25的算术平方根是5，5的算术平方根是√5，故答案为：5和25（答案不唯一）．。
人教版七年级数学下册练习第4讲 平方根和立方根【带答案】
第4讲 算术平方根、平方根、立方根Ⅰ、算术平方根如果一个正数x 的平方等于a ，那个这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作_________；0的算术平方根是________Ⅱ、平方根如果一个数的平方等于a ，那个这个数叫做a 的平方根或者二次方根，记作_________；求一个数的________的运算，叫做开平方。
公式补充：①a )a (2= ②|a |a 2=一．练习：（预习自主完成）1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．321681） A. 49- B. 23 C. 49 D. 23- 3.下列说法不正确的是（ ）A 、9的算术平方根是3B 、0的算术平方根是0C 、负数没有算术平方根D 、 因为2x a =，所以x 叫做a 的算术平方根4. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.55. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-46. 下列各式中正确的是（ ）A ．525±=B ．()662-=-C ．()222-=D ．()332=-7. 下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a 的算术平方根是a ；④（π-4）的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。
其中，不正确的有（ ）22A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8. 已知5x 2=，则x 为（ ）A. 5B. -5C. ±5D. 以上都不对9．一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．a+1 B ．a2+1 C ．a+1 D ．1a 2+二、填空题：1. 一个数的算术平方根是25，这个数是______; 算术平方根等于它本身的数有______;81的算术平方根是__________。
2. 144=_____4925=________ 0025.0=_______()=2196________()=-28________3. 当______m 时，m -3有意义； 4．已知0)3b (1a 22=+++，则=32ab ________。
培优学堂七年级数学实数知识点汇总及相关练习
培优学堂七年级数学实数知识点汇总及相关练习必背知识：12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=361；202=400；212=441；222=484；232=529；242=576；252=625；13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000；21.414；31.732；52.236；72.646知识点一：算术平方根1.填空：(1)因为=64，所以64的算术平方根是(2)因为=0.25，所以0.25的算术平方根是，即2、填空并记住下列各式：，，，.22＝；3）A、16的平方根B、4的平方根C、16的算术平方根D、4的算术平方根4.16的算术平方根是；的算术平方根是；5.算术平方根等于自身的是6、一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是（）A.a+27、若某5能开偶次方，则某的取值范围是（）A．某0B.某5C.某5D.某5B.a－2C.a+2D.a+228、某2=3,则某=4，则ab的值为_____________.9、若a,b为实数，且ba710、设某、y为实数，且y45某某5，则某y的值是（）A、1B、9C、4D、511、若2a5与b2互为相反数，求ab的值.12、已知：y13、已知2a214、已知a，b两数在数轴上表示如下：某22某8，求某y的平方根.1a｜3a-b-7|+2ab3=0求(b+a)的平方根。
5b22ab2．15、实数a，b，c在数轴上的位置如图，且ab，化简aaba216、若a<0，则等于（）17、若a1有意义，则a能取的最小整数值为2a182的最小值是___________，此时a的值是___________.19、当m______时，m有意义；当m______时，3有意义；20___和_____之间，与整数______更接近。
七年级上册人教版数学培优讲义(带答案平时讲课时用过的)
第1讲 有理数（1）1.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度.已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（ ） A .乙地比丙地高70米 B .乙地比甲地低90米 C .丙地最低 D .甲地高出海平面100米2.下列各组数中，大小关系正确的是（ ）A .752-<-<-B .752->->C .725-<-<-D .275->->-3.一个数在数轴上所对应的点向左移动6个单位后，得到它的相反数的点.则这个数是（ ） A .3 B .－3 C .6 D .－64.在数轴上点Ａ所表示的数是－3，点Ｂ与点Ａ的距离是5，那么Ｂ点所表示的有理数是（ ） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．２ Ｄ．２或－８ ５．一个数是７，另一个数比它的相反数大３，则这两个数的和是（ ） Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．－10 Ｄ．11 ６．如果2(3)x +与3(1)x -互为相反数，那么x 的值是（ ） Ａ．－８ Ｂ．８ Ｃ．－９ Ｄ．９ 7.若,0a b c a b c <<++=，则a b +的范围是（ ）A .0a b +>B .0a b +<C .0a b +≥D .0a b +≤8.如果a 、b 均为有理数，且0b <，则有（ ）A .a a b a b <+<-B .a a b a b <-<+C .a b a a b +<<-D . a b a b a -<+< 9.下列各数中：－6；5；＋2.5；0；－1；13-；100；10% 正数是：_________________________________； 负数是_________________________________.10.数－3；＋8；12-；＋0.1；0；－10；5；13中，正数有______________________个.11.将下列各数5；23-；2010；0.02-；6.5；0；2-填入相应的括号里.正数集合{} 负数集合{}12.最大的负整数是___________；小于3的非负整数是______________________.13.若12.332x -<≤，则x 的整数值有___________个.14.从数轴上表示1-的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点所表示的数是___________.15.如果a 、b 互为相反数，那么a b +=___________，22a b +=___________.16.如果a 的相反数是最大的负整数，b 的相反数是最小的正整数,则a b +=___________.17.一个数的相反数大于它本身，那么这个数是___________,一个数的相反数等于它本身，这个数是___________,一个数的相反数小于它本身，这个数是___________.18.若果a 和b 是符号相反的两个数，在数轴上a 所对应的数和b 所对应的点相距6个单位长度，如果2a =-，则b 的值为___________.19.如果a 的相反数是2-，且234x a +=，求x 的值；20.数轴上Ａ点表示的数为＋４，Ｂ、C 两点表示的数互为相反数，且C 到A 的距离为2，点B 和点C 各表示什么数；21.已知A 、B 为数轴上的两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为多少？22.已知A 为数轴上的一点，将A 先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点Ｂ，若A 、B 两点对应的数恰好互为相反数，求Ａ点对应的数.23.小康水平的一个指标是年人均收入1000美元.2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示.此10户的年人均收入如下（单位：美元）：(1) 请你计算一下这10户有百分之几达到了小康指标？（2）10户年平均收入为多少美元？24.（1）照这样计算小亮家6月用电多少度？（2）供电部门规定：每月每户用电不超过200度，每度按0.5元收费，超过200度但不超过300度的，超过的部分每度按0.55元收费，超过300度的，超过部分每度按0.8元收费，则小亮家6月应缴电费多少？（3）7月份由于天气变热，用电量增大，小亮妈缴费时发现这个月用电每度平均0.63元，求小亮家7月份用电多少度？25.（1）通过计算，说明本周内那天粮库剩下的粮食最多？（2）若运进的粮食为购进的，购买价为2000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为2300元/吨，则这一周的利润为多少？（3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库库存粮食为50吨？26.一串数：1121123211234321,,,,,,,,,,,,,,,1222333334444444------……根据以上规律：(1)请问：20132014是这一串数中的第几个数？(2)请问：这组数中的第2014个数是多少？27.考察下列一串有规律的数.（横排为行）根据上面的规律，解答下列问题： （1）第10行最后一个数是多少？（2）2015是第几行第几个数？（3）用n S 表示第n 行的所有数的和.观察1S 、2S 、3S ……，根据规律猜想n S 为多少？（用含n 的代数式表示，n 为正整数）；(4)第n 行第m 个数是多少？用含m 、n 的代数式表示. (29272523211917151311)97531第2讲 有理数（2）1.有理数(2)--，(2)-+，(2)+-，2--，2+-，a -中，一定是负数的个数是（ ） A .2个 B .3个 C .4个 D .5个2.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列关系中： （1）a b c <<；（2）0c >；（3）a c =；（4）0a <正确的是（ ）A .(1)(2)(3)B .(2)(3)(4)C .(1)D .(1)(4)3.下列说法：①若a 、b 互为相反数，则0a b +=；②若a b =-，则a 、b 互为相反数；③若a 、b 互为相反数，则1ab=-；④若a b =，则a 、b 互为相反数.其中正确的结论是（ ） A .②③④ B .①②③ C .①②④ D .①②4.给出下列结论：①一个数的3倍大于这个数.②绝对值最小的数是0. ③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ④如果a a =，那么0a >.其中正确的个数为（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个5.a 、b 是有理数，若3,4a b ==，则a b +=（ ）A . 1或7-B . 1-或7-C .1或7D . 1,7,17--或 6.若a 为有理数，则a --是（ ）A .正数B .负数C .非正数D .非负数 7.数轴上的点A 、B 分别表示12-和13，则线段AB 的中点所表示的数是（ ）A .512 B .112 C . 112- D . 16- 8.观察下面按次序排列的一组数，并按要求填空. 2,4,6,8,10,--______,_______,……，则第50个数是______________.9.若257x -=，则x 的值为____________;若4x -=-，则x ＝_________.10.已知A 、B 为数轴上两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为_______. 11.已知0,0,a b a b <>>，试用""<将a a b 、b 、-、-连接起来_____________________.12.一个数在数轴上对应的点先向右移动3个单位，再向左移动7个单位后，得到它的相反数对应的点，则这个数是___________.13.已知，在数轴上，Ａ点到原点的距离为３，P 点到A 点的距离为2，画出数轴并在数轴上直接标出Ｐ点所对应的数．14.已知，x 和212x -互为相反数.求x 的值.15.已知，x 与14互为倒数，y 的相反数是3-，50a -=，求x y a ++的值.16.若x 与2y -互为相反数，y 与z 互为倒数.m 是绝对值最小的数，求式子2243x y yz m -+-+的值.17.若a 是有理数，在a -与a 之间有2015个整数，求a 取值范围.18.若0,0,m n <>且m n >，试比较,,,m n m n n m ----的大小，并用“＞”号连接.dc ba19.某洗衣厂上月生产了30000 袋洗衣粉，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽取了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“＋”和“”,记录如下：(2) 通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？(3)厂家规定超过或不足的部分大于5克时，不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？20.出租车司机小李某天下午从客运站出发后，所有营运都是在东西走向的人民大道上进行的.如果规定向东为正，向西为负，他这一天下午的行车情况如下（单位：千米）15,3,11,11,10,4,12,15,18,16+-+-++---+.根据记录，解答下列问题：（1）小李将最后一名乘客送到目的地时，他的位置在那？（2）若在出车前油箱内有10升油，汽车每千米的耗油量为0.08升，试问：小李将最后一名乘客送到目的地时，油箱内的余油量为多少？21.给出下列数阵（3） 如图，框出四个数请你用一个等式表示a 、b 、c 、d 四者的关系；（3）是否存在上述四数之和为①414；②10？若存在，请求出四个数；若不存在请说明理由.，B点对应的数为100.22.已知，如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为30（1）请写出AB中点M对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁Ｐ从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应点数是多少吗?请求出来.（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，另一只电子蚂蚁Ｑ恰好同时从A点出发，以3单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？请求出来.23. 已知，数轴上点Ａ在原点左边，到原点的距离为８，Ｂ在原点的右边，从Ａ走到Ｂ，要经过32个单位长度.（1）求Ａ、Ｂ两点所对应的数.（2）若点Ｃ也是数轴上的点，Ｃ到Ｂ的距离是Ｃ到原点的距离的３倍，求Ｃ对应的数．（３）已知，Ｍ从Ａ向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时Ｎ从Ｂ向右出发，速度为每秒2个单位长度，设ＮＯ的中点为Ｐ，则下列结论：①ＰＯ＋ＡＭ的值不变；②ＰＯ ＡＭ的值变化，其中只有一个是正确的，请选出并求出其值或说明理由.第3讲 有理数(3)知识理解1、下列各组数中，互为相反数的一组是 ( )A 、＋ (－2)和－( ＋ 2)B 、－|－2|和－| ＋ 2|C 、－(－2)和－|－2|D 、－( ＋ 2)和－| ＋ 2|2、数轴上的点A 、B 分别表示－2和3，则线段AB 的中点所表示的数是 ( ) A 、12 B 、12- C 、52- D 、523、已知a 、b 互为相反数，下列各式中成立的是 ( )A 、ab ＜0B 、a －|b |＝0C 、|a －b |＝|a | ＋ |b |D 、a ÷b ＝－1 4、a ， b 是有理数，若|a |＝2， |b |＝3，则|a ＋ b |＝ ( )A 、5B 、1C 、1或5D 、1，5，－1或－5 5、若|－x |＝4， |y |＝2，且x ＞y ，则xy 的值是 ( )A 、－8B 、8C 、－8或8D 、以上答案都不对 6、若a ＞0， b ＜0 ，化简3|||2|a b a b +-+得 ( )A 、bB 、5bC 、2a ＋ bD 、2a ＋ 5b7、一艘潜水艇的高度为－40米，如果它再下滑30米，则它这时所在的高度为__________.8、若|－x |＝2，则x ＝___________；若|x －3|＝0，则x ＝__________；若|x －3|＝1，则x ＝__________. 9、实数a ， b 在数轴上位置如图所示，则|a |， |b | 的大小关系是___________.10、比较下列各组有理数的大小：(1)－0.6________－60 (2) －3.8________－3.9 (3) 0________|－2| (4)34______45-- 11、绝对值小于122的所有整数为_____________，绝对值小于3的整数是__________. 12、已知|a |＝1，|b |＝2，且a ， b 异号，则3a ＋ b ＝__________.13、若|a |＝4，|b |＝3，且|a |＝－a ，则2a ＋ b ＝____________________. 输入 (1)2345…… 输出……13 26 311 418 527……当输入的数为10时，输出的数为___________.方法运用15、已知|a |＝|b |＝9，|a |＝2，求b 的值.16、已知a ＝3，|b |＝2，|c |＝1，且a ＜b ＜c ，求a ， b ， c 的值.17、已知|x |＝2003，|y |＝2002，且x ＞0 ，y ＜0，求x ＋y 的值.18、已知|x ＋y ＋3|＝0，求|x ＋y | 的值.19、|2||3||4|0a b c -+-+-=，求a ＋2b ＋3c 的值.20、如果a ， b 互为相反数，c ， d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式2a bx cd x+++的值.21、已知|a |＝3， |b |＝5， a 与b 异号，求|a －b |的值.22、已知|a ＋1|与|b －2|互为相反数，求式子()||a b a a ---的值.23、若2、2、5和a 的平均数是5，而3、4、5、a 和b 的平均数也是5， (1) 求a ， b ；(2) 若|c |＝－c ， 求||||c a b c ---的值.实际应用24、某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 误差，现抽查6瓶食请用绝对值知识说明：（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？综合思考25、在标有6，12，18，24，30……的卡片中，小明拿了相邻的3张.（1）若相邻的3张数字之和为342，求这3张卡片上各自的数字？（2）你能拿到数码相邻的3张卡片，使其上数字之和是86吗？试说明理由？26、有理数a，b，c，d在数轴上如图所示：①在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中4个，且在数轴上位置如图所示，如果3a＝4b－3，求c＋2d的值；②在数轴上，N点与原点的距离是N与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？27、有若干个数，123,,,n a a a a ，若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”(1) =1a =2a (2) 求91011a a a ⋅⋅的值；(3) 是否存在M 的值，使111()n n n M a a a a -+÷⋅⋅=？若存在，请求出M 的值.第4讲 有理数(4)知识理解1、若2-=a ，24,0b ab =>，则||a b +＝( ) A 、0 B 、4 C 、－4 D 、0或4 2、若20,0a b a -><，下列各式中成立的是( )A 、2a b ＞0B 、0a b +>C 、20a ab +> D 、20ba > 3、若a ＜0，则下列各式不成立的是( )A 、22()a a =-B 、22()a a =-- C 、 22||a a =- D 、23||a a =-4、已知1234a b c d -=+=-=+，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ( ) A 、d b a c >>> B 、a c b d >>> C 、c a d b >>> D 、c b a d >>>5、已知0,0a b ab +=≠，则化简(1)(1)b aa b a b+++得 ( ) A 、2a B 、 2b C 、2 D 、－2 6、若a 、b 、c 为正整数，且23108ab c =，则a ＋ b ＋ c 的最大值为 ( ) A 、6 B 、32 C 、40 D 、1107、有理数a 、b 在数轴上的对应位置如图所示，则 ( )A 、0a b +<B 、0a b +>C 、0a b -=D 、0a b -> 8、计算1110(2)(2)-+-的值是 ( )A 、－2B 、(－2)21C 、0D 、－210 9、下列各式中正确的是 ( )A 、22()a a =- B 、33()a a =- C 、22||a a -=- D 、33||a a = 10、若(x ＋ 3)2与|y －5|互为相反数，则x ＋ y 的值为__________. 11、瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据9162536,,,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出接下来的两个数据是___________.12、在数－5、1，－3、5、－2中任取三个数相乘，其中最大的积是__________，最小的积是__________. 13、A 、B 两点在数轴上对应的数分别是－4，2，点P 到点B 的距离是点P 到点A 距离的2倍，则P 点在数轴上表示的数是__________.14、已知数m 小于它的相反数且数轴上表示数m 的点与原点的相距3个单位的长度，将该点m 向右移动5个单位长度后，得到的数是___________. 15、观察下列数列，找出规律后，写出数列下一项：0，3，－3，9，－15，33，－63，_____________________. 16、如果x －y ＝5，则|2－x ＋ y |＝__________；如果4 ＋ x ＋ y ＝0，那么－x ＋ 3－y ＝___________. 17、若a ＋ b ＜0，则||||||a b ab a b ab++＝___________. 方法运用18、如果规定符号“*”的意义是*aba b a b=+求2*(－3)*4的值.19、已知2|1|4,(2)4x y +=+=，求x ＋ y 的值.20、若a ， b ， c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||a c c b b a -+-+-的值.21、如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2，已知点A 、B 是数轴上的点，完成下列各题：（1）如果点A 表示数－3，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（2）如果点A 表示数是3，将点A 向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（3）一般地，如果点A 表示数为a ，将点A 向右移动b 个单位长度，再向左移动c 个单位长度，那么请你猜想终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是．__________22、同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2的差的绝对值，实际上也可理解5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5－（－2）|＝____________．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋ 5| ＋ |x －2|＝7成立的整数是______________．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x －3| ＋ |x －6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．实际应用23、七年级一班某次数学测验的平均成绩为80分，数学老师以平均成绩为基准，记作0，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为 ＋ 10，－15，0， ＋ 20，－2，问这五位同学的实际成绩分别是多少分？24、已知水结成冰的温度是00C ，酒精冻结的温度是－1170C ，现有一杯酒精的温度为120C ，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低1.60C ，要使这杯酒精冻结，需要几分钟？(精确到0.1分钟)25、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：（1）这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少克？综合思考26、已知：a ， b ，c 在数轴上的位置如图所示.0b a1(1)填空：a 、b 之间的距离为___________；b 、 c 之间的距离为___________；a 、c 之间的距离是__________.(2)化简|1||||1|a c b b +--+-(3)若0a b c ++=且b 与－1的距离和a 与－1的距离相等，求22(4)c b a c a b -+----的值.27、已知数轴上两点A、B对应的数为－1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，(1) 用x的式子表示线段P A、PB的长度；(2) 数轴上是否存在点P，使P A＋PB＝5？请求出x的值；若不存在，请说明理由.28、观察下面三行数：3，－9，27，－81，243，－729，…；①6，－6，30，－78，246，－726，…；②1，－3，，9，－27，81，－243，…；③(4)第①行按什么规律排列？(5)第②③行数与第①行数分别有什么关系？(6)写出每行第9个数，共计算这三个数的和.(7)第②行中是否存在连续的三个数，使得这三个数的和为－5094？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由；(5)是否存在一列数，使得其中的三个数的和为5106？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由.第5讲 整式（1）知识理解1.下列各式：－n ，a ＋b ，3ab ，x －1，3ab ，1x，其中单项式的个数是（ ）. A.2 B.3 C.4 D.52.下列各式：2＋x 2、2x 、xy 2、3x 2＋2x －1、abc 、1－2y 、3x y-中，其中多项式的个数是（ ）.A.2B.3C.4D.53. 若743x a b +与yba 24-是同类项，则y x 的值为（ ）A.9B.－9C.4 D －4. 4.已知－x ＋3y ＝5，则25(3)8(3)5x y x y ----的值是（ ） A.160 B.80 C.－170D.－905.三个有理数a ，b ，c 两两不等，那么a b b c--，b c c a --，c aa b --中负数的个数是 （ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.不能确定6. 已经a ＜－b ，且0ab>，化简|a |－|b |＋|a ＋b |＋|ab |＝（ ）.A.2a ＋2b ＋abB.－abC.－2a －2b ＋abD.－2a ＋ab7.已知535y ax bx cx =++-，当x ＝－3时，y ＝7，那么当x ＝3时，y ＝（ ）. A.－17 B.－7 C.－3 D.78.减去－3x 等于 2535x x --的代数式是（ ）.A. 255x -B. 2565x x --C. 2565x x --+D. 255x -+9.若关于x 、y 的多项式y bxy x x xy ax +--++222不含二次项，则5a －8b 的值为（ ）.A.－11B.21C.－21D.11 10.若3k x y 与2x y -是同类项，那么k ＝___________. 11.若32x a b 与yb a 43-是同类项，那么x ＋y ＝____________.12. 当x ＝____________时，||23x a 和42a -是同类项.13.如果2(5)b a mn +-是关于m 、n 的一个五次单项式，那么a _______，b ＝_________.14.如果a 、b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求代数式2a bx cd x+-+＝ ____________. 15. 三角形的第一边长为(a ＋b )，第二边比第一边长(a －5)，第三边长为2b ，那么这个三角形的周长是____________.16. 已知多项式：876253a a b a b a b -+-+…，按此规律写下去，这个多项式的第八项是____________.17.有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，其中某三个相邻数的和是－1701，那么这三个数中最小的数是 ____________.方法运用18.已知123a b x y +-与225x y 是同类项，求2221232a b a b a b +-的值19.若单项式84a b x y +与单项式239b a b x y -的和仍是一个单项式，求这两个单项式的和.20.化简求值：)]4(3[25222b a ab abc b a abc --+-其中a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的负整数，|c |＝18，且abc ＞0.21.已知s ＋t ＝21，3m －2n ＝9，求多项式(2s ＋9m )＋[－(6n －2t )]的值.22.化简求值：22225[4(31)3]x x x x -----，其中32x =-23.已知x －y ＝0，求3223x x y xy y --+的值.24.已知A ＝2x 2－3xy ＋2y 2，B ＝2x 2＋xy －3y 2，求3A －B 的值.25.a 、b 是有理数，|a |＝b ，|ab |＋ab ＝0，化简：|a |＋|－2b |－|3b －2a |.26.已知A ＝3m 2－4m ＋5，B ＝3m －2＋5m 2，且A －2B －C ＝0，求多项式C .实际应用分每吨收取较高的定额费用，已知今年7月张家用水量与李家用水量的比是2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么超出5吨部分的收费标准是每吨多少元？28. 张校长暑假将带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内的全部按全票价的6折优惠.”若全票价为240元.设学生人数为x ，甲旅行社的收费记为y 甲，乙旅行社的收费记为y 乙. (1) 分别用含x 的代数式表示两个旅行社的收费；(2) 若学生有200人，那么买哪个旅行社的票合算，为什么？综合思考29.若x 3＋x 2＋x ＝－1，求多项式x 2012＋x 2011＋…＋x 2＋x ＋1的值.30.观察下列数阵：(1) 观察以上数阵的变化规律，猜想第11行第4个数是 . (2) 第n 行第m 个数是 .(3) 请猜想第2015行正中间的数是 . (4) 求第100行所有数的和.31.a 、b 为有理数，且a ＋b 、a －b 在数轴上如图所示： (1) 判断a 、b 的符号及a 、b 的大小关系；(2) 若x ＝|2a ＋b |－3|b |－|3－2a |＋2|b －1|，求代数式x 2－6x ＋9的值； (3) 若c 为有理数，且345a b c==，ab ＋bc ＋ca ＝188，求代数式(a －b ＋c )2－abc 的值. a-b a+b O第6讲 整式（2）知识理解1.前年我国城镇固定资产投资为7509600元，用科学记数法表示为（ ）.（保留三个有效数字）A.7.51×107元B. 7.50×107元C. 7.51×106元D. 7.50×106元2.下列各式：－2；3x -；3x ；m ＋n ；－a 2b ；35xy-中，单项式的个数有（ ）. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.下列式子0、2mn 、 13x +、48a 2b 、1－x 、x 2＋2x ＋1、15xy -、3x 其中单项式共有（ ）.A.3个B.4个C.5个D.6个 4.下列合并同类项运算，结果正确的是 （ ）.5.下列各组数是同类项的是（ ）.A.x 2y 和xy 2B.3ab 和－abcC.2x 和12D.0和－5 6.下列说法：①2与－2是同类项；②2ab 与－3abc 是同类项；③3x 5与5x 3是同类项；正确的个数有 （ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.下列说法：①若1ab=-，则a ，b 互为相反数；②若a ＋b ＜0，ab ＞0，则|a －2b |＝2b －a ；③若m ＞n ，则m 2＞n 2；④一个数的倒数是它本身，则这个数是0和±1；⑤近似数1.80的有效数字是1、8、0；⑥－23ab 2的次数为6.其中正确说法的个数是 （ ）.A.2个B.3个C.4个D.5个8.下列结论：①若，则a 、b 互为相反数；②若|a |＞|b |，则a ≠b ；③多项式－22x 3y 3＋3x 2y 2－2xy －x ＋1的次数是6次；④若|x －6|＝|y －6|，且x ＞y ，则x ＋y ＝12；⑤1.60×106的有效数字有7个；⑥若一个数的倒数等于它的平方，则这个数为±1；其中正确的个数有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.写一个系数为负数，含三个字母的四次单项式为 .10.单项式－3x 3y 的次数是 ；单项式25ab-的系数是 . 11.单项式－6a 5b 2c 的系数是 ；它的次数是 .12.多项式－x 3y 2＋3x 2y 4－2xy 2的次数是 .13.三峡工程是具有防洪、发电、航运、养殖、供水等巨大综合利用效益的特大水利水电工程，其防洪库容量约为22150000000m 3，这个数用科学记数法可表示为 . 14.已知2a 3b 4与－3a 2m b n 是同类型，则m －n ＝ . 15.如果16a 3m ＋n b n 与6378a b -是同类型，则m －n ＝ . 16.去括号－2(3x ＋y －2z )＝ .17.如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有 个正方形.方法运用18.先化简再求值：(x 2y －2y 2－xy －1)－(2xy ＋4x 2y －y 2)＋3，其中x ＝－1，y ＝－2.19.先化简再求值：(4x －2y 2)－[5x －(x －y 2)]－x ，其中x ＝－2，y ＝31.20.(1)根据条件列式：a 的2倍与b 的和减去b 的平方与a 的 半的差； (2) 在(1)的条件下，若a ＝－4，b ＝3，求上式的值.21.已知A ＝x 3＋2y 3－xy －3，B ＝－y 3＋x 3＋2xy ＋1，且2A －M ＝B ，求M .(8) 已知，A ＝2x 2－3xy ；B ＝2x 2＋xy －5，若M ＋B ＝2A ，求M .23.已知M ＝x －13y 2，N ＝－32x ＋12y 2－1. (1) 化简3M －2N . (2) 若|x －2|＝－(y －1)2，求－2N ＋3M 的值.实际应用24.某个体水果店经营某种水果，每千克进价2.80元，售价4.50元，10月1日至10月5日经营情况依次如下表：(1) 若9月30日晚库存为零，则10月1日晚库存为 kg ；(2) 就10月3日这一天的经营情况看，当天是赚了还是赔了多少钱？ (3) 10月1日到10月5日该个体户共赚多少钱？25.国庆节即将来临，张华高兴地看着2014年10月的日历，发现其中有很有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为a 、b 、c 、d 、k ，如图：试回答下列问题： (1) 此日历中能画出 个十字框？ (2) 若a ＋b ＋c ＋d ＝76，求k 的值.(3) 是否存在k26.数轴上，A 点表示的数为10，B 点表示的数为－6，A 点运动的速度为4单位/秒，B 点运动速度为2单位/秒.(1) B 点先向右运动2秒，A 点再开始向左运动，当它们在C 点相遇时，求C 点表示的数；(2) A 、B 两点都向左运动，B 点先运动2秒时，A 点于开始运动，当A 点到原点的距离和B 点到原点的距离相等时，求A 点运动的时间； k dcba10(3) A、B两点都向左运动，B先运动2秒，A再运动t秒时，求A、B两点之间的距离.第7讲 一元一次方程知识理解1、下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）A 、如果b a =，那么33+=+b aB 、如果b a =，那么33-=-b aC 、如果b a =，那么a a 32= D 、如果a a 32=，那么3=a2、下列方程中：①312+=-x x ；②21=-x ；③123222=+；④3-x ；⑤6=+y x .其中是一元一次方程的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、已知方程x m x 743-=+的解为1=x ，则m 的值为（ ） A 、- 2 B 、- 5 C 、6 D 、- 64、若y x =，下列各式中：①33-=-y x ；②55+=+y x ；③88-=-y x ；④y x x +=2；其中正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、下列等式变形：①如果y x =，那么ay ax = B ；②如果y x =，那么a y a x =；③如果ay ax =，那么y x = ；④如果a y a x =，那么y x =.其中正确的是（ ）A 、③④B 、①②C 、①④D 、②③6、下列说法：①在等式42=x 两边都加上2，可得等式64=x ；②在等式42=x 两边都减去2，可得等式2=x ；③在等式42=x 两边都乘以21，等式变为2=x ；④等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.其中正确的说法有（ ）7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）个正方体的重量.A 、2B 、3C 、4D 、58、已知a 是任意有理数，在下面各题：（1）方程0=ax 的解是1=x ；（2）方程a ax =的解是1=x ；（3）方程1=ax 的解是ax 1=；（4）方程a x a =的解是1±=x .其中结论正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、如果652=-x ，那么_________2=x ，其中依据是__________________________.10、若方程()0122=+++c bx x a 是关于x 的一元一次方程，则字母系数a 、b 、c 满足的条件是_____________________________.方法运用11、解方程：（1）23141x x x --=--； （2）214311--=++x x x ；（3）()x x x =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1151321 ； （4）121103121412+--=-+x x x ；12、已知1=x 是方程()x x a 2312=--的解，那么关于x 的方程()()3225-=--x a x a 的解是多少？13、某书有一道方程：x x =+*+132，*处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为5.2-=x ，那么*处被墨盖住的数应该是多少？14、若a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，此方程的解总是1=x ，求a 、b 的值.15、小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，数学老师在黑板上写了一个关于x 的一元一次方程：69312k x x a kx +--=--，方程中的常数a 老师已给出，但常数k 老师却未写出.数学老师让小组中的60名学生每人自己想好一个值()3≠k ，然后代入方程中，在解出方程.小明想了一个k 值后，很快解出了方程的解，他惊奇地发现，全班同学的答案竟然是一模一样，你能告诉小明这是什么原因吗？你知道题中老师给出的a 是多少吗？方程的解是多少吗？16、已知方程423523-=-x x （1）求方程的解；（2）若上述方程与关于x 的方程()a a x a 2383-+=+是同解方程，求a 的值；（3）在（2）的条件下，a 、b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求()2005c b a ++17、已知2=x 是关于x 的方程c b ax =+的解.（1）求()200312--+c b a （2）求ba c 2410+的值； （3）解关于x 的方程()()0242≠++=+cb ac x b a .18、已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三点，A 点对应的数位-200，B 点对应的数位为- 20 ，C 点对应的数为40.甲从C 出发，以6单位/秒的速度向左运动.（1）当甲在B 点、C 点之间运动，设运动时间为x 秒，请用x 的代数式表示；甲到A 点的距离：____________________；甲到B 点的距离：____________________；甲到C 点的距离：____________________；（2）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两人在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数；（3）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向左运动，设两人在数轴上的E 点相遇，求E 点对应的数.19、数轴上A 、B （A 左B 右）所对应的数为a 、b ，()01052=-++b a ，C 为数轴上一动点且对应的数位c ，O 为原点.（1）若2=BC ，求c 的值.（2）是否存在一点C使得CB=2CA，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.（3）是否存在一点C使得CA+CB=21，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.第8讲 一元一次方程（2）一、基础知识1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值.2、讨论12=x 是不是方程14732+=x x 的解.3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值.4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子mm m 122+-的值.5、已知方程()0243=+--a xa 是关于x 的一元一次方程，求a 的值.6、如果关于x 的方程06365=+-k x是一元一次方程，求k 的值.7、关于x 的方程()()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值.8、方程432-=+x m x 与方程626-=-x 的解相同，求m 的值.9、已知：关于x 的方程1232-=---x a x a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值.10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值.11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k x k 2232=--+的解互为倒数，求k 的值.13、当4=x 时，式子a x ax A 642--=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？二、列方程解应用题（行程问题和工程问题）15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分，（1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？（2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？（3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，恰好完成这项工作的43，怎样安排参与整理货物的具体人数？19、北京市为了能够成功举办2008年奥运会，市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务，其中一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲、乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？三、方案选择20、一件工程，甲工程队独做10天完成，每天需费用160元；乙工程队独做15天完成，每天需费用100元.（1）若由甲、乙两个工程队合做3天后，剩余 工程有乙工程队独做完成，求工程所需的总费用是多少元？（2）由于场地限制，两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工做一部分工程再由乙工程队单独施工完成剩余工程，预计公付工程总费用1500元，你知道甲、乙两个工程队各做了工程的几分之几吗？（3）为了保证工程质量，工程指挥部决定安排一名质检员全程进行质量监督，每天需付给质检员工作、生活补助30元，请你安排甲、乙两个工程队进行施工，使工程所需的总费用最少？。
七年级数学上册 3.1 平方根知识点解读素材 (新版)浙教
知识点解读：平方根知识点一：平方根及其表示方法（基础）知识阐述：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）．即如果x ²=a ，那么x 就叫做a 的平方根．如：24(2)=±，所以4的平方根就是2±；211()24±=，所以14的平方根就是12±；200=，所以零的平方根是零．一个正数a 的正平方根，用符号“a 叫做被开方数，2叫做根指数；a 的负平方根，用符号“-2a 的算术平方根，而a 的平方根可以用正数的正平方根和零的平方根,统称算术平方根．例1 判断正误(1) －0.01是0.1的平方根. （ ）(2) －52的平方根为－5. （ ）(3) 0和负数没有平方根. （ ）(4) 因为161的平方根是±41,所以161=±41. （ ） (5) 正数的平方根有两个，它们是互为相反数. （ ）参考答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√例2 如果2,0x x >一定等于x 吗？如果x 是任意一个数，2x 等于什么数？ 分析：x>0时，x x =2，如果x 是任意一个数，x x =2（或0≥x 时，x x =2；0<x x =-．知识点二：平方根的性质及开平方（重点）知识阐述：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，开平方运算是已知指数和幂，求底数．注：1、只有正数和零才能进行开平方运算．2、由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根．例3 求下列各式的值：（l ）100 （2）-121（3）259 （4）-04.0 分析：求上述各式的值即是运用开平方的知识求解解答：（1）10 （2）-11 （3）35（4）-0.2 例4 已知x-1是64的算术平方根，求x 的算术平方根．考点：算术平方根．分析：根据算术平方根的定义即可求解．解答：解：∵x-1是64的算术平方根，64的算术平方根是8，所以x-1=8，∴x=9．∴x 的算术平方根3．点评：本题较简单，主要考查了学生计算算术平方根的运算能力．。
七年级数学上册-6.1平方根 解析版
6.1平方根【考点梳理】考点一：算术平方根的非负性解题考点二：算术平方根的取值范围考点三：算术平方根的整数部分和小数部分考点四：算术平方根有关的规律探索题考点五：平方根有关的问题考点六：平方根的综合问题知识点一、平方根算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数。
0的算术平方根是0。
平方根:如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a（x 可能为正数，也可能为负数），那么x 就叫做a 的平方根(二次方根).开平方：求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算。
知识点二：平方根的表示方法:如果x 2=a (a≥0),那么x =a ±，a ±读作“正负根号a”。
a +表示a 的正的平方根。
a -表示a 的负的平方根。
规定：正数a 的正的平方根a 叫做a 的算数平方根；0的算数平方根是0.技巧归纳：1、正数有两个平方根，它们互为相反数；2、0的平方根是0；3、负数没有平方根。
题型一：算术平方根的非负性解题1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）若230a b +++=，则()2023b a -的值是（）A ．1-B ．1C ．20235D ．2024【答案】A【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．根据算术平方根和绝对值的非负性可求出2a =-，3b =-，再代入()2023b a -中求值即可．【详解】解：∵230a b +++=，∴20a +=，30b +=，解得：2a =-，3b =-，∴()()202320231321----⎡⎤⎣⎦==-．故选A ．2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若a ，b 为实数，且满足220a b -+=，则b a -的值为（）A ．2B ．0C ．2-D ．以上都不对【答案】C【分析】本题主要考查了非负数的应用，先根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可．掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．【详解】解：∵220a b -+=，∴2200a b -==，，解得20a b ==，，∴022b a -=-=-．故选：C ．3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）()221280x z y ++-+-=，则x y z ++的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出x ，y ，z 的值，进而得出答案．【详解】解：∵()221280x z y ++-+-=，∴2=0,1=0280x z y +--=，，解得：21,4x z y =-==，，∴2143x y z ++=-++=．故选：D ．题型二：算术平方根的取值范围4．（22-23七年级下·安徽池州·期中）估算682-在（）A ．5与6之间B ．6与7之间C ．7与8之间D ．8与9之间【答案】B【分析】估算68的值，即可求解．【详解】解：∵646881<<∴86468819=<<=∴66827<-<；故选：B【点睛】本题考查无理数的估算．确定“646881<<”是解题关键．5．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）面积为20的正方形的边长为a ，则a 的值在（）A ．3和3.5之间B ．3.5和4之间C ．4和4.5之间D ．4.5和5之间【答案】C【分析】根据正方形的面积公式求得a 的值，然后进行估算即可求得答案．【详解】解：由题意可得20a =，162025<< ，4205∴<<，24.520.2520=> ，420 4.5∴<<，即a 的值在4和4.5之间，故选：C ．【点睛】本题考查无理数的估算，先估算出20在哪两个连续整数之间是解题的关键．6．（2023·重庆九龙坡·三模）若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【分析】通过算数平方根的算法，计算出正方形边长，再根据估算得出结果．【详解】解： 正方形的面积是20，∴正方形的边长为20，<<，162020.25故420 4.5<<，则20更接近4．故选A．【点睛】本题考查了求算数平方根、以及估算算数平方根，其中准确算出算数平方根是关键．题型三：算术平方根的整数部分和小数部分7．（2021·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的a-的整数部分为．边长为a，则2【答案】1【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论．=+=，【详解】解：拼剪后的正方形的面积51015∴15a=，∵91516<<，即3154<<∴11522<-<，∴2152a-=-的整数部分是1，故答案为：1．【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）11的整数部分是．小数部分是．【答案】3113-【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．【详解】解：∵91116<<，∴3114<<，∴11的整数部分为3，∴11的小数部分为113-；故答案为3，113-．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．9．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键．由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可．【详解】解：∵正方形墙的面积为216cm ，∴正方形墙的边长为24cm ，∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点，∴石雕的面积为()21162248cm 2-⨯⨯⨯=；∴石雕的边长为8cm ，∵489<<，∴283＜＜，∴石雕边长的整数部分为2．故答案为：B ．题型四：算术平方根有关的规律探索题10．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知：23.6 4.858=， 2.36 1.536=，则0.00236=（）A ．0.1536B ．15.36C ．0.04858D ．48.58【答案】C【分析】本题考查积的算术平方根的性质，理解“被开方数向一个方向移动2位，对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动1位”是解题的关键．【详解】解：0.0023623.60.0001 4.8580.010.04858=⨯=⨯=，故选C ．11．（22-23七年级下·福建厦门·期中）根据表中的信息判断，下列结论中错误的个数是（）x1515.115.215.315.415.515.615.72x 225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49①228.0115.1=；②235的算术平方根比15.3小；③2310401520=；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出215.8比215.7增大3.25A ．一个B ．两个C ．三个D ．四个【答案】C【分析】根据表格中的信息可知2x 和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．【详解】解：①228.0115.1=，故本选项正确，不符合题意；②235的算术平方根比15.3大，故本选项错误，符合题意；③23104001520=，故本选项错误，符合题意；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出215.8比215.7增大3.15，故本选项错误，符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．12．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）请同学们观察下表：n0.04440040000⋯n0.2220200⋯已知2 1.435.061≈，2 5.5390.61≈，则20610≈（）A ．14.35B ．143.5C ．55.39D ．553.9【答案】B【分析】由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此求解可得．【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，∵2 1.435.061≈，∴20610143.5≈．故选：B ．【点睛】本题考查计算器—数的开方和数字的变化规律，解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律．掌握数的开方和数字的变化规律是解题的关键．题型五：平方根有关的问题13．（22-23七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）下列说法：①0.40.2=；②74193=±，③0.01是0.1的平方根；④2(5)-的算术平方根是5；⑤23-的平方根是3±．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】本题考查平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．【详解】解：①.0.40.2≠，则①不正确；②71641993==，因此②不正确；③0.01是0.1的一个平方根，因此③不正确；④()255-=，则2(5)-的算术平方根是5，因此④正确；⑤239-=-，负数没有平方根，因此⑤不正确；综上所述，正确的结论有④，故选：A ．14．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列各式计算正确的是（）A ．93=±B ．93±=±C ．2(3)3-=-D ．93-=-【答案】B【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根．根据平方根、算术平方根的性质进行求解即可．【详解】解：A 、933=≠±，本选项不符合题意；B 、93±=±，本选项符合题意；C 、2(3)33-=≠-，本选项不符合题意；D 、9-没有意义，本选项不符合题意；故选：B ．15．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知一个正数的两个平方根为32a +和2a +，则a 的值为（）A ．0B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】C【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可解答．【详解】解：∵一个正数的两个平方根为32a +和2a +，∴0322a a +++=，解得：1a =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．题型六：平方根的综合问题16．（2024七年级下·全国·专题练习）一个正数x 的两个不同的平方根分别是23a -和5a -．(1)求a 和x 的值．(2)求12x a +的平方根．【答案】(1)249，a x =-=(2)5±【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键．（1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；（2）由（1）中249，a x =-=，代入12x a +，利用平方根定义求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵一个正数x 的两个不同的平方根分别是23a -和5a -，∴()()2350a a -+-=，解得2a =-，∴()22349x a =-=；（2）解：将492，x a ==-代入12x a +中，得124912225x a +=-⨯=，∵25的平方根为5±，∴12x a +的平方根为5±．17．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）已知222,A m m B m m =+=-+．(1)求23A B +；(2)若m 的算术平方根是它的本身，求23A B +的值．【答案】(1)27m m -+(2)0或6【分析】本题考查整式加减运算、代数式求值、算术平方根，熟练掌握整式加减运算法则是解答的关键．（1）根据整式的加减运算法则求解即可；（2）求得m 值，再代入（1）中求解即可．【详解】（1）解：23A B +()()22223m m m m =++-+222433m m m m =+-+27m m =-+；（2）解：由题意得：0m =或1，当0m =时，23A B +0=；当1m =时，23A B +176=-+=．18．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：(0)a a >…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…表格中x =，y =．（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向移动位．（3）规律运用：①已知5 2.24≈，则500≈；②已知7.07m ≈，500070.7≈，则m =．【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：（1）直接计算即可；（2）观察（1）中表格数据，找出规律；（3）利用（2）中找出的规律求解．【详解】解：（1）0.010.1x ==，10010y ==，故答案为：0.1，10；（2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．故答案为：右，1；（3）①已知5 2.24≈，则50022.4≈，②已知7.07m ≈，500070.7≈，则50m =，故答案为：22.4，50．一、单选题19．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若m 与2m -是同一个正数的两个平方根，则m 的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．根据平方根的性质列方程求解即可；【详解】∵m 与2m -是同一个正数的两个平方根，∴m 与2m -互为相反数，∴20m m +-=，∴1m =，故选：C ．20．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知54.037.35≈，则0.005403的值约为（）A ．0.735B ．0.0735C ．0.00735D ．0.000735【答案】B【分析】本题考查了算术平方根，根据40.00540354.0310-=⨯即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解： 54.037.35≈，420.00540354.0310107.350.0735--∴=⨯≈⨯=，故选：B ．21．（23-24七年级上·浙江金华·期末）“a 的算数平方根”表示为（）A ．a±B ．a -C ．aD ．2a 【答案】C【分析】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可．【详解】解：“a 的算数平方根”表示为a ．故选C ．22．（23-24七年级下·全国·假期作业）给出下列各数：49，223⎛⎫- ⎪⎝⎭，0，4-，3--，(3)--，4(5)--．其中有平方根的数共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】略23．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知9404a b -+-=，则a b 的平方根是（）A ．32B ．32±C ．34±D ．34【答案】C【解析】略24．（23-24七年级上·浙江温州·期中）十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成11个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为4，9和16，则这个大正方形的边长为（）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用．利用算术平方根的定义分别求得最中间的小正方形的边长，面积为9的正方形的左下角小正方形的边长，继而求得其左边两个小正方形的边长之和，大正方形中左下角和右下角两个正方形的边长，继而求得答案．结合已知条件求得最中间的小正方形的边长，面积为9的正方形的左下角小正方形的边长是解题的关键．【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为4，9和16，∴可得三个正方形的边长分别为2，3，4，∴最中间的小正方形的边长为321-=，∴面积为9的正方形左下角小正方形的边长为3241+-=，∴面积为9的正方形的左边两个小正方形的边长之和为314+=，∴大正方形中左下角的正方形的边长为413-=，∴大正方形中右下角的正方形的边长为246+=，∴大正方形的边长为34613++=，故选：C ．25．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如果正数m 的平方根为1x +和3x -,则x 的值是．【答案】1【分析】此题考查的是平方根的性质，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决此题的关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求出x 的值，然后根据平方根的定义即可求出结论．【详解】解： 正数m 的平方根为1x +和3x -，则130++-=x x ，1x =．26．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，()2210a b -++=，则a b 等于．【答案】1【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到2010a b -=+=，，据此求出a 、b 的值即可得到答案．【详解】解：∵()2210a b -++=，()22010a b -³+³，，∴()2210a b -==+，∴2010a b -=+=，，∴21a b ==-，，∴()211a b =-=，故答案为：1．27．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知：()2240x y y -+-=，求322344x y x y xy -+的值．【答案】4608【分析】本题考查了算术平方根的非负性及乘方、代数式求值，根据题意得20x y -=，40y -=，进而可得4y =，8x =，再将其代入即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：依题意得：20x y -=，40y -=，即：4y =，2248x y ==⨯=，322332234448448484x y x y xy ∴-+=⨯⨯-⨯⨯+⨯1651246416864⨯-⨯⨯+⨯=819225616512-⨯+=81924096512=-+4096512=+4608=．28．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知一个正数M 的两个平方根是3m +和215m -．(1)求代数式5m +的值；(2)求M 的值．【答案】(1)3(2)49【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义，利用一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，是解答本题的关键．（1）根据题意得到32150m m ++-=，进而得到4m =，由此得到答案．（2）根据题意，得到正数M 的一个平方根3437m +=+=，由此得到2749M ==．【详解】（1）解：根据题意得：32150m m ++-=，解得：4m =，∴453+=，∴代数式5m +的值为3．（2）由（1）得：4m =，∴3437m +=+=，∴2749M ==．一、单选题29．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若m x y =，则记(),x y m =，例如239=，于是()3,92=．若()2,2a -=，(),83b =，(),c a b =，则c 的值为（）A ．16B ．2-C ．2或2-D ．16或16-【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a ，b 的值，随之问题得解．【详解】解：∵()2,2a -=，(),83b =，(),c a b =，∴()22a -=，38b =，b c a =，∴4a =，2b =，∴24c =，∴2c =±，故选：C ．30．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知6a =，24b =，且a b <，则12a b -的值为（）A ．5-或1-B ．5-或5C ．1-或1D ．1或5【答案】A 【分析】本题考查绝对值，平方根，代数式求值，先根据a b <确定a ，b 的值，再代入求解即可．【详解】解： 6a =，24b =，∴6a =±，42b =±=±，a b <，∴6a =-，2b =或2-，当6a =-，2b =时，()116232522a b -=⨯--=--=-，当6a =-，2b =-时，()()116232122a b -=⨯---=-+=-，∴12a b -的值为5-或1-，故选A ．31．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图是一个数运算工作流程图，根据该流程图输入值x 为16时，输出的y 值是（）A ．4B ．2C ．2D ．4-【答案】C 【分析】此题主要考查了程序流程图与有理数计算，算术平方根，根据运算规则即可求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．【详解】解：输入值x 为16时，164=，42=，即2y =，故选：C ．32．（23-24八年级上·广东深圳·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若18ab =，大正方形的面积为100．则小正方形的边长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【分析】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键.根据小正方形的面积=大正方形的面积一4个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其算术平方根即可.【详解】解：因为小正方形的面积1100410036642ab =-⨯=-=，所以小正方形的边长为：648=.故选：B .二、填空题33．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若 5.217 2.284=，52.177.223=，则521.7=．【答案】22.84【分析】此题主要考查了算术平方根，依据被开方数小数点向左或向右移动2n 位，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动 n 位求解即可，正确把握相关规律是解题关键．【详解】解：∵ 5.217 2.284=，∴521.7 5.21710010 5.21710 2.28422.84=⨯==⨯=，故答案为：22.84．34．（23-24七年级上·浙江金华·期末）若a 是最大的负整数，b 的算术平方根是3，m 与n 互为倒数，则2024a b mn -+-的值为【答案】2022-【分析】本题考查了代数式求值，本题关键是运用最大的负整数，算术平方根，m 与n 互为倒数倒数概念以及整体代入的思想．【详解】解：由题意可知()21,33,1a b mn =-===．20243120242022a b mn ∴-+-=+-=-，故答案为：2022-．35．（2024八年级·全国·竞赛）若a ，b 为实数，且210ab a -+-=，那么()()()()()()1113344100100a b a b a b +++++++++ 的值是．【答案】49204或9899【分析】本题考查平方根和绝对值的非负性，裂项法求式子的值．先由非负性求得a ，b 的值，再代入式子中，采用裂项法即可求解．【详解】∵20-≥ab ，10a -≥，且210ab a -+-=，∴20ab -=，10a -=，∴20-=ab ，10a -=，∴1a =，2b =或1a =-，2b =-，①当1a =，2b =时，()()()()()()1113344100100a b a b a b +++++++++ 1114556101102=+++⨯⨯⨯ 1111114556101102=-+-++- 114102=-49204=；②当1a =-，2b =-时，()()()()()()1113344100100a b a b a b +++++++++ 11121329998=+++⨯⨯⨯ 1111112239899=-+-++- 1199=-9899=；∴()()()()()()1113344100100a b a b a b +++++++++ 的值是49204或9899．故答案为：49204或9899．三、解答题36．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若29x =，则3x =或3x =-．(1)根据上述平方根的意义，试求方程()2149x -=的解．(2)自由下落物体的高度h （单位：米）与下落时间t （单位：秒）的关系是24.9h t =，若有一个物体从离地10米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．【答案】(1)8x =或6x =-(2)107秒【分析】本题考查平方根及应用，（1）由平方根的知识可得17x -=±，从而求出方程的解；（2）将10h =代入24.9h t =，得到24.910t =，再根据平方根的定义求出t 的值即可；熟练掌握平方根的定义是解题的关键．【详解】（1）解：()2149x -=，17x -=±，∴8x =或6x =-；（2）根据题意，得：10h =，∴210049t =，∴107t =或107t =-（负值不符合题意，舍去），答：这个物体到达地面所需的时间为107秒．37．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．解：（1）甲：面积=______；边长=______．（2）乙：边长=______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______．【答案】（1）10；10；（2）5；2；52-【分析】本题考查了作图，无理数等知识．（1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可；（2）令正方形的边长为5即可，再根据算术平方根的估算即可求解．【详解】解：（1）面积为144413102⨯-⨯⨯⨯=，边长为：10；故答案为：10；10；（2）正方形如图所示，面积为13341252⨯-⨯⨯⨯=，边长为：5；253<<，该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为52-．故答案为：5；2；52-38．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上从左至右依次有C ，O ，A ，B 四个点，分别对应的数字为x ，0，1和3，且AB CO =．(1)求AB 的长，并求x 的值；(2)求()3x +的平方根．【答案】(1)31-(2)1±【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，求一个数的平方根，（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；（2）根据AB CO =得到031x -=-求出13x =-，然后代入()3x +求解即可．解题的关键是求出x 的值．【详解】（1）根据题意可得，31=-AB ；（2）∵AB CO=∴031x -=-，解得13x =-∴31331x +=-+=∴1的平方根为1±．39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子：11=；1342+==；13593++==；1357164+++==．根据阅读解决下列问题：(1)计算：13579++++＝；1357911+++++＝；(2)猜想规律：()1357911...21n +++++++-＝（n 为正整数）；(3)利用规律计算3915212733...603+++++++的值．【答案】(1)5，6(2)n(3)1013【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是：（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．（3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题．【详解】（1）解：由题知，13579255++++==，1357911366+++++==，故答案为：5，6．（2）由（1）知，从1开始连续n 个奇数的和等于n 的平方，又2112n n -+=，所以21357911(21)n n n ++++++⋯+-==．故答案为：n ．（3）原式3(1357201)=⨯++++⋯+3135201=⨯+++⋯+3101=⨯=．101321。
专题06 平方根、立方根知识讲解(解析版)
专题06 平方根、立方根知识讲解知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（ ）A 3=-B ．2=C 8=D 3=【答案】D.3， ∴选项A 错误；∵±2， ∴选项B 错误；4， ∴选项C 错误；3， ∴选项D 正确． 故答案为：D ．【例1－2】（2021·河北邯郸期末） ） A ．0.2的平方根 B ．0.2-的算术平方根 C ．0.2的负的平方根 D ．0.2-的平方根【答案】C.【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为：，其中为0.2的负的平方根 故答案为：C ．【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B ．25-的平方根是C ．任何一个非负数的平方根都是非负数D ．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数 【答案】D.【解析】解：A 、9的平方根是±3，错误； B 、−25的没有平方根，错误；C 、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；D 、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确． 故答案为：D ．【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________． 【答案】5.【解析】解：∵b 的算术平方根为4， ∴b=16， ∴16=a 3-109 ∴a =5． 故答案为：5．【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（ ） A ．非负数才有平方根 B ．非负数的算术平方根是非负数 C ．任何数都有两个平方根 D ．负数没有平方根【答案】C.【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确； B. 非负数的算术平方根是非负数，正确； C. 0只有1个平方根，错误； D. 负数没有平方根，正确． 故答案为：C ．【变式1－2】（2020·山东济南期中）若30a ++=，则+a b 的立方根是______． 【答案】－1.【解析】解：∵30a ++=， ∴3+a=0， 2-b=0， ∴a=-3，b=2 ∴a+b=-1∴a+b 的立方根-1． 故答案为：-1．64m，现准备将其【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为3扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m，则它的棱长需要增加__________m．【答案】1.【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a，∵体积为64m3，∴=4m；设体积达到125m3的棱长为b，则=5m，∴b-a=5-4=1（m）．故答案为：1．【变式1－4】对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（2与的值互为相反数，求1-【答案】见解析.【解析】解：（1）答案不唯一.=，8与﹣8互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x）+（x+5）＝0，解得x＝8，∴1=1﹣4＝﹣3．【变式1－5】（2020·________，2________．【答案】32．，9的算术平方根为33.22，故答案为：32．【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知a 的整数，31a b +-的平方根是4±， (1)求,a b 的值； (2)求的平方根．【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.<<，且a 的整数， ∴a=5∵3a+b -1的平方根是±4， ∴3a+b -1=16 ∴b=2（2）当a=5，b=2时，a+2b=9 ∴a+2b 的平方根为：±3．知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x 的两个不同的平方根是23a +与15a -，则x 的值是（ ） A ．11 B ．121C ．4D ．11±【答案】B.【解析】解：由题意得：2a+3+a -15=0 解得：a=4当a=4时，2a+3=11 则x=112=121. 故答案为：B ．【变式2－1】已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ． （1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？ 【答案】（1）121；（2）2.【解析】解：（1）由正数m 的平方根互为相反数，得：2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝112＝121；（2）∵|a﹣3|（c﹣n）2＝0，∴a＝3，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝3+0+5＝8，∴a+b+c的立方根是2．【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数a的两个不同平方根分别是22x-和63x-，则a=______．【答案】36.【解析】解：由题意得：2x-2+6-3x=0，解得x=4，2x-2=6，a=62=36故答案为：36.【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x，y为实数，且20x+=，则的值为（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】B.【解析】解：由题意得：x+2=0，y-2=0∴x=-2，y=2∴ =-1故答案为：B.【例2－3】﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．【答案】0或﹣1或﹣1 2 .﹣2x﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12． 故答案为：0或﹣1或﹣12． 知识点三：综合题型【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x 的值 （1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16， x+1=4或x+1=-4 x=3或x=-5 （2）（2x -1）3=-27 2x -1=-3 x=-1【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x ． (1)24120x -= (2)()216281x -= 【答案】见解析. 【解析】解：(1)4x 2=12 x 2=3x= (2)（x -2）2=8116x -2=94或x -2=-94x=或x=-14【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m 3=8，n 2=9，且mn ＜0，求m 2-2mn+n 2的值． （2）已知=5，b 2=9，（c -1）2=4，且ab ＞0，bc ＜0，求式子ab -bc -ca 的值． 【答案】（1）25；（2）23或39. 【解析】解：（1）由m 3=8，得m=2， 由n 2=9，得n=±3， 由mn ＜0，得：m=2，n=-3 当m=2，n=-3时， m 2-2mn+n 2=4+12+9=25 （2）由题意知a=±5， 由b 2=9得：b=±3， 由（c -1）2=4，得：c=3或-1 ∵ab ＞0，bc ＜0 ∴a 、b 同号，b 、c 异号当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23 当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39． 【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知20c d -+=，求d +c 的平方根． 【答案】（1）x =5，169或x=-21，1521；（2）±3. 【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x -18=0， 解得：x=5这个数是（2×5+3）2=169. ②2x+3=x -18，解得x=-21 这个数是（-21-18）2=1521； （2）由题意得：2c -d =0，d 2-36=0， 解得：d=±6，c=±3．当d =-6，c =-3时，d +c =-9（没有平方根）， 当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3．【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是55，a是多少？【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11．【解析】解：（1）①=(-6+5)2+6=1+7=7②，=(5+5)2×2+6=100×2+6=206（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55，整理得：（a+6）2=25，a+6=5或a+6=-5∴a=-1或a=-11.【变式4－1】已知2x+1的算术平方根是0=4，z是﹣27的立方根，求2x+y+z的值．【答案】12.【解析】解：∵2x+1的算术平方根是0，∴2x+1＝0，∴2x＝﹣1，=4，∴y ＝16，∵z 是﹣27的立方根， ∴z ＝﹣3，∴2x +y +z ＝﹣1+16﹣3＝12.【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x 值为64时，输出的y 值是（ ）A ．4 BC ．2D 【答案】B.，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2 故答案为：B ．【例5－1】（2020·浙江期中），（ ） A ．287.2 B ．28.72 C ．13.33 D ．133.3【答案】C. 【解析】解：． 故答案为：C ．【例5－2】（2020· 2.449≈7.746≈，则______． 【答案】0.07746. 【解析】解： 故答案为：0.07746．【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又，10100∴<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<<，可得3040<<， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56． 【解析】解：（1）①∵，1000＜195112＜1000000∴<100，∴能确定195112的立方根是一个两位数， 故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，83=512， ∴能确定195112的个位数字是8， 故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<，∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5， 故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58， 故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【变式5－1】（2020·的值是______________________．【答案】11.47【解析】解：=1.147，∴故答案为: 11.47．【变式5－2】（2019· 1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A．B．101）C．D1【答案】B.1之后，扩大10倍即可实现，故答案为：B.【变式5－3】（2020·山西大同月考）观察下表，回答问题：（1）表格中x=_________________，y=_________________；（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；（3）根据你发现的规律填空：已知：，_________________；②58.48≈，则a=_________________．【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（3）①0.2714；②200000.【解析】解：（1）根据题意，立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；∴x=0.1，y=10；故答案为：0.1；10．（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；==≈；（30.271410≈，0.5848∴，≈，58.48∴，∴a=200000；故答案为：①0.2714；②200000．【例6－1】（2020·成都双流月考）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[＝﹣2，按此规定，[1﹣＝_____．【答案】-4．∴4＜5，∴﹣4＞﹣5，∴﹣3＞1﹣4，故，[1﹣＝﹣4．故答案为：﹣4．【例6－2】（2020·x的所有整数x的和是_____．【答案】2.【解析】解：∵﹣21，2＜3，x的所有整数有﹣1，0，1，2，∴﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．【例6－3】（2020·太原市月考）比较大小：______0.5 ．（填“>”，“<”或“= ”）【答案】＞.1>1∴>0.5故答案为：＞．【例6－4】对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，如，现对85进行如下操作：，这样对85只需3次操作后就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．【答案】255.【解析】解：设，x为正整数，则1≤，∴1≤y<4，即最大正整数是3；设，y为正整数，则3≤，∴9≤y<16，即最大正整数是15；设，z为正整数，则15≤，∴225≤z<256，即最大正整数是255．∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为：255．【例7－1】（2020·舟山普陀区期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′，现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．（1）若点A对应的数是1，则点A′对应的数x=_________，若点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =_________；（2）在（1）的条件下，求代数式x 4y 算术平方根．【答案】（1）x=1，y=-2；（2）3.【解析】解：(1) 设P 点表示的数为x ，P′表示的数为-x+2，点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =-1+2=1，点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =4×(-1)+2=-4+2=-2，故答案为：x=1；y=-2，(2)由(1)求出，x=1,y=-2，代数式x －4y 的值为=1-4×（-2）=9，代数式x －4y 算术平方根为3．【例7－2】（2019·河北保定期中）先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+ (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1) (2)（n 为正整数）.【解析】解：(1)=1+14−141+=，验证：(2)=1+1 n−1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数). 【变式7－1】（2019·北京昌平期中）如图，是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x 为16时，y 值为_____；(2)是否存在输入有意义的x 值后，却始终输不出y 值？如果存在，写出所有满足要求的x 值；如果不存在，请说明理由；(3)如果输入x 值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x 值可能是什么情况；(4)当输出的y x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【答案】（1）（2）存在，当x=0，1时，始终输不出y值；（3）x＜0；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【解析】解：（1）当x=16，则（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【例8－1】（2020·湖北黄冈期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系2t=0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）【答案】1.3.【解析】解：把l=0.4m代入关系式2t=得，∴12=0.45tπππ=⨯≈1.3（秒）．【变式8－1】（2020·陕西宝鸡月考）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t2.有一学生不慎让一个足球从19.6m高的楼上自由落下，刚好另有一学生站在与下落的足球在同一直线的地面上，在足球下落的同时，楼上的学生惊叫一声，若楼下的学生听到惊叫后开始躲．问：这时楼下的学生听到惊叫后能躲开下落的足球吗？(声音的速度为340m/s)【答案】能躲开．【解析】解：足球下落的时间：，学生的声音传播到楼下的时间：t==0.06s由2>0.06所以楼下的学生能躲开．【变式8－2】（汉中南郑区期中）如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a 为阴影正方形边长的小数部分，b 的整数部分，求+a b 的值．【答案】（1）13（2）1，2，3；（3【解析】解：（1）阴影部分面积为：1554232512132⨯-⨯⨯⨯=-=， ∵阴影部分是一个正方形，故答案为：13（21，2，3．（3）∵34<<，∴3a =，∵34<<∴b=3∴33+= 【例9－1】（2020·四川月考）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（ ）A ．B ．22b a -C ．0D ．2b【答案】A.【解析】解：由图可知：a<0<b ，a+b<0，原式=-a -b+（-a ）+b=-2a故答案为：A ．【变式9－1】（2020·江苏徐州月考）如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c |-|a c【答案】2a-c.【解析】解：由数轴得a<b<0<c，∴a-c<0，a+b<0，原式=-b-（c-a）+(a+b)=-b-c+a+a+b=2a-c.。
6.1-6.2 平方根与立方根(试题解析)-2020-2021学年七年级数学寒假学习精编讲义
2020-2021学年人教版七年级数学寒假学习精编讲义新课衔接站056.1-6.2 平方根与立方根1．算术平方根（1）定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________．（2）表示方法a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数．（3）算术平方根的性质①正数a a②0的算术平方根是00=__________；③负数__________算术平方根．a a是非负数，即a≥0a本身是非负数，即a≥0．2．平方根（1）平方根的概念一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根．【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．（2）平方根的性质①一个正数a有__________”，另一个为“②0的平方根是0；③负数没有平方根．（3）开平方的概念求一个数a的平方根的运算，叫做__________．（4）利用平方根的定义解方程将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=ax+b=3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为a；（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．4．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．5．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．6．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a 是非负数，即a ≥0a 是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根【知识汇总参考答案】1．（1）算术平方根（23）0，没有2．（1）平方根（2）两（3）开平方 4．（1）立方根 5．（1）开立方（2）负数（3）逆运算求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解．平方根和算术平方根定义和性质的综合运用若一个数的平方根是它本身，则这个数是0；若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1．考点1：平方根【例1】求下列各式中的x ．（1）2490x -=； （2）2(21)81x +=．【解答】解：（1）2490x -=， 249x =， 294x =， 32x =±；（2）2(21)81x +=， 219x ∴+=或219x +=-，解得：14x =，25x =-．【变式1-1】（2020秋•淇滨区校级月考）一个正数的两个平方根分别是25a -和1a -+，则这个正数为() A ．4B ．16C ．3D ．9【解答】解：正数的两个平方根分别是25a -和1a -+， (25)(1)0a a ∴-+-+=，解得4a =， 253a ∴-=，∴这个正数为239=，故选：D ．【变式1-2】（2020秋•中牟县期中）有理数22(5)a =-，则a 等于( )A ．5-B ．5C ．25D ．5±【解答】解：因为22(5)25a =-=，所以5a ==±， 故选：D ．【变式1-3】（2019春•宜州区期中）求式中x 的值：2(2)9x -=．【解答】解：开方得：23x -=±， 整理得：32x =±+， 解得：5x =或1x =-．【变式1-4】（2020的平方根是 ．【解答】解：9=，9的平方根是3±，∴3±．故答案为3±．考点2：算术平方根【例2】（2020秋•沙坪坝区校级月考）根据以下程序，当输入5时，输出结果为( )A 2B ．2C ．6D 6【解答】解：当5x = 2142x -==，结果不小于32， 再输入2213x -，结果不小于32， 3212x -32， 2 故选：A ．【变式2-1】（2020秋•东台市期中）49的算术平方根是 ． 【解答】解：49的算术平方根是23， 故答案为：23． 【变式2-2】（202018( )A 2B ．23C ．32D ．2189232=． 故选：C ．【变式2-3】（2020100的算术平方根是 ．【解答】解：10010=，10∴10故答案为：10【变式2-4】（2020秋•栾城区期中）一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为256时，输出的y值是；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y是5，请写出两个满足要求的x值：．【解答】解：（1）256的算术平方根是16，16是有理数，16不能输出，16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，∴的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，4∴的算术平方根是2，是无理数，输出，2故答案为：2．（2）0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，x=和1时，始终输不出y的值；∴当0（3）25的算术平方根是5，5的算术平方根是5，故答案为：5和25（答案不唯一）．【变式2-5】（2019春•确山县期中）一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为16时．输出的y值是；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y3，请写出两个满足要求的x值：．【解答】解：（1）16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，∴的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，42∴，（2）0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，∴当0x=和1时，始终输不出y的值；（3）9的算术平方根是3，3，故答案为：3和9．算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．考点3：非负数的性质：算术平方根【例3】（20162016()x y+的平方根．=，则3020x yx y-+=⎧⎨+=⎩，解得，21xy=-⎧⎨=⎩，2016()1x y∴+=，2016()x y∴+的平方根是1±．【变式3-1】（2010|25|y-互为相反数，求x y+的值．【解答】解：|25|y-互为相反数，∴|25|0y-=，∴290250x y ⎧-=⎨-=⎩， 解得325x y =±⎧⎨=⎩，325x y ∴+=±+即28x y +=或22．【变式3-2】（2019秋•雁塔区校级月考）当x 取 时，最小值是 ；当x 取 时，2的值最大，最大值是 ．【解答】解：当1020x +=的值最小，解得5x =-0．当50x -=时，即5x =0=，此时2的值最大，最大值是2． 故答案为：5-； 0； 5； 2．【变式3-3】（20180，则22012a b --= ．【解答】解：0=，310a ∴+=，10b -=， 13a ∴=-，1b =，)22201220121110(11399a b ∴--=--=--=-，故答案为：109-．【变式3-4】（2020春•阳西县期末）若a 、b 为实数，且满足|2|0a -，则b a -的值为( )A ．1B ．0C ．1-D ．以上都不对【解答】解：由题意得，20a -=，30b -=， 解得，2a =，3b =， 则1b a -=， 故选：A ．【变式3-5】（20200，则xy 的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【解答】解：0，10x ∴-=，0x y +=，解得1x =，1y =-， 所以1xy =-． 故选：C ．【变式3-6】（2019春•秀洲区期中）式子3( )A ．当4x =-时最大B ．当4x =-时最小C ．当0x =时最大D ．当0x =时最小【解答】解：0，33∴，∴当4x =-时，33，故选：A ．一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x3=m 或（ax+b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．考点4：立方根【例4】（2020春•浦东新区期末）方程380x -=的根是 ．【解答】解：380x -=， 38x =，解得：2x =．故答案为：2x =．【变式4-1】（2020春•越秀区校级期中）在下列各数中是无理数的有( )0.3030030003，，3π，227，3.14，2.010101⋯（相邻两个1之间有1个0)，9.0123456⋯（小数部分由相继的正整数组成）． A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个，，3π，2.010101⋯（相邻两个1之间有1个0)，9.0123456⋯（小数部分由相继的正整数组成），共5个； 故选：C ．【变式4-2】（2020•洛阳模拟）计算：|2|- ．【解答】解：|2|231-=-=-． 故答案为：1-．【变式4-3】（2020秋•中牟县期中）下列说法中不正确的是( )A ．10的平方根是．8-是64的一个平方根C ．27的立方根是3D ．49的平方根是23【解答】解：A 、10的平方根是，原说法正确，故此选项不符合题意；B 、8-是64的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；C 、27的立方根是3，原说法正确，故此选项不符合题意；D 、49的平方根是23±，原说法不正确，故此选项符合题意； 故选：D ．【变式4-4】（2020秋•郫都区校级期中）求下列各式中的x ．（1）31258x = （2）2(2)9x -+=． 【解答】解：（1）38125x =， 35x =；（2）23x -+=±，32x =±+，5x =或1-．【变式4-5】（2019春•西工区校级月考）已知21a -的算术平方根为3，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的立方根．【解答】解：21a -的算术平方根为3，31a b +-的平方根为4±， 219a ∴-=，3116a b +-=，5a ∴=，2b =，29a b ∴+=，9∴．【变式4-6】（2019春•洛宁县期末）正数x 的两个平方根分别为3a -和27a +．（1）求a 的值；（2）求44x -这个数的立方根．【解答】解：（1）正数x 的两个平方根是3a -和27a +， 3(27)0a a ∴-++=，解得：10a =-（2）10a =-，313a ∴-=，2713a +=-．∴这个正数的两个平方根是13±，∴这个正数是169．4444169125x -=-=-，125-的立方根是5-．。
七年级数学-小升初衔接-平方根和立方根(含答案)
七年级上册平方根一、填空题1.一个正数有 个平方根，0有 个平方根，负数 平方根.2.169的算术平方根是 ，它的平方根是 . 3.一个数的平方等于49，则这个数是 . 二、选择题4.下列说法正确的个数是 ( )①∵36.0)6.0(-2= ∴－0.6是0.36的一个平方根 ②∵0.82＝0.64 ∴0.64的平方根是0.8③∵169432＝）（－ ∴43169＝－ ④∵2552＝）（±∴525±±＝ A 1个 B 2个 C 3个 D 4个5.下列说法中，正确的是 （ ）A 64的平方根是8B 4的平方根是2或－2C 23）（－没有平方根 D 16的平方根是4和－4 6. 7的平方根是 （ ） A 49 B 49± C 7± D 77.下列各式中，正确的是 （ ）1313D 39C 93B 22A 2222＝）（－ ＝）（－ ＝）（－ ＝－）（－ ±8.用数学式子表示“169的平方根是43±”应是 （ ） 43169D 43169C 43169B 43169A ＝－ － ＝ ＝ ＝ ±±±三、解答题9.下列各数有没有平方根？如果有，求出它的算术平方根，如果没有，请说明理由。
（1）16 （2）0.0081 （3） ）（－25 （4）－0.4910.计算：（1）121 （2）256± （3）169－ （4）259－一、填空题1.16的算术平方根是 ，平方根是 .2.一个负数的平方等于81，则这个负数是 .3.如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是 二、选择题4.下列说法中，正确的个数是（ ）①5±是25的平方根 ②49的平方根是－7 ③8是16的算术平方根 ④－3是9的平方根 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5.下列各式计算正确的是（ ）A 、±＝93B 、24＝－－C 、()32－＝－3D 、981±±＝6.数a 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，有平方根的是（ ） A 、a B 、-a C 、a 2－ D 、a 37.前10个正整数的算术平方根中，是有理数的共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个8.下列各式没有意义的是（ ）A 、5－B 、()32－ C 、0 D 、4－三、解答题9.若一个正方形的面积为64cm 2，则这个正方形周长为多少米？10.计算 ①169100－②361371－± ③12522＋± ④()1342－－探究创新依次连接4×4方格各条边中点，得到一个正方形，如图阴影部分，求这个正方形的面积和边长。
人教版初中数学平方根与立方根同步辅导(含答案)
平方根与立方根同步辅导一、情境联想导入很久以前，在古希腊的某个地方发生了大旱，人们到神庙向神祈求，神说：“我之所以不给你们降雨，是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的放在我面前，我就会给你们降雨．”于是大家做好了一个新祭坛，边长是原来的2倍，送到神那里，可是神发怒了，说大家愚弄他，•这个新祭坛的体积根本不是原来的二倍，他要人们重新做，如果再不符合他的要求，他要进一步惩罚大家．问题1：新祭坛的边长是原来的多少倍，才符合神的要求？你能解决吗？问题2：你能说出新祭坛的边长是什么运算吗？二、思维起点落实1．如果一个数的_______等于a，那么这个数叫做a•的平方根．•正数的平方根有______个，它们的关系是______________，0的平方根是_______，负数_______________．2．正数a的_______________，叫做a的算术平方根．3．如果一个数的______等于a，那么这个数就叫做a的立方根，正数有_________•的立方根，负数有_____________的立方根，0的立方根为_______．三、重点难点突破重点1、平方根的概念及性质如果x2=a，那么x是a的平方根，a是x的平方数，它是一个非负数，即a≥0．•因为任何数的平方都不可能是负数，所以负数不能开平方．2、算术平方根的概念及性质平方根只强调其平方等于a，而算术平方根必须强调正数a的正的平方根，从正数方面思考；一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只能是一个正数．3、立方根的概念及性质立方根的性质与平方根的性质不同，负数有立方根，但没有平方根．难点1、平方根与算术平方根的区别与联系（1）区别：①定义不同（略）；②正数a反数，•而正数a术平方根的值必定是非负数；④一个正数的算术平方根也是这个正数的平方根，但一个正数的平方根却不一定是它的算术平方根．（2）联系：①算术平方根也是其平方根，平方根包含其算术平方根；②0•的平方根与算术平方根相同，都是0；③被开方数都是非负数；④求平方根和算术平方根的运算都是开方运算，是乘方运算的逆运算．2、立方根与平方根的区别与联系（1）区别：①符号表示不同；②被开方数取值不同；③方根的个数不同，•正数有两个平方根，而正数只有一个立方根．（2）联系：①都与相应的乘方运算互为逆运算；•②零的立方根和平方根都是它本身；③在研究数的开方时，开平方与开立方，小数点的移动有类似的规律．点拨：由于立方根与平方根在很多方面存在相似之处，这点采用类比的方法更容易学习，而它们又有许多的不同，只有掌握住它们的不同点，才能更便于学习．四、思维能力拓展能力点会用案例1（05年吉林省中考·课改卷）若│a-2│，则a2-2b=________．分析：∵│a-2│≥00，而│a-2│，∴a-2=0且b-3=0，即a=2，b=3．故a2-2b=22-2×3=-2．答案：-2方法提练绝对值、偶次方以及算术平方根都为非负数，几个非负数的和为0，•则它们都为零．五、综合探究创新综合点根据式子探求规律案例2• •借助于计算器可以求得，，，，•仔细观察上面几道题的计算结果，•试猜想．分析：借助计算器可求得=5，=55，=555，=5555．观察这些结果，很容易得出正确答案．答案：2006555个拓展延伸：本题还可以这样分析：由于22111(4⨯+n个22215555⨯=个=555n个，220064444+个2006555个六、针对训练1．下列说法正确的个数是（）①0.25的平方根是0.5；②-2是4的平方根；③只有正数才有平方根；④负数没有平方根．A．1 B．2 C．3 D．42．求下列各数的平方根．0，19，17，2564，（-2）2，214，-16．3）．A．±4 B．4 C．±2 D．24．求下列各数的算术平方根．（1）0.0025；（2）（-6）2；（3）0；（4）（-2）×（-8）． 5．下列说法中正确的是（）①12是1728的立方根；②127的立方根是13；③64的立方根是±4；④0的立方根是0．A．①④ B．②③ C．①③ D．②④6．下列说法中错误的是（）A5的平方根 B．-16是256的平方根C．-15是（-15）2的算术平方根 D．±27是449的平方根7．判断：（1）负数和零没有算术平方根．（）（2）算术平方根等于它本身的数只有一个．（）（3）平方根等于它本身的数有两个．（）8．下列说法中错误的是（）A．负数没有立方根 B．1的立方根是1C．立方根等于它本身的数有3个9．已知x的平方根是2a+3和1-3a，y的立方根为a，求x+y的值．10．已知（x-1）2+│x-y+z+1│=0，求x+y+z的平方根．11．已知：，求2x+3y的值．12．观察下列各式：===请你将猜想得到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来：_________． 13．请你观察、思考下列计算过程：因为112=121；同样，因为1112=12321=111；……．答案:【情境联想导入】问题1问题2：开方【思维起点落实】1．平方 2 互为相反数 0 无平方根2．正的平方根 3．立方 一个正 一个负 0【针对训练】1．B 点拨：②、④正确．2．0，±1358，±2，±32，没有平方根 3．D4．（1）0.05 （2）6 （3）0 （4）45．A 6．C7．（1）× 点拨：0的算术平方根为0．（2）× 点拨：有两个，分别是0、1．（3）× 点拨：只有0的平方根等于它本身．8．A 点拨：负数的立方根是负数．9．解：由平方根的性质，得（2a+3）+（1-3a ）=0，解得a=4，所以x=121．，∴y=64．故x+y=121+64=185．10．±311．19 点拨：由，得x=2，y=5，故2x+3y=19．12(n =+13．9111个点拨：可根据被开方数居中的数字推出，居中的数字是几，则该被开方数的算术平方根就由几个1组成．。
立方根 浙教版2019-2020学年度七年级数学上册讲义+分层训练(含答案)
中a是被开方数，3是根指数，符号读做“三次根号”，注意：3是根指数不能省略.二、性质:1.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.2. a=3. 熟记：立方根等于它本身的数是0，1和-1.三、符号表示: 一个数a a叫做被开方数.如3，那么-8的立方根是：.四、开立方:求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根【经典例题】例题1、如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是______．【考点】立方根．A. x≤5B. x≥5C. 0≤x≤5D. 任意数【考点】立方根．【分析【解答】x取任意数时，都能使-55(33．)xx-=故选D．【点评】此题主要考查立方根的性质：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0．【夯实基础】1、下列式子成立的是( )2C. 393-=-D. 33125125-≠-2、下列说法中，正确的是( )A ．一个数的立方根有两个，它们是互为相反数B ．负数没有平方根，也没有立方根C ．0的平方根是0，0的立方根也是0D ．a 3的立方根可能是a ，也可能是-a3、估计377大小在( )A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 4、下列各式中，计算正确的是( )A ． 2)2(-=2B ．636±=C ．33)1(- =1D ．364=±45、若实数x ，y 满足(2x -3)2+y 49+=0，则xy 的立方根为 ．6、若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则333cd b a +--＝____________.7、(1)当a ＜0时，aa 33-＝____；(2)若a 为任意实数，则33a ＝_ __． 8、求下列各式的值：(1)3833； (2) 352710-； (3) 3412315÷-； (4) 3216--－2)7(-.9、求下列各式中x 的值：(1)27x 3=-125；(2)(x -1)3-216=0．【提优特训】10、若3211a -的值为最大的负整数，则a 的值为( )A. 6B. ±6C. 5D. ±511、实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则3a 和3b 的大小关系为( ) A ．3a >3b B ．3a ＜3bC ．3a ≥3bD ．3a ≤3b12、若a 2=25，b 3=27，则a b 的值为( )A ．-125B ．±5C ．±125D ．±1513、若a 是(-3)2的平方根，则3a 等于 ( )A ．-3B ．33C ．33或33-D ．3或-314、已知738.125.53≈，3525≈8.067，则3000525.0- ( )A ．-17.38B ．-0.01738C ．-806.7D ．-0.0806715、若372n 是一个正整数，则n 的最小值为______ ．16、(1)364的平方根是 ______ ．(2)若3a 的平方根是±3，则a =______ ．(3)a 的立方根是2，则a =______ ．17、一个正方体A 的体积是棱长为8cm 的正方体B 的体积的1251，则正方体A 的棱长是多少cm ？18、先阅读理解，再解决问题：…解答下列各题：(2) =2019).方根．20、我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：(1)103＝1000，1003＝1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？答：________位数．(2)由59319的个位数字是9，你能确定59319的立方根的个位数字是几吗？答：________．(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，由此你能确定59319的立方根的十位数字是几吗？答：________．因此59319的立方根是________．(4)现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？①它的立方根是________位数；②它的立方根的个位数字是________；③它的立方根的十位数字是________；④185193的立方根是________．【中考链接】21、(2018•聊城)下列实数中的无理数是( )A ．21.1BC ．2D ．22722、(2018•济宁( )A ．1B ．-1C ．3D ．-323、(2018•菏泽)下列各数：-2，0，31，0.020020002…，π，9，其中无理数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．124、(2018•恩施)64的立方根为( )A ．8B ．-8C ．4D ．-425、(2018•泰州•常德)8的立方根等于 ．参考答案1、B2、C3、C4、A 5 6、1 7、-1，a 10、B 11、B 12、C 13、C 14、D 15、3 16、(1) ±2 ， (2)729 (3)64 21、C 22、B 23、B 24、C 25、28、求下列各式的值：(1) 3833； (2) 352710-； (3) 3412315÷-； (4) 3216--－2)7(-. 解(1) 原式=323827=； (2) 原式=3271352710-=327125-=35-； (3) 原式=349316÷-=394316⨯-=32764-=34-； (4) 原式=6-7=-1.9、求下列各式中x 的值：(1)27x 3=-125；(2)(x -1)3-216=0．∴x 25-=； ∵(x -1)3-216=0，∴(x -1)3=216，∴x -1=62163=，∴x =7.17、一个正方体A 的体积是棱长为8cm 的正方体B 的体积的1251，则正方体A 的棱长是多少cm ？ 解：∵V B =83=512cm 3，V A =125512cm 3， ∴a 3=125512， ∴a =58cm ， ∴正方体A 的棱长是58cm. 18、先阅读理解，再解决问题：…解答下列各题：(2) =2019).解：原式=-1+(-2)+(-3)+…+(-n)当n =20192039190.方根．解：根据题意，可得4a +1=25，3a +b -9=8；可得c=7；则2a+6b+3c =2×6+6×( 1)+3×7=27；则27的立方根为3．20、我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：(1)103＝1000，1003＝1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？答：________位数．(2)由59319的个位数字是9，你能确定59319的立方根的个位数字是几吗？答：________．(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，由此你能确定59319的立方根的十位数字是几吗？答：________．因此59319的立方根是________．(4)现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？①它的立方根是________位数；②它的立方根的个位数字是________；③它的立方根的十位数字是________；④185193的立方根是________．解：(1)∵1000<59319<1000000，∴59319的立方根是两位数．(2)∵9×9×9＝729，∴59319的立方根的个位数字是9.(3)∵27<59<64，∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39.(4)①∵1000<185193<1000000，∴185193的立方根是两位数．②∵7×7×7＝343，∴185193的立方根的个位数字是7.③∵125<185<216，∴185193的立方根的十位数字是5.④185193的立方根是57.。
尖子生培优教材数学七年级上第四讲 平方根与立方根讲义及答案
第四讲 平方根与立方根知识导引平方根和立方根的概念的建立在数学中起了十分重要的作用，此概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同的情况．因而要理解这些概念刚开始时应借助于平方、立方的概念．在此之外还应学会用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题． 1．有关平方根：（1）一个正数有正负两个平方根，，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． （2）算术平方根a 的双重非负性：①a ≥0；②a ≥0．（3）a 的三层含义：开方的运算符号，表示对a 进行开方运算；特征符号，表示a 的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式． 2．有关立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．所以任何数都有立方根．3．实数的几种非负形式： （1）0≥a （a 为实数）；（2）02≥na （a 为实数，n 为正整数）；（3）0≥a （a 为非负实数）．4．算术平方根的主要性质：（1）a a =2)(；（2）a a =2；（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab ；（4）)0,0(>≥=b a bab a ． 典例精析例1：填空题：（1）2)3(-的算术平方根是 ．（2）平方根等于它本身的数是 ． （3）和数轴上的点一一对应的数是 ．例1—1：下列说法正确的有： （填入相应的序号）．①－8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④64的立方根是2；⑤28的平方根是±8；⑥39±=．例1—2：已知0)1(322=++-++z y x ，求z y x ++的平方根．例2：比较大小：（1）32-与23-．（2）x1，x ，x ，2x （0＜x ＜1）．例2—1：设23-=a ，32-=b ，23-=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A 、a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC 、c ＞b ＞aD 、b ＞c ＞a例3：观察下列等式：33722722=，3326332633=，3363446344=，… 可得出一般规律是 ．例4：如图是实数a 、b 在数轴上的位置，化简222)(b a b a ---．例5：已知x ，y 是实数，且0343=-++y x ，则xy 的值是 ．例5—1：若实数x ，y 满足0)3(22=-++y x ，则xy 的值是 ．例6：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊讶，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请按照下面的问题试一试．（1）由1000103=，10000001003=，你能确定359319是几位数吗？（2）由59319的个位数字9，你能确定359319的个位数是几吗？（3）如果划去59319后面三位数319得到数59，而2733=，6443=，由此你能确定359319的十位数是几吗？（4）现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？例7：已知139+与139-的小数部分分别为a 、b ，求4a ＋4b ＋8的值．探究活动例：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：21)1(2=+，211=S ； 31)2(2=+，222=S ； 41)3(2=+，233=S ； ……（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出10OA 的长．（3）求出210232221S S S S +⋯+++．学力训练A 组 务实基础1、若a ＜0，则下列结论不成立的是（ ）A 、22)(a a -= B 、33)(a a -= C 、22a a = D 、33a a -= 2、实数：5-，22，22-，2π，3，39在数轴上的对应点，既在点A ，C 之间，又在点B ，D 之间的有（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、2个 3、下列各式中正确的是（ ） A 、21)41(2=± B 、211412=C 、4324341694=+=+D 、671371322=-=- 4、已知x 满足x x x =-+-20092008，那么22008-x 的值为 ．5、已知实数a 、b 满足074932=+-+-a a b a ，求实数a 、b 的值为 ．6、满足53<<-x 的整数x 是 ．7、已知332-x 与353y -互为相反数，则yx的值为 ． 8、填空：已知40≈6.325，则5104⨯≈ ；设a =2，b =3，用含a 、b 的式子表示54.0为 ．9、已知m 满足0332=++m m m ，求11++-m m 的值．10、如果一个正数的平方根是a ＋3与2a －15，那么这个正数是多少？B 组 瞄准中考 1、（江西中考）已知n 20是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A 、2 B 、3C 、4D 、5 2、（南京中考）如图，数轴上点A 表示的可能是（ ）A 、4的算术平方根B 、4的立方根C 、8的算术平方根D 、8的立方根3、（天津中考）比较2，5，37的大小，正确的是（ ） A 、2＜5＜37 B 、37＜2＜5 C 、2＜37＜5 D 、5＜37＜24、（镇江中考）已知5=a ，32=b ，且ab ＞0，则a ＋b 的值为（ ）A 、8B 、－2C 、8或－8D 、2或－2 5、（茂名中考）已知：一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是 ． 6、（凉山中考）已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示75-的整数部分和小数部分，且12=+bn amn ，则2a ＋b ＝ ．7、（衢州中考）计算：3032)21(27-+ ．8、（上海中考）计算：2312127)3(0++-+--．9、若a 满足a a a =-+-20152014，求22014-a 的值． 10、（菏泽中考）观察下列分母有理化的运算：21211+-=+，32321+-=+，43431+-=+，…，20022001200220011+-=+，20032002200320021+-=+．利用上面的规律计算：)20031)(200320021200220011431321211(+++++⋯++++++C 组 冲击金牌1、已知x 是实数，则πππ1-+-+-x x x 的值是（ ）A 、π11-B 、π11+C 、11-πD 、无法确定2、如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数为（ ）A 、32--B 、31--C 、32+-D 、31+ 3、设15+=m ，则mm 1+的整数部分为 ． 4、观察下列各式：312311=+，413412=+，514513=+，… 请你将猜想得到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来： ． 5、设a 、b 、c 均为不小于3的实数，则求1112--+++-c b a 的最小值．第四讲 平方根与立方根参考答案典例精析1、（1）3；（2）0；（3）实数 1—1、①③④⑤ 1—2、0 2、（1）32-＞23-（2）x1＞x ＞x ＞2x 2—1、A 3、333311-=-+n n n n n n （n ≥2，且n 为整数）4、原式＝b b a b a b a b a 2-=-+--=---5、－4 5—1、32-6、（1）359319是两位数；（2）359319的个位数是9；（3）359319的十位数是3；（4）185193的立方根是577、139+与139-的整数部分分别是12与5，则： a ＝139+－12＝313-，b ＝139-－5＝134-，故4a ＋4b ＋8＝12． 探究活动解：（1）11)(2+=+n n ，2n S n =；（2）101)9(2210=+=OA ，所以1010=OA ；（3）2222210232221)210()23()22()21(+⋯+++=+⋯+++S S S S ＝455410321410434241=+⋯+++=+⋯+++． 学力训练 A 组1、B2、A3、B4、C5、7 216、－1，0，1，27、25 8、632.5 0.3ab 9、当m ≥0时，m m m m m m m 3332=++=++；当m ＜0时，m m m m m m m =+-=++332，所以由已知得m ＝0，所以11++-m m ＝2 10、∵a ＋3＋2a －15＝0，∴a ＝4，∴a ＋3＝7，∴这个正数是7的平方，即49． B 组1、D2、C3、B4、C5、26、257、－4 8、32- 9、－2015 10、2002． C 组1、A2、A3、34、21)1(21++=++n n n n 5、22+．。
平方根与立方根讲义(含答案)
平方根与立方根二、知识点+例题+练习知识点一：平方根与算术平方根1．平方根2．算术平方根3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a 的平方根表示为a （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．一、求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】（1）求下列各数的平方根和算术平方根：①4964；②0.0001；③5；④2(3)-（2）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．（3）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，则这个数是________．【例2】求下列各式的值（1）（2（3（4（5（6（1）2612=⨯=；（27512+=；（30.30.80.5=-=-；（429 0.91365 =⨯=；（520==；（6110.8250.25 5.2 45=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12；（2）12；（3）0.5-；（4）965；（5）20；（6）5.2．【变式训练1-1】9的算术平方根是A B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．【变式训练1-2】（-2）2的算术平方根是A．2 B．±2 C．-2 D【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．【变式训练1-3】25的平方根是A．5 B．-5 C．D．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D．【变式训练1-4】设a-3是一个数的算术平方根，那么A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3【答案】D【解析】∵3a -是一个数的算术平方根，∴30a -≥，解得3a ≥，故选D ．【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a0≥． 【变式训练1-5】下列说法正确的是是2的一个平方根②–4的算术平方根是2 的平方根是±2 ④0没有平方根 A．①②③ B ．①④C ．①③D ．②③④【答案】C是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误； 的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C ． 【变式训练1-6】求下列各式的值：（12）3）；（4 【解析】（1． （2）=-0.9． （3）=1114±． （4．二、利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解． 【例1】求下列各式中的x ．（1）x 2=17；（2）212149x -=0．【解析】（1）因为2(17=，所以x =． （2）2121049x -=， 212149x =， x =117±． 【例2】求下列各式中x 的值：（1）4（x -1）2-16=0； （2）8（2x +1）3-1=0.【解析】（1）4（x -1）2-16=0， 4（x -1）2=16， （x -1）2=4， x -1=±2， x =-1或x =3．（2）8（2x +1）2-1=0， 8（2x +1）2=1， （2x +1）2=18，2x +1=±4，2x =-1±4，x =-128-或x =-12+8．【变式训练2--1】求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______． 【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【变式训练2-2】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±； （2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±； （2）5x =±；（3）45x =或25x =-； （4）54x =或x =46．三、对定义和性质的考察【例1】判断下列各题，并说明理由（19±． （ ） （2）算术平方根一定是正数．（ ）（3 （ ） （4）2a -没有算术平方根． （ ）（53=±． （ ）（6）若236x =，则6x ==±． （ ） （7）6-是2(6)-的平方根． （ ） （8）2(6)-的平方根是6-． （ ） （9）2a 的算术平方根是a ．（ ）（105，则5a =-．（ ）（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． （ ） （12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． （ ）【解析】（6）（7）（12）正确． 【变式训练3-1】判断题：（1 ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( )（36，则6a =-．( )（4）若264x =，则8x =±．( )（58±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( ) 【解析】 （1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【例2】x 为何值时，下列各式有意义？（1；（2（3（4）；（5）；（6；【解析】略【答案】（1）0x≥；（2）x=0；（3）2x≤；（4）x为任意数；（5）x>1；（6）112x-≤≤．【变式训练3-2】若A=A的算术平方根是_________．【解析】A22(16)a+，故A的算术平方根为216a+．【答案】216a+【变式训练3-3】设a a的值是________．【解析】a48a必须是完全平方数，因为24843=⨯整数的整数a为3．【答案】3四、算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例1】a的取值为A．0 B．−12C．–1 D．1【答案】B【解析】∵2a+1≥02a+1=0，∴a的取值为–12．故选B．【例2】若实数x，y20（y+-=，则xy的值为__________．【答案】【解析】根据题意得：20xy⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，则xy=【例3】x、y0，则xy=__________．【答案】–6【解析】由题意可知：x+2=0，y–3=0，∴x=–2，y=3，∴xy=–6，故答案为：–6．【变式训练4-1】如果3a b-+【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a ba b-+=⎧⎨+-=⎩解得4353ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【变式训练4-2】已知2b=，求11a b+的平方根．【解析】由题可知940490aa-≥⎧⎨-≥⎩，49a∴=，b=2，==【答案】【变式训练4-3】已知x，y，z满足21441()02x y z-+-=，求()x z y-的值．【解析】由题可知44102012x yy zz⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412xyz⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y-1111()()22416=--⨯-=．【答案】1 161．立方根的概念和性质2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；=③3==a ．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a 是非负数，即a ≥0中，被开方数a 是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是 A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2 A ．－1B ．0C ．1D ．±1【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【变式训练1-1】下列计算中，错误的是AB 34=-C 112= D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D D ． 【变式训练1-2】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-， 所以-343的立方根是-7． （2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【变式训练1-3】求下列各式的值：（123）【解析】（1（2（3【例3】求下列各式的值（1（2（3） （4）3（5（6（7【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【变式训练1-4】（1）填表：（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；① 7.696=，= ．【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ①0.7696．二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例1】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例2】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-， 所以33x +=-，所以6x =-．【变式训练2-1】求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______． 【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2． 三、对立方根定义和性质的考察【例1】（1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ． a（2）61164-的立方根是（ ）A ． -B ．114±C ． 114D ．114- （3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个（4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；① 负数都有平方根，① 正数都有立方根；① 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对（6）下列运算中不正确的是（ ）A ． =B ． 3=C 1-D ．4【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【变式训练3-1】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40+则x 与y 的关系是______．（54=那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【答案】 （1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1； （7）0； （8） 四、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例1】64的平方根和立方根分别是A ．8，4B ．8，±4C ．±8，±4D ．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D ．【例9】已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是4，求a +b 的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a -1=9，根据立方根求出3a +b -1=64，转化为解方程得问题解决．【例2】已知x +122x +y -6的立方根是2．（1）求x ，y 的值；（2）求3xy 的平方根．【解析】（1）∵x +12的算术平方根是，2x +y -6的立方根是2．∴x +12=2=13，2x +y -6=23=8，∴x =1，y =12．（2）当x =1，y =12时，3xy =3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy 的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．【变式训练4-1】2(27)b +的立方根．【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+= 【答案】1【变式训练4-2】已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．【解析】2(2)=±，6x ∴=；3=，8y ∴=，10==±．【答案】101.在，，0，-2这四个数中，是无理数的为（）A．0 B． C． D．-22. 下列无理数中，与最接近的是（）A． B． C． D．3. ±3是9的（）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根答案与解析1.【答案】 C.【解析】根据无理数的概念: 无限不循环的小数,就是无理数;无理数主要有三类: ①开方开不尽的, ②π及含π的倍分等, ③如:0.1010010001…这类的无规律的数．2.【答案】C.【解析】根据算数平方根的意义,4=16, 再根据算术平方根的性质,被开方数越大, 其算术根越大,通过观察发现17的被开方数最接近16的被开方数,从而得出答案.3.【答案】A.【解析】解: ∵ 9)3(2=±, 3±∴是9的平方根. 故选A.1. 若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）A. 1000000B. 1000C. 10D. 100002. 若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= .3. 下列语句正确是（ ）A ．无限小数是无理数B ．无理数是无限小数C ．实数分为正实数和负实数D ．两个无理数的和还是无理数答案与解析1.【答案】B.【解析】 被开方数扩大2n 10倍，开方后结果扩大10n 倍；根据开方与乘法互逆运算可得.2.【答案】 -7. 【解析】2,3==b a a 3, 4.b ∴=±= 又0<ab ，a 3, 4.b ∴=-=则a-b = -7.3.【答案】B.【解析】 解: A.无限不循环小数是无理数, 故A 不符合题意;B.无理数是无限小数, 符合题意. C.实数分为正实数、负实数和0, 故C 不符合题意 D.互为相反数的两个无理数的和是0,不是无理数, 故D 不符合题意. 故答案为:B.1. 已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，求A －B 的平方根.2. 已知4+11的小数部分为a ，411-的小数部分为b ．求：（1）a+b 的值；（2）a-b 的值．1.【答案】A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，∴x-y=2; 又B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，∴x-2y+3=3，得方程组x y 2x 2y 33-=⎧⎨-+=⎩，解得：x 42y =⎧⎨=⎩，∴A=3，B=2 ∴A-B=1.【解析】根据算术平方根的概念和立方根的概念解题.2.【答案】3114<<，∴411+的小数部分a=4+11-7=11-3411-的小数部分b=4-11；（1）a+b=11-3+4-11=1；（2）a-b=11-3-（4-11）=-7．【解析】首先估算出11的取值范围：3＜11＜4，进一步确定a 、b 的数值，代入求得（1）（2）即可．基础1. 下列说法不正确的是( )A ．8的立方根是2B ．－8的立方根是－2C ．0的立方根是0D ．125的立方根是±5四、课后作业2. 所有和数轴上的点组成一一对应的数组成（ ）A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数3. 若2m-1没有平方根，则m 的取值范围是________.答案与解析1.【答案】D.【解析】 125的立方根是5,D 选项错误.根据立方根的定义,因为一个数的立方根只有一个,一个正数的立方根是正数,一个负数的立方根仍是负数.2.【答案】D.【解析】数轴上的点和实数是一一对应的关系.3.【答案】21≥m 【解析】 解: 负数没有平方根. 012≥-∴m , 21≥m . 故答案为:21≥m .1. 估计38的值在( )A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间2. 化简式子 )4(2-结果正确的是（ ）A ．±4B ．4C ．-4D ．±23. 一个正数x 的平方根是3a －4和1－6a ，求a 及x 的值．答案与解析1.【答案】C ．【分析】因为6的平方是36, 7的平方是49.而38在36和49 的中间，所以38的值在6和7之间. 故选：C ．2.【答案】B.【分析】应先算16)4(2=- , 再将求16的算数平方根即可.3.【答案】 解: 由题意得3a-4+1-6a=0, 解得a=-1则3a-4=-7, 4972==x .答:a 的值是-1,x 的值是49.1. 如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A ．3B ．8C ．5D ．2.52. 已知x+12平方根是±13，2x+y ﹣6的立方根是2，求3xy 的算术平方根．3. 已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣1的立方根是4，求a+b 的平方根．答案与解析1.【答案】C ．【分析】解答：2＜5＜2.5＜，2与离的最近，故选C．由图可知这个点与2离的最近，而其中四个选项中的数与2离的最近且大于1的数是．2.【答案】解: 由题意可知: X+12=13,2X+y-6=8,∴ x=1,y=13×y=3×1×12=36. 36的算术平方根为6.3.【答案】∵ 2a﹣1的平方根是±3，∴ 2a﹣1=9，∴ a=5，∵ 3a+b﹣1的立方根是4，∴ 3a+b﹣1=64，∴ b=50，∴ a+b=55，．∴ a+b的平方根是55。
列代数式-2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】
【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2.1列代数式【名师点睛】列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．规律方法：列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．【典例剖析】【例1】用代数式表示：（1）x的相反数与y的倒数的和；（2）a，b两数平方的和减去这两数的和的平方；（3）某电厂有煤m吨，计划每天用煤a吨，实际每天节约用煤b吨，节约后可多用 （ma―ma b） 天．（4）圆的半径为rcm，它的周长为 2πr cm，它的面积为 πr2 cm2．（5）某种瓜子的单价为16元/千克，则n千克需 16n 元．（6）某市出租车收费标准为：起步价10元，3千米后每千米价1.8元，则某人乘坐出租车x（x＞3）千米的付费为 10+1.8（x﹣3） 元．【分析】（1）x的相反数是﹣x，y的倒数，相加即可；（2）a，b两数的平方和是a2+b2，a，b两数的和平方是（a+b）2，相减即可；（3）计划用ma天，实际用ma b天，按要求相减即可；（4）根据圆的周长和面积公式列代数即可；（5）总价＝单价×质量；（6）起步价加上超过3千米的付费，列代数式即可．【解析】（1）﹣x+1 y；（2）a2+b2﹣（a+b）2；（3）ma―ma b；（4）2πr，πr2；（5）16n；（6）10+1.8（x﹣3）．故答案为：（1）﹣x+1 y；（2）a2+b2﹣（a+b）2；（3）ma―ma b；（4）2πr，πr2；（5）16n；（6）10+1.8（x﹣3）．【例2】．某果品公司欲请汽车运输公司或火车货运站将60t水果从A地运到B地，已知汽车与火车从A地到B地的运输运程均为skm，这两家运输单位在运输过程中，除都要收运输中每吨每小时5元的冷藏费外，要收取的其他费用及有关运输资料由如表给出：运输工具行驶速度（km/h）运费单位（元/tkm）装卸总费用（元）汽车5022500火车80 1.73310请分别求出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y1和y2．（用含s的式子表示）【分析】根据题意和表格中的数据可以表示出总费用y1和y2，本题得以解决．【解析】由题意可得，y1＝60×2s+2500+60×5×s50=126s+2500，y2＝60×1.7s+3310+60×5×s80=105.75s+3310，即y1＝126s+2500，y2＝105.75s+3310．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•信都区期中）用式子表示“比m的平方的3倍小2的数”为（ ）A．3m2﹣2B．（3m）2﹣2C．3（m﹣2）2D．（3m﹣2）2【分析】根据题意表示出：m的平方的3倍，即3m2，进而得出答案．【解析】由题意可得：3m2﹣2．故选：A．2．（2022春•舞钢市期中）某种细菌每分钟由1个裂变成3个，经过4分钟后，由1个裂变成34个，再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成（ ）A．3（x+4）个B．（x+4）3个C．（34+3）x个D．3x+4个【分析】根据每分钟由1个裂变成3个，数量是之前的3倍求解可得．【解析】根据题意可知，再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成3x+4个．故选：D．3．（2021秋•郯城县期中）用代数式表示：一个两位整数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数应表示为（ ）A．10a+b B．10b+a C．b+a D．a+b【分析】两位数＝10×十位数字+个位数字，把相关字母代入即可求解．【解析】∵一个两位整数，个位数字是a，十位数字是b，∴这个两位数可表示为10b+a．故选：B．4．（2021秋•青岛期中）“a与b的差的5倍”用代数式表示为（ ）A．a b5B．5（a﹣b）C．5a﹣b D．a﹣5b【分析】根据题意列出代数式即可．【解析】“a与b的差的5倍”用代数式表示为：5（a﹣b）．故选：B．5．（2021秋•福绵区期中）某中学组织七年级学生秋游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，若有2个空座位，那么用含m的代数式表示租用大客车的辆数是（ ）A．m245B．m245C．m45+2D．m45―2【分析】由大客车上一共可坐的人数除以每辆大客车可坐的人数即为租用大客车的辆数．【解析】共有2个空座位，那么一共可以坐（m+2）人，∴租用大客车的辆数是m2 45，故选：B．6．（2021秋•铜山区期中）某商品原价a元，因商品滞销，厂家降价10%，后因供不应求，又提价10%，现在这种商品的价格是（ ）A．a B．0.9a C．0.99a D．1.1a【分析】把原价a元看作单位1，先降价10%的价格是a×（1﹣10%），再把降价以后的价格看作单位1，即得提价10%的价格是a×（1﹣10%）（1+10%）．【解析】a×（1﹣10%）（1+10%）＝0.9a×1.1＝0.99a（元），答：现在这件商品的价格是0.99a元．故选：C．7．（2021秋•呼和浩特期中）某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7%，4月份比3月份增加了8%，则该公司4月份的利润为（ ）（单位：万元）A．（x﹣7%）（x+8%）B．（x﹣7%+8%）C．（1﹣7%+8%）x D．（1﹣7%）（1+8%）x【分析】利用减少率的意义表示出3月份的利润，然后利用增长率的意义表示出4月份的利润．【解析】由题意得：3月份的利润为（1﹣7%）x万元，4月份的利润为（1+8%）（1﹣7%）x万元，故选：D．8．（2021秋•江汉区期中）某超市出售某种商品，标价为a元，由于市场行情的变化，超市进行了第一次调价，在此基础上后来又进行了第二次调价，下列四种方案中，两次调价后售价最低的是（ ）A．第一次打九折，第二次打九折B．第一次提价60%，第二次打五折C．第一次提价40%，第二次降价40%D．第一次提价20%，第二次降价30%【分析】商品标价为a元，然后分别计算每种调价方案后的售价，进行比较求解．【解析】由题意知：商品标价为a元，A．第一次打九折，第二次打九折的售价为：0.9×0.9a＝0.81a（元）；B．第一次提价60%，第二次打五折的售价为：（1+60%）×0.5a＝0.8a（元）；C．第一次提价40%，第二次降价40%的售价为：（1+40%）（1﹣40%）a＝0.84a（元）；D．第一次提价20%，第二次降价30%的售价为：（1+20%）（1﹣30%）a＝0.84a（元）；∵0.8a＜0.81a＜0.84a，∴B选项的调价方案调价后售价最低．故选：B．9．（2020秋•西山区校级期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ）A．162B．154C．98D．70【分析】设中间的数为x，则另外6个数分别为（x﹣8），（x﹣6），（x﹣1），（x+1），（x+6），（x+8），将7个数相加可得出7个数之和为7的整数倍，再结合选项A中的数不是7的倍数，即可得出结论．【解析】设中间的数为x，则另外6个数分别为（x﹣8），（x﹣6），（x﹣1），（x+1），（x+6），（x+8），∴7个数之和为（x﹣8）+（x﹣6）+（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+8）＝7x，即7个数之和为7的整数倍．又∵162÷7＝2317，不为整数，∴这7个数的和不可能的是162．故选：A．10．（2020秋•沧州期中）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a＞2b）（ ）A．ab―πa24B．ab―πb22C．ab―πa22D．ab―πb24【分析】根据图形可得阴影部分的面积＝矩形的面积﹣两个扇形面积．【解析】S矩形＝长×宽＝ab，S扇形=14•πb2•2=12πb2，S阴影＝S矩形﹣S扇形＝ab―πb22．故选：B．二．填空题（共8小题）11．（2022春•黑山县期中）m的2倍与n的差大于0表示为： 2m﹣n＞0 ．【分析】先求倍数，然后求差，最后大于0即可．【解析】m的2倍为2m，与n的差为：2m﹣n，∴m的2倍与n的差大于0表示为：2m﹣n＞0．故答案为：2m﹣n＞0．12．（2021秋•鲤城区校级期中）表示“a与b的2倍的差”的代数式为 a﹣2b ．【分析】明确题中给出的文字语言包含的运算关系，先求倍数，最后求差，即a﹣2b．【解析】表示“a与b的2倍的差”的代数式为a﹣2b．故答案为：a﹣2b．13．（2021秋•隆回县期中）有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖，男生每人搬了20块，女生每人搬了15块，这a名男生和b名女生一共搬了 （40a+30b） 块砖（用含a、b的代数式表示）．【分析】首先表示出男生共搬运的砖数，再表示出女生共搬运的砖数，然后相加即可．【解析】男生每人搬了20块，共有a名男生，∴男生共搬运的砖数是：20a（块），女生每人搬了15块，共有b名女生，∴女生共搬运的砖数是：15b（块），∴男女生共搬运的砖数是：（20a+15b）块．故答案为：（20a+15b）．14．（2021秋•天津期中）一件上衣x元，先提价10%，再打八折后出售的价格是 0.88x 元/件．【分析】售价＝原价×（1+10%）×0.8，把相关数值代入计算即可．【解析】提价后的价格为（1+10%）x＝1.1x（元/件），∴再打八折以后出售的价格为1.1x×0.8＝0.88x（元/件），故答案为：0.88x．15．（2021秋•青岛期中）某地气象统计资料表明，高度每增加2千米，气温就降低大约12℃，现在在高度1千米处测得气温是17℃．x（x＞1）千米高空气温大约是 （23﹣6x） ℃（请用含x代数式表示并化简）．【分析】首先可求出在高度为0米时的气温，再根据题意列出式子即可．【解析】高度为0米处的气温为：17+12×12=23（℃），则x千米的高空气温为：23―x2×12＝（23﹣6x）℃，故答案为：（23﹣6x）．16．（2021秋•丹阳市期中）废纸回收能减少树木的砍伐量，保持森林覆盖率，有利于封山育林减少水土流失，有利于生态环境，能减少化学原料的运用与排放，减少污染，有利于环境维护和降低消费本钱．若回收废纸1kg，可生产再生纸0.6kg，小明和小亮每学期分别能回收讲义等废纸akg，bkg，这些废纸可生产再生纸 0.6（a+b） kg．（结果用含a，b的代数式表示）【分析】首先求出小明和小亮每学期回收废纸多少千克，再乘0.6即可求出这些废纸可生产再生纸的千克数即可．【解析】（a+b）×0.6＝0.6（a+b）kg．答：这些废纸可生产再生纸0.6（a+b）kg．故答案为：0.6（a+b）．17．（2019秋•静安区月考）某书每本定价为8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本的部分打八折，设一次购书数量为x本，付款金额为y元，请填写表：x本2722n（n＞10）y元16 56 156.8 6.4n+16 【分析】根据题意，可以分别计算出x＝7、22、n（n＞10）时对应的y的值．【解析】由题意可得，当x＝7时，y＝7×8＝56，当x＝22时，y＝10×8+（22﹣10）×8×0.8＝156.8，当x＝n（n＞10）时，y＝10×8+（n﹣10）×8×0.8＝6.4n+16，故答案为：56，156.8，6.4n+16．18．（2021秋•达川区期中）如图，阴影部分的面积用代数式表示为 （1―π4）a2 ．【分析】直接利用正方形面积减去扇形面积进而得出阴影部分面积．【解析】阴影部分的面积用代数式表示为：a2―90π×a2360=a2―πa24=（1―π4）a2．故答案为：（1―π4）a2．三．解答题（共7小题）19．列代数式．（1）长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是 2a+2b ；（2）某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生 （x+21） 人；（3）一个数比数x的2倍小3，则这个数为 2x﹣3 ；（4）鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头 （a+b） 个，脚 （2a+4b） 只．上述列式中，单项式有 0 个，多项式有 5 个．【分析】根据题意，找出数量关系，列出代数式．再根据单项式以及多项式的定义解决问题．【解析】（1）长方形的周长是2a+2b．（2）这个班共有学生（x +21）人．（3）这个数为2x ﹣3．（4）共有头（a +b ）个，脚有（2a +4b ）只．综上：单项式有0个，多项式有5个．20．某城市居民用电每千瓦时（度）0.33元，某户本月底电能表显示数m ，上月底电能表显示数为n ，（1）用m 和n 把本月电费表示出来；（2）若本月底电能表显示数是1601，上月底电能表显示数为1497，问本月的电费是多少？【分析】（1）本月用电量为本月底电能表显示数减去上月底显示数，再乘与每度的单价，列式即可；（2）把m ＝1601，n ＝1497代入计算即可．【解析】（1）本月电费可表示为0.33（m ﹣n ）元；（2）把m ＝1601，n ＝1497代入上式，得0.33×（1601﹣1497)＝34.32（元）．答：本月的电费为34.32元．21．上海与南京间的公路长为364千米，一辆汽车以x 千米/时的速度开往南京，用代数式表示：（1）汽车从上海到南京需多少小时？（2）如果汽车的速度增加2千米/时，从上海到南京需多少小时？（3）如果汽车的速度增加2千米/时，可比原来早到几小时？【分析】（1）根据题意，可以用代数式表示出汽车从上海到南京需要的时间；（2）根据题意，可以用代数式表示出汽车的速度增加2千米/时，从上海到南京需要的时间；（3）根据题意，可以用代数式表示出如果汽车的速度增加2千米/时，可比原来早到几小时．【解析】（1）汽车从上海到南京需364x小时；（2）如果汽车的速度增加2千米/时，从上海到南京需364x 2小时；（3）如果汽车的速度增加2千米/时，可比原来早到（364x―364x 2）小时．22．（2019秋•呼和浩特期末）一种蔬菜x 千克，不加工直接出售每千克可卖y 元；如果经过加工重量减少了20%，价格增加了40%，问：（1）x 千克这种蔬菜加工后可卖多少钱？（2）如果这种蔬菜1000千克，不加工直接出售每千克可卖1.50元，问加工后原1000千克这种蔬菜可卖多少钱？比加工前多卖多少钱？【分析】（1）求出加工后的蔬菜重量和价格，即可求出代数式；（2）将数字代入（1）中代数式即可．【解析】（1）x千克这种蔬菜加工后重量为x（1﹣20%）千克，价格为y（1+40%）元．x千克这种蔬菜加工后可卖x（1﹣20%）•y（1+40%）＝1.12xy元．（2）加工后可卖1.12×1000×1.5＝1680元，1.12×1000×1.5﹣1000×1.5＝180（元）比加工前多卖180元．23．某校准备组织教师去桂林旅游，甲旅行社说：“如果买一张全票，其余人享受半价优惠”．乙旅行社说：“全部按全票价的6折优惠”．若全票价为1780元，设教师人数为x，甲旅行社的收费为y甲，乙旅行社的收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费．（用代数式表示）【分析】甲旅行社一张全票花1780元，剩下（x﹣1）人，半价1780×12=890元，加起来即可；乙旅行社所有人打6折，每张票价为1780×60%＝1068元，乘于人数x列代数式即可．【解析】y甲=1780+12×1780×(x―1)=（890x+890）元；y乙＝1780×60%x＝1068x元．故答案为：y甲＝（890x+890）元；y乙＝1068x元．。
爱智康2017七年级尖子班寒假讲义第4讲平方根、立方根、实数
平方根、立方根、实数模块一平方根知识点睛（1）平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．也就是说，若x2=a，则x就叫做a的平方根。
一个非负数a的平方根可用符号表示为“±错误！未找到引用源。
”.（2）算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示为“错误！未找到引用源。
”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进行学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若a≥0，则错误！未找到引用源。
≥0.（3）平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根。
典型例题一、对定义和性质的考察【例1】判断题：（1）错误！未找到引用源。
一定是正数。
（）（2）a2的算术平方根是a。
（）（3）若错误！未找到引用源。
=6，则a=-6.（）（4）若x2=64，则x=±错误！未找到引用源。
=±8.（）（5）错误！未找到引用源。
的平方根是±8.（）（6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等。
（）（7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数。
（）（8）-a2没有平方根。
（）（9）如果两个非负数相等，那么它们各自的算术平方根也相等。
（）【例2】（1）错误！未找到引用源。
的平方根是（）A.81B.±3C.3D.-3（2）若A=错误！未找到引用源。
，则A的算术平方根是。
（3）设a是整数，则使错误！未找到引用源。
为最小正整数的a的值是。
【例3】x为何值时，下列各式有意义？（1）错误！未找到引用源。
（2）错误！未找到引用源。
（3）错误！未找到引用源。
（4）错误！未找到引用源。
初中数学-春季班-人教版-初一(教师版) 第4讲 平方根与立方根--尖子班
第4讲平方根、立方根知识点1 算术平方根x=2，那么这个正数x叫做a的算术平方根.1.如果一个正数x的平方等于a，即a()0≥a a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数.0=.规定：0的算术平方根是0 ，即02.规律小结算术平方根具有双重非负数：（1）被开方数具有非负性，即0≥a；a（2）本身具有非负性：即.0≥注：具有非负数才有算术平方根，而负数没有算术平方根.【典例】例1（2020秋•长安区期中）如图，表示()A．段①B．段②C．段③D．段④【解答】解：22.77.29=，=，22.6 6.76<<，6.7677.29∴<，2.6 2.7∴ 2.7 2.6-<-，故选：A ．【方法总结】本题考查了算术平方根以及估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方．例2 （20202y =-，则( )A ．12y x =B ．210x y --=C 1=D ．2x y -=【解答】解：根据题意可得：(21)(12)0x x --，12x ∴=， 20y ∴-=，解得：2y =，A 、211()24y x ==； B 、1212212x y --=⨯-=-；C 1=；D 、13222x y -=-=-； 故选：C ． 【方法总结】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义求出x 的值是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•海安市期中）若221(1)m a a +=++，其中0a >，则21m +的算术平方根为21a + ．（用含a 的式子表示） 【解答】解：221(1)m a a +=++，22(1)1m a a ∴=++-，22222122(1)1441(21)m a a a a a ∴+=++-=++=+，0a >，21m ∴+的算术平方根为21a +，故答案为21a+．2．（2020春•石泉县期末）小明想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为4:3，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？（通过计算说明）【解答】解：设长方形纸片的长为4x(0)x>厘米，则宽为3x厘米，依题意得x=，43360x x=，即230x>，∴=x∴长方形纸片的长为厘米，>，即长方形纸片的长大于20厘米，5由正方形纸片的面积为400平方厘米，可知其边长为20厘米，∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．答：不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．知识点2 平方根开平方1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，x=2，那么x叫做a的平方根.即如果a±”，读作“正、负根号a”正数a的平方根表示为“a2.平方根与算术平方根的区别与联系3.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方是一种运算，它与平方运算是互逆运算，开平方运算的结果就是平方根，我们就是利用开平方与平方的互逆运算关系求平方根.【典例】例1（2020春•单县校级期中）已知x 、y 满足216x =，且982y x-=-，求xy 的平方根． 【解答】解：216x =，4x ∴=±，∴当4x =时，9982824y x --==--⨯没有意义， 当4x =-时，9998282(4)16y x --===---⨯-， 99(4)()164xy ∴=-⨯-= xy ∴的平方根是32±． 【方法总结】本题考查了平方根的定义和求代数式的值．解题的关键是掌握算术平方根的定义．例2 （2020秋•长清区月考）已知21a -的平方根是31a b +-的算术平方根是6，求4a b +的平方根．【解答】解：根据题意，得2117a -=，2316a b +-=，解得9a =，10b =，所以，4941094049a b +=+⨯=+=，2(7)49±=，4a b ∴+的平方根是7±．【方法总结】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a 、b 的值是解题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•金牛区校级月考）互为相反数，z 是64的平方根，求x y z-+的平方根．【解答】解：∴0=，10x ∴+=，20y -=，解得1x =-，2y =， z 是64的平方根，8z ∴=或8z =-，当8z =时，1285x y z -+=--+=；当8z =-时，12811x y z -+=---=-（不合题意，舍去），所以，x y z -+ 的平方根是2．（2020秋•新蔡县期中）已知a A =36a b ++的算术平方根，2B a b =-是 9 的算术平方根， 求A B +的平方根 ．【解答】解： 根据题意得，2a b -=，23a b -=，解得1a =，1b =-，所以，6A ==，12(1)3B =-⨯-=，所以，639A B +=+=，2(3)9±=，A B ∴+的平方根是3±．知识点3 立方根1.一般地，如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 叫做a 的立方根或三次方根，这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方.3.理解立方根的概念需注意两点：（1）任意数a ；（2）判断一个数x 是不是某数a 的立方根，就看3x 是不是等于a.4. 立方根的性质（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 .（2）3333a a -=-（3）a a =33)(5.开立方：求一个数立方根的运算，叫做开立方.说明：开立方和立方互为逆运算，借助立方运算，我们可以求任意数的立方根. 【典例】例1 （2020秋•滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x 为512-时，输出的数y 的值是( )A ．BC ．2-D ．2【解答】解：由题中所给的程序可知：把512-取立方根，结果为8-，因为8-是有理数，所以再取立方根为2-，2-是有理数，所以再取立方根为=因为故选：A ．【方法总结】本题考查了立方根，此类题目比较简单，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序． 例2 （2020秋•正定县期中）已知2250x -=，364(1)10y --=，求|4|x y -的值．【解答】解：2250x -=，225x ∴=，5x ∴=±；364(1)10y --=，31(1)64y ∴-=，114y ∴-=， 54y ∴=， 当5x =，54y =时，|4|550x y -=-=， 当5x =-，54y =时，|4||55|10x y -=--=． 故|4|x y -的值为0或10．【方法总结】本题主要考查了平方根、立方根以及绝对值，熟记相关定义是解答本题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•下城区校级期中）若实数9a +的一个平方根是5-，2b a -的立方根是2-，求【解答】解：实数9a +的一个平方根是5-，925a ∴+=，解得16a =，2b a -的立方根是2-，32(2)8b a ∴-=-=-，即2168b -=-，解得4b =，∴426=+=，6∴的的平方根为2．（2020 1.2639≈ 2.7629≈ _____________．【解答】解： 1.2639≈，∴==110=-0.12639≈-．故答案为：0.12639-．综合运用1．（20200，则2020()a b -的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．0【解答】解：0=， 0a ∴=，0b =，20202020()00a b ∴-==，故选：D ．2．（2020a b +的值为______．【解答】解：∴0=，30a ∴-=，40b +=，解得3a =，4b =-，3(4)1a b ∴+=+-=-，故答案为：1-．3．（2020秋•金牛区校级月考）互为相反数，z 是64的平方根，求x y z-+的平方根．【解答】解：∴0=，10x ∴+=，20y -=，解得1x =-，2y =， z 是64的平方根，8z ∴=或8z =-，当8z =时，1285x y z -+=--+=；当8z =-时，12811x y z -+=---=-（不合题意，舍去），所以，x y z -+ 的平方根是4．（2020春•潮安区期中）有一个边长为9cm 的正方形和一个长为24cm 、宽为6cm 的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少厘米？【解答】解：设正方形的边长为x 厘米．依题意得：299246x =⨯+⨯，即2225x =，15x ∴=．答：正方形的边长为15厘米．5．（2020秋•宝应县期中）求下列各式中x 的值．（1）2(1)2x +=；（2）329203x +=． 【解答】解：（1）2(1)2x +=，1x +=11x ，21x =．（2）329203x +=， 32923x =-， 3827x =-， 23x =-．6．（2020秋•荥阳市期中）已知21x +的算术平方根是04=，z 是27-的立方根， 求2x y z ++的平方根．【解答】解：21x +的算术平方根是0，210x ∴+=，21x ∴=-，4=，16y ∴=， z 是27-的立方根，3z ∴=-，2116312x y z ∴++=-+-=，2x y z ∴++的平方根是±．故答案为：±7．（2020秋•吴江区期中）（1）若实数m 、n 满足等式|2|0m -=，求23m n +的平方根；（2）已知8y【解答】解：（1）|2|0m -，|2|0m -0， 20m ∴-=，40n -=，解得2m =，4n =，2341216m n ∴+=+=，23m n ∴+的平方根为4=±；（2）8y x =-， ∴240240x x -⎧⎨-⎩， 24x ∴=，8y =-，∴4===．8．（2020春•渝水区校级月考）已知一个正数m 的平方根为21n +和43n -．（1）求m 的值；（2）2|3|()0a c n --=，a b c ++的立方根是多少？【解答】解：（1）正数m 的平方根互为相反数， 21430n n ∴++-=，5n ∴=，2111n ∴+=，121m ∴=；（2）2|3|()0a c n --=， 3a ∴=，0b =，5c n ==， 3058a b c ∴++=++=， a b c ∴++的立方根是2．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
尖子生培优教材数学七年级上第四讲。
平方根与立方根讲义及答案第四讲：平方根与立方根知识导引：平方根和立方根的概念在数学中起到了十分重要的作用。
这些概念是通过逆运算来建立的，并且有多种不同的情况。
因此，理解这些概念的最好方法是从平方和立方的概念开始。
此外，还应该学会使用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题。
1.有关平方根：1) 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
2) 算术平方根a的双重非负性：a≥0；a≥0.3) a的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式。
2.有关立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
因此，任何数都有立方根。
3.实数的几种非负形式：1) a≥0（a为实数）；2) a < 0，|a|≥0（a为实数）。
4.算术平方根的主要性质：1) (√a)²=a；2) a≥0，√(a²)=a；3) ab≥0，√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；4) a≥0，b>0，(√a/√b)²=a/b。
典例精析：例1：填空题：1) (-3)的算术平方根是______。
2) 平方根等于它本身的数是______。
3) 和数轴上的点一一对应的数是______。
例1-1：下列说法正确的有：(填入相应的序号)。
①-8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④6根2是2；⑤根是±8；⑥9=±3.例1-2：已知x+2+y-3+(z+1)²=______，求x+y+z的平方根。
例2：比较大小：1) -23与-32.2) 1/2，x，x，x(<x<1)。
例2-1：设a=3-2，b=2-3，c=3-2，则a、b、c的大小关系是( )。
A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a例3：观察下列等式：32/22=23，33=33=43，34.可得出一般规律是______。
例4：如图是实数a、b在数轴上的位置，化简a-b-(a-b)²。
例5：已知x，y是实数，且3x+4+y-3=0，则xy的值是______。
2例5-1：如果实数x，y满足x+2+(y-3)=0，则xy的值是多少。
例6：我国数学家XXX在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根。
XXX脱口而出：“39”。
众人十分惊讶，忙问计算的奥妙。
你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请按照下面的问题试一试。
331）由10=1000，100=xxxxxxx，你能确定是几位数吗？2）由的个位数字9，你能确定的个位数是几吗？3）如果划去后面三位数319得到数59，而3=27，4=64，由此你能确定的十位数是几吗？4）现在换一个数，你能按这种方法说出它的立方根吗？例7：已知9+13与9-13的小数部分分别为a、b，求4a+4b+8的值。
探究活动例：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：1)2+1=2/1=1/2.2+1=3/2.2+1=4/3.2+1=5/4.…2)推算出OA10的长。
3)求出S1+S2+S3+…+S10.学力训练A组务实基础1、若a<0，则下列结论不成立的是（）A、a=(-a)B、a=(−a)C、a²=a²D、a=−a2、实数：−5，22，2−2，π，3，39在数轴上的对应点，既在点A，C之间，又在点B，D之间的有（）A、3个B、4个C、5个D、2个3、下列各式中正确的是（）A、(±)√(1/4)=1/2B、2²=1/4C、4+√33=4+√33D、132−72=13−7=64、已知x满足2008−x+x−2009=x，那么x−2008²的值为多少。
5、已知实数a、b满足a+b=4，ab=−1，求实数a、b的值为多少。
6、满足−3<x<5的整数x是多少？7、已知32x−3与33−5y互为相反数，则x的值为多少？y8、填空：已知40≈6.325，则4×105≈2520.设2=a，3=b，用含a、b的式子表示54为a³b²。
9、已知m满足m+m²+3m³=1/2，求m−1+m+1的值为多少。
10、如果一个正数的平方根是a+3与2a−15，那么这个正数是多少？1、已知20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（）A、2B、3C、4D、5答案：B最小的正整数n，使得20n是整数，就是n=2，因为20的因数中含有2^2.2、如图，数轴上点A表示的可能是（）A、4的算术平方根B、根C、8的算术平方根D、8的立方根答案：A点A的坐标是2，而4的算术平方根是2.3、比较2，5，37的大小，正确的是（）A、2＜5＜37B、37＜2＜5C、2＜37＜5D、5＜37＜2答案：A2＜5＜37，符合大小关系。
4、已知a=5，b2=3，且ab＞，则a＋b的值为（）A、8B、－2C、8或－8D、2或－2答案：D由ab＞可得b＞0，而b2=3，所以b=√3.因此，a+b=5+√3或5-√3，即a+b=5±√3.5、已知：一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是．答案：6设这个正数为x，则有：2a-2)^2 = xa-4)^2 = x将两式相减，得到：2a-2)^2 - (a-4)^2 = (2a-2+a-4)(2a-2-a+4) = 6a-6又因为这个正数为正数，所以2a-2>a-4，即a>3.因此，6a-6>12，即a>2.综合起来，a>3.另一方面，由已知可得：2a-2 = √xa-4 = √x将两式相加，得到：3a-6 = √x + √x = 2√x因此，a = (2√x+6)/3.将a>3代入，得到：2√x+6)/3.32√x+6.92√x。
3x。
9/4另一方面，由已知可得：2a-2 = √xa-4 = √x将两式相乘，得到：2a-2)(a-4) = x2a^2 - 10a + 8 = x将a = (2√x+6)/3代入，得到：2(2√x+6)^2/9 - 10(2√x+6)/3 + 8 = x8x/9 + 8/3 - 20√x/3 + 8 = x8x/9 - 20√x/3 + 20/3 = 024x - 180√x + 400 = 0x = 36因此，a = (2√36+6)/3 = 6.6、已知a、b为有理数，m、n分别表示5-7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a＋b＝．答案：-1因为5-7=-2，所以m=-2，n=0..又因为amn+bn2=1，所以a(-2+0..)+b(0..)2=1，即a(-1..)+b(0..)≈1.又因为a、b为有理数，所以a=-1，b=0.因此，2a+b=-2+0=-2.7、计算：327+()−2．答案：327+(-2) = 3258、计算：(−3)−27+1−2+答案：(−3)−27+1−2+ = −3−128+1−2 = −1329、若a满足2014−a+a−2015=a，求a−2014的值．答案：2014−a+a−2015=a，整理得到a=2015/2，因此a−2014=1/2.10、观察下列分母有理化的运算：1/2+1/3 = 5/61/3+1/4 = 7/121/4+1/5 = 9/201/2001+1/2002 = 4003/1/2002+1/2003 = 4005/由观察可得，对于n≥2，有：1/n+(1/(n+1)) = (2n+1)/(n(n+1))因此，对于/(1+2^2+3^2+。
+2001^2+2002^2+2003^2)，有：/(1+2^2+3^2+。
+2001^2+2002^2+2003^2) = /(4003/+4005/) = /xxxxxxxC组冲击金牌1、已知x是实数，则x−π+1/(x−1π)的值是（）答案：1将x−π表示为(x−1π)/(x−1)+1，代入原式，得到：x−π+1/(x−1π) = (x−1π)/(x−1)+1+1/(x−1π)x−1π+1+(x−1π)^2)/(x−1π(x−1))+1x−1π+1+x^2-2xπ+π^2)/(xπ−x−π+1)+1x^2+(1−2π)x+1+π^2)/(xπ−(π−1)x−π+1)+1x−π+1)^2−2π(x−π+1)+π^2)/(xπ−(π−1)x−π+1)+1x−π+1)−π)^2/(xπ−(π−1)x−π+1)+11/(xπ−(π−1)x−π+1)+11因此，原式的值是1.2、如图，数轴上A，B两点表示的数分别为−1和3，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数为（）答案：7点C在点A的左侧，距离点A和点B的距离相等，因此表示的数为7.3、设m=5+1，则m+1的整数部分为．答案：6由m=5+1可得m+1=7，整数部分为6.4、观察下列各式：1+1/2+1/3+。
+1/n = ln(n)+γ+O(1/n)1^3+2^3+3^3+。
+n^3 = (n(n+1)/2)^2其中，γ为欧拉常数，O(1/n)表示当n趋近于无穷大时，1/n的阶数不超过1/n。
因此，对于不小于3的实数a、b、c，有：a−2+b+1+1−c−1 = a−2+b+1−c1+1/2+1/3+。
+1/a)+(1^3+2^3+3^3+。
+b^3)-(c+1)ln(a)+γ+O(1/a)+(b(b+1)/2)^2-(c+1)当a趋近于无穷大时，O(1/a)趋近于0，因此：lim(a→∞)ln(a)+γ+O(1/a)+(b(b+1)/2)^2-(c+1) = ∞因此，a−2+b+1+1−c−1的最小值不存在。
4、原式可以化简为-2b，因此答案为-2b。
5、根据题意可知：（1）是一个六位数；（2）的个位数是9；（3）的十位数是3；（4）的立方根是577.另外，9+13和9-13的整数部分分别是12和5，因此a=13-3=10，b=4-13=-9.将a和b代入4a+4b+8中，得到答案为-20.探究活动：2解：（1）根据等差数列求和公式可知，S_n=n/2*(a_1+a_n)，其中a_1为首项，a_n为末项。
因为本题中首项为1，公差为1，末项为n，代入公式可得S_n=n/2*(1+n)。
因此，S_100=100/2*(1+100)=5050.又因为1+2+…+n=n*(n+1)/2，所以1+2+…+99=99*100/2=4950.因此，100的和与1到99的和之差为100.2）根据勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。