(新课标)高考数学一轮总复习 第五章 数列 5-3 等比数列及其前n项和课时规范练 文(含解析)新人

5-3 等比数列及其前n 项和课时规X 练

A 组 基础对点练

1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B.42 C ．63

D.84

2．(2018·某某质检)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝( C ) A ．14 B.28 C ．32

D.64

3．(2017·某某摸底考试)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( B ) A ．9或－9 B.9 C ．27或－27

D.27

解析：∵数列{a n }为等比数列，且a 5＝1，a 9＝81， ∴a 2

7＝a 5a 9＝1×81＝81， ∴a 7＝±9.

当a 7＝－9时，a 2

6＝1×(－9)＝－9不成立，舍去． ∴a 7＝9.故选B.

4．(2018·某某调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则{a n }的通项公式a n ＝( B ) A ．－2n B.2n C ．2n －1

D.2n ＋1

解析：由题意，得a 2a 8＝a 2

4，又a n ＝a 1＋2(n －1)，所以(a 1＋2)(a 1＋14)＝(a 1＋6)2

，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .故选B.

5．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( D ) A ．－3 B.－1 C ．1

D.3

解析：在等比数列{a n }中， ∵a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，

∴a 4－a 3＝2S 3＋1－(2S 2＋1)＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3， ∴q ＝a 4

a 3

＝3.故选D.

6．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？( C ) A ．5 B.4 C ．3

D.2

7．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( D ) A ．5 B.9 C ．log 345

D.10

解析：由等比数列性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝9， 则原式＝log 3a 1a 2…a 10＝log 3(a 5a 6)5

＝10.

8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2

5＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是__－2__. 9．(2018·某某调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5＝5，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝ __9__.

解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质，可得a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 3·a 7＝a 4·a 6＝a 2

5＝52

，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝log 5(a 1·a 2·…·a 9) ＝log 5[(a 1·a 9)·(a 2·a 8)·(a 3·a 7)·(a 4·a 6)·a 5]＝log 5a 9

5＝log 559

＝9.

10．(2018·某某统考)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝4，a n ＋1＝3S n ＋4(n ∈N *

)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <89.

解析：(1)因为a n ＋1＝3S n ＋4， 所以a n ＝3S n －1＋4(n ≥2)，

两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 2＝3a 1＋4＝16＝4a 1，

所以数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n ＝4n

. (2)证明：因为a n b n ＝log 2a n ，所以b n ＝2n

4n ，

所以T n ＝241＋442＋643＋ (2)

4n ，

14T n ＝242＋443＋644＋ (2)

4

n ＋1，

两式相减得，34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n

4n ＋1

＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋143＋1

44＋…＋14n －2n 4n ＋1

＝2×14⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－14n 1－14－2n 4n ＋1＝23－23×4n －2n

4n ＋1

＝23－6n ＋83×4n ＋1， 所以T n ＝89－6n ＋89×4n <8

9

.

11．(2017·某某质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋1

2n a n ，n ∈N *.

(1)求证：数列{a n

n

}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝

n ＋12n a n ，知a n ＋1n ＋1＝12·a n

n

， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，1

2为公比的等比数列．

(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是首项为12，公比为1

2的等比数列，

∴a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝n

2

n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n

2n ，①

则12S n ＝122＋223＋…＋n

2

n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，

∴S n ＝2－

n ＋2

2

n

.

B 组 能力提升练

1．已知等比数列{a n }满足a 1＝1

4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )

A ．2

B.1