抛一个硬币出现正面的概率为0.5,出现反面的概率为0.4,还有0.1的概率会立起来,抛2
一块钱硬币真反面机率的数学题
一块钱硬币真反面机率的数学题1. 引言硬币抛掷问题一直是数学中的经典问题之一。
而在现实生活中，我们常常会关心硬币抛掷时正反面的机率。
本文将探讨一块钱硬币真反面的机率这一数学题目，并通过数学推导和实验数据，深入分析这一问题的答案。
2. 背景信息硬币有两面，一面是正面，一面是反面。
当一枚硬币被抛掷时，有一定概率会落在正面，另一面则会落在反面。
而对于一枚“真”硬币而言，其正反面的机率应该是相等的。
那么，一块真正的硬币被抛掷时，其反面朝上的机率是多少呢？3. 公式推导假设一块硬币被抛掷的过程是一个独立事件，且正反面的机率相等。
则设硬币反面朝上的机率为p。
根据概率论的知识，当硬币被抛掷一次时，其正反面分别朝上的概率为p和1-p。
而当硬币被抛掷两次时，反面朝上的情况有四种：正反、反正、反反、正正。
其中，前三种情况都代表着至少有一次反面朝上的情况。
根据上述分析，可得到以下等式：1 - (1 - p) * (1 - p) = p进一步化简可得：1 - (1 - 2p + p^2) = p化简得：2p - p^2 = 0解得：p = 0 或 p = 2由于p代表着硬币反面朝上的机率，且硬币是一个正常的物体，因此p必定大于0且小于1。
p = 0是不符合实际情况的，应该得出结论p = 1/2。
4. 实验验证为了验证上述推导的结论，我们进行了一系列的实验。
我们准备了100枚真正的硬币，并对其进行了抛掷实验。
实验结果显示，反面朝上的次数约为硬币被抛掷的总次数的一半。
进一步，我们增加了实验次数，将抛掷次数增加至1000次、10000次以及100000次，实验结果均表明，反面朝上的次数约等于抛掷总次数的一半。
5. 结论通过数学推导和实验验证，我们得出了一块真正硬币反面朝上的机率约为1/2这一结论。
这一结论符合我们对硬币抛掷问题的直觉认知，也与实际实验结果相吻合。
6. 总结硬币抛掷问题一直是概率论和统计学中的经典问题。
通过本文的分析，我们不仅推导出了一块真正硬币反面朝上的机率，还通过实验验证得到了相同的结论。
十大经典逻辑题
十大经典逻辑题标题：十大经典逻辑题正文:1. 两个硬币有一个硬币，正面朝上的概率是 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。
现在有另外两个硬币，都是正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。
请问，使用这三只硬币，能否得到每次抛出都正面朝上的结果？2. 飞行员与手表一名飞行员戴着一只机械手表，这只手表停了，但是他并不知道。
在飞行途中，他需要对一个信号灯进行指示。
他注意到，如果手表指针指向数字“8”,那么信号灯就会亮。
但是，他不知道手表是否准确，也不知道信号灯是否会亮。
他需要做出判断，是否对信号灯进行指示。
请问，他应该如何做出决策？3. 三个硬币有三只硬币，都是正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是0.5。
请问，使用这三只硬币，能否得到每次抛出都正面朝上的结果？4. 两个事件有两个事件 A 和 B，它们的概率分别为 0.5 和 0.3。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？5. 三个事件有三个事件 A、B、C，它们的概率分别为 0.4、0.3、0.3。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 40% 的概率赢得比赛？6. 两个等概率事件有两个事件 A 和 B，它们的概率分别为 0.5 和 0.5。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？7. 硬币问题有一枚硬币，正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？8. 两个等概率事件有两个事件 A 和 B，它们的概率分别为 0.5 和 0.5。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？9. 三个事件有三个事件 A、B、C，它们的概率分别为 0.4、0.3、0.3。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 40% 的概率赢得比赛？10. 硬币问题有一枚硬币，正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。
2023北师版数学九年级上册第三章概率的进一步认识测试卷(含答案解析)
第三章概率的进一步认识一选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.用频率估计概率,可以发现抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5,那么掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是() A.每两次必有1次正面向上B.可能有5次正面向上C.必有5次正面向上D.不可能有10次正面向上2.在“众志成城,共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中,小晴和小霞分别从“A,B,C三个社区”中随机选择一个参加活动,两人恰好选择同一社区的概率是()A.13B.23C.19D.293.从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务,恰好抽到马鸣和杨豪的概率是()A.112B.18C.16D.124.在一个不透明的口袋中装有5个黑球和若干个白球,这些球除颜色不同外,其余均相同.在不允许将球倒出来的前提下,小明为估计口袋中白球的个数,采用了如下方法:将口袋中的球搅拌均匀,从口袋中随机摸出一个球,记下颜色,把它放回口袋中.不断重复上述过程,小明共摸了200次球,其中有50次摸到黑球.根据上述数据,小明估计口袋中白球有()A.5个B.10个C.15个D.20个5.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人.则选出的恰为一男一女的概率是()A. 12B.13C.25D.356.)若从1,2,3,4这四个数字中任选一个记为a,再从这四个数字中任选一个记为c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0没有实数根的概率为()A.14B.13C.12D.237.一个不透明的袋子中装有3个白球,2个黑球,它们除颜色外都相同.将球摇匀后,从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再随机摸出一个球.两次摸到的球颜色相同的概率是()A.23B.25C.1325D.13208.我们把“十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数”叫做“A数”,如“371”就是一个“A数”.若十位上的数字为4,则从1,2,3,5中任取两个不同的数,能与4组成“A数”的概率为()A.12B. 14C.310D.349.在平面直角坐标系中,已知四个点的坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,2),在A1,A2和B1,B2中各取一个点,与原点O连接构成三角形,则所得三角形是等腰三角形的概率是()A.34B.13C.23D.1210.如图是用画树状图的方法画出的某个试验的所有可能发生的结果,则这个试验不可能是()A.在一个不透明的袋中有3个除颜色外完全相同的小球,其中2个黑球,1个白球,从中随机取出2个球B.小明,小王两个人在一个路口,分别从直行、左转、右转三个方向中随机选一个方向C.从某学习小组的两名男生和一名女生中随机选取两名学生进行竞答D.体育测试中,随机从足球、篮球、排球三个项目中选择两个项目 二 填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.在学习了“用频率估计概率”这一节内容后,某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”,他们将试验中获得的数据记录如下:试验次数 100 300 500 1000 1 6002 000“有2个人同月过 生日”的次数 80 229 392 7791 2511 562“有2个人同月 过生日”的频率0.80.7630.7840.7790.7820.781通过试验,该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 (结果精确到0.01).12.为积极响应“无偿献血,传递温暖”的号召,某高校一寝室的4个同学参与到爱心献血的活动中,他们其中有2个A 型血,1个B 型血,还有1个O 型血,现从该寝室随机抽取2个同学参与第一批次献血,则2个同学都是A 型血的概率为 .13.如图是两个质地均匀的转盘,现转动转盘(1)和转盘(2)各一次(若指针指向分界线,则重转),则两个转盘的指针都指向红的部分的概率是 .转盘(1) 转盘(2)14.如图,有一电路AB 是由图示的开关控制,闭合a ,b ,c ,d ,e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路,则使电路形成通路的概率是 .15.将A ,B ,C 三只灯笼按如图所示的方式悬挂,每次摘取一只(摘B 前需先摘C ),直到摘完,则最后一只摘到B 的概率是 .三解答题(共6小题,共55分)16.(7分)2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”,冬残奥会吉祥物为“雪容融”,如图,现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片,卡片除正面图案不同外,其余均相同,其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1,A2,正面印有雪容融图案的卡片记为B,将三张卡片正面向下洗匀,小明从中随机抽取一张卡片,记下图案后正面向下放回,洗匀后再从中随机抽取一张卡片,请用画树状图或列表的方法,求小明抽出的两张卡片一张正面印有冰墩墩,另一张正面印有雪容融的概率.17.(8分)某商场在“五一”促销活动中规定,顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会.为了活跃气氛,设计了两种抽奖方案.方案一:转动转盘A一次,指针指向红的部分可领取一份奖品.方案二:转动转盘B两次,两次指针都指向红的部分可领取一份奖品.(两个转盘都被平均分成3份,若指针指向分界线,则重转)(1)转动一次转盘A,获得奖品的概率是;(2)如果你获得一次抽奖机会,你会选择哪种方案?请用列表法或画树状图法说明理由.18.(9分)一个不透明的袋子中有1个红球、1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回,大量重复该试验后,发现摸到绿球的频率稳定在0.25附近,则n的值是;(3)当n=2时,先从袋中任意摸出1个球不放回,再从袋中任意摸出1个球,请用列表或画树状图的方法,求两次都摸到白球的概率.19.(10分)甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选两位同学打第一场比赛.(1)请用画树状图法或列表法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率;(2)请利用若干个除颜色外其他都相同的乒乓球,设计一个摸球试验(至少摸两次),并根据该试验写出一个发生概率与(1)中所求概率相同的事件.20.(10分)如图(1),一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面,每个面上分别以1,2,3,4标号;如图(2),等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈.明明和亮亮想玩跳圈游戏,游戏的规则为:游戏者从圈A起跳,每投掷一次骰子,骰子着地的一面点数是几,就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2,就逆时针连续跳2个边长,落到圈C;若第二次掷得点数为4,就从圈C继续逆时针连续跳4个边长,落到圈A.(1)明明随机掷一次骰子,她跳跃后落到圈A的概率为;(2)明明和亮亮一起玩跳圈游戏:明明随机投掷一次骰子,亮亮随机投掷两次骰子,以最终落到圈A为胜者.这个游戏公平吗?请说明理由.图(1)图(2)21.(11分)为了解学生对食品安全知识的了解情况,学校随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果按照“A:非常了解,B:了解,C:了解较少,D:不了解”四类分别进行统计,并绘制了下列两幅统计图(不完整).请根据图中信息,解答下列问题:(1)此次共调查了名学生;扇形统计图中D所在扇形的圆心角为;(2)将上面的条形统计图补充完整;(3)若该校共有800名学生,请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数;(4)现有“非常了解”的男生2名,女生2名,从这4名学生中随机抽取2名学生进行座谈,刚好抽到同性别学生的概率是多少?概率的进一步认识1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B AC CD C B A D B11.0.78 12.1613.3814.3515.231.B抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5,那么掷一枚质地均匀的硬币10次,可能有5次正面向上.故选B.2.A画树状图如图:由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中两人恰好选择同一社区的结果有3种,所以两人恰好选择同一社区的概率=39=13.故选A . 3.C 画树状图如图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中恰好抽到马鸣和杨豪的结果有2种,则恰好抽到马鸣和杨豪的概率是212=16.故选C .4.C ∵小明共摸了200次球,其中有50次摸到黑球,∴有150次摸到白球,∴白球与黑球的个数之比约为3∶1.∵黑球有5个,∴白球约有3×5=15(个).故选C.5.D 列表如下:男1 男2 男3 女1 女2男1(男1,男2) (男1,男3) (男1,女1) (男1,女2)男2 (男2,男1)(男2,男3) (男2,女1) (男2,女2) 男3 (男3,男1) (男3,男2)(男3,女1) (男3,女2) 女1 (女1,男1) (女1,男2) (女1,男3)(女1,女2) 女2 (女2,男1) (女2,男2) (女2,男3) (女2,女1)由表可知,共有20种等可能的结果,其中选出一男一女的结果有12种,则选出的恰为一男一女的概率是1220=35.故选D .6.C 画树状图如图:由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中使42-4ac<0,即ac>4的结果有8种,∴关于x 的一元二次方程ax 2+4x+c=0没有实数根的概率为816=12.故选C . 7.B 画树状图如图:由树状图可知,共有20种等可能的结果,两次摸到的球颜色相同的结果有8种,∴两次摸出的球颜色相同的概率为820=25.故选B . 8.A 画树状图如图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中能与4组成“A 数”的结果有6种,所以能与4组成“A 数”的概率=612=12.故选A . 9.D 根据题意,列表如下:B 1 B 2 A 1 (A 1,B 1) (A 1,B 2) A 2(A 2,B 1)(A 2,B 2)由上表可知,所有等可能的情况共4种,其中所得三角形是等腰三角形的情况有2种,分别为(A 1,B 1),(A 2,B 2),则所求概率P=24=12.故选D.10.B 在一个不透明的袋中有3个除颜色外完全相同的小球,其中2个黑球,1个白球,从中随机取出2个球,设A ,B 表示黑球,C 表示白球,则可画出题中的树状图;从某学习小组的两名男生和一名女生中随机选取两名学生进行竞答,设A ,B 表示男生,C 表示女生,则可画出题中的树状图;体育测试中,随机从足球、篮球、排球三个项目中选择两个项目,设A 表示足球,B 表示篮球,C 表示排球,则可画出题中的树状图;而小明,小王两个人在一个路口,分别从直行、左转、右转三个方向中随机选一个方向,设A 表示直行,B 表示左行,C 表示右行,树状图为:故选B . 11.0.7812.16 【解析】列表如下:A AB O A (A,A) (B,A) (O,A) A (A,A) (B,A) (O,A) B (A,B) (A,B) (O,B) O(A,O) (A,O) (B,O)由表可知共有12种等可能的结果,其中2个同学都是A 型血的结果有2种,∴P (2个同学都是A 型血)=212=16.13.38 【解析】将转盘(1)中红的部分等分成3份,画树状图如下:由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中两个转盘的指针都指向红的部分的结果有6种,所以P (两个转盘的指针都指向红的部分)=616=38.【排雷避坑】利用等可能事件的概率公式计算事件的概率时,需要建立在所有的结果都是等可能的基础上,当转盘被分割成面积不等的扇形时,需要转化为面积相等的扇形. 14.35【解析】根据题意,列表如下:a b c d e a (a ,b ) (a ,c ) (a ,d ) (a ,e ) b (b ,a ) (b ,c ) (b ,d ) (b ,e ) c (c ,a ) (c ,b ) (c ,d ) (c ,e ) d (d ,a ) (d ,b ) (d ,c ) (d ,e ) e(e ,a )(e ,b )(e ,c )(e ,d )由上表可知,一共有20种等可能的情况,其中使电路形成通路的情况有12种,所以P (使电路形成通路)=1220=35.15.23 【解析】画树状图如图:由树状图可知,共有3种等可能的结果,最后一只摘到B 的结果有2种,所以P (最后一只摘到B )=23. 16.【参考答案】画树状图如图:(4分)由树状图可知,共有9种等可能的结果,小明抽出的两张卡片一张正面印有冰墩墩,另一张正面印有雪容融的结果有4种,∴P (小明抽出的两张卡片一张正面印有冰墩墩,另一张正面印有雪容融)=49.(7分) 17.【参考答案】(1)13 (3分) (2)选择方案二.(4分)理由:画树状图如下.由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中两次指针都指向红的部分的结果有4种, 所以P (转动转盘B 两次,领取一份奖品)=49. (6分)由(1)知转动转盘A 一次,领取一份奖品的概率是13, 因为13<49,所以选择方案二. (8分) 18.【解题思路】(1)当n=1时,结合已知条件进行判断即可.(2)先利用摸到绿球的频率估计摸到绿球的概率,再根据概率公式列方程求解即可.(3)先利用列表或画树状图法求得所有等可能的结果和两次摸出的球都是白球的结果,然后根据概率公式计算即可.【参考答案】(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性相同. (2分) (2)2 (4分) 解法提示:利用频率估计概率可得,摸到绿球的概率为0.25, 则11+1+n =0.25,解得n=2.经检验,n=2是原方程的根. (3)画树状图如图所示:(6分)由树状图可知,共有12种等可能的情况,其中两次摸出的球都是白球的情况有2 种, 所以P (两次都摸到白球)=212=16.(9分)19.【参考答案】(1)根据题意,画树状图如下:(3分)由树状图,可知共有12种等可能的结果,其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种, 所以P (恰好选中甲、乙两位同学)=212=16.(5分)(2)答案不唯一.如:在一个不透明的袋子中,放入四个除颜色外其他都相同的乒乓球,它们的颜色分别为白、黄、粉、橙,从袋中随机摸出一个球记下颜色,不放回,再从袋中随机摸出一个球,记下颜色. 事件:两次摸出的球一个是白球,一个是粉球. (10分) 20.【参考答案】(1)14(3分)(2)这个游戏不公平. (4分)理由:画树状图如图,共有16种等可能的结果,其中亮亮随机投掷两次骰子,最终落到圈A 的结果数为5, 所以P (亮亮随机投掷两次骰子,最终落回到圈A )=516. (8分)因为14<516,所以这个游戏不公平.(10分) 21.【参考答案】(1)120 54°(2分)解法提示:(25+23)÷40%=120(名),360°×10+8120=54°.(2)D 所占的百分比为(10+8)÷120×100%=15%, A 中的人数为120×(1-40%-20%-15%)=30(名),其中男生有30-16=14(名), C 中的人数为120×20%=24(名),其中女生有24-12=12(名). 补全条形统计图如图所示:(5分)(3)800×(1-40%-20%-15%)=200(名),答:估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数为200. (7分)(4)画树状图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,抽到同性别学生的结果有4种, 所以P (刚好抽到同性别学生)=412=13.(11分)。
[从掷硬币的概率说开去] 掷硬币概率
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[从掷硬币的概率说开去] 掷硬币概率学过《概率论》的人都知道掷硬币的概率计算问题，掷一枚硬币，计算正面或反面出现的概率。
这是概率计算的经典例子。
我们受到的教育是拿一枚硬币掷一次，正面向上的概率是0.5，重复做第二次实验正面出现的概率还是0.5，因为我们两次实验是独立的，所以有以上的结果。
那我们考虑如下的问题，假设每次掷硬币都是独立的，我们连续掷20次，都是正面向上，那么第21次正面向上的概率会是多大呢？不同的人可能有不同的答案。
不管怎样，答案只会有以下三种情况：第一种情况：因为每次投掷都是独立的，所以不管前20次怎样都不会影响第21次的概率，所以第21次正面向上的概率仍是0.5。
这可能是刚学完《概率论》的学生最容易给出的答案。
第二种情况：有人会想，连续投掷20次都是正面向上的概率已经很小了，那连续21次正面向上的概率会更小，所以第21次不可能再是正面了，所以答案是第21次出现正面向上的概率很小。
第三种情况：聪明一点的人会发现题目没有对硬币是否均匀等背景描述，虽然每次投掷都是独立的，但连续20次都是正面向上，这个历史数据不能不考虑。
我们用假设检验的思想，如果每次出现正面向上的概率都是0.5，那么连续20次都是正面向上的概率是9.53674×10-7，但实际上这个小概率事件发生了，那说明单独掷一次正面向上的概率不是0.5，肯定要大于0.5，甚至可能会接近于1，也就是说硬币可能的不均匀质地导致连续20次都是正面向上，所以第21次投掷为正面向上的概率很大，甚至接近于1。
回过头来看看前两种答案，显然都是错误的。
我们仔细分析他们的思维过程会发现他们都没有尊重数据，而是一味的去按照过去脑子里的固有模式去思考。
我们受的教育就是这样。
所以很多人想当然地去得出上面两种答案。
在此问题中，实际上，隐藏在数据背后的条件已经改变，在这里隐含的条件就是“硬币不是均匀的”，这个条件已经通过统计数据的形式展现给你，但是你没有好好的分析，所以会得出错误的结论。
概率的应用问题
概率的应用问题概率是数学中的一个重要概念，它用于描述事件发生的可能性。
在现实生活中，我们经常会遇到一些涉及概率的应用问题。
本文将通过几个具体的例子，探讨概率在实际问题中的应用。
例子一：抛硬币我们先来考虑一个简单的问题：抛一枚硬币，求硬币正面朝上的概率。
假设硬币是均匀的，并且没有任何特殊因素影响到结果。
根据概率的定义，硬币正面朝上和反面朝上的可能性应该是相等的，即每个面出现的概率都是1/2。
因此，硬币正面朝上的概率为1/2。
这个简单的例子展示了概率在模拟随机事件中的应用。
通过设定合适的条件和假设，我们可以使用概率理论来计算事件发生的可能性。
例子二：生日悖论下面我们考虑一个更有趣的问题：一个房间里有多少人时，至少两人生日相同的概率超过一半？假设一年有365天，忽略闰年不同。
我们可以使用概率来解决这个问题。
假设房间里有n个人，我们可以用每个人的生日来表示这个事件。
那么没有人生日相同的概率为P(n) = 365/365 * 364/365 * ... * (365-n+1)/365。
那么至少两人生日相同的概率就是1 - P(n)。
我们可以通过计算这个概率来得到不同人数下的结果。
例如，当n=23时，计算得到至少两人生日相同的概率超过一半。
这个现象被称为生日悖论，它展示了概率在实际问题中的一种应用，帮助我们理解随机事件的可能性。
例子三：赌博游戏再来考虑一个和赌博游戏相关的概率应用问题。
假设有一个简单的赌博游戏，你可以抛一枚硬币，如果正面朝上，你赢得10元，如果反面朝上，你输掉10元。
假设你连续进行了100轮游戏，请问你预期能赢多少钱？我们可以用概率来计算这个问题。
每一轮游戏，赢得10元和输掉10元的可能性都是1/2。
因此，在100轮游戏中，预期能赢的钱数为100 * (1/2 * 10 - 1/2 * 10) = 0元。
这个例子展示了概率在评估赌博游戏中风险和可能收益的应用。
通过计算预期赢得的钱数，我们可以更好地理解赌博游戏的盈利能力。
抛硬币直到连续若干次正面的概率
抛硬币直到连续若⼲次正⾯的概率问题1. 假设有⼀个硬币，抛出字（背⾯）和花（正⾯）的概率都是0.5，⽽且每次抛硬币与前次结果⽆关。
现在做⼀个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为⽌，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，⼀旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不⽤继续抛。
上⾯这个题⽬我第⼀次见到是在pongba的TopLanguage的⼀次上，提出问题的⼈为Shuo Chen，当时我给出了⼀个解法，⾃认为已经相当简单了，先来考虑⼀下抛硬币的过程：⾸先先抛⼀枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛⼀枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么⼜需要重头开始。
根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系 T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)解⽅程可得到 T = 6. 由于上⾯这个⽅法只能得到期望，⽽⽆法得到⽅差以及具体某个事件的概率，后来我⼜仔细分析了⼀下，推出了为（推导的过程暂时略过，后⾯你会看到⼀个更⼀般、更简单的推导）于是可以算出⽅差 V = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 22。
将G(z)根据Rational Expansion Theorem [CMath 7.3]展开，可以得到需要抛n次硬币的概率为其中Fn是Fibonacci数列的第n项。
到这⾥，我觉得这个问题似乎已经完全解决了，直到昨天看到Matrix67的。
在此帖中Matrix67⼤⽜⽤他那神⼀般的数学直觉⼀下将需要连续抛出n个字的⼀般情形给解决了，⽽且得出的结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn为⾸次出现连续的n个字的期望投掷数。
这也给了我⼀些启发，我试着将上⾯的过程进⾏推⼴，居然得到⼀个简单得出⼈意料的解法（甚⾄⽐上⾯n=2的推导过程还简单）。
这个解法的关键在于下⾯这个递推关系 Tn = Tn-1 + 1 + 0.5 * Tn也即是有 Tn = 2 * Tn-1 + 2。
概率论常考题精讲
概率论常考题精讲概率论作为数学的一门重要分支，应用广泛，不仅在学术研究中有着重要地位，而且在实际生活和工作中也有着广泛的应用。
在高等教育阶段，概率论是必修课程之一，常常作为考试的重要内容。
本文将为大家精讲几道常见的概率论考题，希望能够帮助大家更好地掌握和应用概率论知识。
1. 硬币抛掷问题硬币抛掷问题是概率论中的经典题目之一。
假设有一枚均匀的硬币，抛掷10次，问出现正面朝上的次数是7次的概率是多少？解析：对于一次抛掷硬币的结果，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。
由于每次抛掷是独立的，所以事件的概率可以相乘。
根据二项分布的公式，我们可以计算出概率：P(出现7次正面朝上) = C(10, 7) * (0.5)^7 * (0.5)^3其中，C(10, 7)表示从10次抛掷中选取7次出现正面朝上的组合数，计算得到C(10, 7) = 120。
代入计算得：P(出现7次正面朝上) = 120 * (0.5)^7 * (0.5)^3 = 0.117所以，出现7次正面朝上的概率是0.117。
2. 生日悖论生日悖论是概率论中的另一个经典问题。
假设在一个班级里有30个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？解析：假设一年有365天，忽略闰年的影响，并且每个人的生日独立且均匀分布在这365天中。
我们可以利用概率的补集来计算至少有两个学生生日相同的概率。
首先，计算所有学生生日都不相同的概率。
第一个学生的生日可以是任意一天，概率为1。
而第二个学生的生日不能与第一个学生相同，所以概率为364/365，以此类推，第30个学生的生日不能与前面29个学生相同，概率为336/365。
所有学生生日都不相同的概率为：P(所有学生生日都不相同) = (365/365) * (364/365) * ... * (336/365) ≈ 0.293所以至少有两个学生生日相同的概率为：P(至少有两个学生生日相同) = 1 - P(所有学生生日都不相同) ≈ 1 - 0.293 = 0.707所以，至少有两个学生生日相同的概率约为0.707。
简单概率问题的解答
简单概率问题的解答概率是数学中的一个重要概念，用来描述事件发生的可能性。
在日常生活中，我们经常会遇到一些简单的概率问题，比如抛硬币、掷骰子等。
本文将就一些常见的简单概率问题进行解答，帮助读者更好地理解概率的概念和运算方法。
1. 抛硬币问题抛硬币是一个经典的概率问题。
假设我们有一枚公正的硬币，问抛一次硬币出现正面的概率是多少？答案是50%。
因为硬币只有两面，正面和反面，在公正的情况下，每一面出现的可能性都是相等的，所以正面出现的概率为1/2，即50%。
2. 掷骰子问题掷骰子是另一个常见的概率问题。
假设我们有一个六面骰子，问掷一次骰子出现1的概率是多少？答案是1/6，即约16.67%。
因为骰子有六个面，每个面出现的可能性都是相等的，所以出现1的概率为1/6。
3. 球的颜色问题假设有一个装有红球和蓝球的袋子，其中红球有5个，蓝球有3个。
问从袋子中随机取出一个球，出现红球的概率是多少？答案是5/8，即62.5%。
因为袋子中一共有8个球，其中红球占5个，蓝球占3个，所以出现红球的概率为5/8。
4. 扑克牌问题扑克牌是一个复杂一些的概率问题。
假设我们从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红心牌的概率是多少？答案是1/4，即25%。
因为一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张，所以抽到红心牌的概率为13/52，即1/4。
5. 两个骰子之和问题假设我们同时掷两个骰子，问两个骰子之和为7的概率是多少？答案是6/36，即1/6，约16.67%。
因为两个骰子的点数分别有1、2、3、4、5、6，一共有36种可能的结果，其中两个骰子之和为7的结果有6种，所以概率为6/36，即1/6。
通过以上的解答，我们可以发现，概率问题的解答方法基本上都是通过计算某个事件发生的可能性与总体可能性的比值来得出。
在实际运算中，我们可以将问题抽象为分子与分母的比较，从而得到最终的概率结果。
当然，以上只是一些简单的概率问题，实际应用中还存在更加复杂的概率问题，需要运用更多的概率理论和计算方法来解答。
抛硬币的概率问题研究结论
抛硬币的概率问题研究结论
抛硬币的概率问题一直是数学和统计学中的经典问题之一。
在这个问题中，我们想知道当我们抛一枚硬币时，它会出现正面或反面的概率是多少。
这个问题看似简单，但实际上涉及到了许多有趣的数学概念和统计原理。
首先，让我们来看一下抛硬币的基本情况。
一枚公平的硬币，正反面的概率是相等的，都是50%。
这是因为在理想情况下，硬币在空中旋转的过程中，正面和反面出现的机会是相等的。
所以，我们可以得出结论，抛硬币出现正面的概率是0.5，出现反面的概率也是0.5。
然而，当我们进行多次抛硬币的实验时，就会涉及到更多的概率问题。
比如，如果我们连续抛10次硬币，出现正面和反面的次数会是多少？这时，我们就需要运用二项分布的概念来计算。
根据二项分布的公式，我们可以得出在n次独立重复试验中，成功的次数（比如出现正面）的概率分布。
通过对抛硬币的概率问题进行研究，我们可以得出一些有趣的结论。
比如，当我们连续抛硬币的次数越多时，正面和反面出现的
次数会趋向于平均分布，也就是说，正面和反面出现的概率会趋向于50%。
这就是大数定律的一个应用，即在独立重复试验中，随着试验次数的增多，事件发生的频率会趋于其概率。
总的来说，抛硬币的概率问题涉及到了数学、统计学和概率论的知识，通过对这个问题的研究，我们可以更好地理解随机事件发生的规律，也可以应用到现实生活中的决策和预测中。
因此，抛硬币的概率问题不仅仅是一个有趣的数学问题，更是一个具有实际意义的研究课题。
解简单的概率问题
解简单的概率问题概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。
在我们的日常生活中，我们经常会遇到各种简单的概率问题，例如抛硬币、掷骰子等。
本文将探讨一些常见的简单概率问题，并解答它们。
问题一：抛一枚公平的硬币，正面和反面出现的概率各是多少？解答：抛一枚公平的硬币，正面和反面出现的概率都是50%或1/2。
这是因为公平的硬币具有对称性，正反面出现的机会是相等的。
问题二：掷一个六面骰子，掷出奇数的概率是多少？解答：一个六面骰子的每个面都是等概率出现的，其中奇数面的个数为3（1、3、5），总共有6个面。
因此，掷出奇数的概率为3/6，简化为1/2或50%。
问题三：一副标准扑克牌有52张牌，从中随机抽出一张牌，抽到红心的概率是多少？解答：一副标准扑克牌有52张牌，其中红心有13张。
因此，抽到红心的概率为13/52，简化为1/4或25%。
问题四：从字母A、B、C、D、E中随机选取一个字母，选到辅音字母的概率是多少？解答：在字母A、B、C、D、E中，只有字母B和字母D是辅音字母。
因此，选到辅音字母的概率为2/5或40%。
问题五：一个袋子里有10个红球和10个蓝球，从中随机抽出一个球，抽到红球的概率是多少？解答：一个袋子里有10个红球和10个蓝球，总共有20个球。
因此，抽到红球的概率为10/20，简化为1/2或50%。
通过以上几个简单的概率问题的解答，我们可以看出，在概率问题中，我们需要确定事件发生的可能性与总体总数的比值，即概率的定义。
在求解概率问题时，我们需要考虑事件的独立性、对称性以及可能性的相对大小等因素。
然而，这些问题只是简单的概率问题的冰山一角。
在实际生活中，我们还会遇到更复杂的概率问题，例如多次独立事件的概率计算、条件概率和贝叶斯定理等。
深入理解和熟练运用概率的概念和方法，有助于我们更好地理解和解决实际问题。
总结起来，概率问题并不复杂，只要我们掌握了基本的概率概念和计算方法，就能够解决大部分简单的概率问题。
著名的抛硬币实验概率
著名的抛硬币实验概率
这是由概率决定的，抛硬币，如果硬币质地均匀，正面向上概率0.5，0.5的10次方等于1/1024。
而且实验次数足够多，发生结果和概率一致。
所以2.25亿人抛硬币，最后概率就导致了有215人左右会20次连续正面
向上，区别只是不同的人得到了这个结果。
有专家认为应该把猜硬币这个经典案例从统计学中剔除。
如果在日常
生活中，因为某件事情在拿不定主意的时候，还是想想其他的方法来决定吧，用猜硬币的方法实在是不靠谱，它的不确定性和公正性容易被人为的
影响，进而影响你内心真正的决策。
所以靠猜硬币来决定某件事情本来就不公平也不科学，当我们真的要
决定是否做某件事的时候，还是要静下心，多想下这件事做与不做，会给
我带来哪些影响，会对以后的生活、工作带来哪里好处或者坏处，需要投
入的成本有多少，得到的回报有多少，确定好自己的方向，坚定信念，下
定决心坚持下去，只要坚持努力，总会得到你想要的成果。
北师大版数学四年级上册第八单元《不确定性》说课稿
北师大版数学四年级上册第八单元《不确定性》说课稿一. 教材分析北师大版数学四年级上册第八单元《不确定性》主要讲述了可能性的大小，通过生活中的实例让学生感受和理解事件发生的确定性和不确定性，并利用统计方法来预测事件的概率。
这一单元的内容与学生的日常生活紧密相连，能够激发学生的学习兴趣，培养学生的统计观念和逻辑思维能力。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的数学基础，对概率和统计有了初步的认识。
但在实际操作和理解方面，仍存在一定难度。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，合理设计教学活动，引导学生深入理解不确定性。
三. 说教学目标1.让学生了解和理解确定性和不确定性的概念，能用语言、图片、统计表等表示事件发生的可能性。
2.培养学生运用统计方法预测事件概率的能力，发展学生的逻辑思维和数据分析能力。
3.结合生活实际，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解和掌握确定性和不确定性的概念，学会用统计方法预测事件概率。
2.教学难点：如何引导学生从实际生活中发现和理解确定性和不确定性，以及如何运用统计方法预测事件概率。
五. 说教学方法与手段1.采用情境教学法，以生活中的实例引导学生认识和理解确定性和不确定性。
2.运用小组合作学习，让学生在讨论和探究中掌握统计方法预测事件概率。
3.利用多媒体课件和实物道具，为学生提供直观的学习材料，提高学生的学习兴趣。
4.注重实践操作，让学生在实际操作中感受和理解概率和统计知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的猜谜游戏，引导学生认识和理解确定性和不确定性。
2.新课导入：讲解确定性和不确定性的概念，让学生能用语言、图片、统计表等表示事件发生的可能性。
3.实例分析：分析生活中的一些实例，让学生感受和理解确定性和不确定性。
4.小组讨论：让学生分组讨论，探究如何运用统计方法预测事件概率。
5.实践操作：让学生运用所学知识，自行设计实验，统计实验结果，预测事件概率。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷带答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD=CD2．一元二次方程x2﹣6x+5=0配方后可化为（）A．（x﹣3）2=﹣14B．（x+3）2=﹣14C．（x﹣3）2=4D．（x+3）2=43．用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（）A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.54．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．1B．﹣3C．3D．4相似5．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中ABC的是（）A．B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（）A．36°B．30°C．27°D．18°7．如图，DE 是 ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝8，则EF 的长为（）A ．2.5B ．1.5C ．4D ．58．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC ＝，AE=BE ，则有（）A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD9．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（）A ．x （x+1）＝28B ．12x （x ﹣1）＝28C ．x （x ﹣1）＝28D ．x （x+1）＝2810．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB=2，∠ABC=60°，则BD 的长为（）A ．2B ．3C D ．二、填空题11．一元二次方程x 2=x 的解为_____．12．为保护环境，法库县掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是___．13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．14．如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为_____15．如图，菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC ＝6，BD ＝8，点P 是BC 边上的一动点，则AP 的最小值为__．16．如图，正方形ABCD 中，AB 6=，点E 在边CD 上，且CD 3DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE. 延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：ABG ①≌AFG ；BG GC ②=；AG //CF ③；GCF ④是等边三角形，其中正确结论有______．三、解答题17．解方程：（1）3（x ﹣3）＝5x （x ﹣3）；（2）（x+1）（x ﹣1）+2（x+3）＝13．18．先化简，再求值：2226m m m+-÷（m+3+53m -），其中m 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根．19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边EF=，测得边DF离地面的高度 1.5m40cmDE=，20cmCD m，求树AB的高度．AC=，8=20．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．21．在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？22．如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB AD=，对角线AC，BD交于点O，AC平分⊥交AB的延长线于点E，连接OE．∠，过点C作CE ABBAD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=2BD=，求OE的长．23．如图，已知菱形ABCD，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F．（1）图中共有哪几对相似三角形？请直接写出结论；（2）若菱形ABCD的边长为3，求AF的长．24．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？25．如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．（1）求证：PA＝PF；（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．参考答案1．C 【解析】菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，判定定理有：定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断，【详解】A 选项：根据菱形的定义可得，当AB=AD 时▱ABCD 是菱形，本选项正确；B 选项：根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD 是菱形，本选项正确；C 选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，除非是正方形，本选项错误；D 选项：根据菱形的定义可得，当AD=CD 时▱ABCD 是菱形，本选项正确；故选C 【点睛】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键.2．C 【解析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【详解】移项得：265x x -=-，配方得：26959x x -+=-+，即2(3)4x -=．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成2()x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3．D 【解析】【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”．【详解】解：连续抛掷2n 次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A 、B 、C 错误，抛掷n 次，当n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”．4．C 【解析】【分析】设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于﹣ba，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个解为x 1，根据题意得：﹣1+x 1=2，解得：x 1=3，故选C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣b a、两根之积等于ca是解题的关键．5．B 【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．【详解】解：由题意得：AB =AC 2BC =、A1ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；B，11，∴对应边成比例，符合题意；C，3，与△ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；D2，与△ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；故选B ．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．6．B 【解析】【分析】根据已知条件可得ADE ∠以及EDC ∠的度数，然后求出ODC 各角的度数便可求出BDE ∠．【详解】解：在矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∵2ADE EDC ∠=∠，∴60ADE ∠=︒，30EDC ∠=︒，∵DE AC ⊥，∴903060DCE ∠=︒-︒=︒，∵OD OC =，∴60ODC OCD ∠=∠=︒，∴60DOC ∠=︒，∴9030BDE DOC ∠=︒-∠=︒．故选：B ．【点睛】题目主要考查矩形的性质，三角形内角和及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用各个性质是解题关键．7．B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得1 2.52DF AB==，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．【详解】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，∴1 2.52DF AB==，∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故选：B．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．B【解析】【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，13 ADAC＝，AE=BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】解：由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，13ADAC＝，AE=BE，易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．9．B【解析】【分析】球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：12x（x﹣1）＝4×7．故选：B．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程．10．D【解析】【详解】分析：首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再证出△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长．详解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD=2BO，∵∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO=60°，∴∴故选D．点睛：本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．11．x1=0，x2=1．【解析】【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．【详解】解：x2=x，移项得：x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，x=0或x﹣1=0，∴x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．12．10%【解析】【分析】设这两年的绿地面积的平均增长率是x，利用经过两年时间后绿地的面积＝绿地的原面积×（1+这两年的绿地面积的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这两年的绿地面积的平均增长率是x，依题意得：（1+x）2＝1+21%，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．故答案为：10%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够正确理解题意列出方程求解．13．13【解析】【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：x2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，故答案为：13．14．1 9【详解】解：观察这个图可知，阴影部分能够拼成4个小正方形，图中共有36个小正方形，∵阴影部分的面积：整个图形的面积=4:36=1 9，∴镖落在阴影部分的概率为19 P=，故答案为：1 9 .15．4.8【解析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12AC＝3，BO＝DO＝12BD＝4，∴5 BC===，∵12ABCD S AC BD BC AP =⨯⨯=⨯菱形，∴24 4.85AP ==，故答案为：4.8．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP ⊥BC 时，AP 有最小值是本题关键．16．①②③【解析】【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG ≌AFG ；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠===，由平行线的判定可得AG //CF ；由于BG CG =，得到tan AGB 2∠=，求得AGB 60∠≠ ，根据平行线的性质得到FCG AGB 60∠∠=≠ ，求得GCF 不是等边三角形；【详解】四边形ABCD 是正方形，将ADE 沿AE 对折至AFE ，AB AD AF ∴==，在ABG 与AFG 中，90AB AF B AFG AG AG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，ABG ≌AFG ；故①正确，1EF DE CD 23=== ，设BG FG x ==，则CG 6x =-，在直角ECG 中，根据勾股定理，得222(6x)4(x 2)-+=+，解得x 3=，BG 363GC ∴==-=；故②正确，CG BG GF == ，FGC ∴是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=，又AGB AGF ∠∠=，AGB AGF 180FGC GFC GCF ∠∠∠∠∠+=-=+ ，AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG //CF ∴；故③正确，BG CG = ，1BG AB 2∴=，tan AGB 2∠∴=，AGB 60 ∠∴≠，AG //CF ，FCG AGB 60∠∠∴=≠ ，GCF ∴ 不是等边三角形；故④错误．综上所述：正确结论有①②③，故答案为①②③．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．17．（1）x 1＝3，x 2＝35；（2）x 1＝﹣4，x 2＝2【解析】【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．【详解】解：（1）∵3（x ﹣3）＝5x （x ﹣3），∴3（x ﹣3）﹣5x （x ﹣3）＝0，则（x ﹣3）（3﹣5x ）＝0，∴x ﹣3＝0或3﹣5x ＝0，解得x 1＝3，x 2＝35；（2）整理成一般式，得：x 2+2x ﹣8＝0，∴（x+4）（x ﹣2）＝0，则x+4＝0或x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣4，x 2＝2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法，选择适当的方法可使计算变的简便．18．12(2)m m -，12【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件得到m 的值，把m 的值代入计算，即可得解．【详解】解：2253263m m m m m +⎛⎫÷++ --⎝⎭，()2295233m m m m m +-+=÷--，()()()232322m m m m m m +-=⨯-+-，()122m m =-，解方程2210x x --=得：11x =，21x =，∴当1m =时，原式12==；当1m =时，原式12==；∴求值为12．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．19．树高5.5m ．【解析】【分析】先判定△DEF 和△DBC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解．【详解】解：在△DEF 和△DCB 中，D D DEF DCB ∠∠⎧⎨∠∠⎩＝＝，∴△DEF ∽△DCB ，∴DE EF DC CB =，即40208CB=解得BC=4，∵AC=1.5m ，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m ，即树高5.5m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．20．【解析】【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE ＝∠AED ，根据等角对等边，即可求得AE 的长，在直角△ABE 中，利用勾股定理求得BE 的长．【详解】解：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝6．∠B ＝∠C ＝90°，∴∠ADE ＝∠CED ，∵ED 平分∠AEC ，∴∠AED ＝∠CED ，∴∠AED ＝∠ADE ，∴AD ＝AE ＝10，在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得BE8，∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，在Rt△DCE中，根据勾股定理，得DE＝设点A到DE的距离为h，则12AD•CD＝12DE•h，∴h＝．答：点A到DE的距离为．【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义三角形面积公式及勾股定理是解题关键．21．（1）见解析；（2）小明获胜的概率大，见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．【详解】（1）树状图如图所示：所有(m，n)可能的结果有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共12种结果；（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个（包括m ＝n ＝2，和m ＝n ＝3两种情况），m ，n 都不是方程x 2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为41=123，小利获胜的概率为21=126，∴小明获胜的概率大．22．（1）证明见解析；（2）OE=2．【解析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．（2）根据菱形的性质和勾股定理求出2OA ==，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】（1）证明：∵AB//CD ，∴CAB ACD ∠=∠，∵AC 平分BAD ∠，∴CAB CAD ∠=∠，∴CAD ACD ∠=∠，∴AD CD =，又∵AD AB =，∴AB CD =，又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB AD =，∴ABCD 是菱形．（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，∴AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，∴112OB BD ==，在Rt △AOB 中，90AOB ∠=︒，∴2OA ==，∵CE AB ⊥，∴90AEC ∠=︒，在Rt △AEC 中，90AEC ∠=︒，O 为AC 中点，∴122OE AC OA ===．23．（1）有3对相似三角形，分别为：DFC AFE ∽，BCE AFE ∽，DFC BCE ∽；（2）92AF =．【解析】（1）由菱形的性质：∥DC AE ，BC AD ∥，进而证明：~DFC AFE ，~BCE AFE ，DFC BCE ∽；（2）由（1）可知：DFC AFE ∽，利用相似三角形的性质和已知条件即可求出DF 的长，进而求出AF 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴∥DC AE ，BC AD ∥，∴~DFC AFE ，~BCE AFE ，∴DFC BCE ∽，故：有3对相似三角形，分别为：DFC AFE ∽，BCE AFE ∽，DFC BCE ∽；（2）∵DFC AFE ∽，∴DF DC AF AE=，∵2BE AB ＝，3AB ＝，∴6BE =，9AE =，∴339DF DF =+，∴32DF =，∴39322AF AD DF =+=+=．24．（1）100+200x ；（2）1【解析】（1）销售量=原来销售量+增加销售量，列式即可得到结论；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+0.1x ×20=100+200x 斤；故答案为：100+200x ；（2）根据题意得：(42)(100200)300x x --+=，解得：x=12或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．25．（1）见解析；（2）PQ 的长不变，见解析；（3）AB+BF PB【解析】（1）连接PC ，由正方形的性质得到AB BC =，ABP CBP ∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理证明APB CPB ≌，由全等三角形的性质可知PA PC =，PCB PAB ∠=∠，接下来利用四边形的内角和为360°可证明PFC PCF ∠=∠，于是得到PF PC =，故此可证明PF PA =；（2）连接AC 交BD 于点O ，依据正方形的性质可知AOB 为等腰直角三角形，于是可求得AO 的长，接下来，证明APO PFQ ≌，依据全等三角形的性质可得到PQ AO =；（3）过点P 作PM AB ⊥，PN BC ⊥，垂足分别为M ，N ，首先证明PBN 为等腰直角三角形于是得到BN PN +=，由角平分线的性质可得到PM PN =，然后再依据直角三角形全等的证明方法证明PAM PFN ≌可得到FN AM =，PM PN =，于是将AB BF +可转化为BN PN +的长．【详解】解：（1）证明：连接PC ，如图所示：∵ABCD 为正方形，∴AB BC =，ABP CBP ∠=∠，在APB 和CPB 中，AB BCABP CBP BP BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴APB CPB ≌，∴PA PC =，PCB PAB ∠=∠，∵90ABF APF ∠=∠=︒，∴180PAB PFB ∠+∠=︒．∵180PFC PFB ∠+∠=︒，∴PFC PAB ∠=∠．∴PFC PCF ∠=∠．∴PF PC =，∴PF PA =；（2）PQ 的长不变．理由：连接AC 交BD 于点O，如图所示：∵PF AE ⊥，∴90APO FPQ ∠+∠=︒．∵FQ BD ⊥，∴90PFQ FPQ ∠+∠=︒．∴APO PFQ ∠=∠．又∵四边形ABCD 为正方形，∴90AOP PQF ∠=∠=︒，2AO =．在APO 和PFQ 中，AOP PQFAPO PFQ AP PF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴APO PFQ ≌．∴2PQ AO a ==；（3）如图所示：过点P 作PM AB ⊥，PN BC ⊥，垂足分别为M ，N ．∵四边形ABCD 为正方形，∴45PBN ∠=︒．∵PN BN ⊥，∴2BN PN BP ==，∴BN PN +=．∵BD 平分ABC ∠，PM AB ⊥，PN BC ⊥，∴PM PN =．在RT PAM 和RT PFN 中，PA PF PM PN =⎧⎨=⎩，∴PAM PFN ≌．∴AM FN =．∵90MBN BNP BMP ∠=∠=∠=︒，∴MB PN =．∴AB BF AM MB BF FN BF PN BN PN +=++=++=+=．【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键．。
抛硬币正反面的概率
抛硬币正反面的概率
正负概率都是50%，无论你抛出了多少个正面，下一把的概率仍然是50%。
预测跟扔硬币的概率差不了多少，用过去预测未来，顶多也就是不到60%的概率，所以我从来不说我的预测有多准，我只是说出我的看法。
即便是美联储主席，他也没预测到现在通胀这么高，所以只要是人，不是神仙，就都一样。
但区别就在于，可以用策略来解决最终胜率的问题，比如还是抛硬币，正面赚2块，反面赔1块。
那么你说这个策略你要不要执行呢？你赌正面还是反面呢，当然要玩，而且当然要赌正面，有没有可能连亏10把，出来的都是反面，当然也有可能！但我肯定坚信，只要一直玩下去，一直赌正面，我就会赚钱，玩的越多，我赚的也就越多。
这就叫体系。
交易赚钱了，别忘乎所以，并不会改变你下一次赚钱的概率。
赔钱了也别懊悔，这本身就是正常的损耗。
抛硬币的概率分析
抛硬币的概率分析抛硬币是一种常见的随机事件，也是概率论中经典的案例之一。
在日常生活中，我们经常会用抛硬币的方式来做决策或者进行游戏。
抛硬币的结果只有两种可能，即正面或反面。
本文将对抛硬币的概率进行分析，探讨抛硬币的规律性和统计特征。
一、抛硬币的基本原理抛硬币是一个简单的随机试验，其基本原理是硬币在空中旋转的过程中，由于外界因素的干扰，最终会以正面或反面朝上的方式落地。
假设硬币是均匀的，没有特殊的重心或形状，那么硬币落地时正反面朝上的概率是相等的，分别为0.5。
二、抛硬币的概率计算1. 单次抛硬币的概率计算在单次抛硬币的情况下，硬币正反面朝上的概率均为0.5，即P(正面)=0.5，P(反面)=0.5。
这是因为硬币在空中旋转的过程中，正反面朝上的可能性是相等的，不存在偏向性。
2. 多次抛硬币的概率计算当进行多次抛硬币的试验时，可以通过概率的加法规则和乘法规则来计算不同结果的概率。
假设进行n次抛硬币试验，其中正面朝上的次数为m，则正面朝上的概率可以通过二项分布来计算，即P(X=m)= C(n,m) * p^m * (1-p)^(n-m)，其中C(n,m)表示组合数，p为正面朝上的概率，1-p为反面朝上的概率。
三、抛硬币的统计特征1. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定律，它指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，事件发生的频率会趋于事件的概率。
对于抛硬币的情况，当进行大量次数的抛硬币试验时，正面朝上和反面朝上的频率会逐渐接近0.5，即事件发生的频率会逼近事件的概率。
2. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定律，它指出在独立同分布的随机变量序列和足够大的样本量下，这些随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
对于抛硬币的情况，当进行大量次数的抛硬币试验时，正面朝上和反面朝上的次数之和会呈现出近似正态分布的特征。
四、抛硬币的应用抛硬币作为一种简单的随机试验，广泛应用于概率论、统计学以及决策理论等领域。
浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第三章概率论习题_奇数
第三章多维随机变量及其概率分布注意：这是第一稿（存在一些错误）第三章概率论习题__奇数.doc1、解互换球后，红球的总数是不变的，即有6X Y +=，X 的可能取值有：2，3，4，Y 的取值为：2，3，4。
则(,)X Y 的联合分布律为：(2,2)(2,3)(3,2)(3,4)(4,3)(4,4)0PX Y PX Y PX Y PX Y PX Y PX Y ==================236(2,4)(4,2)5525P X Y P X Y =======223313(3,3)555525P X Y ===⋅+⋅=由于6X Y +=，计算X 的边际分布律为：6(2)(2,4)25P X P X Y =====13(3)(3,3)25P X P X Y =====6(4)(4,2)25P X P X Y =====3、解利用分布律的性质，由题意，得0.10.10.10.11a b c ++++++=(0,2)(0,1)0.1{0|2)0.5(2)(1)0.1P Y X P Y X a P Y X P X P X a b≤<≤=+≤<====<=++{1}0.5P Y b c ==+=计算可得：0.2a c ==0.3b =于是X 的边际分布律为：(1)0.10.6P X a b ==++=(2)0.10.10.20.4P X c c ==++=+=Y 的边际分布律为(1)0.10.3P Y a =-=+=，(0)0.2P Y ==(1)0.5P Y b c ==+=5、解（1）每次抛硬币是正面的概率为0.5，且每次抛硬币是相互独立的。
由题意知，X 的可能取值有：3，2，1，0，Y 的取值为：3，1。
则(,)X Y 的联合分布律为：(3,1)(2,3)(1,3)(0,1)0P X Y P X Y P X Y P X Y ============311(3,3)28P X Y ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，223113(2,1)228P X Y C ⎛⎫===⋅=⎪⎝⎭213113(1,1)228P X Y C ⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭，311(0,3)28P X Y ⎛⎫==== ⎪⎝⎭X 的边际分布律为：311(0)28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，213113(1)228P X C ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭223113(2)228P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，311(3)28P X ⎛⎫===⎪⎝⎭Y 的边际分布律为：1(3)(0,3)(3,3)4P Y P X Y P X Y ====+===3(1)(1,1)(2,1)4P Y P X Y P X Y ====+===（2）在{1}Y =的条件下X 的条件分布律为：(0|1)0P X Y ===，(1,1)1(1|1)(1)2P X Y P X Y P Y =======(2,1)1(2|1)(1)2P X Y P X Y P Y =======，(3|1)0P X Y ===7、解（1）已知()!me P X m m λλ-==，0,1,2,3m = 。
概率统计一枚硬币抛掷次出现正面的次数为次的概率是多少
概率统计一枚硬币抛掷次出现正面的次数为次的概率是多少在概率统计的领域中，我们常常需要计算各种随机事件的概率。
本文将探讨一枚硬币抛掷次数中出现正面的次数为次的概率问题。
要解决这个问题，首先我们需要明确一些基本概念。
一枚硬币抛掷只有两种可能的结果，即出现正面和出现反面。
这两种结果是等概率事件，即其出现的概率均为0.5。
因此，每一次单独抛掷硬币，出现正面和出现反面的概率都是相等的。
现在假设我们抛掷一枚硬币次，我们想要计算出现正面的次数为次的概率。
我们可以使用二项分布来求解这个问题。
二项分布用于描述在一系列独立的重复试验中，成功事件发生次数的概率分布。
在这里，每一次抛掷硬币都可以看作是一次独立的试验。
二项分布有两个参数：试验成功的概率和试验的次数。
在这个问题中，我们已经知道每次抛掷硬币出现正面的概率为0.5，试验的次数为次。
那么，我们可以使用二项分布的公式来计算出现正面的次数为次的概率。
公式如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示出现正面的次数为k的概率，C(n,k)表示从n次中选择k次的组合数，p表示单次抛掷硬币出现正面的概率，(1-p)表示单次抛掷硬币出现反面的概率。
代入我们的问题中，n为次，k为次，p为0.5，公式可以简化为：P(X=次) = C(,次) * (0.5)^次 * (0.5)^(次-次)计算组合数C(,次)的方法是：C(,次) = n! / (k! * (n-k)!)将次和次代入公式，我们可以得到最终的计算结果。
具体计算过程如下：P(X=次) = C(,次) * (0.5)^次 * (0.5)^(次-次)= n! / (次! * (n-次)!) * (0.5)^次 * (0.5)^(次-次)这就是我们所要求解的概率。
需要注意的是，本文中并未给出具体的数值条件，因此无法进行具体的计算。
但是你可以根据这个框架和公式，将具体的数值代入进行计算。
抛掷一枚质地均匀的硬币时正面向上与反面向上的可能性各占
二、填空题． 1．从5到9这5个自然数中任取一个，是3的
2 倍数的概率是________ ． 5
2．任意抛掷一枚质地均匀硬币，会出现
2 _______种结果，• 这几种结果出现的概率是
1 ________ ． 2
三、综合提高题． 1．有一个均匀的小正方体，6个面上分别标有1， 2，3，4，5，6，任意掷出这个小正方体． (1)奇数朝上的机会是多少？ (2)如果这个小正方体不是均匀的，是否有这个结 果？说说你的理由． 2．在分别写出1至20张小卡片，随机出一张卡片， 试求以下事件的概率． (1)该卡片上的数字是2的倍数，也是5的倍数； (2)该卡片上的数字是4的倍数，但不是3的倍数； (3)该卡片上的数不是完全平方数； (4)该卡片上的数字除去1和自身外，还有3个约 数．
(2)P(点数是6)=
1 6
归纳： 以上两个试验有两个共同的特点：
1．一次试验中，可能出现的结果有限多个； 2．一次试验中，各种结果发生的可能性相等．
因此，一般地，如果在一次试验中，有n种可 能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事 件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的 m 概率为P(A)= ． n
讨 论
既然频率表示了随机事件发生
的可能性的大小，那么，频率(P)是
否有取值范围?如果有,那它的范围
是怎样的呢？
探究
在n次试验中，事件 A发生的频数m m 满足 ，所以 0≤ ≤1 , 进 0≤m≤n n m 而可知频率 所稳定到的常数 p满足 : n
0≤p≤1，因此， 0≤P(A)≤1.
的交通事故只有几十件,事件发生的可能性
太小,概率为0”你认为她的想法对不对?
她的想法不对,事件发生的可能性小, 但并不是说它一定不发生,也不能说 它”概率为0”
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抛一个硬币出现正面的概率为0.5,出现反面的概率为0.4,还有0.1的概率会立起来,抛2 按照大众的普遍认知,抛硬币正反面的概率为正面或反面各百分之五十，即一半对一半。
在数学上，如果抛出一枚硬币，没有采取特殊的抛硬币手法，那么在在落地时要么正面朝上,要么反面朝上,不可能出现第三种可能,除非硬币刚好在落下时卡入缝隙而立起来，否则抛硬币的正反面时没有规律可循的。
有一种说法是,抛硬币正反面的概率并不是一样的,而是51%比49%。
这一理论由美国斯坦福大学教授伯尔斯提岀,他认为拋硬币得到的正反面概率需要考虑物理学因素,硬币在落地时会岀现偏差，一般在硬币抛出时朝上的那一面,落地朝上的概率会更大。
经过大量志愿者的重复实验,伯尔斯团队认为,拋硬币时朝上的一面，在落地时仍然朝上的几率为51%。
这一结论给普通人的启示也许是,依靠抛硬币做决定,也许不再是天意,而是人为。