质点运动学问题的解

§3 质点运动学问题的解

上两次课我们就如何描述质点的运动情况，定义了a v r

,,和给出了轨道的表达式，以及a v r ,,这些矢量在各种坐标系中的分量表达式。如果我们已知其中的某个量，那么根据上述这些量的关系，就可求出其余各个量。这也就是对质点运动学问题的解。虽然，质点运动学问题各种各样的很多。但是，对于常见质点运动学问题加以分类的话，它可分为三种类型。

一、三种类型

1、第一种类型：是已知运动方程)(t r r =，求速度v 和加速度a 。这类问题比较简单。基本上就是按照速度和加速度在各种坐标系中的分量式直接计算。它的主要运算过程就是微分、导数。所以比较简单，对大家来说不会有什么问题。

2、第二种类型：是已知)(t a a =或)(v a a =或)(r a a =求)(,t r r v =。显然这一类问题是第一类问题的逆过程，它的基本计算方法是积分，有时也要解一些简单的微分方程。对于已知)(t a a =这种情况，只要用积分公式可直接积分。对于后两种情况，要通过适当的积分变换后才能积分。例如在一维的情况下：（1）如果已知：)(v f a =则有：)(v f dt

dv =在一维的情况下，不需要用矢量表示，它的方向完全可由正负来表示。将上式变换为：dt v f dv =)(这种形式之后，方可两边同时进行积分：⎰⎰⎰⎰=→=t t v v dt v f dv dt v f dv 00)()

(得到速度)()(t x t v →（2）如已知：)(x f a =，则

)(v f dt dv =显然不能直接积分，需作一下数学变换，将⎰⎰→=→=→==dx x f vdv x f dx

dv v dx dv v dt dx dx dv dt dv )()(由这个式子可以解出)(x v ϕ=，再变换一下就可以求出：)(t x x =。对于这类简单的数学变换大家必须要熟悉，解决物理问题的过程是离不开数学运算技巧的。

3、第三种类型：是已知)(t r r

=的具体函数式子，或者已知质点运动的具体情况，求质点运动的轨道及曲率半径ρ。质点的运动轨道是不难求出的，只要将已知的运动参数方程消去时间参数t 就可求得轨道方程。至于质点运动轨道的曲率半径，可以先想办法求出法向加速度n a ，然后由n

a v 2

=ρ求出ρ，如P18例4。当然在某些情况下也可以由曲率半径的定

义直接求出ρ，譬如我们书上的例题3.P18，就是由θ

ρd ds =直接计算ρ的。因此第三类问题往往也同第一类，第二类问题结合起来解决。这三种类型只是对常见的各比较典型的质点运动学问题的分类，并不是说所有的运动学问题都可以很清楚地将它分出是属于哪一种类型的，而往往是综合在一起的。但是只要我们掌握这三类问题的解，一旦碰到比较复杂的问题，不至于我们无从下手，我们可以根据问题具体的情况分析出它属于哪几类问题的综合，这样使我们在分析过程中比较容易找到解题途径。解题途径找到了，这个问题就等于一大半做出来了，当然有些问题解起来还有一定的技巧性。这需要我们多练多做，才能从中悟出它的技巧来，下面我就举几个例子和大家一起来练习。

例1：有一个椭圆规尺以其端点A 与B 沿直线槽OX 及OY 滑动，如图所示，而端点B 以

匀速C 运动。求规尺上一点M 的速度与加速度的大小。已知

AM=a, BM=b.

解：大家先看题目…，由题意可以看出这个题目是属于哪一类

问题？显然它是属于第一种类型的问题。因为这个题目要我们

求的是M 点的速度和加速度。在这个问题中，虽然没有直接给

出M 点的运动方程)(t r r

=的具体表达式，但我们根据题意所

给的已知条件可以写出它的运动方程，运动方程写出了，速度、

加速度只要运用微分求导的数学手段就可以求出来了。我们以上的分析过程就是解这个问题的逻辑推想的过程，也就是解此题的基本途径……。不要拿到题目不分清红皂白，埋头就做，这样对我们是没有很大益处的。

我们都知道要定量地研究运动，必须要建立坐标系。因此，我们在写出M 点的运动方程前就得先适当选择坐标系。坐标系适当选择的目的是什么呢？这大家都很清楚，为了使解题越方便越好…..。对于这个问题比较直观，可以看出应用平面直角坐标比较简单，其实图上已经给我们画出来了，在平面直角坐标系中，M 点的位置矢径：j y i x r +=，显然

j y i x

v +=。只要我们写出X ，Y 的运动方程，就不难求出速度与加速度的大小。关于r 的运动方程的具体形式，在这个问题中，不能直接写出X 和Y 对时间变量t 的函数表达式，但我们的也可以选另外一个变量作为参量，在这里我们就取AB 与X 轴的夹角ϕ为过渡参量。这样我们从图中可以看出ϕϕsin ;cos b y a x ==，这一组方程就是以ϕ为参变量的M 点的运动方程，由此方程组我们可算出速度在XY 方向上的分量，即

ϕϕϕϕ ⋅==⋅-==cos ;sin b y v a x

v y x 。在这两个式子中ϕ 是未知的，这个未知量根据题意所给的条件是可以求出来的。题意告诉我们的B 点速度：c v B =，又考虑到

*sin )(,sin )(cos )(→+-=∴=⋅+-=+==ϕϕϕϕϕb a c c b a dt b a d x

v B B 将它代入上面两式则有:

ϕϕϕϕϕctg b a bc b a c b y b

a ac

b a

c a x +-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-⋅=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=sin )(cos sin )(sin 所以

M 点的速度的大小V 就等于ϕϕ22222222ctg b a b a c ctg b a bc b a ac v v v y x ++=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴ ϕϕ

ϕϕ32222322

2sin )(sin )(csc ,0b a bc

a a a a

b a b

c b a bc dt y

d y x b a ac v y y x x +==+=∴+-=⋅+===∴+= 为常量

在这个问题中解出的结果都用参变量ϕ来表示的。如果要求将它们表达成时他t 的函数的话，那么只要将*式积分就可求得)(t ϕϕ=，把)(t ϕϕ=代入上面所求的结果中去就行了，

或者开始时就将)(t ϕϕ=代入)()(ϕϕy y x x ==和这两个式子中去再求y

x y x ,,和也是一样的。

例2（就是书上P.95补充例题1.2）有一划平面曲线轨迹的点，其速度在Y 轴上的投影于任

何时刻均为常数C 。试证在此情况下，加速度的量值可用下式表示：

ρ

c v a 3

=，式中V 为点的速度，ρ为轨迹的曲率半径。 证明： 显然，这个题目比前面一个要复杂一些，在前面那个例

题中我们一看到题目用脑子想一下就可以想出具体的演算过程。但对

于这个问题就不那么容易了，除非你的逻辑思维能力特别强。有点超

人的话，

也许有可能在脑子里像计算机那样把具体的演算过程都打印