大学物理刚体力学基础习题思考题与答案

习题

5

5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为

r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量

为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定

2

滑轮的转动惯

量

均

为

m r/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成

的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内

的张

力。

解：受力分析如图，可建立方程：

2mgT22ma┄①

T1┄②

mgma

T

(TT)rJ┄③

2

(TT)

1rJ┄④a，

r

2

Jmr┄⑤

/2 1

联立，解得：ag

4

11

，Tmg

8

。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面

上，设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试

求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停

止转动。

解：（1）设杆的线密度为：m

l

，在杆上

取

一小质元dmdx，有微元摩擦力：dfdmggdx，

微元摩擦力矩：dMgxdx，

考虑对称性，有摩擦力矩：

l

1

M2gxdxmgl；

2

4

（2）根据转动定律

MJJ d

dt

，有：

t

MdtJd，

11

2

mgltml，∴

0 412 t

3

0l

g

。

或利用：MtJJ，考虑到0，

1

2 Jml，

12

有：0

t

3 l g 。

5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量

为M、半径为

2

R,其转动惯

量

为

M R/2，试求该物体由静止开始下落的过程中

，

下落速度与时间的关系。

解：受力分析如图，可建立方程：

mgTma┄①

TR┄②

J

aR，

1

2 JmR┄③

2

2mgMmg

联立，解得：aT

，，M2m M2m

考虑到a dv

dt

，∴

vt2mg

dvdt

00

M2m

，有：v

2m gt

M2m

。

5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均

匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O

2

轴的转动惯量J/4，设人从静止开始以相对绳匀速向

上爬

MR

时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？

解一：

分别对人、滑轮与重物列出动力学方程

Mg T1人

Ma

A

MM

T2ga物

B

44

T1RTRJ滑轮

2

2

由约束方程:aaRJ,解上述方程组

A和MR/4

B

得到g a. 2

解二：

选人、滑轮与重物为系统

，设u为人相对绳的速度，v为重

du

物上升的速度，注意到u 为匀速，0

dt

，系统对轴的角动量为：

1M3

2

LMvRM(uv)R(R)MvRMu 442

R

(B 物体)(人)(A 物体)

而力矩为： M

13 MgRMgRMgR ， 44

根据角动量定理

dL3d3 M 有：MgR(MvRMuR)，∴

dt4dt2 g a 。 2

5-5．计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。

解：设球的半径为R ，总重量为m ，体密度 4 3 m R 3 ， 考虑均质球体内一个微元：

dmrdrdd ，2

sin 2sin 由定义：考虑微元到轴的距离为rsin

2

J(rsin)dm ，有：

2R 22

J(rsin)rsindrdd

000

1 5R2

2r[(1cos)dcos]

0 5

2 5

2 mR 。 5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲 度系数k40N/m ，当0时弹簧无形变，细棒的质量 m ，求在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度

5.0kg

，才能转动到水平位置？

解：以图示下方的三角桩为轴，从 考虑机械能守恒，那么：

0~90时，

0时的机械能为： l11

22

mg(重力势能)（ml ）(转动动能)，

223

90时的机械能为：1

2

kx

2