大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学

习题8-1多元函数的基本概念

1.填空题：

（1）若y

x

xy y x y x f tan

),(2

2

-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy

y x y x f 2),(2

2+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -==

（3）若)0()(2

2 y y

y x x

y

f +=

，则__________

)(=x f （4）若2

2),(y x x

y y x f -=+，则____________),(=y x f

（5）函数)

1ln(42

2

2y x y x z ---=

的定义域是_______________

（6）函数y x z -=的定义域是_______________ (7)函数x

y

z arcsin

=的定义域是________________ （8）函数x

y x

y z 2222-+=的间断点是_______________

2.求下列极限： （1）xy xy y x 4

2lim

0+-→→

(2)x xy

y x sin lim

0→→

(3)2222220

0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim

2

2

)

0,0(),(=+→y

x xy y x

4.证明：极限0lim 2

42)0,0(),(=+→y x y

x y x 不存在

5.函数⎪⎩

⎪

⎨⎧

=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(2

2y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么

习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用

1.填空题 （1）设y x z tan

ln =，则__________________,=∂∂=∂∂y

z

x z ; （2）设)(y x e z xy +=，则

__________________,=∂∂=∂∂y

z

x z ; （3）设z y

x

u =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z

u y u x u ;

（4）设x y axc z tan =，则________

_________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z

y

z x z （5）设z

y x u )(=，则________

2=∂∂∂y

x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________)

,(),(lim

=--+→x

b x a f b x a f x

2.求下列函数的偏导数

y xy z )1()1(+=

z y x u )arcsin()2(-=

3.设x

y z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数

4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和2

3y

x z

∂∂∂ 5.)11(y

x e

z +-=，试化简y

z y x z x

∂∂+∂∂22

6.试证函数⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(2

2y x y x y

x xy

y x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 习题8-3全微分及其应用

1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：

QY PY Qx Px 41600;51000-=-=

公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。

（1） X 和Y 当前的价格弹性是多少？

（2） 假定Y 降价后，使QY 增加到300个单位，同时导致X 的销量Qx 下降到75

个单位，试问X 公司产品的交叉价格弹性是多少？

(利用弧交叉弹性公式：)/1

21

21212Py Py Py Py Qx Qx Qx Qx Erx +-+-=

2.假设市场由A 、B 两个人组成，他们对商品X 的需求函数分别为：

Px I K D Px I K D B B B A A A /;/)(Pr =+=

（1）商品X 的市场需求函数；

（2）计算对商品X 的市场需求价格弹性；若Y 是另外一种商品，Pr 是其价格，求商品X 对Y 的需求交叉弹性

3.求下列函数的全微分

（1）t

s t

s u -+=

（2）设z y

x

z y x f 1

)(),,(=，求)1,1,1(df

（3）)1ln(2

2

y x z ++=，求当2.0,1.0,2,1=∆=∆==y x y x 的全增量z ∆和全微分

dz

4.计算3

3)97.1()02.1(+的近似值

习题8-4多元复合函数的求导法则

1.填空题