2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第五章函数应用第1节第2课时利用二分法求方程的近似解

第五章 §1 1.2

A 组·素养自测

一、选择题

1．若函数f (x )在[a ，b ]上连续，且同时满足f (a )f (b )＜0，f (a )f (a ＋b

2)＞0．则( B )

A ．f (x )在[a ，a ＋b

2]上一定有零点

B ．f (x )在[a ＋b

2，b ]上一定有零点

C ．f (x )在[a ，a ＋b

2

]上一定无零点

D ．f (x )在[a ＋b

2

，b ]上一定无零点

[解析] a ＜a ＋b 2＜b ，由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f (b )＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤

a ＋

b 2，b 上有零点． 2．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m 的取值范围是( B ) A ．(－∞，52)

B ．(5

2，＋∞)

C ．(5

2，3)

D ．(1，5

2

)

[解析] 令

f (x )＝x 2－2mx ＋4，由题意可知

⎩⎪⎨

⎪⎧

f (1)＜0，

f (2)＜0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

1－2m ＋4＜0，4－4m ＋4＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧

m ＞52

，m ＞2，

即m ＞52

．

3．以下每个图象表示的函数都有零点，能用二分法求函数零点近似值的是( ABD )

[解析] 由二分法的定义，可知只有当函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且f (a )f (b ) ＜0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a ，b ]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A ，B ，D 都符合，而选项C 不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选ABD ．

4．已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 是f (x )的零点，且m ＜n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是__m ＜a ＜b ＜n __．

[解析] 由题意知，f (x )的图象是开口向下的抛物线，f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，如图所示．

所以m ＜a ＜b ＜n ． 二、填空题

5．若定义在[－1,1]上的函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围为__(－∞，－1)∪⎝⎛⎭

⎫1

5，＋∞__． [解析] 由题意可知f (－1)·f (1)＜0， 即(－5a ＋1)(a ＋1)＜0， 解得a ＜－1或a ＞1

5．

∴a ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞． 三、解答题

6．求函数y ＝x 3－2x 2－3x 的零点，并作出它的图象． 解：∵x 3－2x 2－3x ＝x (x 2－2x －3)＝x (x －3)(x ＋1)，

∴函数的零点为－1,0,3．三个零点把x 轴分成四个区间：(－∞，－1]，(－1,0]，(0,3]，(3，＋∞)，在这四个区间内，取x 的一些值，列出这个函数的对应值表如下： x … －2 －1 －1

2 0 1 2

3

4 … y

…

－10

78

－4

－6

20

…

B 组·素养提升

一、选择题

1．已知函数f (x )在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值( C )

A ．5次

B ．6次

C ．7次

D ．8次

[解析] 设对区间(1,2)二等分n 次，初始区间长度为1．第1次计算后区间长度为1

2；第

2次计算后区间长度为122；第3次计算后区间长度为123；……；第5次计算后区间长度为1

25＞

0.02；第6次计算后区间长度为126＜0.02；第7次计算区间长度为1

27＜0.01．故至少计算7次．故

选C ．

2．若函数f (x )的图象是连续的，且函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭

⎫54，32内，则与f (0)符号不同的是( ABD )

A ．f (4)

B ．f (2)

C ．f (1)

D ．f ⎝⎛⎭⎫

32

E ．f ⎝⎛⎭⎫54

[解析] 由二分法的步骤可知：

①零点在(0,4)内，则有f (0)·f (4)＜0，不妨设f (0)＞0，f (4)＜0，取中点2； ②零点在(0,2)内，则有f (0)·f (2)＜0，则f (0)＞0，f (2)＜0，取中点1； ③零点在(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，则f (1)＞0，f (2)＜0，取中点32；

④零点在⎝⎛⎭⎫1，32内，则有f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32＜0，则f (1)＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＜0，取中点54

；

⑤零点在⎝⎛⎭⎫54，32内，则有f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32＜0，则f ⎝⎛⎭⎫54＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＜0． 所以与f (0)符号不同的是f (4)，f (2)，f ⎝⎛⎭⎫

32，故选ABD ．

3．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出如下命题，其中正确的是( ABC ) A ．c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数

B ．b ＝0，c ＞0时，方程f (x )＝0只有一个实数根

C ．y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称

D ．方程f (x )＝0最多有两个实根

[解析] 当c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，此时f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，A 正确；当b ＝0，c ＞0时，f (x )＝x |x |＋c ，若x ≥0，f (x )＝0无解，若x ＜0，f (x )＝0有一解x ＝－c ，B 正确，结合图象(如图)知C 正确，D 不正确．故选ABC ．

二、填空题

4．给出以下结论，其中正确结论的序号是__②③__． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；

④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．

解析：零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．

5．设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2 (x ＞0)，

若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是__3__．

解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝2，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧

b ＝4，

c ＝2，

∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋4x ＋2 (x ≤0)，

2 (x ＞0)，

作图象如图所示．