2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第五章函数应用第1节第2课时利用二分法求方程的近似解
北师大版高中数学必修1第五章1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件PPT
x ③
代数法求函数零点
要求下列函数的零点 （1）f (x) 2 x 1 （2）f (x) x2 2x 3
（3）f (x) x2 2x 3
进一步探究
函数零点的个数 函数零点的存在性
函数零点的个数
1. 确定二次函数 y x2 2x 2的零点个数
数的角度： 方程x2 2x 2 0
2.判定方程x2 2x 1 0有两个不相等的实数根 ，且一个根大于 2，另一个根小于 0
巩固练习 1 求下列函数的零点个数.
① f (x) lg x x ② f (x) x 1
x
③ f (x) log2 x x 2
思考题 请判定方程 2x x 0是否存在实数解， 若存在，请给出一个实数解的存在区间.
但是，由f
(
x)
x, 1,
1
x2 x2
的图象可知，f (x)在区间1,2上没有零点
定理理解：判断正误
1 若f (a) f (b) 0,则函数y f (x)在区间 a,b内有零点.
2函数y f (x)在区间 a,b内有零点，则 f (a) f (b) 0.
3函数f (x)在区间a,b 上连续，且f (a) f (b) 0,
f (a) 0, f (b) 0
函数不间断
函数不间断（连续）， f (a) f (b) 0
函数f (x)在区间（a,b） 上存在零点
零点存在定理
若函数y f (x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线，且f (a) f (b) 0
则函数y f (x)在区间（a,b）上至少有一个零点 .
的根的个数
形的角度： 函数y x2 2x 2
的图象与x轴交点的个数 y
0
x1 0
新教材北师大版高中数学必修第一册 第五章 函数应用 课后练习 含解析
第五章函数应用课后练习1、利用函数性质判定方程解的存在性........................................................................ - 1 -2、利用二分法求方程的近似解.................................................................................... - 6 -3、实际问题的函数刻画.............................................................................................. - 11 -4、用函数模型解决实际问题...................................................................................... - 18 -1、利用函数性质判定方程解的存在性提升练习1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )A.,0B.-2,0C. D.0【解析】选D.当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.2.函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=12+ln 1-4=-3<0,f(2)=22+ln 2-4=ln 2>0,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.3.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;当a≠0时,由函数只有一个零点可得Δ=(-1)2-4×a×2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.答案:5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?【解析】设f(x)=log2x+x2,f=log2+=-1+=-<0,f(1)=log21+1=1>0,即f·f(1)<0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(b,c)和(c,+∞)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(a,b)和(b,c)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】选C.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.2.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立,则( )A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0【解析】选C.由于ab≠0则a≠0且b≠0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立.若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b≠2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b>0,不满足;若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.【补偿训练】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1]C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时, y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k ≤1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )A.f(x1)>0B.f(x1)<0C.f(x2)>0D.f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=的图象,如图所示,由图可知函数y=2x和函数y=的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.答案:(0,4)【补偿训练】设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是.【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x 在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x≤0)的图象,如图所示.因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].答案:(0,1]6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:3 0四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)作出g(x)=x+(x>0)的图象如图:可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的图象,如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.2、利用二分法求方程的近似解基础练习1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.2.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则( )A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知f f(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点,在上有无零点无法判断.3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是( )A.(2,3)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,+∞)【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的近似解在(2,3)内.4.已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.【解析】(1)因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)<0,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解.(2)取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).再取x2=(1+2)=,得f=-<0,所以f(1)·f<0,下一个有解区间为.再取x3==,得f=>0,所以f·f<0,下一个有解区间为.综上所述,所求的实数解x0在区间内.创新练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为( )①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),故①错误;②由于x0两侧函数值不一定异号,故②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故③错误.2.下列函数不宜用二分法求零点的是( )A.f(x)=x3-1B.f(x)=ln x+3C.f(x)=x2+2x+2D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到表格:x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )A.1.125B.1.312 5C.1.437 5D.1.468 75【解析】选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.【补偿训练】某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是.【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,8)【解析】选AD.设y1=lo x,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即函数y1与y2的图象的交点个数,作出两函数图象如图.由图知y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,y2=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.即函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).三、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.【解题指南】函数有零点,但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质,说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x 轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1在区间[0,1]内的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.【解析】因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).答案:(0,0.5) f(0.25)四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.【证明】因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间和上各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.3、实际问题的函数刻画基础练习1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先前进了a km,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了b km(b<a),当他想起“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )【解析】选C.由题意可知,前进a km时,s是关于时间t的一次函数,所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回b km,图象下降且时间增加,再调转车头继续前进,则直线上升.C选项图象符合题意.2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示,则对于丙、丁两车的图象所在区域,判断正确的是( )A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域【解析】选A.由题图可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域.3.图A表示某年12个月中每月的平均气温,一般地,家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系.图B表示某家庭在此年12个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中,正确的是( )A.气温最高时,用电量最多B.气温最低时,用电量最少C.5月～7月用电量随气温增加而增加D.8月～12月用电量随气温降低而增加【解析】选C.逐月分析图象的升降趋势和变化率,排除干扰选项便能确定答案.比较题干中的两图可以发现,2月份用电量最多,而2月份气温不是最高,因此排除A.同理可排除B.8月至12月份气温一直下降,但用电量有增有减,排除D.由5,6,7三个月的气温和用电量可得出C正确.4.为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况,某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查,根据表格及图象提供的信息,可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个.年份快餐公司数2005 302006 452007 90【解析】结合题中两个图表可得2005年消耗纸质饭盒总数=1×30=30(万个);2006年消耗纸质饭盒总数=2×45=90(万个);2007年消耗纸质饭盒总数=1.5×90=135(万个);故每年平均消耗纸质饭盒总数=(30+90+135)÷3=85(万个).答案:855.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.【解析】(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.在△EDF中,=,所以=.所以y=-x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.李明放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走得比较慢;然后他们索性停下来将问题彻底解决;最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )【解析】选D.根据实际情况较吻合的应为D.2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B.300元C.290元D.280元【解析】选B.由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b(a≠0),将(1,800),(2,1 300)代入得a=500,b=300.当销售量x=0时y=300.3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产.如果外购,每个配件的价格是1.10元;如果自己生产,则固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A.1 000件B.1 200件C.1 400件D.1 600件【解析】选D.设生产x件时自产合算,由题意得1.1x≥800+0.6x,解得x≥1 600.4.拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)=1.06·(0.50[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77【解析】选C.5.5 min的通话费为f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×(0.50×6+1)=1.06×4=4.24.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.00元8.4元则下列说法正确的是( )A.买小包装实惠B.买大包装实惠C.卖3小包比卖1大包盈利多D.卖1大包比卖3小包盈利多【解析】选BD.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装实惠,故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.6.某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四个结论,正确的是( )A.前3年的年产量增长速度越来越快B.前3年的年产量增长速度越来越慢C.3年后,这种产品停止生产D.3年后,这种产品年产量保持不变【解析】选AD.由题干图可知,前3年中,年产量的增长速度越来越快,后5年的年产量是不变的,所以AD正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图(2)所示,则△ABC的面积为.【解析】由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5,所以AB=5+=5+3=8,所以S△ABC=×8×4=16.答案:16【补偿训练】生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应;B对应;C对应;D对应.【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4) (1) (3) (2)8.某商人将手机先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每部手机比原价多赚144元,那么每部手机原价是元,实际售价为元.【解析】设每部手机原价是x元,由题意可得(1+40%)x·0.8-x=144,解得x=1 200.实际售价为1200+144=1 344(元).答案:1 200 1 344四、解答题(每小题10分,共20分)9.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示,当打出电话150分钟时,这两种方式话费相差多少元?【解析】设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为s=k2t.当t=100时,100k1+20=100k2,所以k2-k1=.当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.答:这两种方式话费相差10元.10.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度),经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比,且当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本为0.3元,则电价调至多少时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)]【解析】(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,解得k=0.2,所以y==,所以y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5(舍去)或x2=0.6,所以当电价调至0.6元/度时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.4、用函数模型解决实际问题基础练习1.一等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数,它的解析式为( )A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)【解析】选D.由y+2x=20得y=20-2x.又得5<x<10.2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么( )A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5米D.人追不上汽车,其间距最少为7米【解析】选D.设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7.3.今有一组试验数据如表所示:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A.u=log2tB.u=2t-2C.u=D.u=2t-2【解析】选C.可以先描出各点(如图),并利用数据点直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.由图可知,图象不是直线上的点,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时2t-2=23-2=6,==4,由题干中表格知当t=3时,u=4.04,模型u=能较好地体现这些数据关系.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用.当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y分别为.【解析】由三角形相似,即=,得x=×(24-y),所以S=xy=-(y-12)2+180,故当y=12时,S有最大值,此时x=15.答案:15,125.某市居民生活用水收费标准如下:用水量x/t 每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分 3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元?(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少吨水.【解析】(1)由题设可得y=当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得解得所以y关于x的函数解析式为y=(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.故该用户最多可以用6.5 t水.提升练习一、单选题(每小题5分,共25分)1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( )A.a=bB.a>bC.a<bD.无法比较a,b的大小【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a[1-(10%)2]=a,所以b=a×,所以a>b.2.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3B.4C.6D.12【解析】选A.设隔墙长度为x,如图所示,则与隔墙垂直的边长为=12-2x,所以矩形面积S=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0<x<6,所以当x=3时,S max=18.3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是( )A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000)B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000)D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000)【解析】选D.依题意存车费总收入:y=0.5x+0.8(2 000-x)=-0.3x+1 600.4.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番,设平均每年增长率为x,则( )A.(1+x)19=4B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2D.(1+x)20=4【解析】选D.翻两番,即从1变成4,从2000年到2020年共经过20年,即(1+x)20=4.【误区警示】翻番问题,要特别注意翻一番是由1变为2,翻两番是由1变为4.5.(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )A.60B.63C.66D.69【解析】选C.因为I(t)=,所以I(t*)==0.95K,则=19,所以0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈+53≈66.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)6.甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同,甲比乙跑的时间少,甲比乙跑得要快,比乙先到达终点.三、填空题(每小题5分,共10分)7.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:关于x呈指数型函数变化的变量是.【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案:y28.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以优惠,所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130(元).(2)由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值为15.答案:(1)130 (2)15四、解答题(每小题10分,共20分)9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元.【解析】(1)可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.由题意,得或或无论哪个均可解得a=,b=-2,c=0,所以所求函数关系式为S=t2-2t.(2)把S=30代入,得30=t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得S=×72-2×7==10.5(万元),把t=8代入,得S=×82-2×8=16(万元),则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),所以第八个月公司所获利润为5.5万元.10.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=log a x+b;④y=a x+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,人均GDP为4千美元时,年人均A 饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?【解析】(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入y=ax2+bx,得解得a=-,b=,所以函数解析式为y=-x2+x(x∈[0.5,8]).因为y=-x2+x=-+,所以当x=时,年人均A饮料的销售量最多是L.创新练习1.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693) ( )A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2≈-0.693,解得t≈2.77.2.某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(x)表示学生注意力指标,该小组发现f(x)随时间x(分钟)的变化规律(f(x)越大,表明学生的注意力越集中)如下:f(x)=(a>0,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:(1)求a的值;(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由;(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?【解析】(1)由题意得,当x=5时,f(x)=140,即100·-60=140,解得,a=4.(2)f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,由于f(5)>f(35),故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中.(3)①当0≤x≤10时,由(1)知,f(x)≥140的解集为[5,10];②当10<x≤20时,f(x)=340>140,成立;③当20<x≤40时,-15x+640≥140,。
北师大高中数学必修第一册学案：第5章 5.6 第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
第2课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象及性质的应用类型1 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 【例1】 已知函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈R.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；(2)该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ [解] (1)列表：(2)函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．1．“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．[跟进训练]1．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．[解] f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下．图象如图．类型2 求三角函数的解析式【例2】 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．借助函数图象你能发现哪些信息？参数A 、ω、φ的求解分别与哪些信息相关？[解] 法一：(逐一定参法) 由图象知A ＝3, T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，∴－π6×2＋φ＝0＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3， ∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二：(五点对应法)由图象知A ＝3. ∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法三：(图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得， ∴y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，选取最小值点时代入公式ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .(2) 五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．[跟进训练]|φ|＜π22．(1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋BA ＞0，ω＞0，的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋4B ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4C ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2D ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋2 (2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，求f (x )的解析式．(1)A [由函数f (x )的最大值和最小值得A ＋B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4， 函数f (x )的周期为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫－π2×4＝4π，又ω＞0， 所以ω＝12，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，6在函数f (x )的图象上．所以6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π4，k ∈Z ，又|φ|＜π2， 所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＋4.](2)[解] 由最低点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.在x 轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T 2＝π2， 即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.类型3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用【例3】 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ<π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[解] ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值， 即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z . 又0≤φ<π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴0<ω≤2，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或2.将本例中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M 3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数”改为“在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数”，试求ω的最大值．[解] 因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0. 因为f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上是增函数．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，于是⎩⎪⎨⎪⎧ω＞0，－3π2≥－π2ωπ2≤π2ω，，解得0＜ω≤13，所以ω的最大值为13.研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的基本策略(1)首先将所给函数的解析式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)熟记正弦函数y ＝sin x 的图象与基本性质． (3)充分利用整体代换思想解决问题．(4)熟记有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．[跟进训练]3．(多选)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，以下命题中为真命题的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数ABD [令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项A 正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，即x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，选项B 正确；2x ＋π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，则2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选ABD.]1．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6(A ＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6 D ．B ＝43．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π64．某同学用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的简图时，列表如下：5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝π6，则φ的值为__________．1．求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？[提示](1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求．(2)寻找“五点作图法”中的某一个点来求，具体如下：利用“第一点”时，令ωx＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx＋φ＝π2；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时，令ωx＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx＋φ＝3π2；利用“第五点”时，令ωx＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”．2．在研究函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？[提示]采用“换元”法整体代换，将(ωx＋φ)看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝A sin z的性质求解．。
北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》PPT课件
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第五章 本章总结提升
882
10 +
-100
在区间[2,10]上是减函数,
∴g(p)max=g(2)=800,故当 p=2 时,厂家销售金额最大.
变式训练4
某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计
规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本
为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产
(3)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?
解(1)由题意得G(x)=2.8+x.
-0.4 2 + 3.2-2.8,0 ≤ ≤ 5,
∴f(x)=R(x)-G(x)=
8.2-, > 5.
(2)①当0≤x≤5时,由-0.4x2+3.2x-2.8>0得x2-8x+7<0,解得1<x<7,
∴1<x≤5.
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
-0.05
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.08
因为|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似零点为x=1.312 5.
变式训练2
用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解(精确度为0.1).
解令f(x)=x2-5,
-( + 2) > 0,
(0) > 0,
故需满足 (1) < 0, 即 7-(13 + )-( + 2) < 0,
(2) > 0,
28-2(13 + )-( + 2) > 0,
解得-4<m<-2.
利用函数性质判定方程解的存在性 导学案(含答案)(2024)高一上学期北师大版必修 第一册
第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【学习目标】1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.◆知识点一函数的零点使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x+1的零点是(-1,0).()(2)函数y=x2-2x-3有两个零点.()◆知识点二零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0解.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)在区间[a,b]内满足f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内无零点.()(2)f(x)在区间(a,b)内有一个零点,则f(a)·f(b)<0.()◆探究点一由图象确定函数的零点例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在[a,d]内有个零点.(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A .a>0B .c<0C .(-1,0)是函数的一个零点D .3是函数的一个零点(3)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )=x 2-2x (x ≥0),则函数f (x )的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .2D .3[素养小结]由图象确定函数的零点个数主要有两种方法:1.直接画出函数的图象,通过图象与x 轴交点的个数确定零点个数.2.将函数f (x )写成f (x )=h (x )-g (x )的形式,画出函数y=h (x )与y=g (x )的图象,根据两函数图象的交点个数判断方程h (x )=g (x )的根的个数,即可确定函数f (x )的零点个数.◆ 探究点二 由方程的解求函数的零点[提问] 当方程易得出解时,可通过 得到对应函数的零点.例2 求函数f (x )=(ax-1)(x-1)(a ∈R)的零点.变式 函数f (x )={x 2+x -2,x ≤0,-1+lnx ,x >0的零点为 .[素养小结]求函数y=f (x )的零点通常有两种方法:其一是令y=0,由对应方程的根求得函数的零点;其二是画出函数的图象,图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.◆ 探究点三 函数零点的综合问题 角度1 判断函数零点个数例3 求函数f (x )=3x - lo g 12x 的零点个数.变式 (1)函数f (x )=2x +x 3-2在区间(0,1)上的零点个数是 ( )A .0B .1C .2D .3(2)设函数f (x )={x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,若f (-2)=f (0),f (-3)=1,则函数y=f (x )-x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4[素养小结]确定函数零点个数的方法:(1)因式分解法:可转化为一元n 次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决. (2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数. (3)图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决. (4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.角度2 判断函数零点所在的区间例4 (1)函数f (x )=ln x+x-4的零点所在的区间为( )A .(1,2)B .(2,3)C .(3,4)D .(5,6)(2)二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6不求a ,b ,c 的值,判断方程ax 2+bx+c=0的两根所在的区间是 ( ) A .(-3,-1)和(2,4) B .(-3,-1)和(-1,1) C .(-1,1)和(1,2) D .(-∞,-3)和(4,+∞)变式 (1)根据下表中的数据,可以判断方程e x -x-2=0的一个根所在的区间为 ( )x -1 0 123e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+212345A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)(2)若x 0是函数f (x )=(13)x -x 12的零点,则x 0属于区间( )A .(0,13)B .(13,12) C .(12,23)D .(23,1)[素养小结](1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是否连续,其次判断f (a )·f (b )<0是否成立,若成立,则函数y=f (x )在区间(a ,b )内必有零点.(2)已知函数f (x )在[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,若存在f (a )·f (b )<0,则f (x )在区间(a ,b )内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点.反过来,若f (a )与f (b )不变号,而是同号,即不满足f (a )·f (b )<0,也不能说函数f (x )在(a ,b )内无零点,如f (x )=x 2在[-1,1]上的图象是连续不断的曲线,且f (-1)·f (1)=1>0,但0是f (x )的零点.角度3 由函数零点(或方程的解)的个数求参数问题例5 (1)函数f (x )=ax 2-x-1仅有一个零点,则实数a= .(2)已知函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象与直线y=k 有三个不同的交点,则k 的取值范围是 ( ) A .(-4,-3) B .[-4,-3) C .[-4,-3]D .(-4,-3]变式 若函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[素养小结]解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.拓展已知函数f(x)=log a x-4x-1(a>0且a≠1)在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,则实数a的取值范围为()A.(0,14)B.(14,1)∪(1,+∞)C.(0,14]D.(14,1)第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【课前预习】知识点一横坐标诊断分析(1)×(2)√[解析] (1)零点不是点,是一个数,是函数图象与x轴交点的横坐标.知识点二f(a)·f(b)<0至少有一个诊断分析(1)×(2)×[解析] (2)函数y=x2在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)·f(2)>0.【课中探究】探究点一例1(1)3(2)D(3)D[解析] (1)由题图知函数f(x)在[a,d]内有3个零点.(2)由题图可知a<0,c>0,∵函数图象的对称轴为直线x=1,函数图象与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴3是函数的一个零点.故选D. (3)根据题意可知x=2,x=0为f(x)的零点,因为奇函数的图象关于原点对称,所以x=-2也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.探究点二提问解方程例2 解:①当a=0时,函数f (x )=-x+1.令-x+1=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1.②当a=1时,函数f (x )=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1. ③当a ≠0且a ≠1时,令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=1a ,则函数f (x )的零点为1,1a .综上,当a=0或a=1时,函数f (x )的零点为1;当a ≠0且a ≠1时,函数f (x )的零点为1,1a . 变式 -2,e [解析] 由f (x )=0,得{x ≤0,x 2+x -2=0或{x >0,-1+lnx =0,解得x=-2或x=e .所以函数f (x )的零点为-2,e .探究点三例3 解:令f (x )=0得3x =lo g 12x.作出y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象,如图所示,由图可知y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象有1个交点,∴f (x )=3x -lo g 12x 有1个零点.变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为y=2x 与y=x 3-2在R 上均为增函数,所以函数f (x )=2x +x 3-2在R 上是增函数,因此函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上单调递增,又f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0,所以f (x )在(0,1)上有1个零点.(2)由f (-2)=f (0)得4-2b+c=c ,所以b=2,由f (-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以当x ≤0时,f (x )=x 2+2x-2.当x ≤0时,由f (x )-x=x 2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).当x>0时,由f (x )-x=2-x=0,得x=2.因此方程f (x )-x=0只有两个解,即函数y=f (x )-x 有两个零点.故选B .例4 (1)B (2)A [解析] (1)易知f (x )=ln x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>0,所以f (2)·f (3)<0,所以f (x )的零点在区间(2,3)内.故选B .(2)易知f (x )=ax 2+bx+c 的图象是一条连续不断的曲线,因为f (-3)×f (-1)=6×(-4)=-24<0,所以f (x )在(-3,-1)内有零点,即方程ax 2+bx+c=0在(-3,-1)内有根.同理方程ax 2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A .变式 (1)C (2)B [解析] (1)令f (x )=e x -x-2,则由表中数据知f (-1)=0.37-1=-0.63<0,f (0)=1-2=-1<0,f (1)=2.72-3=-0.28<0,f (2)=7.39-4=3.39>0,f (3)=20.09-5=15.09>0,因为f (1)·f (2)<0,f (x )的图象是连续不断的曲线,所以f (x )的一个零点在区间(1,2)内,即方程e x -x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C .(2)根据指数函数和幂函数的性质,可得(13)13>(13)12,(13)12<(12)12,所以f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,即f (13)·f (12)<0.又f (x )=(13)x-x 12为R 上的减函数,所以由零点存在定理,可得函数f (x )=(13)x-x 12有且只有一个零点且零点x 0∈(13,12).故选B .例5 (1)0或-14 (2)D [解析] (1)若a=0,则f (x )=-x-1,易知函数f (x )仅有一个零点.若a ≠0,则f (x )为二次函数,由f (x )仅有一个零点,得方程ax 2-x-1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=-14.综上所述,当a=0或a=-14时,函数f (x )仅有一个零点.(2)作出f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象和直线y=k ,如图所示,由图可知-4<k ≤-3,故选D .变式 (0,2) [解析] 由|2x -2|-b=0,得|2x -2|=b ,由题意可知函数y=|2x -2|与y=b 的图象有两个交点,结合函数y=|2x -2|与y=b 的图象(如图所示)可知0<b<2.拓展 D [解析] 函数f (x )在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,即方程f (x )=0在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根,即方程log a x=4x-1在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根.设g (x )=log a x ,h (x )=4x-1,则函数h (x )在R 上为增函数,且h (0)=14,h (12)=12,h (1)=1,h (x )=4x-1>0恒成立.若a>1,则当x ∈(0,1)时,g (x )=log a x<0,不满足条件,故0<a<1.由于g (x )与h (x )的图象在(0,12]上无交点,在(12,1)上有交点,因此根据函数g (x )与h (x )的图象(如图所示)可知{0<a <1,g (12)>ℎ(12),解得14<a<1,故选D .。
用函数模型解决实际问题课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
解： (2)图2的建议是降低成本，票价不变，
图3的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图1、2中的票价是2元，
图1
ห้องสมุดไป่ตู้图2
图3
与轴交点由−20变为−10 与轴交点不变
图3中的票价是4元．
图象特征
数学特征
斜率不变
斜率变大
情境引入
新知探究
某公司每年需要某种计算机元件8000个，每次购买元件需手续费500元，每个
元件的库存费是每年2元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便
不考虑资金占用，8000个元件的库存费也不少，若多次进货，则可减少库存费，
但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？
首先要做一些假设：
• 每天需同样多的元件；
)
解： (1)正确；
(2)由函数模型得到的解，要回到实际问题中去，验证是否符合实际问题，然后才能确定
实际问题的解；故错误．
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，
他先前进了 km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有
，
满足 = + 0 ≤ ≤ ҧ ， 0 = ， ҧ = 0．
解得 = −8 000 + 0 ≤ ≤ ҧ ．
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
某公司每年需要某种计算机元件8000个，每次购买元件需手续费500元，每个
元件的库存费是每年2元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便
2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第五章第1节第1课时利用函数性质判定方程解的存在性
第五章 §1 1.1A 组·素养自测一、选择题1．(山东省学业水平考试)函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( D ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，x 3＝－1，即函数的零点为－1,0,1，其3个．2．下列命题中真命题的个数是( D )①若f (a )·f (b )＜0，函数f (x )在[a ，b ]上单调且图象连续，则函数y ＝f (x )在(a ，b )内只有一个零点；②若f (a )·f (b )＞0，函数f (x )在[a ，b ]上单调且图象连续，则函数y ＝f (x )在(a ，b )内一定没有零点；③若f (a )·f (b )＞0，且函数f (x )在[a ，b ]上不单调，则函数f (x )是否存在零点不确定； ④若f (a )·f (b )＝0，则a 或b 是函数f (x )的零点． A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 根据函数零点的概念及函数零点存在定理可得四个命题都是真命题． 3．若函数f (x )的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f (x )的零点所在的区间为( BCD )C ．(3,4)D ．(4,5)[解析] 因为f (2)＞0，f (3)＜0，即f (2)·f (3)＜0，又函数的图象是连续的，所以断定f (x )的零点所在的一个区间为(2,3)．同理可得f (x )的零点所在的区间为(3,4)，(4,5)．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤1，x 2，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－2的零点个数为__2__．[解析] 令函数g (x )＝f (x )－2＝0，则f (x )＝2．当x ≤1时，令3－2x ＝2，解得x ＝12；当x ＞1时，令x 2＝2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)， 所以函数g (x )的零点为x ＝12或x ＝2，所以函数g (x )＝f (x )－2有两个零点． 二、填空题5．若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是__(0,4)__． [解析] 由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象(如图)，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4．三、解答题6．已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且函数f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．[解析] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a． ∵f (0)＝3，∴c ＝3． 又∵－b 2a ＝2，∴－ba＝4．∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b a 2－2c a ＝16－6a ＝10， ∴a ＝1，b ＝－4． ∴f (x )＝x 2－4x ＋3．B 组·素养提升一、选择题1．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 010个，则f (x )的零点的个数为( D )A ．1 010B ．1 011C ．2 020D ．2 021[解析] ∵f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 010个零点， ∴在(－∞，0)内也有1 010个零点．又∵f (0)＝0，∴共有2 020＋1＝2 021(个)零点． 2．下列图象对应的函数中有零点的是( BCD )[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x 轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点．B 、C 、D 有零点．3．若关于x 的方程|x |x －2＝kx 有三个不等零点，则实数k 可取值为( ACD )A ．13B ．34C ．14D ．18[解析] 由题意可知k ≠0， ∵|x |x －2＝kx ，∴kx 2－2kx ＝|x |， 当x ≥0时，kx 2－2kx ＝x ， 解得x ＝0或x ＝2k ＋1k ，∴2k ＋1k ＞0，∴k ＞0或k ＜－12．当x ＜0时，kx 2－2kx ＝－x ， 解得x ＝0(舍去)或x ＝2k －1k ，∴2k －1k ＜0，∴0＜k ＜12．综上可知，k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12．故选ACD ． 二、填空题4．观察下图函数y ＝f (x )的图象，填空：当x ∈__{－2,2,3}__时，f (x )＝0；当x ∈__(－∞，－2)∪(3，＋∞)__时，f (x )＞0． 当x ∈__(－2,2)∪(2,3)__时，f (x )＜0．[解析] 根据图象知，f (x )＝0的解集是：{－2,2,3}． f (x )＞0的解集是：(－∞，－2)∪(3，＋∞)， f (x )＜0的解集是：(－2,2)∪(2,3)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，若f (a )≤3，则a 的取值范围是__(－∞，1]__．[解析] 当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，所以0≤a ≤1，当a ＜0时，－a 2＋2a ≤3，所以a ＜0． 综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]． 三、解答题6．若函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a －1＝0，即a ＝1时，函数为y ＝x ＋2，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a －1≠0，即a ≠1时，函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2是二次函数． ∵函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，∴关于x 的方程为(a －1)x 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1－8(a －1)＝0，解得a ＝98．综上所述，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝1或a ＝98．。
北师大版高中数学 必修第一册 5.1函数的应用
解析：①当 a＝0 时，由 f(x)＝－x－1＝0 得 x＝－1，符合题意． ②当 a>0 时，函数 f(x)＝ax2－x－1 为开口向上的抛物线，且 f(0)＝ －1<0，对称轴 x＝21a>0，∴f(x)必有一个负实根，符合题意． ③当 a<0 时，x＝21a<0，f(0)＝－1<0，∴Δ＝1＋4a＝0，即 a＝－14. 此时 f(x)＝－1x2－x－1＝－ 2x＋1 2＝0，∴x＝－2，符合题意．
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75
0.08
(1.312 5,1.343 75) 1.328 125 (1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5
0.01 －0.02
答案：C
题型一 二分法概念的理解 1．下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中
函数零点的是( )
解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在 B 中，不满足 f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案：B
【方法归纳】 (1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 ①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方 法完成)． ②取区间端点的平均数 c，计算 f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c， n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要 求，终止计算，得到函数零点的近似值． (2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题
合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋
势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答
案.
变式训练1已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BCDA向
点A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是
(100-)(1 + 2%) ≥ 100,
0 < < 100,∈N+,
故
∴0<x≤50,x∈N+.
2
-50 ≤ 0,
因此当0<x≤50,x∈N+时,能保证第二产业的产值不减少.
(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0<x≤50,x∈N+)万元,则
a
f(x)=(100-x)(1+2x%)a+1.2ax-100a=50
(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若
按九折出售,则每件还能获利.( × )
(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出
20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为
y=-4x+200.( × )
(3)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( √ )
2.对于本题通过作差探讨出函数的单调情况是解题的关键所在.
变式训练3大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m,游回产地产卵.研究鲑鱼
1
的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 y=2log3100 ,单位是m/s,其中x
高中数学 新北师大版必修第一册 第五章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课件
∴-4<k<-3.
4
∴当函数有两个不同零点时,k 的取值范围为 -4,- 3 .
(2)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,
∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个解.
-1-3 = -2,
∴
解得 k=-2 或 k=-1.
2
(-1) × (-3) = + 3 + 5.
4
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数f(x)=x2-1的零点是(
)
A.(±1,0)
B.(1,0)
C.0
D.±1
答案:D
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
激趣诱思
知识点拨
二、零点存在定理
假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)·f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求函数的零点
例1判断以下函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个
零点.
2021_2022学年新教材高中数学第五章函数应用1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件北师大版必
分析:函数f(x)的零点个数即为方程f(x)=0的解的个数.令
f(x)=0,即x2-2|x|=a+1.令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则方程x2-2|x|
=a+1的解的个数即为函数g(x)与h(x)的图象交点的个数,故将
探究一 判断函数零点所在区间
【例1】 (1)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是(
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
(2)函数 f(x)=ln(x+1)-(x>0) 的零点所在的大致区间是(
A.(3,4)
B.(2,e)
C.(1,2)
D.(0,1)
)
)
解析:(1)因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,
故当a>0时,方程ax2-2(a+1)x+a-1=0的一根大于1,一根小于1.
解决一元二次方程根的分布问题应注意以下几点
(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.
(2)结合草图考虑三个方面:①开口方向;②Δ与0的大小;③对
称轴与所给端点值的关系;④端点的函数值与零的关系.
思 想 方 法
用数形结合思想判断函数零点的个数
又 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,故选 C.
答案:C
探究二 求函数的零点
【例2】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=1-log2(x+3);
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第五章 §1 1.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．若函数f (x )在[a ，b ]上连续，且同时满足f (a )f (b )＜0，f (a )f (a ＋b
2)＞0．则( B )
A ．f (x )在[a ，a ＋b
2]上一定有零点
B ．f (x )在[a ＋b
2，b ]上一定有零点
C ．f (x )在[a ，a ＋b
2
]上一定无零点
D ．f (x )在[a ＋b
2
，b ]上一定无零点
[解析] a ＜a ＋b 2＜b ，由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f (b )＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a ＋
b 2，b 上有零点． 2．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m 的取值范围是( B ) A ．(－∞，52)
B ．(5
2，＋∞)
C ．(5
2，3)
D ．(1，5
2
)
[解析] 令
f (x )＝x 2－2mx ＋4，由题意可知
⎩⎪⎨
⎪⎧
f (1)＜0，
f (2)＜0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
1－2m ＋4＜0，4－4m ＋4＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
m ＞52
，m ＞2，
即m ＞52
．
3．以下每个图象表示的函数都有零点，能用二分法求函数零点近似值的是( ABD )
[解析] 由二分法的定义，可知只有当函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且f (a )f (b ) ＜0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a ，b ]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A ，B ，D 都符合，而选项C 不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选ABD ．
4．已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 是f (x )的零点，且m ＜n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是__m ＜a ＜b ＜n __．
[解析] 由题意知，f (x )的图象是开口向下的抛物线，f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，如图所示．
所以m ＜a ＜b ＜n ． 二、填空题
5．若定义在[－1,1]上的函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围为__(－∞，－1)∪⎝⎛⎭
⎫1
5，＋∞__． [解析] 由题意可知f (－1)·f (1)＜0， 即(－5a ＋1)(a ＋1)＜0， 解得a ＜－1或a ＞1
5．
∴a ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞． 三、解答题
6．求函数y ＝x 3－2x 2－3x 的零点，并作出它的图象． 解：∵x 3－2x 2－3x ＝x (x 2－2x －3)＝x (x －3)(x ＋1)，
∴函数的零点为－1,0,3．三个零点把x 轴分成四个区间：(－∞，－1]，(－1,0]，(0,3]，(3，＋∞)，在这四个区间内，取x 的一些值，列出这个函数的对应值表如下： x … －2 －1 －1
2 0 1 2
3
4 … y
…
－10
78
－4
－6
20
…
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f (x )在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值( C )
A ．5次
B ．6次
C ．7次
D ．8次
[解析] 设对区间(1,2)二等分n 次，初始区间长度为1．第1次计算后区间长度为1
2；第
2次计算后区间长度为122；第3次计算后区间长度为123；……；第5次计算后区间长度为1
25＞
0.02；第6次计算后区间长度为126＜0.02；第7次计算区间长度为1
27＜0.01．故至少计算7次．故
选C ．
2．若函数f (x )的图象是连续的，且函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭
⎫54，32内，则与f (0)符号不同的是( ABD )
A ．f (4)
B ．f (2)
C ．f (1)
D ．f ⎝⎛⎭⎫
32
E ．f ⎝⎛⎭⎫54
[解析] 由二分法的步骤可知：
①零点在(0,4)内，则有f (0)·f (4)＜0，不妨设f (0)＞0，f (4)＜0，取中点2； ②零点在(0,2)内，则有f (0)·f (2)＜0，则f (0)＞0，f (2)＜0，取中点1； ③零点在(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，则f (1)＞0，f (2)＜0，取中点32；
④零点在⎝⎛⎭⎫1，32内，则有f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32＜0，则f (1)＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＜0，取中点54
；
⑤零点在⎝⎛⎭⎫54，32内，则有f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32＜0，则f ⎝⎛⎭⎫54＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＜0． 所以与f (0)符号不同的是f (4)，f (2)，f ⎝⎛⎭⎫
32，故选ABD ．
3．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出如下命题，其中正确的是( ABC ) A ．c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数
B ．b ＝0，c ＞0时，方程f (x )＝0只有一个实数根
C ．y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称
D ．方程f (x )＝0最多有两个实根
[解析] 当c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，此时f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，A 正确；当b ＝0，c ＞0时，f (x )＝x |x |＋c ，若x ≥0，f (x )＝0无解，若x ＜0，f (x )＝0有一解x ＝－c ，B 正确，结合图象(如图)知C 正确，D 不正确．故选ABC ．
二、填空题
4．给出以下结论，其中正确结论的序号是__②③__． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；
④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．
解析：零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．
5．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2 (x ＞0)，
若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是__3__．
解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝2，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝4，
c ＝2，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ＋2 (x ≤0)，
2 (x ＞0)，
作图象如图所示．
由图象可知f (x )＝x 的解的个数为3． 三、解答题
6．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0，证明a ＞0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．
解析：∵f (1)＞0，∴3a ＋2b ＋c ＞0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c ＞0，
∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c ＞0，则－b －c ＞c ，即a ＞c ． ∵f (0)＞0，∴c ＞0，则a ＞0． 在[0,1]内选取二等分点1
2
，
则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a ＜0． ∵f (0)＞0，f (1)＞0，
∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫1
2，1上至少各有一个零点， 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。