直纹面的性质

4.7单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性
教学目标：
通过本节的学习，使学生认识二次曲面中的一些直纹面，会写直纹面的直
母线方程，会识别直纹面。

教学重点：
直纹二次曲面的直母线的参数方程，直纹面直母线的性质。

教学难点：
直纹面直母线的性质证明，求已知条件的直母线方程
教学内容
由一族直线构成的曲面称为直纹面，直线族中的每一条直线都称为直母线.显然，在二次曲
面中，二次柱面和二次锥面都是直纹面.本节将证明单叶双曲面和双曲抛物面也都是直纹面，而
且它们与二次柱面和二次锥面不同，通过曲面上的每一点都有两条直母线.
一、单叶双曲面的直纹性
设给定单叶双曲面S，其方程为.则它有两族直母线（称为λ族直母线和μ族直母线），它们的方程分别为λ族：
（其中λ1和λ2为不全为零的任意实数）
μ族：
（其中μ1和μ2为不全为零的任意实数.）
单叶双曲面的直母线具有以下性质：
(1)经过单叶双曲面上任意点，两族直母线中各有一条直母线通过此点；
(2)单叶双曲面上同族的两条直母线不共面；
(3)单叶双曲面上不同族的两条直母线共面(相交或平行).
二、双曲抛物面的直纹性
设双曲抛物面S 的方程为，则双曲抛物面S 有两族直母线，分别称为λ族直母线与μ族直母线.它们的方程分别为：
λ族：
μ族：
其中λ，μ为任意实数.对于双曲抛物面S 上任意一点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
双曲抛物面的直母线具有以下性质：
(1)经过双曲抛物面上任意点，两族直母线中各有一条直母线通过此点；
(2)双曲抛物面上同族的两条直母线不共面；
(3)双曲抛物面上不同族的两条直母线共面(相交)；
(4)双曲抛物面上同族的直母线平行于同一平面。