高等数学1试题(附答案解析)

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一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是

π

。

2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x

=

-

。

3． 函数2

sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2

44

1()3

x x o x -+。

4．

1

1

dx =⎰

。

5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡20π，上的最大值为

6

π

+。

6． 2222

22lim 12

n n

n n n n n n →∞⎛⎫

+++

⎪+++⎝⎭

=

4

π。

二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）

1. 设21cos sin ,0

()1,0x x x f x x x x ⎧

+<⎪=⎨

⎪+≥⎩

，则0x =是()f x 的 D 。 A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点 D ．连续点

2. 设()232x x f x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 B 。

A ．是等价无穷小与x x f )(

B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(

C ．高阶的无穷小是比x x f )(

D ．低阶的无穷小是比x x f )(

3.

1

+∞=⎰

C 。

A ．不存在

B ．0

C ．2π

D ．π

4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0

lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。

A ．(0)f 是()f x 的极大值

B ．(0)f 是()f x 的极小值

C ．(0)f 不是()f x 的极值

D ．(0)f 是()f x 的最小值

5.曲线2x

y d t π-=⎰的全长为 D 。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3

2

y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =-

，92b = B. 32a =，9

2b =- C ．32a =-

，92b =- D. 32a =，92

b = 7. 曲线2x

y x -=⋅的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2

(,)ln 2

-∞

三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，

第6~7题每小题8分，共46分）

1. 2

1lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝

⎭ 解：()2

1

cos lim ,

1

t t t x

t →==原式令

)0

0(

cos ln lim

2

0型t

t t e →= （3分）

t

t t t e cos 2sin lim

⋅-→=

12

e

-

= （6分）

2. 222,arctan )1ln()(dx y

d t

t y t x x y y 求确定所由参数方程设函数⎩⎨

⎧-=+==。 解：

)]

1[ln()

arctan (2t d t t d dx dy +-=2

21211

1t t t ++-

=2t =， （3分） 22dx y d dx dx dy d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt

dx dt t d 1)2(⋅=212121t t +⋅=t

t 412+=． （6分）

3. 2

(1)

x

x xe dx e +⎰． 解：=原式1

(

)1x x d e -+⎰ （2分） =111x x x dx e e -+++⎰ =11()11x x x x x de e e e -+-++⎰ =ln 11

x

x x x e C e e -++++ （6分）

4.

求

⎰

(0)t t =≥，则2

2x t dx tdt ==， （2分）

24

2

220000

2

2

01

222(1)1112[ln 1]2ln3

2t t tdt dt t dt t t t t t t ===-++++=-++=⎰⎰⎰⎰ （6分）

5. 设曲线()n f x x =在(1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(,0)n x ，求n n n x )(lim ∞

→。

解：

1

1

(1)n x f nx n -='==，所以()f x 在点(1,1)处的切线方程为：

(1)1

y n x =-+ ……..

(*)

(2)分

由题意知切线(*)与x 轴的交点为(,0)n x ，

即n x x n n

n 1

11)1(0-=⇒+-= (5)分 从而可得：

n n n n n n

x )1

1(lim )(lim -=∞→∞→＝1-e ． (6)分

6. 设连续函数

)(x f 满足

x x f x f 2sin )()(=-+，求积分

2

2

2()sin I f x x dx π

π-=⎰

．

解：方程两端同乘2

sin x 并从2

π-

积分到2π，得：

2

2

2

22

2

2

2

24

4

4

()sin ()sin sin 2sin 2(*)

f x xdx f x xdx

xdx xdx I ππππππ

π---+-===⎰

⎰

⎰⎰ )3(分

2

2

2()sin f x xdx t x

π

π--=-⎰

又令2

2

2

2

2

2()sin ()()()sin f t t dt f t tdt ππ

π

π----=⎰

⎰

（5分）

由(*)得：

2

2

241()sin 22I f x xdx I π

π-==⨯⎰13122422π=⨯⨯⨯⨯316

π=． (8)分

7. 设

()f x 连续，1

()()F x f t x dt =⎰，且0

()

lim

x f x A x

→=（A 为常数），求

()dF x x 。