大学物理课后答案——第六章 管靖主编

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大物B课后题06-第六章静电场精品文档6页

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习题解析6-7 在坐标原点及0)点分别放置电量61 2.010Q C -=-⨯及62 1.010Q C -=⨯的点电荷,求1)P -点处的场强。

解 如图6.4所示,点电荷1Q 和2Q 在P 产生的场强分别为 而12123,,2,1r i j r j r r =-=-==,所以6-8 长为15l cm =的直导线AB 上,设想均匀地分布着线密度为915.0010C m λ--=⨯⋅,的正电荷,如图6.5所示,求:(1)在导线的延长线上与B 端相距1 5.0d cm =处的P 点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2 5.0d cm =处的Q 点的场强。

解 (1)如图6.5(a )所示,以AB 中点为坐标原点,从A 到B 的方向为x 轴的正方向。

在导线AB 上坐标为x 处,取一线元dx ,其上电荷为 它在P 点产生的场强大小为方向沿x 轴正方向。

导线AB 上所有线元在P 点产生的电场的方向相同,因此P 点的场强大小为 方向沿x 轴正方向。

(2)如图6.5(b )所示,以AB 中点为坐标原点,从A 到B 的方向为x 轴正方向,垂直于AB 的轴为y 轴,在导线AB 上坐标为x 处,取一线元dx ,其上的电荷为 它在Q 点产生的电场的场强大小为 方向如图6.5(b )所示。

在导线AB 上坐标为-x 处取另一线元dx ,其上电荷为 它在Q 点产生的电场场强大小为方向与坐标x 处电荷元在Q 点产生的电场方向相对与y 轴对称,因此1dE 与2dE 的合场强dE 的大小为方向沿y 轴正方向,因此Q 点的场强的大小为 方向沿y 轴正方向。

补充 一根玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形,其上电荷均匀分布,总电量为q ,求半圆中心O 点的场强。

解 建立如图6.6所示的坐标系,在弧线上取线元dl 其上电荷为qdq dl Rπ=,它在Q 点处产生的场强由于半圆形上电荷对y 轴呈对称性分布,电场分布也对y 轴呈对称性,所以6-9 一根细有机玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形,上半截均匀带有正电荷,电荷线密度为λ;下半截均匀带有负电荷线密度为λ-,如图6.7所示。

大学应用物理第六章习题答案

大学应用物理第六章习题答案

6-21 一热力学系统由如图6—28所示的状态a 沿acb 过程到达状态b 时,吸收了560J 的热量,对外做了356J 的功。

(1) 如果它沿adb 过程到达状态b 时,对外做了220J 的功,它吸收了多少热量? (2)当它由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时,外界对它做了282J 的功,它将吸收多少热量?是真吸了热,还是放了热?解: 根据热力学第一定律 Q E W =+(1)∵a 沿acb 过程达到状态b ,系统的内能变化是: 560356204a b a c b a c bE Q WJ J J =-=-=由于内能是状态系数,与系统所经过的过程无关 ∴系统由a 沿acb 过程到达状态b 时204ab E J = 系统吸收的热量是:204220424ab acb Q E W J J J =+=+=(2)系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时,系统的内能变化:204ba ab E E J =-=-[]204(282)486ba ba Q W J J ∴+=-+-=-即系统放出热量486J6-22 64g 氧气的温度由0℃升至50℃,〔1〕保持体积不变;(2)保持压强不变。

在这两个过程中氧气各吸收了多少热量?各增加了多少内能?对外各做了多少功?解:(1)3.6458.31(500) 2.0810322v m Q vC T J =∆=⨯⨯⨯-=⨯ 32.0810E J ∆=⨯ A=0(2)3.64528.31(500) 2.9110322p m Q vC T J +=∆=⨯⨯⨯-=⨯ 32.0810E J ∆=⨯33(2.91 2.08)100.8310A Q E J =-∆=-⨯=⨯6-23 l 0g 氦气吸收103 J 的热量时压强未发生变化,它原来的温度是300K ,最后的温度是多少?解: 由.212()2p m M i Q vC T R T T μ+=∆=⨯-得332132210410300319(2)(32)8.311010Q T T K i RM μ--⨯⨯⨯=+=+=++⨯⨯⨯6-24 一定量氢气在保持压强为4.00×510Pa 不变的情况下,温度由0.0 ℃ 升高到50.0℃时,吸收了6.0×104 J 的热量。

大学物理课后习题答案第六章

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x解:先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。

在带电圆环上取 dq1dl , dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为dEdq4(x R )根据电荷分布的对称性知,E y E z 0dE x dE cos1 xdq4(x 2 R 2)'2第6章 真空中的静电场 习题及答案1.电荷为 q 和 2q 的两个点电荷分别置于 x 1m 和x 1m 处。

一试验电荷置于 x 轴上何处,它受到的合力等于零?解:根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定,只有试验电荷 q 0位于点电荷 q 的右侧,它受到的合力才可能为0,所以2qq o qq o2 24 n o (x 1)4 n o (x 1)故 x 3 2 22.电量都是q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点。

试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2这种平衡与三角形的边长有无关系 ?解:(1)以A 处点电荷为研究对象,由力平衡知, q 为负电荷,所以(2)与三角形边长无关。

3.如图所示,半径为 R 、电荷线密度为 1的一个均匀带电圆环,在其轴线上放一长为I 、电荷线密度为 2的均匀带电直线段, 该线段的一端处于圆环中心处。

求该直线段受到的电场力。

2% cos30 a1 qqa)24nE xsin d4n 0R 2n 0R式中:为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。

---------------------------------- 3dq4 o (x 2 R 2) 2x 1 2 R 1R x40 (x 2 R 2)'2 2 0(x 2 R 2)'2下面求直线段受到的电场力。

在直线段上取 dq2dx , dq受到的电场力大小为dF E x dq1 2只 ------- x ———dx2 0(x 2 R 2),2方向沿x 轴正方向。

大学物理答案 6.第六章

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第六章机械运动和机械波思考题6-35简谐振动中相位为φ、π+φ、2π+φ、3π+φ、….时描述的是同一运动状态吗?为什么?6-36 对一简谐振动系统,画出其动能和势能关于时间变量的曲线,并分析两者反相的物理意义。

6-37 将单摆摆线从铅直方向拉到φ角的位置撒手任其摆动。

这里φ角是初相位吗?若不是,它将对应什么物理量?6-38 若以一装满水的空心球作为单摆的摆钟,并让水从球体缓慢流出,试描述其摆动周期的变化情况。

6-39 利用受迫振动的稳定解(6.19)式说明为什么恒力不能导致受迫振动。

(提示:恒力的频率ω可视为零)6-40 在太空中能听到声音吗?为什么?6-41 在较长时间间隔(Δt>>T)内,任意以t为变量的正弦(或余弦)型函数的平均值均为零,例如:<cos αt>=<sin αt>=0,其中α是任意常数。

试据此推导(6.11)、(6.12)及(6.40)式。

6-42 海啸是一种波长约为几十至几百千米、在海水中传播的波动现象。

它在深海区域并不易被察觉,但一旦海啸接近岸边往往会造成巨大的灾害。

试从能量角度分析其中的原因。

6-43 描述机械波时间周期性的物理量由周期T、频率v和圆频率ω给出。

类似地,我们可以用λ、1λ、2πλ描述波的空间周期性,试说明这三个量对应的物理意义。

6-44 试解释弦乐器的以下现象:(1)较松的弦发生的音调较低,而较紧的弦则音调较高;(2)较细的弦发生的音调较高,而较粗的弦则音调较低(古人称之为“小弦大声,大弦小声”);(3)正在振动的两端固定的弦,若用手指轻按弦的中点时,音调变高到两倍,若改按弦的三分之一处时,音调增至三倍;(4)用力弹拨琴弦(而非用手指按弦)时,能同时听到若干音调各异的声音。

(提示:音调高低与弦振动的频率成正比。

此外,在(4)情形中弦以基频振动的同时还以若干泛频振动。

)习题6-1 如题6-1图所示,用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来,悬线oc 通过圆盘质心,圆盘呈水平状态,这个装置称为扭摆,当使圆盘转过一个角度时,金属丝受到扭转,从而产生一个扭转的恢复力矩。

大学物理第06章习题分析与解答.doc

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6-1某一热力学系统经历一个过程后,吸收了400J的热量,并对环境做功300J,则系统的内能()o(A)减少了100J (B)增加了100J (C)减少了700J (D)增加了700J解:由热力学第一定律2 = AE + W可得AE = 2 - VV = 400 - 300=100J 故选B6-2对于理想气体系统来说,在下列过程中,哪个过程中系统所吸收的热量、内能的增量和对外做功三者均为负值( )?(A) 等容降压过程(B)等温膨胀过程(C)绝热膨胀过程(D)等压压缩过程解:等容过程不做功,故A不正确;等温过程内能不变,故B不正确;绝热过程与外界不交换热量,故C不正确;对于等压压缩过程:体积减小,系统对外界做负功,表现为外界对系统做功;易知压缩过程温度降低,则内能减少;等压过程e p = vC^T ,温度降低,则必放热。

故选D6-3系统分别经过等压过程和等体过程,如果两过程中的温度增加值相等,那么()o(A)等压过程吸收的热量小于等体过程吸收的热量(B)等压过程吸收的热量等于等体过程吸收的热量(C)等压过程吸收的热量大于等体过程吸收的热量(D)无法确定解:等压过程吸收的热量Q p = vC^T ;等容过程吸收的热量e v=^c v Ar,由于C p > C v ,故选 C6-4 一台工作于温度分别为327°C和27°C的高温热源与低温热源之间的卡诺热机,每经历一次循环吸热2000J ,则对外界做功( )o(A) 2000J ( B ) 1000J ( C ) 4000J ( D ) 500J解:卡诺热机循环效率?/= —=1-^=1- —则W = 1000J,故选BQ吸心600 26・5系统从外界获得的能量,一部分用来_______ ,另一部分用来对外界做功。

解:详见热力学第一定律6-6空气压缩机在一次压缩过程中,活塞对气缸内的气体做功为2xlO4J,同时气体的内能增加了1.5X104J O试问:此压缩过程中,气体_______________ (填“吸收”或“放出”)的热量等于 ___________ J。

大学物理1-6章课后习题答案1

大学物理1-6章课后习题答案1


ω 3 = 30 rad / s
1-5 、一个人坐在转椅上,双手各持哑铃,哑铃与转轴的距离各为 r1=0.6m,先让人以,ω0=5rad/s 的角速度随转椅旋 转, 此后人将哑铃拉回是与转轴的距离均为 r2=0.2m, 人对轴的转动惯量 J1=5kg·m2 视为不变, 每一哑铃的质量 M2=5kg 轴上摩擦忽略不记。 解: (1)系统所受合外力矩为 0,所以系统的角动量守恒,则
1-14、如图所示为空气从稳定状态流过飞机机翼的流线。设流过机翼上面的气流速度 v1=60m/s,流过机翼下面的气流
v2=50m/s,翼面的面积 S=40m2。求作用于机翼的升力。空气的密度ρ=1.30kg/m3。
解:
1 1 2 P1 + ρv12 = P2 + ρ v2 2 2 1 1 2 ⇒ ∆p = p2 − p1 = ρ v12 − ρv2 2 2 ∴ F = ∆p ⋅ s = 2.86 × 104 ( 密度为ρ0,黏滞系数为η的空气中下落,测出其最大速度为 v0。现在如果在油滴的下方 置一方向向下的均匀电厂,其场强为 E,测出油滴下落的最大速度为 v。求油滴所带的电量 q(q<0). 解: 油滴在空气中下落:
∴y =
H H H 时有最大射程为2 (H − ) = H 2 2 2
1-13 、将比多管装在飞机机翼上,以测定飞机相对于空气的速率。假定比多管中盛的是酒精,指示的液面的高度差 h=26cm ,空气的湿度是 0 摄氏度,求飞机相对于空气的速率。已知酒精的密度 ρ1=0.81×103kg/m3 ,空气的密度
1-2、有一根长为 l、质量为 m 的匀质细杆,两端各牢固的连接一个质量为 m 的小球,整个系统可绕一过 O 点并垂直 于杆的水平轴无摩察的转动,如图。当系统转到水平位置时,求: 系统所受的和力矩 系统的转动惯量 系统的角加速度 解: (1)设垂直纸面向里为 z 轴的正方向(即力矩的正方向) ,合力矩为两小球及杆的重力矩之和。

大学物理第6章习题参考答案

大学物理第6章习题参考答案

第六章习题解答6-1 解:首先写出S 点的振动方程 若选向上为正方向,则有:0c o s02.001.0ϕ=- 21cos 0-=ϕ,0s i n 00>-=ϕωυA 0sin 0<ϕ 即 πϕ320-=或π34 初始相位 πϕ320-=则 m t y s )32cos(02.0πω-=再建立如图题6-1(a)所示坐标系,坐标原点选在S 点,沿x 轴正向取任一P 点,该点振动位相将落后于S 点,滞后时间为: ux t =∆则该波的波动方程为:m u x t y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=πω32)(cos 02.0若坐标原点不选在S 点,如习题6-1图(b )所示,P 点仍选在S 点右方,则P 点振动落后于S 点的时间为: uL x t -=∆则该波的波方程为:m uL x t y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πω32)(cos 02.0若P 点选在S 点左侧,P 点比S 点超前时间为ux L -,如习题6-1图(c)所示,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=πω32)(cos 02.0u x L t y⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πω32)(cos 02.0uL x t∴不管P 点在S 点左边还是右边,波动方程为: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πω32)(cos 02.0uL x t y6-2 解(1)由习题6-2图可知, 波长 m 8.0=λ 振幅A=0.5m习题6-1图习题6-1图频率 Hz 125Hz 8.0100===λuv周期 s 10813-⨯==vT ππυω2502==(2)平面简谐波标准波动方程为: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ϕω)(cos u xt A y 由图可知,当t=0,x=0时,y=A=0.5m ,故0=ϕ。

将ϕπωω、、、u v A )2(=代入波动方程,得:m )100(250cos 5.0⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x t y π(3) x =0.4m 处质点振动方程.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)1004.0(250cos 5.0t y π m )250cos(5.0ππ-=t6-3 解(1)由习题6-3图可知,对于O 点,t=0时,y=0,故2πϕ±=再由该列波的传播方向可知,00<υ取 2πϕ=由习题6-3图可知,,40.0m OP ==λ且u=0.08m/s ,则ππλππω52rad/s 40.008.0222====u v rad/s可得O 点振动表达式为:m t y )252cos(04.00ππ+=(2) 已知该波沿x 轴正方向传播,u=0.08m/s,以及O 点振动表达式,波动方程为:m x t y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=2)08.0(52cos 04.0ππ(3) 将40.0==λx 代入上式,即为P 点振动方程:m t y y p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==ππ2152cos 04.00 (4)习题6-3图中虚线为下一时刻波形,由图可知,a 点向下运动,b 点向上运动。

北师版-大学物理课后习题答案-经典与近代物理简明教程-管靖主编

北师版-大学物理课后习题答案-经典与近代物理简明教程-管靖主编
得到
19.6
1 2 4.9 2 1 2 vy 0 2 vy vy 0 0 9.8 9.8 19.6
因 v y 0 0 ,略去 v y 0 19.6 ,可求出 v y 0 19.6 . 在碰撞中根据动量定理
r r r I mv2 mv1
由于 v1 19.6i , v2 v y 0 j 19.6 j ,所以棒对球的冲量
0
t

则得到
vx
0
dvx A cos tdt
0
t
vx
vx 0
A sin t 0
t
vx A sin t
再由
dx vx A sin t 得到 dt
dx A sin tdt
t
做定积分,由初始条件 t 0 时 x A 确定积分下限
b t mg mg m y( v0 ) e dt dt b b b t m mg b mg m ( v0 ) e d( t ) dt b b m b b t m mg mg t C2 ( v0 )e m b b b

用初始条件 t 0 时 y 0 定积分常数,可得
1.13 质量为 0.5kg 的球以速率 19.6 m s 沿水平方向飞来,经球棒打击后竖直向上飞出,
,求棒对球的冲量.如果打击时间为 已知球被打击后上升最大高度为 19.6m (忽略空气阻力) 0.05s ,求棒对球冲击力的平均值. 解 建立坐标系 Oxy , Ox 轴沿球初始速度方向, Oy 轴竖直向上.
2
r
r
r
r r r r dr d v (2ti 8t 2 j ) dt dt r r d(2t ) r d(8t 2 ) r i j 2i 16tj (m s) dt dt r r r r dv d r a (2i 16tj ) 16 j (m s 2 ) dt dt

大学物理第六章静电场习题答案

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大学物理第六章静电场习题答案(总7页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第六章静电场习题6-1 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点。

试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解:(1)如图任选一点电荷为研究对象,分析其受力有1230F F F F=++=合y轴方向有()()21322232cos242433304q qQF F Fa aqq Qaθπεπεπε=+=+=+=合得33Q q=-(2)这种平衡与三角形的边长无关。

6-2 两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,静止时两线夹角为2θ,如图所示。

设小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每个小球所带的电量。

解:对其中任一小球受力分析如图所示,有⎪⎩⎪⎨⎧===22)sin2(π41sincosθεθθlqFTmgTe解得θπεθtan4sin2mglq=6-3 在氯化铯晶体中,一价氯离子Cl-与其最邻近的八个一价铯离子Cs+构成如图所示的立方晶格结构。

(1)求氯离子所受的库仑力;(2)假设图中箭头所指处缺少一个铯离子(称作晶格缺陷),求此时氯离子所受的库仑力。

(1)由对称性可知F1= 0(2)2912222001.9210N43q q eFr aπεπε-===⨯方向如图所示6-4 长l= cm的直导线AB上均匀地分布着线密度95.010C mλ-=⨯的正电荷。

试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距15.0cma=处P点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距25.0d cm=处Q点的场强。

解:(1)如图所示,在带电直线上取线元x d,其上电量q d在P点产生场强为20)(d π41d x a xE P -=λε2220)(d π4d x a x E E llP P -==⎰⎰-ελ]2121[π40l a l a +--=ελ)4(π220l a l -=ελ 用15=l cm ,9100.5-⨯=λ1m C -⋅,5.12=a cm 代入得21074.6⨯=P E 1C N -⋅ 方向水平向右(2)同理 2220d d π41d +=x xE Q λε 方向如图所示由于对称性可知⎰=l Qx E 0d ,即Q E只有y 分量22222220dd d d π41d ++=x x x E Qyλε22π4d d ελ⎰==lQyQy E E ⎰-+2223222)d (d l l x x2220d 4π2+=l lελ以9100.5-⨯=λ1cm C -⋅, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得21096.14⨯==Q y Q E E 1C N -⋅ 方向沿y 轴正向*6-5 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量。

大学物理第六章课后习题答案

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第六章静电场中的导体与电介质6 —1将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近,则导体B的电势将()(A)升高(B)降低(C)不会发生变化(D)无法确定分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势。

由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时,在导体B的近端感应负电荷;在远端感应正电荷,不带电导体的电势将高于无穷远处,因而正确答案为(A)。

6 —2 将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N,在N的左端感应出正电荷,右端感应出负电荷。

若将导体N的左端接地(如图所示),则()(B)N上的正电荷入地(A )N上的负电荷入地(C)N上的所有电荷入地地(D)N上所有的感应电荷入题6-2图分析与解导体N接地表明导体N为零电势,即与无穷远处等电势,这与导体N在哪一端接地无关。

因而正确答案为( A )。

6 —3如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近,点电荷距导体球球心为d,参见附图。

设无穷远处为零电势,则在导体球球心0点有()(A)E =0,V —4 n^d(B)E J,V L4 n%d 4 n %d (C)E = 0,V = 0题6-3图分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。

点电荷 q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷土 q',导体球表面的感应电荷土 q'在球心 0点激发的电势为零,0点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。

因而正 确答案为(A )。

6 -4根据电介质中的高斯定理,在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合 曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。

下列推论正确的是()(A )若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零,曲面内一定没有 自由电荷 (B)若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零,曲面内电荷的代 数和一定等于零 (C) 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零,曲面内一定有 极化电荷 (D) 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 (E)介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零,表明曲面内自由电荷的代数和等于零; 由于电介质会改变自由电荷的空间分布, 介质 中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。

大学物理第六章练习答案

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第六章 热力学基础练 习 一一. 选择题1. 一绝热容器被隔板分成两半,一半是真空,另一半是理想气体,若把隔板抽出,气体将进行自由膨胀,达到平衡后 A (A) 温度不变,熵增加; B 温度升高,熵增加;C 温度降低,熵增加;D 温度不变,熵不变; 2. 对于理想气体系统来说,在下列过程中,哪个过程系统所吸收的热量、内能的增量和对外作做的功三者均为负值; C A 等容降压过程; B 等温膨胀过程; C 等压压缩过程; D 绝热膨胀过程; 3. 一定量的理想气体,分别经历如图11所示的abc 过程图中虚线ac 为等温线和图12所示的def 过程图中虚线df 为绝热线 ; 判断这两过程是吸热还是放热: A A abc 过程吸热,def 过程放热; B abc 过程放热,def 过程吸热; C abc 过程def 过程都吸热; D abc 过程def 过程都放热;4. 如图2,一定量的理想气体,由平衡状态A 变到平衡状态B A p =B p ,则无论经过的是什么过程,系统必然 B(A) 对外做正功; B 内能增加; C 从外界吸热; D 向外界放热; 二.填空题1. 一定量的理想气体处于热动平衡状态时,此热力学系统不随时间变化的三个宏观量是P V T ,而随时间变化的微观量是每个分子的状态量; 2. 一定量的单原子分子理想气体在等温过程中,外界对它做功为200J,则该过程中需吸热__-200__ ___J;3. 一定量的某种理想气体在某个热力学过程中,外界对系统做功240J,气体向外界放热620J,则气体的内能 减少,填增加或减少,21E E = -380 J;4. 处于平衡态A 的热力学系统,若经准静态等容过程变到平衡态B,将从外界吸热416 J,若经准静态等压过程变到与平衡态B 有相同温度的平衡态C,将从外界吸热582 J,所以,从平衡态A 变到平衡态C 的准静态等压过程中系统对外界所做的功为 582-416=166J ;图.2图1图3三.计算题1. 一定量氢气在保持压强为×510Pa 不变的情况下,温度由0 ℃ 升高到50.0℃时,吸收了×104J 的热量;1 求氢气的摩尔数2 氢气内能变化多少3 氢气对外做了多少功4 如果这氢气的体积保持不变而温度发生同样变化、它该吸收多少热量解: 1由,22p m i Q vC T vR T +=∆=∆ 得 422 6.01041.3(2)(52)8.3150Q v mol i R T ⨯⨯===+∆+⨯⨯ 24,541.38.3150 4.291022V m i E vC T v R T J ∆=∆=⨯∆=⨯⨯⨯=⨯ 344(6.0 4.29)10 1.7110A Q E J =-∆=-⨯=⨯ 444.2910Q E J =∆=⨯2. 一定量的理想气体,其体积和压强依照V =aP 的规律变化,其中a 为常数,试求:1 气体从体积1V 膨胀到2V 所做的功;2体积为1V 时的温度1T 与体积为2V 时的温度2T 之比;1:⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===21212122211V V V V V V a dV Va PdV W 2: 111nRT V P =1221V V T T = 3. 一热力学系统由如图3所示的状态a 沿acb 过程到达状态b 时,吸收了560J 的热量,对外做了356J 的功;1 如果它沿adb 过程到达状态b 时,对外做了220J 的功,它吸收了多少热量2 当它由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时,外界对它做了282J 的功,它将吸收多少热量 是真吸了热,还是放了热解: 根据热力学第一定律 Q E W =+1∵a 沿acb 过程达到状态b,系统的内能变化是:560356204ab acb acb E Q W J J J =-=-=由于内能是状态系数,与系统所经过的过程无关 ∴系统由a 沿acb 过程到达状态b 时204ab E J =系统吸收的热量是:204220424ab acb Q E W J J J =+=+=2系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时,系统的内能变化:204ba ab E E J =-=-[]204(282)486ba ba Q W J J ∴+=-+-=-即系统放出热量486J第六章 热力学基础练 习 二一. 选择题1. 如图1所示,一定量的理想气体从体积1V 膨胀到体积2V 分别经历的过程是:A →B 等压过程, A →C 等温过程,A →D 绝热过程;其中吸热最多的过程 AA 是A →B ; B 是A →C ; C 是A →D ; D 既是A →B,也是A → C,两者一样多;2. 用公式V E C T ∆=μ∆ 式中V C 为定容摩尔热容量,μ为气体摩尔数,计算理想气体内能增量时,此式 D(A) 只适用于准静态的等容过程; B 只适用于一切等容过程; C 只适用于一切准静态过程; D 适用于一切始末态为平衡态的过程;3. 用下列两种方法: 1 使高温热源的温度1T 升高T ∆, 2 使低温热源的温度2T 降低同样的T ∆值,分别可使卡诺循环的效率升高1∆η和2∆η,两者相比: BA 1∆η> 2∆η;B 2∆η>1∆η;C 1∆η= 2∆η;D 无法确定哪个大; 二. 填空题1. 同一种理想气体的定压摩尔热容P C 大于定容摩尔热容V C , 其原因是 除了增加内能还需对外做功 ;1 2图1图32. 常温常压下,一定量的某种理想气体视为刚性分子,自由度为i ,在等压过程中吸热为Q,对外做功为A ,内能增加为E ∆, 则A/Q =i +22, ∆E/Q = ii +2; 3.一卡诺热机可逆的,低温热源的温度为27℃,热机效率40%,其高温热源温度为C 127T 1=;今欲将热机效率提高为50%,若低温热源保持不变,则高温热源的温度增加C 200T =∆;4.如图2所示,一定量的理想气体经历a →b →c 过程, 在此过程中气体从外界吸收热Q ,系统内能变化∆E , 请在以下空格内填上>0或<0或=0; Q >0 , ∆E >0 ; 三. 计算题1. 如图3所示两端封闭的水平气缸,被一可动活塞平分为左右两室,每室体积均为0V ,其中装有温度相同、压强均为0P 的同种理想气体,现保持气体温度不变,用外力缓慢移动活塞忽略摩擦,使左室气体的体积膨胀为右室的2倍,问外力必须做多少功 解:x V P S V V P S P F 0010011===, xl VP F -=002 ()()[]89ln ln 003221003221322121V P x l x V P dx F F Fdx W l l l l l l =-=-==⎰⎰2. 比热容比γ = 的理想气体,进行如图4所示的ABCA 循环,状态A 的温度为300K; 1求状态B 、C 的温度;2计算各过程中气体吸收的热量、气体所做的功和气体内能的增量;RT MmPV =得:KT C K T B R mMA CB 75:225:3002400:==⨯=⨯A C →等体过程,EJ T i R m M Q W ∆-==∆==15002图2图4图5JE W Q J T R i m M E J PdV W BA 50050021000=∆+=-=∆=∆==→⎰C B →等压过程JE W Q J T R i m M E J PdV W 140010002400-=∆+=-=∆=∆-==⎰3. 如图5为一循环过程的T —V 图线;该循环的工质是一定质量的理想气体;其,V m C 和γ均已知且为常量;已知a 点的温度为1T ,体积为1V ,b 点的体积为2V ,ca 为绝热过程;求:1 c 点的温度;2 循环的效率;解: 1c a 为绝热过程,11112r r a c a c V V T T T V V --⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2a b 等温过程,工质吸热211lnV Q vRT V = bc 为等容过程,工质放热为11..1.12()11r c V m b c V m V m T V Q vC T T vC T vC T T V -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦循环过程的效率112.2211111ln r V mV V C Q V Q RV η-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-第六章 热力学基础练 习 三一. 选择题1. 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小图1中阴影部分分别为S 1和S 2 ,则二者的大小关系是 BA S 1 > S 2 ;B S 1 = S 2 ;C S 1 < S 2 ;D 无法确定; 2. 在下列说法中,哪些是正确的 C1 可逆过程一定是平衡过程;2 平衡过程一定是可逆的;3 不可逆过程一定是非平衡过程;4 非平衡过程一定是不可逆的;A 1、4 ;B 2、3 ;C 1、2、3、4 ;D 1、3 ; 3. 根据热力学第二定律可知 DA 功可以全部转换为热,但热不能全部转换为功;B 热可以从高温物体传到低温物体,但不能从低温物体传到高温物体;C 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程;D 一切自发过程都是不可逆的;4.“理想气体和单一热源接触作等温膨胀时,吸收的热量全部用来对外做功”;对此说法,有以下几种评论,哪种是正确的 CA 不违反热力学第一定律,但违反热力学第二定律; (B) 不违反热力学第二定律,但违反热力学第一定律; (C) 不违反热力学第一定律,也不违反热力学第二定律; (D) 违反热力学第一定律,也违反热力学第二定律; 二. 填空题1. 如图2的卡诺循环:1abcda,2dcefd,3abefa ,其效率分别为:1η= 1/3 , 2η= 1/2 ,3η= 2/3 ;2. 卡诺致冷机,其低温热源温度为T 2=300K ,高温热源温度为T 1=450K ,每一循环从低温热源吸热Q 2=400J ,已知该致冷机的致冷系数ω=Q 2/A=T 2/T 1-T 2 式中A 为外界对系统做的功,则每一循环中外界必须做功A= 200J ;3. 1 mol 理想气体设γ = C p / C V 为已知的循环过程如图3的T —V 图所示,其中CA 为绝热过程,A 点状态参量T 1,V 1和B 点的状态参量T 1,V 2为已知,试求C 点的状态量:V c =2V ,T c =1121T VV r -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,P c =r r V V RT 2111-;三. 计算题1. 一热机在1000K 和300K 的两热源之间工作,如果 1 高温热源提高为1100K ;2 低温热源降低为200K,从理论上说,热机效率各可增加多少为了提高热机效率哪一种方案为好 热机在1000K 和300K 的两热源之间工作,121T T T -=η,%7010003001000=-=η 解: 高温热源提高为1100K :%73.72110030011001=-=η,效率提高:%73.2=η∆低温热源降低为200K : %80100020010002=-=η,效率提高:%10=η∆提高热机效率降低低温热源的温度的方案为好;2. 1 mol 单原子分子理想气体的循环过程如图4的T —V 图所示, 其中c 点的温度为T c =600K,试求: 1ab 、bc 、ca 各个过程系统吸收的热量;2经一循环系统所做的净功;3循环的效率;注: 循环效率η=A/Q 1,A 为循环过程系统对外做的净功,Q 1为循环过程系统从外界吸收的热量,1n2=解: 由b b b a a a T VP T V P =,得K T b 300=J V V RT Q baca 0.34562ln 60031.8ln=⨯⨯== 等温过程 ()()J T T C Q b c v bc 5.373930060031.823=-⨯=-= 等容过程 ()()J T T C Q a b b ab 5.623260030031.825-=-⨯=-= 等压过程图2图3图4()6232.524932ab ab b a iW Q E R T T J=-∆=---=-J Q W ca ca 0.3456==%38.132********=+-==bcca Q Q Q A η。

大学物理第六章习题解答和分析

大学物理第六章习题解答和分析

6-1频率为Hz 41025.1⨯=ν的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播,棒的弹性模量211/1090.1m N E ⨯=,棒的密度33/106.7m Kg ⨯=ρ.求该纵波的波长.分析 纵波在固体中传播,波速由弹性模量与密度决定。

解:波速ρ/E u =,波长νλ/u =0.4m λ==6-2一横波在沿绳子传播时的波方程为:))(5.2cos(04.0SI x t y ππ-= (1)求波的振幅、波速、频率及波长; (2)求绳上的质点振动时的最大速度;(3)分别画出t=1s 和t=2s 的波形,并指出波峰和波谷.画出x=1.0m 处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.分析 与标准方程比较即可确定其特征参量。

解:(1)用比较法,由)2cos()5.2cos(04.0x t A x t y λπϕωππ-+=-=得0.04A m = /2 2.5/2 1.25Hz νωπππ=== 2, 2.0m ππλλ== 2.5/u m s λν== (2)0.314/m A m s νω==(3)t=1(s)时波形方程为:)5.2cos(04.01x y ππ-= t=2(s)时波形方程为:)5cos(04.02x y ππ-= x=1(m)处的振动方程为:)5.2cos(04.0ππ-=t y6-3 一简谐波沿x 轴正方向传播,t=T/4时的波形图如题图6-3所示虚线,若各点的振动以余弦函数表示,且各点的振动初相取值区间为(-π,π].求各点的初相.题图6-2分析 由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图。

依旋转矢量法可求t=0时的各点的相位。

解:由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出 t=0时的波形图(图中实线),依旋转矢量法可知 质点1的初相为π; 质点2的初相为π/2; 质点3的初相为0; 质点4的初相为-π/2.6-4 有一平面谐波在空间传播,如题图6-4所示.已知A 点的振动规律为)t cos(A y ϕ+ω=,就图中给出的四种坐标,分别写出它们波的表达式.并说明这四个表达式中在描写距A 点为b 处的质点的振动规律是否一样?分析 无论何种情况,只需求出任意点x 与已知点的相位差,同时结合相对坐标的传播方向(只考虑相对于坐标方向的正负关系)即可求解波的表达。

第6章大学物理(I-1)教材课后习题答案

第6章大学物理(I-1)教材课后习题答案

当 t

2
时, I i
100 0.5 0.12 20 0.987 A 100
B N 0 I , 2a
51
(2)因为圆电流在圆心处的磁场强度为
所以该感应电流在圆心 O 处的磁感应强度为
B
6.3
N 0 I 100 4 0.987 6.2 103 T 2a 2 0.1
向沿 badcb)
i
L Fm mg θ
安培力: Fm BlI i , 水平向右。安培力在斜面上 投影为
6.10 解图
BlI icos Fm
重力在斜面上投影为
B 2l 2 cos2 v R
f 下 mg sin
m dv ( Bl sin ) 2 mg sin v dt R
i
d m lI cos(t ) b 0 0 ln dt 2 a
题 6.3 解图
6.4 如题 6.4 图所示,导体棒 ab 与金属轨道 ca 和 db 接触, 整个线框放在 B 0.50 T 的均匀磁场中,磁场方向与图面垂直。 (1)若导体棒以 4.0 m s-1 的速度向右运动,求棒内感应电动 势的大小和方向; (2)若导体棒运动到某一位 置时,电路的电阻为 0.20 ,求此时棒所受 的力。摩擦力可不计。 (3)比较外力做功的功 率和电路中所消耗的热功率。 解 (1)因为回路中的磁通量为由牛顿第源自定律可得运动方程为由此可得
dv ( Bl sin ) 2 ( Bl sin ) 2 gmR sin g sin v (v ) dt mR mR ( Bl cos ) 2
dv ( Bl cos ) 2 dt gmR sin mR v ( Bl cos ) 2
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第六章 习题6.1 三个相同的点电荷放置在等边三角形的三个顶点上,在此三角形的中心应放置怎样的电荷,才能使作用在每一点电荷上的合力为零?解 设等边三角形的边长为a,则由顶点到中心的距离为;顶点处电荷为q ,中心处电荷为Q ,Q 与q 反号.考虑到等边三角形的对称性,可知Q 受其它三个电荷的合力为零,与Q 的大小无关;顶点处三个电荷q 所受合力的大小相同.上方顶点处电荷q受其它三个电荷的作用力如题解图 6.1所示,合力为零要求题解图6.102cos30F F =即22024q aπε⨯=可求出3Q q =.6.2 半径为R 的半圆形带电曲线,如题图 6.2所示,线上单位长度带有电荷η,求圆心O 点的场强. 题图6.2解 在带电曲线上取一个长度为d l 的电荷元,其电量d d q l η=.电荷元在O 点的场强为d E,如题解图 6.2.由于电荷分布对Ox 轴对称,所以全部电荷在O 点产生的总场强沿y 方向的分量之和为零,O 点的总场强E 沿Ox 方向,(d )x E E i =⎰.由于d =d lR θ,所以200d cos cos d cos d d 44x l E E R Rηθηθθθπεπε⋅=== 于是222200cos (d )(sin )44E i |i R R ππππηθηθθπεπε--==⎰02i Rηπε= 6.3 电量均为9410C -⨯的四个点电荷置于正方形的四个顶点,各顶点距正方形中心O点5cm .试求:(1)O 点的场强和电势;(2)将点电荷90110C q -=⨯从无穷远处移到O 点,电场力作功多少?电势能的改变为多少?解 (1)根据场强迭加原理,O 点的场强12340E E E E E =+++=根据电势迭加原理,O 点的电势12340144qrϕϕϕϕϕπε=+++=⨯99291040104510.--⨯⨯⨯=⨯⨯328810().V =⨯ (2)电场力作功0(0)A q ϕ=--93101028810..-=-⨯⨯⨯628810(J).-=-⨯电势能的改变为6p 28810(J)E A .-∆=-=⨯6.4 半径为R 的半圆形带电曲线,如题图 6.2所示,线上单位长度带有电荷η,求圆心O 点的电势.解 在带电曲线上取一个长度为d l 的电荷元,其电量d d ql η=.参见题解图6.2,d =d l R θ.则O 点的电势为001d 1d 44q l r R ηϕπεπε==⎰⎰20001d 444ππηπηηθπεπεε-===⎰6.5 已知空气的击穿场强为6310V m ⨯,测得某次闪电的火花长100m .(1)求这次发生的闪电两端的电势差;(2)设闪电时通过的电量为30C ,问这次闪电消耗多大能量?解 (1)闪电两端的电势差68310100310(V)U Ed ϕ=∆==⨯⨯=⨯(2)次闪电消耗多大能量8931030910(J)E qU ==⨯⨯=⨯6.6 如题图6.6所示,匀强电场E 与半径为R 的半球面1S 的轴线平行,试计算通过此半球面的E通量.若以半球面的边线为边,另取一个任意形状的曲面2S ,问2S 的电通量多大?请说明理由. 题图6.6解 以半球面1S 的边缘为边界作一个平面0S ,此平面为一个圆,面积为2R π.由于E与0S面垂直,所以通过0S 面的E通量2R E Φπ=.因为通过1S 面和2S 面的E 通量与通过0S 面的E 通量相等,故通过1S 面和2S 面的E通量均为2R E Φπ=.6.7 设地球表面附近的场强约为200Vm ,方向指向地心,试求地球所带总电量.解 在地球表面外、沿地球表面作一个球面,以此球面为高斯面,设地球所带总电量为Q ,地球半径66.410m R =⨯,由高斯定理20d 4SQ E S E R πε⋅=-⨯=⎰⎰所以地球所带总电量204Q E R επ=-⨯⨯1262885102004314(6410)...-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯59110(C).=-⨯6.8 一块厚度为d 的无限大平板均匀带电,电荷密度为ρ,求板内外电场E的分布.解 垂直于平板表面作横截面,如题解图 6.8;图中虚线为与表面平行、距离两表面等距离(均为2d )的平面AB .由于带电平板无限大,电荷分布对平面AB 对称,可知电场强度E与平板表面垂直,在距离平面AB 距离相等处电场强度的大小E 相同.作对平面AB 对称的闭合高斯面S ,高斯面S 由与平面AB 平行的两个底面1S 和2S 和与平面AB正交的柱面3S 组成,两个底面1S 和2S 到平面AB 的距离均为l .因1S 和2S 的E 通量相等,12ES ES =;3S 的E 通量为零;当2dl ≤时,根据高斯定理1110122E S lS ρε=即可求出10l E ρε=;当2d l >时,根据高斯定理 211012E S S d ρε=可求出22dE ρε=.平板带正电,E 垂直表面向外,平板带负电,E垂直表面向内.6.9 如题图6.9所示, 在半径分别为1R 、2R 的两个同心薄球面上均匀分布着电荷1Q 和2Q .(1)求I 、II 、III区场强E的分布;(2)求I 、II 、III 区的电势分布. 题图6.9解 由于电荷分布对球心O 具有球对称性,故电场分布也对球心O 具有球对称性,可知电场线为过O 点的放射状半直线,场强E沿半径方向,在到O 点的距离r 相同处,场强大小E 相等.(1)设研究的场点到O 点的距离为r ,以O 为圆心、r 为半径的球面为高斯面,E与高斯面正交.根据高斯定理,在I 区,1rR <,有211d 40E S E r π⋅=⋅=⎰⎰所以10E =.在II 区,12R r R <<,则由21204Q E r πε⋅=可求出12204Q E rπε=.在III 区,2rR >,则由212304Q Q E r πε+⋅=可求出123204Q Q E r πε+=.(2)取参考点在无穷远,积分路径沿半径方向,沿电场线积分. 在III 区,2rR >,121233200()d d 44rr Q Q Q Q r E l r r r ϕπεπε∞∞++=⋅==⎰⎰ 在II 区,12R r R <<,22212233220()d d d ()4R R rR rQ r E l E l r R r ϕϕπε∞=⋅+⋅=+⎰⎰⎰21122002d 44R rQ Q Q r rR πεπε+=+⎰12021()4Q Q r R πε=+在I 区,1rR <,12121123()d d d R R rR R r E l E l E l ϕ∞=⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰122101210()()4Q Q R R R ϕπε=+=+6.10 半径为R 的无限长圆柱体均匀带电,电荷密度为ρ,求场强和电势的分布(参考点选在该圆柱面上).解 由于均匀带电圆柱体无限长,电荷分布对圆柱轴线轴对称;所以电场线在垂直于圆柱轴线的平面内,为过圆柱轴线的放射状半直线.用以圆柱轴线为轴,两底面与圆柱轴线垂直的闭合圆柱面为高斯面,如题解图 6.10.高斯面的两底面半径为r ,与E 平行,E 通量为零;圆柱侧面长度为l ,与E 正交,E通量2rlE ϕπ=.在带电圆柱体内部,rR <,由高斯定理可得2110d 2r l E S rlE πρπε⋅==⎰⎰所以102rE ρε=.在带电圆柱体外部,r R >,由高斯定理可得 题解图6.102220d 2R lE S rlE πρπε⋅==⎰⎰因此2202R E rρε=.圆柱带正电时,E 沿半径方向向外;圆柱带负电时,E沿半径方向指向轴线.参考点选在带电圆柱的圆柱面上,积分路径沿半径方向,沿电场线积分.在带电圆柱体内部,r R <,电势为22100d d ()24RR rr r E l r R r ρρϕεε=⋅==-⎰⎰在带电圆柱体内部,rR >,电势为22200d d ln 22RR rr R R RE l r r r ρρϕεε=⋅==⎰⎰6.11 如题图 6.11所示,三块平行放置的金属板A 、B 、C ,面积均为S .B 、C 板接地,A 板带电量Q ,其厚度可忽略不计.设A 、B 板间距为l ,B 、C 板间距为d .因d 很小,各金属板可视为无穷大平面.试求:(1)B 、C 板上的感应电荷;(2)空间的场强及电势分布. 题图6.11解 因d 很小,各金属板可视为无穷大平面,所以除边缘部分外,可认为E沿Oz 方向,z 相同处E 的大小相同,即()z E E z k =.(1)设B 、C 表面的面电荷密度为1σ、2σ、3σ、4σ如题解图6.11所示.由于B 、C 板接地,故B 、C 板电势与无穷远相同,电势均为零.若B 、C 板外表面带有电荷,必有电场线连接板外表面与无穷远,则B 、C 板电势与无穷远不同,因此可知B 、C 板外表面不带电荷,即140σσ==.作高斯面为闭合圆柱面如题解图 6.11,两底面在B 、C 板内部、与Oz 垂直,侧面与Oz 平行,由高斯定理2301d 0()Q E S Sσσε⋅==++⎰⎰ 即23QSσσ+=-(1) 根据叠加原理,Ⅰ区E为五个无穷大带电平面产生的场强的叠加,即 题解图6.1133221000000000022222222z Q S Q S E σσσσεεεεεεεε=+---=--同理,Ⅱ区电场强度322000222z Q S E σσεεε=+-因为A 、B 间的电压AB U 与A 、C 板的电压AC U 相等,12()z z E l E d l -=-3322000000()()()222222Q S Q S l d l σσσσεεεεεε---=+-- 即232Q d lS dσσ--=-(2)联立求解(1)(2)式得:2d l Q d S σ-=-,3l Qd Sσ=-.所以B 、C 板内表面分别带电22d l Q S Q d σ-=⋅=-,33lQ S Q dσ=⋅=- (2) 321000222z Q S E σσεεε=--0001()222d l l Q d d S εεε-=--+0()d l QdSε-=-111d d zzE l E l ϕ=⋅=-⋅⎰⎰0()d l Qz dSε-=322000222z Q S E σσεεε=+-0001()222d l l Q d d S εεε-=-++0lQdSε=211d d dd zz E l E l ϕ=⋅=⋅⎰⎰ 0()lQ d z dSε=-6.12 点电荷q 放在电中性导体球壳的中心,壳的内外半径分别为1R 和2R ,如题图6.12所示.求场强和电势的分布.解 由于电荷q 位于球心O ,导体球壳对球心O 具有球对称性,故感应电荷和电场的分布也对球心O 具有球对称性;可知感应电荷均匀分布在导体球壳的内外表面上;电场线为过O 点的放射状半直线,场强E沿半径方向,在到O 点的距离r 相同处,场强大小E 相等.设球壳内表面带电1Q ,外表面带电2Q .用以O 点为球心,12R r R <<为半径的球面为高斯面,根据高斯定理101d 0()E S q Q ε⋅==+⎰⎰可知1Q q =-;由于导体球壳电中性,由120Q Q +=,所以2Q q =.根据叠加原理,场强和电势分别为点电荷q 、均匀带电1Q 和2Q 的球面的场强和电势的叠加.考虑到在电荷球对称分布情况下,在电荷分布区以外的场强和电势与总电量集中在球心的点电荷的场强和电势的表达式相同.取参考点在无穷远;2rR >时,121220044q Q Q q E r r πεπε++==,1210044q Q Q qr rϕπεπε++==21R r R ≥≥时,112004q Q E r πε+== ,12100202444q Q Q qr R R ϕπεπεπε+=+=1r R <时,1204q E rπε=12100102012111()4444Q Q q qrR R r R R ϕπεπεπεπε=++=-+ 6.13 一半径为A R 的金属球A 外罩有一个同心金属球壳B ,球壳很薄,内外半径均可看成B R ,如题图 6.13所示.已知A 带电量为A Q ,B 带电量为B Q .试求:(1)A 的表面1S ,B 的内外表面2S 、3S 上的电量;(2)A 、B 球的电势(设无穷远电势为零). 题图6.13解 由于金属球A 和同心金属球壳B 对球心O 具有球对称性,故电荷和电场的分布也对球心O 具有球对称性;可知电荷均匀分布在导体球壳的内外表面上;电场线为过O 点的放射状半直线,场强E沿半径方向,在到O 点的距离r 相同处,场强大小E 相等.(1)金属球A 带电A Q 分布于A 的外表面1S ;设金属球壳B 内表面带电2Q ,外表面带电3Q ,23B Q Q Q +=.用以O 点为球心、B rR =为半径、位于球壳B 金属内部的球面为高斯面,根据高斯定理A 201d 0()E S Q Q ε⋅==+⎰⎰可知2A Q Q =-;由于23B Q Q Q +=,所以3A B Q Q Q =+.(2)根据叠加原理,电势为三个均匀带电球面产生电势的叠加,即B r R ≥区域,A 23A B10044Q Q Q Q Q r rϕπεπε+++==B r R =即为B 球的电势A BB 0B4Q Q R ϕπε+=.B A R r R >≥区域,3A 2A B200B 0B 0B1()4444Q Q Q Q Q r R R r R ϕπεπεπεπε=++=+A r R =即为A 球的电势A BA 0A B1()4Q Q R R ϕπε=+. 6.14同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱构成,如题图6.14所示.设内圆柱体的半径为1R ,外圆柱体的内半径为2R .使内圆柱带电,单位长度上的电量为η,试求内外圆柱间的电势差. 题图6.14解 由于两个同轴金属直圆柱可视为无限长、对圆柱轴线O 轴对称;所以电荷和电场的分布也对圆柱轴线O 轴对称;电场线在垂直于圆柱轴线的平面内,为过圆柱轴线的放射状半直线;场强E沿半径方向,在到轴线O 的距离r 相同处,场强大小E 相等.用以圆柱轴线为轴,两底面与圆柱轴线垂直的闭合圆柱面为高斯面.高斯面的两底面与圆柱轴线O 垂直,半径为r ,21R r R >>;两底面与E 平行,E 通量为零;圆柱侧面长度为l ,与E 正交,E通量2rlE ϕπ=.由高斯定理10d 2l E S rlE ηπε⋅==⎰⎰可得02Erηπε=.沿电场线积分,由1R 沿半径到2R ,内外圆柱间的电势差2221112001d d d ln 22R R R R R R R U E l E r r r R ηηπεπε=⋅===⎰⎰⎰。

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