矩阵逆运算法则

第三节逆矩阵

A21 A22 A2 n

An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
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定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1

A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
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证明
AA
1
A 显然 A 0，有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
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定理2.4 定理2.5 定义2.13
若若
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A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
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8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
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四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法

1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1

3.3 逆矩阵

求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
解 A 2 2 1 2 0, B
2 1 5 3
1 0,
3 4 3
A , B 都存在.
1
1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
3 1 B , 5 2
1
【例3】设
解：
且
3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 1 1 1 2 2 11 1 10 A11 ( 1) 5 A12 ( 1) 2 4 1 4
判断A是否可逆，若可逆，求其逆。 =5≠0 ，A可逆。
AB A B E 1 0
A 0, B 0
由定理2· 1知，A、B均可逆
A 1 得在等式AB=E的两边左乘
A ( AB) A E ( AB) B1 EB1
1 1
B A1
B 1 得在等式AB=E的两边右乘
A B 1
【例4】已知n阶方阵A满足A3 +A2-A-E=0, 证明 A可逆，并求A-1
由已知 2A(A-E) A 解：ห้องสมุดไป่ตู้
3 3
3
A E +2A( E A) E
3
( A E )(A2 A E) ( E A)(2 A) E
( E A)(A2 A E) E
E 由推论知： A 可逆，且 ( E A)1 A2 A E
5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且
( AB)1 B1 A1
证明：
( AB)( B1 A1 ) A( BB1 ) A1 AEA1 AA1 E

矩阵的逆及其求法_2023年学习资料

方法二（逆阵法-因为方程可写成矩阵形式Ax=b,其中-2-3-21-,b=--1-,x=-X2 4-由于A=2≠0，故A可逆，因此x=Ab,-其中调-A1=-43-=2,--2,=-O-15
13-33-6,-4-2-=5-A33-22-于是-A1=--晟風-X-1-2-32-4103 O-16
利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量-个数等于方程个数的一种方法（第一章给出了行列式-法但对于较大时，两种方法都不适用.我们将-在余下的章节讨论第三种方法.-和-17
则求1的解的问题归结为求2的解矢量问题-而后者即求AX=B中未知矩阵X的问题。这需要用到-逆矩的问题。-代数方程-ax=b-的解x=ab-问矩阵方程AX=B-的解是否为X=AB-若可以，那 A1的含义是什么呢？-O-3
逆矩阵的概念-定义1设A为n阶方阵，如有n阶方阵-B,使-AB=BA-E-则称A为可逆阵，B为的逆阵，记作B=A1-又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵.-例设A=-潮-因为-AB=BA E.-所以B是A的一个逆矩阵。
例8求解下列矩阵方程-3-2-6-X=--1-0-5--210-A-≠0-X=AB-AB=-4 11-50--40-=E:A-B-19-O-27
0-2-例10设A=-11-4-B-XA=B-3-求X。-解-A--2XA=B,A--2XA' =BA-A1-2XAE=BA,4=-1,-A-I-2X=-BA,X=A-+BA-AE六-308
逆矩阵的求法一：伴随矩阵法-例2.15设-判断A是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵-解-因为A= 3-=4-6=-2≠0，故A可逆，且-晟晟-12
推论-若方阵A、B有AB=E,则A、B均可逆-证明1因为-6喝-AB=A B=E=1,-故-A 0，B≠0，-于是A、B均可逆-13

2.6 矩阵的逆和求法

第六节
第二章
矩阵逆及其求法
一、逆矩阵的概念
二、方阵可逆的判别定理
三、逆矩阵的基本性质
四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
1
线性方程组的矩阵表示法
设 A (aij )mn X (xi )n1 B (bi )m1
a11x1 a12x2 a1n xn b1
n 元线性方程组 a21x1 a22x2 a2n xn b2
8
( A E)1 1 ( A2 A E) 8
31
例14若 A3 A 2E 0 ，判别 A 及 ( A 2E) 可逆，
并求其逆。
解 (1)
A( A2 E) 2E ,
A2 E
A
E,
A 可逆且 A1 1 (E A2 ) 2
2
(2) A2 ( A 2E) 2A( A 2E) 3( A 2E) 8E 0
1 2
4 1
2 1
n
1 0
0 2n
An 11
2 4
1 0
0 2n
1 2
4 1
2 1
2 2n 2 2n1
22nn111
21
二、逆矩阵求解方法二——初等变换法初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
0 2 8 3 0 1 0 0 12 7 2 1
23
1 ~ 0
0
0 1 0
1 2 12
1 2 7
0 1 2
0 0 1
~
1 0 0
0 1 0
1 2 1
1
2 7
12
0

逆矩阵算法-概述说明以及解释

逆矩阵算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述逆矩阵是矩阵理论中一个非常重要的概念，它在线性代数、数值计算等领域中都有广泛的应用。

简单来说，对于一个可逆的方阵A，存在另一个方阵B，使得A与B的矩阵乘积等于单位矩阵I，那么我们称B为A的逆矩阵。

逆矩阵在很多实际问题中起到了至关重要的作用。

本文将主要介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法。

首先，我们将给出逆矩阵的定义，并讨论什么样的矩阵会存在逆矩阵以及如何判断一个矩阵是否可逆。

然后，我们将深入探讨逆矩阵的性质，比如逆矩阵的唯一性以及逆矩阵与矩阵的乘法规则等。

接下来，我们将介绍一些常见的逆矩阵计算方法，包括伴随矩阵法、初等变换法以及利用矩阵的特征值和特征向量来求逆矩阵等。

逆矩阵算法在数值计算中具有广泛的应用领域。

例如，在线性方程组的求解中，我们可以利用逆矩阵的性质来求解未知数向量。

此外，在图像处理、信号处理、网络优化等领域也都可以看到逆矩阵算法的应用。

逆矩阵算法的发展前景非常广阔，随着计算机计算能力的不断提升，逆矩阵算法将能够承担更加复杂和庞大的计算任务。

总之，逆矩阵算法是一项重要且充满潜力的计算方法，它在线性代数和数值计算领域具有重要的地位。

通过深入研究和应用逆矩阵算法，我们可以更好地理解矩阵的性质和应用，从而为实际问题的求解提供有效的数学工具。

在接下来的正文中，我们将详细介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法，以期帮助读者更好地理解和应用逆矩阵算法。

文章结构部分的内容如下所示：1.2 文章结构本文将按照以下结构组织内容：引言部分将首先概述逆矩阵算法的背景和重要性，介绍本文的目的，并对整篇文章进行总结。

正文部分将着重介绍逆矩阵的定义，包括数学上对逆矩阵的准确描述。

随后，我们将详细探讨逆矩阵的性质，包括逆矩阵与原矩阵之间的关系，以及逆矩阵的特点和作用。

最后，我们将介绍逆矩阵的计算方法，包括传统的高斯消元法和基于分解的LU分解法等。

结论部分将重点探讨逆矩阵算法的重要性，阐述逆矩阵算法在实际问题中的应用领域，如线性方程组的求解、图像处理和机器学习等。

矩阵逆运算法则矩阵逆运算法则是数学中非常重要的概念，它是一种按照固定的规则来计算矩阵的逆的方法，其主要目的是为了解决矩阵运算中出现的难题。

由于它在各种科学、技术领域都有着广泛的应用，因此它的学习和掌握非常重要。

矩阵逆运算法则的主要内容有：1.定义矩阵逆：矩阵逆是指一个方阵A的矩阵逆是指另一个矩阵，使得A×A和A倒数相等。

2.逆矩阵的性质：(1)矩阵乘积的逆等于每个矩阵乘以自己的逆；(2)如果A是个单位矩阵，则A的逆矩阵就是它自己的逆；(3)如果A 的行列式不为零，若A×B=C，则有C×A=B，即可以矩阵逆运算法则求解。

3.矩阵逆运算法则：(1)首先要将原矩阵变为上三角阵，然后求上三角矩阵到原矩阵的变换矩阵。

(2)将上述变换矩阵转换为上三角阵，然后再转换为单位矩阵，求出原矩阵到单位矩阵的变换矩阵。

(3)根据变换矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵的性质，可以推出原矩阵的逆。

综上所述，矩阵逆运算法则是经过精心研究和论证出来的一套精确的、完善的数学方法，是求解矩阵运算难题的一个重要工具。

它通过分析和解决矩阵运算问题而为人们提供了许多便利，它在工程设计、工程校核、信号处理、矩阵求导等诸多领域都有广泛地使用。

此外，在矩阵转置、矩阵求导等运算中，矩阵逆运算法则也能够得到广泛的应用，即在求解某个函数的极值的问题时，要先求得梯度矩阵的转置矩阵，再用矩阵逆运算法则求出各变量的确切值，才能得到函数的极值。

因此，矩阵逆运算法则在现代科技、数理科学发展史中起着举足轻重的作用，被广泛地应用在多个领域，其重要性不言而喻。

只有运用正确的方法，熟练掌握方法的技巧，才能有效解决具体的矩阵运算问题。

学习和掌握矩阵逆运算法则有助于我们更好地解决矩阵运算产生的各种难题，让我们更加深刻地理解矩阵逆运算法则的概念及其重要意义。

逆矩阵的性质及其若干求法

安阳师范学院本科学生毕业论文逆矩阵的性质及其若干求法作者戴丽丰系 (院) 数学与统计学院专业数学与应用数学年级 2010 级本科学号 100801071指导教师贾红艳论文成绩日期2014年06月学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或已经撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。

所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：日期：论文使用授权说明本人了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借读；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

签名：导师签名：日期逆矩阵的性质及其若干求法戴丽丰（安阳师范学院数学与统计学院, 浙江金华 321000)摘要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。

关键词：逆矩阵；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵；MATLAB1 引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.比如逆矩阵可以用来解线性方程组.逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值和它的伴随矩阵.当其阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.为了更便捷地求矩阵的逆,本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础. 2 预备知识 2.1 逆矩阵的定义设A 为n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA E ==(这里的E 是单位矩阵)成立，那么矩阵A 称为可逆矩阵，此时矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称为矩阵A 的逆.如果A 的逆矩阵不存在，那么A 称为不可逆矩阵.A 的逆矩阵记作1-A ，即如果AB BA E ==，那么1-=A B .2.2逆矩阵的性质性质1 如果矩阵A 可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.证明设1B ，2B 都是A 的逆矩阵，则()()11121222B B E B AB B A B EB B =====，所以A 的逆矩阵是唯一的.性质2 如果A 可逆，那么1-A 可逆，且A A =--11)(. 性质3 如果A 可逆，数0≠λ，那么A λ可逆，且111)(--=A A λλ.性质4 如果A 可逆，那么'A 可逆，且'11'()()A A --=.性质5 如果A ，B 都是n 阶可逆矩阵，那么AB 可逆，且111)(---=A B AB . 证明因为111111()()()AB B A A BB A AEA AA E------====111111()()()B A AB B A A B B EB B B E------====所以AB可逆，且111)(---=ABAB.3 逆矩阵的求法3.1 用定义求逆矩阵设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵A，使A B B A E==，则称A矩阵是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵.例1已知n阶矩阵A满足2A A E-=，证明2A E+可逆，并求出它的逆矩阵1(2)A E-+.证：由220A A E--=，得(3)(2)40A E A E E-++=，则(2)(3)40A E A E E+-+=，即1(2)[(3)]4A E A E E+--=且1[(3)](2)4A E A E E--+=，由定义可知，2A E+可逆且11(2)(3)4A E A E-+=--.3.2 用伴随矩阵法求逆矩阵设A是n阶实矩阵，若0≠A,那么*11AAA⋅=-证明: 设()1>n阶矩阵111212212212nnn n nna a aaa aAa a a⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11220i j i j in jnA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若1220i ij i j ni njA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若这里的代数余子式，中元素是行列式ijijaAA由此可知，若令1121121222*12,nnn n nnA A AAA AAA A A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭那么=⋅=⋅AAAA**⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛AAAA⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=EEEEA≠A,由此可得，EAAAAAA=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅**11由矩阵定义可知：*11AAA⋅=-证毕.注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过EAA=-1来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.例 2 判定矩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323222321A阵是否可逆，若可逆，求1-A.解：12322240323A⎡⎤⎢⎥==-≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦A∴可逆1122223A==122233A=-=1322232A==-212323A=-=2213633A==-2312432A=-=3123222A==-3213422A=-=3312222A==-所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-2112112321212424622411*1AAA.3.3 用初等变换法求逆矩阵求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵SPPP,,21使sppp21A⋅E=()1用1-A右乘上式两端，得：sppp211-=A()2比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵1-A.用矩阵表示()A E−−−−→行初等变化()1E A-这是求逆矩阵的初等行变换法，或者1A EE A-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭列初等变换这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析.例 3用初等行变换求逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=31121112A的逆矩阵.解()A E=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡13111211112→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11121211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---21511211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21131211311→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32313111211311→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3231311343532111111→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131134353213132311，故=-1A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131343532313231.3.4 用分块矩阵求逆矩阵3.4.1分块矩阵的一般求法在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，并视每一小块是矩阵的元素，按照矩阵的运算法则进行计算，二小块之间的运算同样是按矩阵的运算法则进行运算，由此可以求出一个矩阵的逆矩阵.特别地，我们有，若T为可逆矩阵，且A BTC D⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+=--------------11111111111111)()()()(BCADCABCADBCADBACABCADBAAT证明：设A、D分别为r阶、s阶的方阵，则：()()()()11111111100rsE A A B D C A B AB D CABA B ETC D E E D CA B CA D CA B---------⎛⎫+-⋅⋅--⎛⎫ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎝⎭---⎝⎭∴()()()()11111111111A AB D CA B AB D CABA BTC D D CA B CA D CA B-----------⎛⎫+---⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪---⎝⎭证毕由于这个公式太难记，因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆.3.4.2 准对角线型矩阵的求逆设A、B都是非奇异矩阵,且A为n阶方阵，B为m阶方阵，若矩阵=C⎪⎪⎭⎫⎝⎛BA，则1-C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--11BA.证明： A、B均为非奇异矩阵，则00≠≠BA且∴AC A BB==≠A∴可逆设A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=WZYX,nmEX Y AEZ W B⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中nmXA EYBZAWB E=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，又 A、B均为可逆矩阵，∴11X AYZW B--⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴---111BAC证毕.可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111AAAAAAAA3.4.3 准三角型矩阵求逆设A、C为非奇异矩阵，则1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛CBA=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11110CBCAA.证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-CAEBAECBA1两边求逆得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛------111110CACBAEBAE∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111110CBCAACAEBAECBA证毕.同理可证⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----111110CBCAACBA.此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.例 4 已知1252142112001100T⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪⎝⎭，求1T-.解将T分块如下：1252142112001100A BTC⎛⎫⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎝⎭，其中125212,,142111A B C-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求的1*1*11121112,1111||||322A A C CA C--⎛⎫-⎪⎛⎫====⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎪⎝⎭从而11111111126311112263120033110033A A BCTC-----⎛⎫---⎪⎪⎪⎪⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭3.5 matlab求逆矩阵法MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。

逆矩阵的计算

A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
6 − 4 2 * 得 A = − 3 − 6 5 , 所以 2 2 − 2
1 3 − 2 1 * 3 5 −1 A = A = − . −3 A 2 2 1 1 − 1
需要说明的是：通常利用伴随阵来计算A的逆需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算的逆矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可能很大。能很大。对于阶数高于3 的矩阵，对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵。的方法来求逆矩阵。
12 0 0 1 * 1 −1 A = A = 0 8 0 | A| 24 0 0 6
1 2 =0 0
0 1 3 0
0 0 . 1 4
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a1 0 , 由上例可推得设A = 0 0
1 a1 0 则A−1 = 0 0 0 1 a2 0 0 L L O L
(λA) =
−1
1
A−1 .
(4).若A可逆, 则A 也可逆且( A ) = ( A ) . ,
T
T −1
−1 T
证 AT ( A−1 )T = ( A−1 A)T = ET = E.
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当| A|≠ 0时,
定义
A = E, A = ( A ) ,
0
−k
−1 k
为正整数。其中 k 为正整数。
, 当| A|≠ 0, λ, µ为整数时有

分块矩阵运算法则

分块矩阵运算法则
分块矩阵运算法则是一种将大的矩阵划分成更小块矩阵进行计算的方法。

这种方法可以简化复杂矩阵的运算，并且使得计算更加高效和易于理解。

下面是分块矩阵运算法则的一些基本规则：
1. 矩阵的加法：将大矩阵划分为多个小块矩阵，然后对应位置上的小块矩阵进行加法运算。

2. 矩阵的乘法：将大矩阵划分为多个小块矩阵，然后按照乘法的定义对小块矩阵进行乘法运算。

具体地，对于两个分块矩阵A和B，它们的乘积C的每个小块矩阵C_ij可以通过以下公式计算得到：
C_ij = A_ik * B_kj
3. 矩阵的转置：对于分块矩阵的转置，只需将每个小块矩阵进行转置即可。

4. 矩阵的逆：对于分块矩阵的逆，可以使用分块矩阵求逆的公式进行计算。

具体方法会因矩阵的分块方式而有所不同。

5. 其他运算：其他矩阵的运算，如矩阵的行列式、特征值等，也可以使用分块矩阵的方式进行计算，将大矩阵划分为多个小块矩阵，然后对小块矩阵进行相应的运算。

需要注意的是，分块矩阵运算法则在划分大矩阵为小块矩阵时需要选择合适的划分方式，使得计算过程更加简单和高效。

不
同的划分方式可能会产生不同的结果。

因此，在应用分块矩阵运算法则时，需要根据具体问题和矩阵的特性选择合适的划分方式。

矩阵的基本运算法则

矩阵的基本运算法则矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于多个学科领域。

矩阵的基本运算法则包括矩阵加法、矩阵乘法、矩阵转置和矩阵求逆等。

下面将详细介绍这些基本运算法则。

一、矩阵加法矩阵加法是指将两个具有相同维度的矩阵相加的运算。

设有两个m行n列的矩阵A和B，它们的和记作C，那么矩阵C的第i行第j列元素等于矩阵A和B对应位置的元素之和，即：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)其中，1≤i≤m，1≤j≤n。

矩阵加法满足以下性质：1.交换律：A+B=B+A，对任意矩阵A和B都成立。

2.结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，对任意矩阵A、B和C都成立。

3.零元素：存在一个全0矩阵，记作O，满足A+O=A，对任意矩阵A 都成立。

4.负元素：对于任意矩阵A，存在一个矩阵-B，使得A+B=O，其中O 为全0矩阵。

二、矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘的运算。

设有两个m行n列的矩阵A和n行k列的矩阵B，它们的乘积记作C，那么矩阵C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素相乘再求和，即：C(i,j)=Σ(A(i,k)*B(k,j))其中，1≤i≤m，1≤j≤k，1≤k≤n。

矩阵乘法满足以下性质：1.结合律：(A*B)*C=A*(B*C)，对任意矩阵A、B和C都成立。

2.分配律：A*(B+C)=A*B+A*C，并且(A+B)*C=A*C+B*C，对任意矩阵A、B和C都成立。

3.乘法单位元素：对于任意矩阵A，存在一个m行m列的单位矩阵I，使得A*I=I*A=A，其中单位矩阵I的主对角线上的元素全为1，其他元素全为0。

4.矩阵的乘法不满足交换律，即A*B≠B*A，对一些情况下，AB和BA的结果甚至可能维度不匹配。

三、矩阵转置矩阵转置是指将矩阵的行和列互换的运算。

设有一个m行n列的矩阵A，它的转置记作A^T，那么矩阵A^T的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素，即：A^T(i,j)=A(j,i)其中，1≤i≤n，1≤j≤m。

线性代数复习提纲

第一章矩阵1 矩阵的概念特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、对角矩阵、上三角阵、下三角矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。

2 矩阵的运算：（1）矩阵的线性运算及其运算规律－矩阵的加法（减法）和数乘。

（2）矩阵的乘法：能够进行乘法运算必须具备的条件，运算方法，左乘与右乘的区别。

乘法的运算规律（应用较为普遍的是矩阵乘法满足结合律）（3）矩阵的转置：(AB)T =B T A T（4）矩阵的逆：AB=BA=I →A -1=B 矩阵的逆唯一运算规律： (A -1) -1= A ；(λA) -1= λ-1A -1；(AB) -1=B -1A -1；(A T ) -1=(A -1) T 矩阵逆的计算方法：待定系数法、初等变换法、伴随矩阵法。

3 分块矩阵及其运算第二章线性方程组与矩阵初等变换 1 线性方程组与矩阵的一一对应关系2 高斯消元法：线性方程组的三种变换→阶梯形方程组。

3 利用矩阵初等变换解线性方程组：三种初等变换→行阶梯形矩阵→行最简形矩阵4 非齐次线性方程组解的三种情形的讨论⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++0000000000000000000011,221,2222111,111211r r rn r r rr nr r nr r d d c c c d c c c c d c c c c c（1）无解（2）唯一解（3）无数解 5矩阵等价的概念 6 初等矩阵的概念7 初等矩阵与矩阵初等变换的关系8 逆矩阵定理：设A 是n 阶矩阵，那么下列各命题等价：（1）A 是可逆矩阵；（2）齐次线性方程组Ax ＝0只有零解；（3）A 可以经过有限次初等行变换化为In ；（4）A 可表示为有限个初等矩阵的乘积。

9 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 A 可以经过一系列初等行变换化为I ； I 经过这同一系列初等行变换化为A -1P s …P 2P 1 (A | I n )=(I n |A -1)第三章行列式1 n 阶行列式的定义（1）全排列及其奇偶性：逆序数的概念，对换，相邻对换。

矩阵求逆和维数的关系

矩阵求逆和维数的关系
矩阵求逆是线性代数中一个重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

矩阵的逆可以帮助我们解决许多实际问题，比如线性方程组的求解、图像处理、机器学习等等。

矩阵求逆的一个重要性质是，只有方阵才有逆矩阵。

方阵是指行数和列数相等的矩阵，也就是n行n列的矩阵。

对于一个n行n列的方阵A，如果存在一个n行n列的矩阵B，使得AB=BA=I（I是单位矩阵），那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。

矩阵求逆的过程并不是一件简单的事情，它涉及到线性代数中的许多概念和原理。

一般来说，我们可以通过高斯-约当消元法、伴随矩阵法或者特征值分解等方法来求解矩阵的逆。

具体来说，高斯-约当消元法是一种常用的矩阵求逆的方法。

它通过一系列的行变换将原矩阵转化为一个上三角矩阵，然后再通过回代的方式求解逆矩阵。

伴随矩阵法则是利用伴随矩阵和原矩阵的行列式之间的关系来求解逆矩阵。

而特征值分解则是将矩阵分解为特征向量和特征值的形式，然后再通过一些运算求得逆矩阵。

在实际问题中，我们通常会遇到不同维数的矩阵求逆的情况。

对于一个n行m列的矩阵，如果n不等于m，那么这个矩阵是非方阵，它没有逆矩阵。

这时我们可以使用广义逆矩阵来解决问题，广义逆矩阵是一种推广的逆矩阵概念，可以用来求解非方阵的逆。

矩阵求逆和矩阵的维数之间有着密切的关系。

只有方阵才有逆矩阵，非方阵可以使用广义逆矩阵来求解。

矩阵求逆的过程涉及到线性代数中的多个概念和方法，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来求解。

通过矩阵求逆，我们可以解决许多实际问题，提高计算的效率和准确性。

第二章§3 逆矩阵

注意排列
伴随矩阵，简称伴随阵，伴随矩阵，简称伴随阵，记作 A 有结论: 对于 A∗ 有结论 A∗ A = AA∗ = A E
A = A
∗ n −1
(教材教材P48 例4) 教材
3.2 矩阵可逆的条件
定理 2.2
为可逆阵，且如果 A 为可逆阵，则有
−1
给出求A 给出求 -1的方法
矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A ≠ 0 ,
∗
a22 L a2 n 0 A21 L MAn1 = M M An 2 L ann n 2 0 L A a 22
a12 L a1n A 0 L 0 A 的各元素的代数余子式 Aij
A L M
0 M 0 L A 称为方阵A的称为方阵的
−1
= A
−1
Proof Go on
当 A ≠0
可定义 A0 = E，A- k=(A-1)k k ∈ N ，
3.3 可逆矩阵的性质
Note： 1、若 A 可逆，则 AB = AC 、
−1 −1
⇒
B=C
−1
2、 A、B 可逆，A+B 未必可逆；即使 A+B 、可逆，未必可逆；可逆，可逆，一般
Q A = 2 ≠ 0, ∴ A 可逆
解:
A11 = 1，A12 = 0，A13 = −1， A21 = −2，A22 = 2，A23 = 2
A31 = 1，A32 = −2，A33 = 1
1 −2 1 ∗ 1 −1 A = 0 2 ∴ A = A 2 −1 2
3 2 1 1 ( A∗ )−1 = 1 A = 1 1 1 1 2 A 1 0 1 −2

对矩阵的逆求导

对矩阵的逆求导矩阵在数学领域中起着重要的作用，而求解矩阵的逆也是一项基本的运算。

然而，当我们需要对矩阵中的元素进行求导时，就面临着一些挑战。

在本文中，我们将探讨矩阵求逆的一些基本概念，并介绍如何对矩阵的逆进行求导。

一、矩阵求逆的基本概念矩阵的逆是指满足以下条件的存在性问题：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^(-1)。

对于非奇异矩阵（行列式不为0的矩阵），它一定存在逆矩阵。

逆矩阵的求解可以通过多种方法，常见的方法有伴随矩阵法、初等行变换法等。

二、矩阵逆求导的挑战在矩阵逆求导的过程中，我们面临着以下的挑战：1. 矩阵求逆的表达式：矩阵求逆的表达式相对复杂，直接求导会比较困难。

因此，我们需要寻找一种简化的求导方法。

2. 矩阵维度的改变：当我们对一个矩阵进行逆求导时，其维度发生了变化，这要求我们对多元函数的求导法则进行适当的调整。

三、矩阵逆求导的方法为了对矩阵的逆进行求导，我们可以借助矩阵微积分的相关理论。

具体来说，我们可以使用矩阵的特征值和特征向量来实现。

1. 特征值和特征向量的定义：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，则称λ是A的一个特征值，x是A对应于特征值λ的特征向量。

2. 矩阵的谱分解：对于一个n×n的对称方阵A，可以将其分解为A=QΛQ^(-1)，其中Q是由A的特征向量组成的正交矩阵，Λ是由A的特征值组成的对角矩阵。

3. 矩阵逆求导的公式：对于一个非奇异矩阵A的函数f(A)，如果A 可以谱分解为A=QΛQ^(-1)，则f(A)的导数可以表示为： df(A)/dA = Qf'(Λ)Q^(-1)其中f'(Λ)是对应于f(A)的函数f'(x)在Λ上的对角化。

由上述公式可以看出，矩阵逆求导可以通过对函数的分解和特征向量、特征值的运算来实现。

矩阵的运算与逆矩阵

矩阵的运算与逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学和经济学等。

本文将介绍矩阵的运算以及逆矩阵的概念与计算方法。

一、矩阵的基本概念矩阵是一个按照矩形排列的数或者变量的集合。

矩阵的行数与列数分别称为其维数。

二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法将两个矩阵的相应元素进行相加，得到的结果矩阵即为它们的和。

2.2 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应元素相乘再相加的运算。

注意乘法只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时才能进行。

2.3 矩阵的转置将矩阵的行与列进行交换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

转置矩阵的行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。

三、逆矩阵的定义与性质3.1 逆矩阵的定义对于一个n阶实矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。

3.2 逆矩阵的存在性一个n阶矩阵A存在逆矩阵的充要条件是A是一个可逆矩阵，即其行列式不为零。

当A存在逆矩阵时，逆矩阵是唯一的。

3.3 逆矩阵的性质逆矩阵的转置等于逆矩阵的逆矩阵，即(A^-1)^T = (A^T)^-1。

两个矩阵的乘积的逆矩阵等于逆矩阵的乘积，即(AB)^-1 = B^-1 *A^-1。

四、计算逆矩阵的方法4.1 初等行变换法通过初等行变换将矩阵A通过一系列矩阵的乘法变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同操作所得的矩阵即为矩阵A的逆矩阵。

4.2 行列式法对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不为零，则通过求解伴随矩阵所得的矩阵即为A的逆矩阵。

4.3 元素法通过增广矩阵[A, E]（其中E为n阶单位矩阵）进行行变换将矩阵A变换为单位矩阵I，此时增广矩阵的右半部分即为A的逆矩阵。

五、矩阵与线性方程组利用矩阵与线性方程组的关系可以方便地求解线性方程组。

对于一个n个未知数和m个方程的线性方程组，可以将其写成矩阵形式AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。

逆矩阵的十种求法

因，所以矩阵A可逆，由式知
=
方法九 “和化积”法；有时遇到这样的问题：要求判断方阵之和A+B的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B直接化为，由此有A+B可逆，且，或将方阵之和A+B表为若干个已知的可逆阵之积，再有定理2知A+B可逆，并可得出其逆矩阵。
例证明：若，则是可逆阵，并求。
证明：
E-A是可逆矩阵且
引言：矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的一个主要研究对象。其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一。
本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结
可逆矩阵的定义：设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得 n，则称是可逆矩阵（或称为非奇异矩阵），是的逆矩阵。
从这个定义可知，单位矩阵E的可逆矩阵就是其自身
矩阵可逆性的判定：
方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.
例：设A= ,ad-bc;求A-1.
解:因为｜A｜=ad-bc=1≠0 所以A可逆.
[4] 王莲花,张香伟,李战国,王建平. 求逆矩阵方法的进一步研究[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2002, (03) .
[5] 王建锋. 求逆矩阵的快速方法[J]. 大学数学, 2004, (01) .
[6] 李桂荣. 关于求逆矩阵方法的进一步探讨[J]. 德州高专学报, 2000, (04) .
(AB)-1=A-1B-1
(AT)-1=(A-1)T
(A*)-1=(A-1)*=A｜A｜-1

线性代数计算法则

线性代数计算法则线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。

它在科学、经济学和工程学等各个领域都有广泛的应用。

线性代数的计算法则是进行线性代数运算的方法和规则，下面将对线性代数计算法则进行详细介绍。

一、向量和矩阵的基本运算1.向量和矩阵的加法：向量和矩阵的对应元素相加，即两个向量或矩阵的对应元素分别相加形成一个新的向量或矩阵。

2.向量和矩阵的数乘：一个向量或矩阵中的每个元素乘以一个实数，即实数与向量或矩阵的每个元素相乘形成一个新的向量或矩阵。

3.向量的内积：两个向量的内积等于对应元素乘积的和。

4.矩阵的乘法：矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算，其中第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其中每个元素是第一个矩阵的其中一行与第二个矩阵的其中一列对应元素乘积的和。

5.矩阵的转置：将矩阵的行和列互换，得到一个新的矩阵。

6.矩阵的逆：对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，矩阵B称为A的逆矩阵。

二、矩阵的行列式1.行列式定义：行列式是一个标量值，它是一个n阶方阵中元素的代数和。

2.行列式性质：-行列式的值与它的转置矩阵的值相等。

-交换矩阵中两行或两列的位置，行列式取负。

-将矩阵的其中一行（或其中一列）的所有元素乘以一个数k，行列式的值也乘以k。

-如果矩阵的其中一行（或其中一列）的元素全为0，则行列式的值等于0。

-如果矩阵的两行（或两列）相等，则行列式的值等于0。

-行列式的值等于每一行（或每一列）的元素与它们所在行（或列）的代数余子式相乘再求和。

三、矩阵的特征值和特征向量1.特征值和特征向量定义：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和非零向量X，使得AX=λX，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应的特征向量。

2.特征值和特征向量的计算：-特征值是矩阵A减去λ的单位矩阵后的行列式等于0的解。

-对每个求解得到的特征值λ，代入(A-λI)X=0的线性方程组中，求解得到对应的特征向量X。

矩阵逆运算法则

第三节 逆矩阵

3.3 逆矩阵

矩阵的逆及其求法_2023年学习资料

2.6 矩阵的逆和求法

逆矩阵 算法-概述说明以及解释