函数知识点单调性复习
函数的单调知识点总结
函数的单调知识点总结一、函数的增减性1. 函数的单调性定义函数的单调性是指函数在其定义域上的增减性质。
如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 <x_2$，有$f(x_1) \le f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不减的；如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 < x_2$，有$f(x_1) \ge f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不增的。
2. 函数的单调性判定对于一个给定函数，要判定其在定义域上的增减性，可以通过对函数的导数进行分析来实现。
通常有以下几种方法：(1) 图像法：通过画出函数的图像，观察函数在定义域上的增减性。
(2) 导数法：计算函数的导数并分析其正负性来判定函数的单调性。
(3) 定义域划分法：对函数的定义域进行适当的划分，分别分析函数在各个子区间上的增减性。
3. 函数的单调性与最值函数的单调性可以帮助我们求解函数的最值。
如果一个函数在其定义域上是单调递增的，则其最小值为$f(x)$的最小值；如果一个函数在其定义域上是单调递减的，则其最大值为$f(x)$的最大值。
二、导数的应用1. 函数的导数导数是描述函数变化率的重要工具，它可以帮助我们研究函数的增减性。
对于可导函数$f(x)$，其导数$f'(x)$的正负性可以描述函数在某点附近的增减性。
具体来说：(1) 若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递增的；(2) 若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递减的。
2. 函数单调性与导数对于可导函数$f(x)$，如果$f'(x)>0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递增的；如果$f'(x)<0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递减的。
这是函数的单调性与导数之间的重要联系，也是求解函数的单调性的重要方法。
《函数的单调性》知识点
一、函数单调性的定义如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数.二、单调性的定义的等价形式 设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是增函数.三、函数单调性的应用若()f x 在区间D 上递增且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 四、函数单调性的性质在公共定义域内，有:①增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；②减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；③增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；④减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数.五、双勾函数及其性质 函数)0,0(>>+=b axbax y 叫做双勾函数. 双勾函数在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减.六、复合函数单调性的判断（同增异减）讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：①若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数;②若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下:单性相异时递减． 七、用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； (2)变形:作差变形(因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号:判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论．。
高三数学知识点总结6：函数的单调性
（四）函数的单调性1.函数单调性的定义（局部性质）（1）设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值,,21x x ①数：当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调增函数；（形：从左往右看图象逐渐上升；）②当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调减函数（形：从左往右看图象逐渐下降.）（2）等价形式：任意,21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f （或写成0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ）都表明)(x f 在区间上单调增. 注：xy 1=的单调减区间为)0,(-∞和),0(+∞,单调区间有两段一般需要用“和”，不能“ ”. 2.判断单调性的方法（用来证明单调性的只有定义法和导数法）（1）定义法:取值，作差，变形，定号，结论. （2）利用函数的运算性质：若)(),(x g x f 为增函数，则)()(x g x f +为增，)0)((>a x af 为增，)(x f 为增，)0)((<a x af 为减，)(1x f 为减. （注：只能用“增”+“增”⇒“增”，“减”+“减”⇒减，其他不能确定单调性.）（3）复合函数单调性法则：同增异减.（内函数与外函数单调性相同，则整体增；内函数与外函数单调性相反，则整体减.）（4）导数法函数)(x f y =在区间D 上单调增⇔0)('≥x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0；函数)(x f y =在区间D 上单调减⇔0)('≤x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0.（注：如果问单调区间，不要带等号.令,0)('>x f 求单调增区间；令,0)('<x f 求单调减区间.）（5）图像法3.分段函数求单调性的方法①左段单调性与整体一致；②右段单调性与整体一致；③若整体增（减），则左段函数在端点的函数值)(≥≤右段函数在端点的函数值.。
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点函数的单调性是数学分析中的一个重要概念，用来描述函数在定义域上的增减特性。
具体而言，一个函数可以是严格递增的、递增的、严格递减的或递减的。
函数的单调性具有广泛的应用，在求解极值、解方程、绘制函数图像等问题中起到重要的作用。
本文将介绍函数的单调性的概念、判定方法以及一些常见的单调函数。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的增减变化规律。
具体而言，一个函数在某个区间上单调递增，意味着随着自变量的增大，函数的取值也随之增大；而在单调递减的区间上，函数的取值随着自变量的增大而减小。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法导数是函数单调性判定的重要工具之一。
对于可导函数，函数在某个区间上单调递增的充要条件是导数恒大于等于零；函数在某个区间上单调递减的充要条件是导数恒小于等于零。
2. 一阶差分法对于分段连续的函数，可以通过一阶差分的正负来判断函数的单调性。
若一阶差分恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若一阶差分恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
3. 二阶导数法对于二次可导函数，函数在某个区间上的单调性可以通过二阶导数的正负来判断。
若二阶导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若二阶导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
三、常见的单调函数1. 线性函数线性函数是最简单的单调函数，其定义域为实数集，函数的图像为一条直线。
线性函数在整个定义域上均为单调递增或单调递减。
2. 指数函数指数函数为形如 f(x) = a^x （a>0, a≠1）的函数，指数函数在定义域上分为两类：当a>1时，函数为单调递增函数；当0<a<1时，函数为单调递减函数。
3. 对数函数对数函数为形如 f(x) = loga(x) （a>0, a≠1）的函数。
当0<a<1时，对数函数为单调递增函数；当a>1时，对数函数为单调递减函数。
4. 幂函数幂函数为形如 f(x) = x^a （a为常数）的函数。
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第二讲：函数的单调性一、定义：1.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f <)(x f D 是增函数.区间叫的单调增区间. D )(x f y =注意：增函数的等价式子：;0)()(0)]()()[(21212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①②③ 函数为21x x <)()(21x f x f <)(x f 增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？2.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f >)(x f D 是减函数.区间叫的单调减区间.D )(x f y =注意：(1)减函数的等价式子：；0)()(0)]()()[(21212121<--⇔<--x x x f x f x f x f x x (2)若函数为增函数，且.)(x f )()(,2121x f x f x x <<则题型一：函数单调性的判断与证明例1.已知函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的任意)(x f R I 两个不同的自变量都有则（ ）21,x x .0)()(2121>--x x x f x f A.在这个区间上为增函数 B.在这个区间上为减函数 )(x f )(x f C.在这个区间上的增减性不变 D.在这个区间上为常函数)(x f )(x f变式训练：定义在上的函数对任意都有，且R )(x f 120x x <<1)()(2121<--x x x f x f 函数的图象关于原点对称，若则不等式的解集为)(x f y =,2)2(=f 0)(>-x x f ___.例3.证明：函数在上是增函数.x x x f +=3)(R 变式训练：讨论的单调性.并作出当时函数的图象.)0()(>+=a xax x f 1=a 变式训练：已知并用上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xx f x g x x x f =-=+定义证明.题型二：函数的单调区间难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？（2）函数的单调减区间是上吗？xx f 1)(=),0()0,(+∞-∞ 例1.（图像法）求下列函数的单调区间（1）. (2).|2||1|)(-++=x x x f 3||2)(2++-=x x x f （3）.|54|)(2+--=x x x f 例2.（直接法）求函数的单调区间.xxx f +-=11)(例3.（复合函数）（2017全国二）函数 的单调递增区间2()ln(28)f x x x =--是( )A. B. C. D. )2,(--∞)1,(--∞),1(+∞),4(+∞变式训练：求下列函数的单调区间.（1） （2）312+-=x x y 652+-=x x y （3）22311x x y ---=题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数是实数集上的增函数，令.)(x f R )2()()(x f x f x F --=(1)证明：是上的增函数；)(x F R (2)若求证：.,0)()(21>+x F x F 221>+x x 例2定义在上的函数满足下面三个条件：),0(+∞)(x f ①对任意正数，都有；b a ,)()()(ab f b f a f =+②当时，；1>x 0)(<x f ③.1)2(-=f （1）求的值；)1(f （2）使用单调性的定义证明：函数在上是减函数；)(x f ),0(+∞（3）求满足的的取值集合.2)13(>+x f x 题型四：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.①正向应用：②逆向应用：例1.在上单调递减，那么与的大小关系是__________.()x f ()+∞,0()12+-a a f ⎪⎭⎫⎝⎛43f 变式训练：已知函数且对任意的，有),1()1()(x f x f x f -=+满足)(1,2121x x x x ≠>设则的大小关系_________..0)()(2121>--x x x f x f ),3(),2(),21(f c f b f a ==-=c b a ,,（2）利用函数的单调性解不等式例2.设是定义在上的增函数，且成立，求的取值)(x f ]1,1[-)1()2(x f x f -<-x范围.变式训练.①设是定义在上的偶函数，当时，单调递减，)(x f ]3,3[-30≤≤x )(x f 若成立，求的取值范围.)()21(m f m f <-m ②（2015全国二）设函数成立的)12()(,11)1ln()(2->+-+=x f x f xx x f 则使得的取值范围是（ ）x A. B. C. D. )1,31(),1(31,(+∞-∞ )31,31(-),31()31,(+∞--∞ ③（2018全国一）设函数，则满足的x 的取值范围()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，()()12f x f x +<是（ ）A ．B ．C ．D ．(]1-∞-，()0+∞，()10-，()0-∞，（3）根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数在区间上是增函数，则实数的取1)1(42)(2+--=x a x x f ),3[+∞a 值范围是（ ）A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.[)+∞-,2变式训练：如果函数在区间上是减函数，求实数2)1(2)(2+--=x a x x f )4,[-∞的取值范围.a例2.若函数在上为增函数，则实数的取值范围⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,0,1)12()(2x x b x x b x b x f R b 是__________.例3.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.||a x y -=]4,(-∞a 第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1.函数的奇偶性例1（2014全国二）偶函数的图象关于直线对称，，则)(x f y =2=x 3)3(=f ___________．=-)1(f 例2（2017全国二） 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，()f x (,0)x ∈-∞，则__________.32()2f x x x =+(2)f =例3（2012全国二）设函数的最大值为，最小值为，1sin )1()(22+++=x xx x f M m 奇偶性定 义图象特点备注奇函数★★设函数的定义域为,如果)(x f y =D 对内的任意一个,都有∈D ,且 D x x -,则这个函数叫做奇函数 ()()x f x f -=-关于原点中心对称函数是奇函)(x f 数且在处有0=x 定义,则0)0(=f 偶函数设函数的定义域为,如果对)(x f y =D 内的任意一个,都有,且D x D x ∈-,则这个函数叫做偶函数()()x f x f =-★关于轴对称y则+=______.M m 2.函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4（2010全国二）设偶函数满足，则)(x f )0(42)(≥-=x x f x （ ）=>-}0)2(|{x f x A. B.}42|{>-<x x x 或}40|{><x x x 或C. D.}22|{>-<x x x 或}42|{>-<x x x 或(2)对称变换①；)()(x f y x f y x -=−−−−→−=轴对称关于②；)()(x f y x f y y -=−−−−→−=轴对称关于③；)()(x f y x f y --=−−−−→−=关于原点对称④;)10(log )10(≠>=−−−−→−≠>==a a x y a a a y a x y x 且且对称关于⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于轴对称.y (3)翻折变换★★①.|)(|)(x f y x f y x x =−−−−−−−−−−−→−=轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留例5（2010全国二）已知函数,若均不相等，且⎪⎩⎪⎨⎧+-≤<=621100|,lg |)(x x x x f c b a ,,则的取值范围是( )),()()(c f b f a f ==c b a ⋅⋅A. B. C D.)10,1()6,5()12,10()24,20(例6（2011全国二）已知函数的周期为2，当时，()y f x =[1,1]x ∈-2()f x x =那么函数的图象与函数的图象的交点共有（ ）()y f x =|lg |y x =A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个★★★②.)||()()(x f y x f y y x f y y =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−=轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（(0,)+∞）A.B ．C ．D ．3y x =||1y x =+21y x =-+||2x y -=例8（2010大纲）直线与曲线有四个交点，则的取值范围1=y a x x y +-=||2a 是____________.(4)函数图象的几种对称关系★①满足图象关于直线为轴对称；R x x f ∈),()()()(x f y x a f x a f =⇔-=+a x =例9（2018全国二）已知是定义域为的奇函数，满足)(x f ),(+∞-∞，若=2，则（ ）)1()1(x f x f +=-)1(f =++++)50(...)3()2()1(f f f f A ．﹣50 B ．0 C ．2 D ．50②图象关于为轴对称；)()()(x f x b f x a f ⇔-=+2ba x +=③函数与函数的图象关于直线对称.)(x a f y +=)(x b f y -=2ab x -= 如：和的图象，关于直线为轴对称.)(x f y =)1(x f y -=21=x 例10（2015全国二）已知函数则），的图像过点（4,1-2)(3x ax x f -==________.a 二、真题演练1.（2014全国一）设函数的定义域为，且是奇函数，是)(),(x g x f R )(x f )(x g 偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数)()(x g x f )(|)(|x g x f C. 是奇函数 D. 是奇函数|)(|)(x g x f |)()(|x g x f 2.（2015全国一）已知函数，且，则⎩⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1,22)(21x x x x f x 3)(-=a f =( ))6(a f -A.- B.- C.- D.-745434143.（2015全国一）设函数的图像关于直线对称，且)(x f y =x y -=,则（ ）1)4()2(=-+-f f =a A.-1 B.1 C.2 D.44.（2017全国一）函数的部分图像大致为（ ）xxy cos 12sin -=5.（2017全国一）已知函数，则（ ）)2ln(ln )(x x x f -+=A. B.）单调递增在（2,0)(x f ）单调递减在（2,0)(x f C. D.对称的图像关于直线1)(==x x f y ）对称的图像关于点（0,1)(x f y =6.(2017全国三)函数的部分图像大致为（ ）2sin 1xy x x=++A ．B ．C ．D ．二、课后作业1.若奇函数在上是增函数且最大值为5，那么在上是（ ）)(x f []7,3)(x f []3,7--A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是5-5-C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是5-5-2.若是偶函数，则在上（ ）32)1()(2++-=mx x m x f )(x f ()1,4--A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由的值确定m 3.已知函数若为奇函数，则________.()1,21x f x a =-+()f x a =4.函数是定义在上的奇函数，且,求函数的21xb ax x f ++=）（)1,1(-5221=）（f )(x f 解析式___________.第四节：函数的零点一、知识梳理★零点：方程的解；函数图象与轴交点的横坐标.0)(=x f )(x f x 函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标.)()()(x g x f x F -=)(x f )(x g 零点存在定理：函数在定义域上连续，若，则在)(x f []b a ,0)()(<⋅b f a f )(x f 定义域上一定存在零点.[]b a ,例（2011全国二）在下列区间中，函数的零点所在的区间为()43x f x e x =+-（ ）A ． B ． C ． D ．1(,0)4-1(0,)411(,4213(,242、真题演练1.（2017全国三）已知函数有唯一零点，则=（ 211()2()x x f x x x a e e --+=-++a）A ．B ．C ．D ．112-13122.(2018全国一)已知函数，，若存在⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x a x x f x g ++=)()()(x g 两个零点，则的取值范围是__________.a 三、课后作业1.关于的方程的根所在大致区间为（ ）x 015=--x x A. B. C. D.)1,0()2,1()4,3()5,4(2.已知，若）为常数（其中）（R x c b cx bx x x f ∈-++=,,735，）（102=-f 则=________.）（2f。
高三函数单调性知识点归纳
高三函数单调性知识点归纳函数是高中数学中的重要概念之一，而了解函数的单调性则是学好高中数学的基础。
函数的单调性描述了函数在定义域上值的增减情况，它对于研究函数图像的走势、解函数方程等问题具有重要作用。
本文将对高三函数单调性的知识点进行归纳总结。
一、单调递增与单调递减函数的单调性分为单调递增和单调递减。
如果在函数的定义域上，对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为单调递增函数；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)为单调递减函数。
二、导数与函数单调性的关系函数的导数与函数的单调性之间有密切的联系。
对于可导函数f(x)，以下两个定理对于函数的单调性给出了重要的结果：1. 定理1：若在[a,b]上，函数f(x)的导数f'(x)≥0（或f'(x)≤0），则f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减）。
2. 定理2：若在(a,b)上，函数f(x)的导数f'(x)>0（或f'(x)<0），则f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。
这两个定理可以帮助我们通过导数的正负来推测函数的单调性。
三、函数图像与单调性通过观察函数的图像，我们也可以判断函数的单调性。
对于函数f(x)，以下两个规律可以帮助我们了解函数图像与单调性之间的关系：1. 规律1：若函数f(x)在[a,b]上的增量f(x2)-f(x1)>0（或<0），则f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减）。
2. 规律2：若函数f(x)在(a,b)上的增量f(x2)-f(x1)>0（或<0），则f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。
通过观察函数图像上的增量的正负，我们可以推测函数的单调性。
四、函数零点与单调性函数的零点（也叫根）与函数的单调性也有一定的联系。
对于函数f(x)，以下定理给出了函数的零点与单调性之间的关系：定理3：若函数f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减），且[a,b]上有一个零点c，则c是f(x)在[a,b]上的唯一零点。
函数单调性、奇偶性、周期性知识点
一轮复习知识点一、函数（二）函数性质——单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性1.定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，如果取区间M 中任意两个值12,x x ，改变210x x x =->，则当21()()0y f x f x =->时，就称()y f x =在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x =-<时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数。
2.单调性：如果某个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。
3.判断函数单调性的方法（1）定义法121212121.,,2.()()3..()()5.x x x x y f x f x y y f x f x <⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎩在区间上任取且计算将变成因式乘除形式，便于判断符号4判断的正负下结论（2）元素分析法（3）求导（4）图像法（5）复合函数[][]1.()()()2.()()()f x g x f g x f x g x f g x ⎧⎪⎨⎪⎩与单调性相同，单调增与单调性相反，单调减 （6）函数加减：公共定义域内，()()f x g x 与的单调性+=+=-=-=⎧⎨⎩增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数二、奇偶性1.定义：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数；设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x gx -=，则这个函数叫做偶函数。
2.奇偶性图像性质汇总 奇偶性共同点 定义式 图像 0x = 单调性 奇函数定义域关于原点对称 ()()f x f x -=- 关于原点对称 (0)0f = 对应区间单调性一致 偶函数 ()()g x g x -=关于y 轴对称 对应 区间单调性相反3.判断函数奇偶性的方法（1）定义法：奇函数：()()f x f x -=- ()()0f x f x -+= ()1()f x f x -=-偶函数：()()g x g x -= ()()0g x g x --=()1()f x f x -=（2）图象法（3）性质法①偶+偶=偶 偶-偶=偶偶*偶=偶 偶/偶=偶②奇+奇=奇 奇-奇=奇奇*奇=偶 奇/奇=偶③奇*偶=奇 奇/偶=奇④()[()]F x f g x = ()()()()()()f x g x x f x g x x f x g x x ⎧⎪⎨⎪⎩为偶，为偶，F()为偶为奇，为奇，F()为奇为偶，为奇，F()为偶三、周期性1.定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内每一个值，都有()()f x T f x +=，那么，()f x 叫做周期函数，T 叫做()f x 的周期。
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳备考知考情：在高考中，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义以及运用基本初等函数的图象分析函数的性质是非常重要的。
函数的单调性是热点，常见问题有求单调区间、判断函数的单调性、求参数的取值、利用函数单调性比较数的大小以及解不等式等。
客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用。
题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现。
一、知识梳理在研究函数单调性之前，必须先求函数的定义域。
函数的单调区间是定义域的子集，单调区间不能并。
知识点一：函数的单调性单调函数的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。
注意：1.定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2.函数的单调区间必须是定义域的子集。
3.定义有两种变式。
问题探究：1.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？1）定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2）函数的单调区间必须是定义域的子集。
3）定义有两种变式。
2.单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。
如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。
知识点二：单调性的证明方法：定义法及导数法高频考点例1：规律方法1) 定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形（如“分解因式”、配方成同号项的和等）；③依据差式的符号确定其增减性。
2) 导数法：x＋1x＋1a>0)由定义可知。
f(x1f(x2即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：导数法f′(x)＝a(x＋1)－axx＋1)2ax＋1)2a>0，x∈(－1，＋∞))即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．例2.（2）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝x2－2x＋3在R上的单调性，并证明．法一：导数法f′(x)＝2x－22(x－1)当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，1)上为减函数；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．法二：二次函数法对于任意实数x，有f(x)＝(x－1)2＋2因为平方项非负，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．例3.（1）《名师一号》P16高频考点例1（3）设f(x)＝exax－b，其中a，b为常数，证明：当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．证明：f′(x)＝exaf′′(x)＝ex当a20，即f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f′′(x)<0，即f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f′′(x)＝0，即f(x)为抛物线．因此，当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．2.1、解析：根据题意，我们可以列出不等式a-2<0，解得a≤2.代入原式得到实数a的取值范围为(-∞。
函数单调知识点归纳总结
函数单调知识点归纳总结一、函数单调性的定义1. 单调递增函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)<=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数。
2. 单调递减函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)>=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
二、函数单调性的性质1. 如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒大于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数；如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒小于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
2. 函数的单调性与导数的关系：若函数f(x)在定义域上的一阶导数大于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递增函数；若函数f(x)在定义域上的一阶导数小于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递减函数。
3. 在具有一阶导数的情况下，如果函数f(x)在定义域上导数恒大于0，则函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+\infty)；如果函数f(x)在定义域上导数恒小于0，则函数f(x)的单调递减区间为(-\infty,+\infty)。
4. 对于具有n阶导数的函数f(x)，通过求解导数的符号变化，可以得到函数f(x)在定义域上的单调性和拐点位置。
三、求解函数的单调区间1. 使用导数符号变化法求解函数的单调区间：首先求出函数f(x)的一阶导数，并求出导数的零点，然后将定义域分成几个子区间，然后再求解导数对应的区间上的符号，得到函数的单调性。
2. 使用导数的恒定性求解函数的单调区间：根据导数的恒定性可以快速求出函数的单调区间，比如函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间为单调递增函数。
四、与单调性相关的知识1. 函数的最值。
在函数的单调性的基础上，可以求解函数的最值，对于单调递增函数来说，函数在定义域上的最小值为f(x1)；对于单调递减函数来说，函数在定义域上的最大值为f(x2)。
单调性函数知识点总结
单调性函数知识点总结一、基本概念1. 单调性在数学中，函数的单调性是指函数的增减性质，即函数在定义域内的增减情况。
如果函数在其定义域内严格递增或者严格递减，那么我们就称这个函数是单调函数。
2. 单调递增和单调递减函数$f(x)$的定义域是一个区间$I$，如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递减的。
3. 严格单调递增和严格单调递减如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递减的。
4. 单调性与导数函数的单调性与导数之间有一定的关系。
如果函数在某个区间内单调递增，那么其在这个区间内的导数恒大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，那么其在这个区间内的导数恒小于等于零。
二、判断单调性的方法1. 导数法通过求函数的导数，然后分析导数的正负来判断函数的单调性。
当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。
例如，对于函数$f(x) = x^2$，求导可得$f'(x) = 2x$。
当$x>0$时，导数大于零，即函数单调递增；当$x<0$时，导数小于零，即函数单调递减。
2. 一阶导数和二阶导数法通过分析函数的一阶导数和二阶导数的正负性来判断函数的单调性。
当一阶导数恒大于零且二阶导数恒小于零时，函数单调递增；当一阶导数恒小于零且二阶导数恒大于零时，函数单调递减。
高考数学复习知识点讲义课件19--- 函数的单调性
(1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数 y＝x2＋2x－1 的单调减区间 (－∞，－1]⊆(－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
(2)若函数 y＝f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增加(减少)的，一般不认为 y＝f(x)在区间 A∪B 上
一定是增加(减少)的．如：函数 f(x)＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，在区间 (0，＋∞)上也是减少的，但不能说它在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减少的．
对增函数与减函数定义的理解
(1)定义中x1，x2有三个特征：一是x1，x2同属于一个单调区间；二是x1，x2是 任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替；三是x1与x2有大小， 通常规定x1＜x2，但也可规定x2＜x1.
(2)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D⊆I. (3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增； 符号相反时，函数单调递减．
(2)已知函数 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)＞f(1－x)，求 x 的 取值范围．
[解析] (1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
a＜0时，在R上单调递减
反比例函数y＝(a≠0)
a＞0时，减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)； a＜0时，增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数y＝a(x－m)2＋ a＞0时，减区间是(－∞，m]，增区间是[m，＋∞)；
n(a≠0)
函数的单调性知识点与题型归纳
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.★备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有：求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用．2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现.一、知识梳理名师一号P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并知识点一函数的单调性1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数fx在区间D上是增函数或减函数,则称函数fx在这一区间上具有严格的单调性,区间D叫做fx的单调区间.注意：1、名师一号P16 问题探究问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题1定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值． 2函数的单调区间必须是定义域的子集；3定义的两种变式：设任意x 1,x 2∈a ,b 且x 1<x 2,那么 ①1212()()0->-f x f x x x fx 在a ,b 上是增函数； 1212()()0-<-f x f x x x fx 在a ,b 上是减函数． ②x 1－x 2fx 1－fx 2>0fx 在a ,b 上是增函数；x 1－x 2fx 1－fx 2<0fx 在a ,b 上是减函数．2、名师一号P16 问题探究 问题2单调区间的表示注意哪些问题单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结．知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 名师一号P16 高频考点 例1 规律方法1 定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1<x 2；②作差fx 1－fx 2,并适当变形“分解因式”、配方成同号项的和等； ③依据差式的符号确定其增减性．2 导数法:设函数y ＝fx 在某区间D 内可导．如果f ′x >0,则fx 在区间D 内为增函数；如果f ′x <0,则fx 在区间D 内为减函数．注意：补充1若使得f ′x =0的x 的值只有有限个,则如果f ′x 0≥,则fx 在区间D 内为增函数；如果f ′x 0≤,则fx 在区间D 内为减函数．2单调性的判断方法：名师一号P17 高频考点 例2 规律方法定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性同增异减、 用已知函数的单调性等补充单调性的有关结论1．若fx ,gx 均为增减函数,则fx ＋gx 仍为增减函数．2．若fx 为增减函数,则－fx 为减增函数,如果同时有fx >0,则()1f x 为减增函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y ＝fgx 是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相同,则其复合函数fgx 为增函数；若fx 、gx 的单调性相反,则其复合函数fgx 为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用名师一号P17 特色专题1求某些函数的值域或最值．2比较函数值或自变量值的大小．3解、证不等式．4求参数的取值范围或值．5作函数图象．二、例题分析：一函数单调性的判断与证明例1.1名师一号P16 对点自测 1判断下列说法是否正确1函数fx＝2x＋1在－∞,＋∞上是增函数．2函数fx＝错误!在其定义域上是减函数．3已知fx＝错误!,gx＝－2x,则y＝fx－gx在定义域上是增函数．答案：√×√例1.2名师一号P16 高频考点例112014·北京卷下列函数中,在区间0,＋∞上为增函数的是A．y＝错误!B．y＝x－12C．y＝2－x D．y＝x＋1答案：A.例2.1名师一号P16 高频考点例12判断函数fx＝错误!在－1,＋∞上的单调性,并证明．法一：定义法设－1<x1<x2,则fx1－fx2＝错误!－错误!＝错误!＝错误!∵－1<x1<x2,∴x1－x2<0,x1＋1>0,x2＋1>0.∴当a>0时,fx1－fx2<0,即fx1<fx2,∴函数y＝fx在－1,＋∞上单调递增．同理当a<0时,fx1－fx2>0,即fx1>fx2,∴函数y＝fx在－1,＋∞上单调递减．法二：导数法注意：名师一号P17 高频考点例1 规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断或证明函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论,其中变形为关键,而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷,应引起足够的重视二求复合函数、分段函数的单调性区间例1.名师一号P16 高频考点例21求函数y＝x－|1－x|的单调增区间；y＝x－|1－x|＝错误!作出该函数的图象如图所示．由图象可知,该函数的单调增区间是－∞,1．例2.1名师一号P16 高频考点例22求函数y＝log错误!x2－4x＋3的单调区间．解析:令u＝x2－4x＋3,原函数可以看作y＝log错误!u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3.∴函数y＝log错误!x2－4x＋3的定义域为－∞,1∪3,＋∞．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2,且开口向上,∴u＝x2－4x＋3在－∞,1上是减函数,在3,＋∞上是增函数．而函数y＝log错误!u在0,＋∞上是减函数,∴y＝log错误!x2－4x＋3的单调递减区间为3,＋∞,单调递增区间为－∞,1．注意：名师一号P17 高频考点例2 规律方法求函数的单调区间的常用方法1利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间．2定义法：先求定义域,再利用单调性定义．3图象法：如果fx是以图象形式给出的,或者fx的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间．4导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例2.2补充21122log4log⎛⎫=-⎪⎝⎭y x x答案：增区间：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；减区间：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 练习:()222log log y x x =-答案：增区间：()2,+∞；减区间：()0,2 三利用单调性解证不等式及比较大小例1.1名师一号P17 特色专题 典例1已知函数fx ＝log 2x ＋错误!,若x 1∈1,2,x 2∈2,＋∞,则A ．fx 1<0,fx 2<0B ．fx 1<0,fx 2>0C ．fx 1>0,fx 2<0D ．fx 1>0,fx 2>0规范解答 ∵函数fx ＝log 2x ＋错误!在1,＋∞上为增函数,且f 2＝0,∴当x 1∈1,2时,fx 1<f 2＝0,当x 2∈2,＋∞时,fx 2>f 2＝0,即fx 1<0,fx 2>0.例1.2名师一号P17 特色专题 典例2已知函数fx ＝错误!则不等式fa 2－4>f 3a 的解集为A ．2,6B ．－1,4C ．1,4D ．－3,5规范解答作出函数fx 的图象,如图所示,则函数fx 在R 上是单调递减的．由fa 2－4>f 3a ,可得a 2－4<3a ,整理得a 2－3a －4<0,即a ＋1a －4<0,解得－1<a <4,所以不等式的解集为－1,4．注意:本例分段函数的单调区间可以并四已知单调性求参数的值或取值范围例1.1名师一号P17 特色专题 典例3已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数x 1≠x 2,都有1212()()0-<-f x f x x x 成立,则实数a 的取值范围为A ．－∞,2 C ．－∞,2规范解答函数fx 是R 上的减函数,于是有错误!由此解得a ≤错误!,即实数a 的取值范围是错误!.例2.1 补充如果函数fx ＝ax 2＋2x －3在区间－∞,4上单调递增,则实数a 的取值范围是________． 答案 －错误!,0解析 1当a ＝0时,fx ＝2x －3,在定义域R 上单调递增,故在－∞,4上单调递增；2当a ≠0时,二次函数fx 的对称轴为直线x ＝－错误!, 因为fx 在－∞,4上单调递增,所以a <0,且－错误!≥4,解得－错误!≤a <0.综上所述－错误!≤a ≤0.例2.2 补充若fx ＝x 3－6ax 的单调递减区间是－2,2,则a 的取值范围是A ．－∞,0B ．－2,2C ．{2}D ．2,＋∞答案 C解析 f ′x ＝3x 2－6a ,若a ≤0,则f ′x ≥0,∴fx 单调增,排除A ；若a >0,则由f ′x ＝0得x ＝±错误!,当x <－错误!和x >错误!时,f ′x >0,fx 单调增,当－错误!<x <错误!时,fx 单调减,∴fx 的单调减区间为－错误!,错误!,从而错误!＝2, ∴a ＝2.变式：若fx ＝x 3－6ax 在区间－2,2单调递减, 则a 的取值范围是点评 fx 的单调递减区间是－2,2和fx 在－2,2上单调递减是不同的,应加以区分． 本例亦可用x ＝±2是方程f ′x ＝3x 2－6a ＝0的两根 解得a ＝2.例2.3 补充 若函数)2,3()(log )(321---=在ax x x f 上单调递减, 则实数a 的取值范围是A ．9,12B ．4,12C ．4,27D ．9,27 答案：A温故知新P23 第9题若函数()()212log 3=-+f x x ax a 在区间 [)2,+∞上单调递减,则实数a 的取值范围是计时双基练P217 基础7计时双基练P217 基础8、108、设函数()12+=+ax f x x a 在区间()2,-+∞上是增函数, 那么a 的取值范围是答案: [)1,+∞ 10、设函数()()=≠-x f x x a x a2若0>a 且()f x 在区间()1,+∞内单调递减, 求a 的取值范围.答案: [)1,+∞ 五抽象函数的单调性例1.补充已知fx 为R 上的减函数,那么满足 f |1x|<f 1的实数x 的取值范围是 A ．－1,1 B ．0,1C ．－1,0∪0,1D ．－∞,－1∪1,＋∞ 答案：C解析：因为fx 为减函数,f |1x |<f 1,所以|1x |>1,则|x |<1且x ≠0,即x ∈－1,0∪0,1．练习：()y f x =是定义在[]1,1-上的增函数, 解不等式2(1)(1)f x f x -<-答案：()0,1温故知新 P12 第8题注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解例2. 计时双基练P216 培优4函数()f x 的定义域为()0,+∞,且对一切0,0>>x y 都有()()()=-x f f x f y y ,当1>x 时,有()0>f x ;（1） 求(1)f 的值；（2） 判断()f x 的单调性并加以证明；（3） 若(4)2=f ,求()f x 在[]1,16上的值域. 答案:单调增; []0,4注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义 练习: 计时双基练P218 培优4函数()f x 的定义域为()0,+∞,且对一切,∈x y R 都有()()()+=+f x f y f x y ,当0>x 时,有()2()0,13<=-f x f . 1求证: ()f x 在R 上是减函数；2求()f x 在[]3,3-上的最大值与最小值.答案: 2;2-课后作业一、计时双基练P217 基础1-10课本P16-17变式思考1、2；二、计时双基练P217 基础11、培优1-4课本P18对应训练1、2、3预习第二章第四节函数的奇偶性与周期性补充：练习1：函数fx＝错误!a>0且a≠1是R上的减函数,则a的取值范围是A．0,1 B．错误!,1 C．0,错误!D．0,错误!分析：fx在R上为减函数,故fx＝a x x≥0为减函数,可知0<a<1,又由fx在R上为减函数可知,fx在x<0时的值恒大于fx在x≥0时的值,从而3a≥1.解析：∵fx在R上单调递减,∴错误!∴错误!≤a<1.答案：B练习2：已知fx＝错误!是－∞,＋∞上的增函数,那么a的取值范围是A．1,＋∞B．－∞,3C．错误!,3 D．1,3答案 D解析解法1：由fx在R上是增函数,∴fx在1,＋∞上单增,由对数函数单调性知a>1①,又由fx在－∞,1上单增,∴3－a>0,∴a<3②,又由于fx在R上是增函数,为了满足单调区间的定义,fx在－∞,1上的最大值3－5a要小于等于fx在1,＋∞上的最小值0,才能保证单调区间的要求,∴3－5a≤0,即a≥错误!③,由①②③可得1<a<3.解法2：令a分别等于错误!、0、1,即可排除A、B、C,故选D.点评fx在R上是增函数,a的取值不仅要保证fx在－∞,1上和1,＋∞上都是增函数,还要保证x1<1,x2≥1时,有fx1<fx2．练习3：若函数fx＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间k－1,k＋1内不是．．单调函数,则实数k的取值范围是A．1,＋∞B．1,错误!C．1,2 D．错误!,2答案 B解析因为fx定义域为0,＋∞,f′x＝4x－错误!,由f′x＝0,得x＝错误!.据题意,错误!,解得1≤k <错误!,选B.练习4:已知函数322312y x ax x =++1 若函数在R 上是单调增函数,则a 的取值范围是 .解析:若函数在R 上是单调增函数因为26612y x ax '=++开口方向向上,所以0,∆≤即()236420,a -⨯≤即a -≤≤时条件成立；2已知函数322312y x ax x =++,若函数的单调递减区间是()1,2,则a 的值是 .解析:若函数的单调递减区间是所以1,2是方程266120x ax ++=的两个实数根,由韦达定理,12,3a a +=-∴=-3若函数在[2,)+∞上是单调增函数,则a 的取值范围是 .解析:若函数在[2,)+∞上是单调增函数分类讨论：① 当,0≤∆即()236420,a -⨯≤即a -≤≤条件成立；②当2423(2)0a aaaaf∆>⎧⎧><-⎪⎪⎪-<⇔>-⎨⎨⎪⎪≥-⎩'≥⎪⎩,即3a-≤<-a>综上,3a≥-条件成立,3-≥a为所求.。
高考一轮复习---函数的单调性与最值知识点与题型
高考一轮复习---函数的单调性与最值知识点与题型一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；(6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．三、考点解析考点一 确定函数的单调性(区间))例、(1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．跟踪训练1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)3．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 考点二 求函数的值域(最值))例、(1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在]2,21[上的值域为]2,21[，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．注： (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．跟踪训练1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________． 2．若x ∈]32,6[ππ-，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小例、偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式例、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)例、已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．跟踪训练1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝)21(-f ，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是课后作业一1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．125．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0)7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． 9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 10．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在]2,21[上的值域是]2,21[，求a 的值．12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．课后作业二1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2mx＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1] C．(0，＋∞) D．(0,1] 2．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.。
函数单调知识点总结初中
函数单调知识点总结初中在初中阶段，学习函数单调性时，需要理解以下几个知识点：一、函数单调性的定义函数f(x)在定义域D内是单调递增的，是指对于任意的x1, x2∈D，如果x1<x2，则有f(x1)≤f(x2)；如果对于任意的x1, x2∈D，如果x1<x2，则有f(x1)≥f(x2)，则函数f(x)在定义域D内是单调递减的。
二、初中阶段的函数单调性判定1. 导数法：如果函数f(x)在定义域D内是单调递增的，则f'(x)≥0；如果函数f(x)在定义域D内是单调递减的，则f'(x)≤0。
2. 函数图像法：通过函数的图像来观察函数的单调性，即通过画函数的图像或查看函数的图像来判断函数的单调性。
3. 函数表法：通过列出函数的表格或者通过已知函数值来判断函数的单调性。
三、函数单调性与导数的关系函数的单调性与导数有密切的关系。
如果函数f(x)在定义域内是单调递增的，则f'(x)≥0；如果函数f(x)在定义域内是单调递减的，则f'(x)≤0。
四、函数单调性的应用1. 求函数的定义域：当已知函数的单调性时，可以利用函数单调性来确定函数的定义域。
2. 求函数的极值：利用函数单调性可以判断函数的极值点。
3. 研究函数的增减性：通过函数单调性可以研究函数的增减性质。
4. 解决实际问题：函数单调性在解决实际问题中有重要的应用。
五、函数单调性与变化率的关系函数的单调性和函数的变化率是相关的，单调递增的函数在变化率上是非负的；单调递减的函数在变化率上是非正的。
六、常见函数的单调性1. 一次函数：一次函数y=kx＋b中，k>0时为单调递增函数，k<0时为单调递减函数。
2. 二次函数：二次函数y=ax²+bx+c中，a>0时为开口向上的单调递增函数，a<0时为开口向下的单调递减函数。
3. 指数函数：指数函数y=a^x (a>0, a≠1)是单调递增函数。
函数单调知识点总结
函数单调知识点总结一、基本概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
如果集合A中的元素x经过函数f的作用，得到集合B中的唯一元素f(x)，那么我们可以写作f：A→B。
在实际运用中，常用y=f(x)来表示函数的定义式。
1.2 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数中自变量的取值范围，即函数的有效输入范围；函数的值域则是指函数中因变量的取值范围，即函数的输出范围。
对于函数y=f(x)，它的定义域和值域分别用Dom(f)和Ran(f)来表示。
1.3 单调函数的定义函数的单调性是指函数在定义域内是否具有递增或递减的性质。
如果对于函数f的定义域内的任意两个不同的实数x1和x2（x1<x2），都满足f(x1)≤f(x2)，那么称函数f在其定义域内是单调递增的；如果对于函数f的定义域内的任意两个不同的实数x1和x2（x1<x2），都满足f(x1)≥f(x2)，那么称函数f在其定义域内是单调递减的。
1.4 单调函数的图像单调递增函数在其定义域上的图像是从左向右逐渐升高的曲线；单调递减函数在其定义域上的图像是从左向右逐渐降低的曲线。
二、单调性的判定方法2.1 利用函数的导数对于可导函数f(x)，我们可以通过观察其导数来判断函数的单调性。
如果对于函数f的定义域内的任意两个不同的实数x1和x2（x1<x2），都有f'(x)≥0，则称函数f在其定义域内是单调递增的；如果对于函数f的定义域内的任意两个不同的实数x1和x2（x1<x2），都有f'(x)≤0，则称函数f在其定义域内是单调递减的。
2.2 利用函数的一阶导数关系对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，其上f'(x)≥0，则称函数f在区间[a, b]上是单调递增的；如果存在一个区间[a, b]，其上f'(x)≤0，则称函数f在区间[a, b]上是单调递减的。
高中数学函数的单调性知识点总结
高中数学函数的单调性知识点总结
一、函数的单调性
1、什么是单调性
用单调性来描述一个函数的变化，就是说函数沿着正方向或者反方向
的变化是有规律的，而不是曲折转变，也就是说，函数的变化都是连续的，这就是单调性。
2、单调性的三种情况
(1)上升函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递增，就可以说f(x)为上升函数，可以简写为f(x)为单调增函数。
(2)下降函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递减，就可以说f(x)为下降函数，可以简写为f(x)为单调减函数。
(3)常函数：函数f(x)在区间[a,b]上恒等于常数c，则称函数为常函数，常函数是不存在单调性的。
3、判断函数的单调性
依照函数的单调性情况，可以通过图形方法和导数法来判断函数的单
调性：
(1)图形判断法，即根据函数图像大致的凸凹情况来判断函数的单调性。
(2)导数法，即当函数在其中一区间内正、负、零导数情况来判断函
数的单调性。
二、函数的可导性
1、什么是可导性
可导性是指在其中一区间上，函数的导数存在且唯一，可以说是函数的一种性质，在数学教学中也常常称为连续性或者连续性。
可导代数函数的定义：在其中一区间上，若存在一个函数f(x)的导数f’(x)，并且所有的在该区间上的导数经过等价的变换得到f’(x)，就称f(x)在该区间上为可导函数。
高三函数单调性知识点汇总
高三函数单调性知识点汇总函数是数学中一个重要的概念，而函数的单调性是研究函数性质的一个重要方面。
在高三数学学习中，掌握函数的单调性是非常关键的。
本文将对高三函数单调性的相关知识点进行汇总介绍，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增减而增大或减小的特性。
如果函数在定义域上始终递增，则称其为递增函数；如果函数在定义域上始终递减，则称其为递减函数。
二、函数的单调性判断方法1. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数的正负来判断函数的单调性。
对于函数f(x)，若f'(x)>0，则函数递增；若f'(x)<0，则函数递减。
2. 一阶差分法：对于离散的函数，可以通过计算相邻函数值之间的差来判断函数的单调性。
如果这些差值始终大于0，则函数递增；如果这些差值始终小于0，则函数递减。
3. 函数图像法：对于给定函数的图像，可以通过观察图像的趋势来判断函数的单调性。
如果图像从左向右逐渐上升，则函数递增；如果图像从左向右逐渐下降，则函数递减。
三、函数单调性的应用1. 利用函数的单调性寻找极值点：对于递增函数，极大值点对应函数曲线的拐点；对于递减函数，极小值点对应函数曲线的拐点。
2. 利用函数的单调性求不等式的解集：对于不等式 f(x)>0 或f(x)<0，可以先求出函数的零点，再根据函数的单调性确定满足条件的解集。
3. 利用函数的单调性进行证明：在数学证明中，可以根据函数的单调性来推导出一些结论，从而完成证明过程。
四、函数的单调性与其他概念的关系1. 函数的单调性与导数之间的关系：对于可导函数，函数递增则导数大于0，函数递减则导数小于0。
2. 函数的单调性与函数的增减性之间的关系：函数的单调性是函数的增减性的一种特殊情况。
函数的增减性包括递增、递减和不增不减三种情况，而函数的单调性只考虑递增和递减两种情况。
3. 函数的单调性与函数的凹凸性之间的关系：对于二阶可导函数，函数的凹凸性与函数的单调性有密切关系。
(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
设函数 y＝ f(x)在某区间 D 内可导．如果 f ′x（)>0，则 f (x)在区间 D 内为增函数；如果 f ′x（)<0，则 f(x)在区间 D 内为减函数． 注意： (补充 ) （ 1）若使得 f ′x（)=0 的 x 的值只有有限个，
一、知识梳理 《名师一号》 P15 注意：
研究函数单调性必须 先求函数的定义域， 函数的单调区间是 定义域的子集 单调区间 不能并 ！
知识点一 函数的单调性 1. 单调函数的定义
1
2.单调性、单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数或减函数 ，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f (x)的单 调区间 .
法一：定义法
设－ 1<x1<x2，
ax1 ax2 则 f(x1)－f (x2)＝x1＋ 1－ x2＋1
ax1 x2＋ 1 － ax2 x1＋ 1
＝
x1＋1 x2＋ 1
a x1－x2
＝ x1＋ 1
x2＋ 1
∵－ 1<x1<x2，
∴x1－ x2<0， x1＋1>0，x2＋ 1>0.
6
∴当 a>0 时， f(x1)－ f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递增． 同理当 a<0 时， f (x1)－f (x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递减．
[答案 ] C [解析 ] f ′x（)＝3x2－6a， 若 a≤０，则 f ′x（) ≥０，∴ f(x)单调增，排除 A ； 若 a>0，则由 f ′x（)＝0 得 x＝ ± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a 时，f ′x（)>0，f(x)单调增，当－ 2a<x < 2a时，f (x)单调减， ∴f (x)的单调减区间为 (－ 2a， 2a)，从而 2a＝2， ∴a＝ 2.
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函数的单调性 知识梳理1. 单调性概念一般地，设函数的定义域为：()f x I （1）如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有I D 12,x x 12x x <，那么就说函数在区间上是增函数；12()()f x f x <()f x D （2）如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有I D 12,x x 12x x <，那么就说函数在区间上是减函数.12()()f x f x >()f x D2. 单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（2）定义法步骤；①取值：设是给定区间内的两个任意值，且 (或)；12,x x 12x x <12x x > ②作差：作差，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）；12()()f x f x - ③定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；12()()f x f x - ④下结论：根据定义得出其单调性.（3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）3. 单调区间的定义如果函数，在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，()y f x =D 区间叫做的单调区间．D ()y f x =例题精讲【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图．(1)从左向右看，图形是如何变化的？(2)在哪些区间上升?哪些区间下降？解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间和下降，在区间下降。
[0,4][14,24][4,14]【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f (x )=x ;①从左至右图象上升还是下降?②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？（2）f (x )=x 2．①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？解：（1）①从左至右图象是上升的；②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．（2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小；②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．【例3】函数在定义域的某区间上存在，满足且，那么函()y f x =D 12,x x 12x x <12()()f x f x <数在该区间上一定是增函数吗？()y f x =解：不一定，例如下图：【例4】下图是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间[5,5]-()y f x =，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．解：函数的单调区间有；()y f x =[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---其中在区间上是减函数，在区间上是增函数.[5,2),[1,3)--[2,1),[3,5)-【例5】证明函数在上是增函数.()32f x x =+R 证明：设是上的任意两个实数，且 （取值）12,x x R 12x x < 则 （作差）1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+123()x x =-由，得 12x x <120x x -< 于是 （定号）12()()0f x f x -<所以12()()f x f x < 所以，函数在上是增函数。
函数的单调性知识点
函数单调性知识点总结一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D 上是增函数,且x 1＜x 2 , f(x 1) ＜f(x 2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D 上是增函数,且f(x 1) ＜f(x 2 ), x 1＜x 2 。
(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1 、x 2∈D,使x 1＜x 2 ; ②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
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函数的单调性
函数的单调性问题.
函数单调性的方法：（1）图像法 （2）定义法（证明题）
先介绍一下定义法的步骤：
（1）取值在给定的区间上任取两个不相等的变量21,x x ，且21x x >，则021>-=∆x x x
（2）作差求()()21x f x f y -=∆（差比，商比）
（3）定号当0>∆y ，则函数单调递增；当0<∆y ，则函数单调增减。
例1，求函数x x f 1)(=
的单调性。
例2，判断函数x x y 1+
=在定义域),0(+∞上的单调性。
例3，用定义法证明函数1
2)(++=
x x x f 在),1(+∞-上是减函数。
例4，已知函数)(x f 对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，试判断)(x f 在R 上的单调性.
图像法求单调性（1）一次函数（斜率） （2)二次函数（对称轴） （3）指数函数和对数函数 （4）反比例函数 （4）幂函数 （分段函数） 例5，给定函数x y 2)1(=，x y 21log )2(=，1)3(-=x y ，21)4(x y =，其中在区间)
1,0(上单调递减的是
例6：求函数的单调区间（图像翻折问题）
（1）322--=x x y
（2）4
132+-=x x y
练习：函数x x f =)(在区间[]2,2-上的单调性是
单调性与奇偶性的结合
已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，2)(2+=x x f ，则=-)1(f
已知函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，又是减函数，0)2()2
1(>-+a f f ，求实数a 的取值范围。
练习：已知函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，又是减函数，0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。