数学分析：21-8重积分的计算及应用典型例题

《重积分应用举例》PPT课件

b
对 y 轴的转动惯量为 o a x
Iy x2dxd,y D
整理课件
20
bdya(1by)x2dx 1 a3b.
00
12
同理：对 x 轴的转动惯量为
Ix Dy2dxdy112ab3.
整理课件
21
三、引力
设空间一物体对物体外一点 P0 x0, y0, z0 处的
zdvdzzdxdyahzdvydydxxoy平面上有设有一平面薄片占有xoy面上的闭区域的转动惯量为薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量设一均匀的直角三角形薄板两直角边长分别为ab求这三角形对其中任一直角边的转动惯量
第四节重积分应用举例
❖一、曲面的面积 ❖二、质心和转动惯量 ❖三、引力
整理课件
曲面面积公式为：A 1 x y2 x z 2dy;dz Dyz
３．设曲面的方程为：yh(z,x)
曲面面积公式为：A
1 yz
2 y x
2dz.dx
Dzx
整理课件
8
例 1求球面 x 2 y 2 z 2 a 2 ，含在圆柱体 x 2 y 2 a 内部 x 的那部分面积 .
则有 dAds.
整理课件
6
d为dA 在xo面 y 上的 , 投 d 影 dA co , s
cos 1 ,
1fx2fy2
dA 1fx 2fy2d曲面S的面积元素
A 1fx2fy2d, D
曲面面积公式为：A 1(xz)2(yz)2dxd
Dxy
整理课件
7
同理可得
２．设曲面的方程为：xg(y,z)
单位质量质点的引力为 F Fx, Fy , Fz

重积分中的典型例题

重积分中的典型例题例1．设222:r y x D r ≤+，求2221lim cos()d d rx y r D ex y x y r π++→+⎰⎰．解：由积分中值定理，存在(,)r D ξη∈，使22222cos()d d cos()πrxy D e x y x y e r ξηξη+++=+⋅⎰⎰，当+→0r 时，)0,0(),(→ηξ，故原式22lim cos() 1.r e ξηξη++→=+=例2．证明：抛物面221z x y =++上任意一点000(,,)P x y z 处的切平面与抛物面22z x y =+ 所围成立体的体积为一常数．证明：抛物面122++=y x z 在点000(,,)P x y z 处的切平面为220000221z x x y y x y =+--+，由22220000,221,z x y z x x y y x y ⎧=+⎨=+--+⎩ 求得投影区域2200()()1D x x y y -+-≤：，所围成立体的体积222222000000π(221)d d [1()()].2D DV x x y y x y x y x y x x y y =+--+--=----=⎰⎰⎰⎰例3．计算二重积分()2Dx y dxdy +⎰⎰，其中1:≤+y x D ．解：设0,0,1:1≥≥≤+y x y x D ，利用积分区域x 轴、y 轴的对称性，被积函数奇偶性以及积分区域关于直线y x =的对称性，有()2Dx y dxdy +⎰⎰11104(2)12x D x y dxdy dx xdy -=+=⎰⎰⎰⎰()11212x x d x =-=⎰．例4．设)(u f 为可微函数，且0)0(=f ，(0)3f '=，求极限22231lim (0)t x y t f dxdy t t π+→+≤>⎰⎰．解：因⎰⎰⎰⎰⎰==+≤+ttt y x rdr r f rdr r f d dxdy y x f 02022)(2)()(222πθπ，所以⎰⎰≤+→++222)(1lim 223t y x t dxdy y x f t π3)(2lim trdrr f tt ππ⎰+→=23)(2lim tt tf t +→=02()2lim (0)233t f t f t +→'===．例5．证明：⎰⎰⎰-=baxabadx x b x f dy y f dx ))(()(，其中)(x f 连续函数．证1：因⎰⎰⎰⎰=Dxa badxdy y f dy y f dx )()(，其中b x a x y a D ≤≤≤≤,:y交换积分次序，有⎰⎰⎰⎰⎰-==bab yb ax abady y b y f dx y f dy dy y f dx ))(()()(⎰-=b adx x b x f ))((。

重积分的计算及应用

y2 = x
3 解:如图所示 D = D2 \ D , 1 1 O D1 D2 D A = ∫∫ dσ − ∫∫ dσ −2 D2 D 1 −4 1 3 12−y 2−y = ∫ dy∫ 2 d x − ∫ dy ∫ 2 d x
−4
y
−2
x
y
=[
12y − 1 y2计 ∫∫ 算
1(1). 设
由
确定 ,
由
x2 + y2 + z2 ≤ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 所确定 , 则
C
上半球
(B)
∫∫∫Ω y dv = 4∫∫∫Ω
1
y dv
第一卦限部分
2
z R
xyz dv
(D)
∫∫∫Ω xyz dv = 4∫∫∫Ω
1
Ω1 Ω2
O y
2
提示: 提示利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 , 右边为正 , 显然不对 , 故选 ( C )
解答提示: 解答提示 P124 2 (3). 计算二重积分其中D 为圆周提示: 提示利用极坐标所围成的闭区域.
0 ≤ r ≤ Rcosθ
D:
原式
y O
− π ≤θ ≤ π 2 2
r = Rcosθ
D Rx
1 3 π 2 = R ∫ π (1− sin 3 θ ) dθ 3 −2 2 3 π 3 2 = R ∫ (1− sin θ ) d θ 0 3
∫∫D[ f
2
(x) + f ( y)]dxdy
2
a ≤ x ≤ b D: a ≤ y ≤ b
f 2 (x) dxdy = ∫∫D
b 2 f (x)dx a

重积分典型例题

重积分典型例题
重积分典型例题
例 1 在下列积分中改变累次积分的次序： (1) 解 (2) 解
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy ， ( a < b ) ；
a
x
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy = ò dy ò f ( x , y ) dx ．
a a y 2 ax 2 ax - x 2 2 ax 2 ax - x 2
òò ( x - a )( y - b ) dxdy £ òò | x - a | | y - b | dxd y £ òò
D D
| x - a || y - b | dxdy
[ a ,b ]´[ c , d }
= ò | x - a | dx × ò | y - b | dy
a c b =æ - x ) dx + ò ( x - a ) dx ö ç òa (a ÷× a è ø
2 2
f ( x , y ) dx + ò dy ò x , y ) dy ． y f (
2
2 a
2 a
a
2 a
例 2 计算下列重积分：
(1)
òò xy dxdy ，D 为抛物线 y
D p 2 òò xy dxdy = ò 2 xdx ò 0 D p 4 p 2 p 2 7 p 5 2 2 = × x 0 = ． 3 7 21 2 px - 2 px
解
令 x = ar cos q ， y = br sin q ，则 0 £ q £ 2 p ， 0 £ r £ 1 ，
¶ ( x, y ) = abr ．有 ¶ ( r , q )

《重积分计算习题》课件

重积分的几何意义
平面区域上的重积分
表示被积函数对应的曲面在平面区域上所围成的体积。
空间区域上的重积分
表示被积函数对应的立体在空间区域上所围成的体积。
02 重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过将积分区域划分为若干个小矩形，然后分别对每个小矩形进行积
分，最后求和得到结果。
计算曲面的面积
重积分可以用来计算曲面的面积，如球面、锥面等。
确定空间点的位置
通过重积分可以确定空间中某点的位置，如重心、形心等。
在物理学中的应用
计算质量分布
在力学中，重积分可以用来计算分布质量对物体运动的影响。
计算引力场
在万有引力定律中，重积分可以用来计算物体之间的引力。
计算电场
在电动力学中，重积分可以用来计算电荷分布产生的电场。
如何提高重积分计算的准确性和效率
多做习题
通过大量的习题练习，提高计算准确性和效率
。
细心审题
仔细阅读题目，确保理解题意，避免因为理解
错误导致计算错误。
掌握计算技巧
掌握一些计算技巧，如换元法、分部积分法等，可以提高计算效率。
利用数学软件
对于一些复杂积分，可以利用数学软件进行计算，提高计算准确性。
对于多重积分，可以按照积分次序逐层积分，从外层到内层依次
积分。
在计算过程中，需要注意积分的上下限，以及被积函数的定义域
。
极坐标系下的计算方法
在极坐标系下，重积分可以通过将积分区域划分为若干个小圆环，然后分别对每个小圆环进行积分，最后求和得到结果。
在极坐标系下，需要注意极角和极径的范围，以及被积函数的定义域。

《重积分的计算法》课件

重积分的计算法
汇报人：PPT
单击输入目录标题重积分的概念重积分的计算方法重积分的应用重积分的注意事项
添加章节标题
重积分的概念
定义与性质
重积分：对多元函数在某一区域内的积分性质：重积分是积分的一种，具有积分的基本性质计算方法：分为直接积分法和间接积分法应用：广泛应用于物理学、工程学等领域
计算力矩和力：用于计算力矩和力，如桥梁、建筑等结构设计
计算流体力学：用于计算流体力学问题，如流体流动、热传导等
计算电磁场：用于计算电磁场问题，如电磁波传播、电磁场分布等
在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益计算消费者剩余和生产者剩余计算效用函数和需求函数计算最优生产决策和定价策略
重积分的注意事项
计算过程中的误差控制
合理选择积分区间和积分方法
避免积分过程中的舍入误差
利用误差估计方法进行误差控制
合理选择积分精度和收敛速度
Hale Waihona Puke 计算方法的选取与优化选取合适的计算方法：根据实际问题选择合适的计算方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。优化计算方法：通过调整计算参数，如矩形法的宽度、梯形法的高度等，提高计算精度。避免计算错误：注意计算过程中的错误，如计算过程中的舍入误差、计算过程中的数值稳定性等。提高计算效率：通过优化计算方法，提高计算效率，如使用快速傅里叶变换、快速多极子算法等。
积分区域：选择合适的积分区域，避免积分区域过大或过小
积分变量：选择合适的积分变量，避免积分变量过多或过少
积分方法：选择合适的积分方法，避免积分方法过于复杂或过于简单
积分精度：保证积分精度，避免积分结果误差过大
积分收敛性：保证积分收敛性，避免积分结果发散

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)

证明：假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割
，
必在某个小区域上无界．
当 i≠k 时，任取
令
由于 f 在上无界，从而存在从而
使得
另一方面，由 f 在 D 上可积知：存在
对任一 D 的分割
当
时，T 的任一积分和
都满足
1 / 48
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
时）．即 f（x，y）在 D 上不可积．
因此
的极
7．证明：若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，g（x，y）在 D 上可积且不变号，则
存在一点
使得
证明：不妨设
令 M，m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值，从而
若
＝0，则由上式
若
则必大于 0，于是
于是任取
即可．
3 / 48
圣才电子书

为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
9 / 48
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
同理可证先 y 后 x 的累次积分不存在．
8．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中意义同第 7 题．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在．
10 / 48
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

证明：因为在正方形的任何部分内，函数 f 的振幅等于 1．所以二重积分不存在．对固

数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 6重积分的应用一、曲面的面积问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积.分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=∆ni i S 1≈∑=∆ni i A 1, 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积.∴当T →0时，可用和式∑=∆ni i A 1的极限作为S 的面积.建立曲面面积计算公式：∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量，记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=),(),(1122i i yi i xf f ηξηξ++.∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i =iiγσcos ∆=i i i y i i x f f σηξηξ∆++),(),(122. 又和数∑=∆ni i A 1=∑=∆++ni i i i y i i x f f 122),(),(1σηξηξ是连续函数),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有△S=∑=→∆++ni i i i y i i x T f f 1220),(),(1lim σηξηξ=⎰⎰++Dy x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑=→∆ni i iT 1cos limγσ=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(,其中),cos(∧z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦.例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤21, 0≤θ≤2π}, 又z x =22y x x +=r r θcos =cos θ, z y =22yx y+=r r θsin =sin θ, ∴△S=⎰⎰++Dyxdxdy z z 221=⎰⎰πθ202102rdr d =π42.例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=⎰'+ba dx x f x f )(1)(22π.证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x =22)()()(yx f x f x f -', z y =22)(yx f y --. 即有221yxz z ++=2222222)()()()(1yx f y y x f x f x f -+-'+=2222)())(1)((yx f x f x f -'+. ∴S=⎰⎰--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx )()(222)()(1)(2=⎰⎰-'+b a x f dyy x f dx x f x f )(0222)(1)(1)(4=⎰⎰---'+ba x f x yf d x f y dx x f x f )(01222))(()(11)(1)(4=⎰⎰-'+b a dt tdx x f x f 102211)(1)(4=⎰'+b adx x f x f )(1)(22π.注：若空间曲面S 由参量方程：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D 确定, 其中x(u,v), y(u,v), z(u,v)在D 上具有连续一阶偏导数，且),(),(v u u y x ∂,),(),(v u u z y ∂,),(),(v u u x z ∂中至少有一个不等于0，则曲面S 在点(x,y,z)的法线方向数为⎝⎛∂),(),(v u u z y ,),(),(v u u x z ∂,⎪⎪⎭⎫∂),(),(v u u y x , 则它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为：),cos(∧z n =222),(),(),(),(),(),(),(),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂v u u y x v u u x z v u u z y v u u y x=2222222)())((),(),(v u v u v u vvvuuuz z y y x x z y x z y x v u u y x ++-++++∂=21),(),(FEG v u u y x -∂,其中E=222u u u z y x ++,G=222v v v z y x ++,F=v u v u v u z z y y x x ++.当),(),(v u u y x ∂≠0，则有△S=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(=dudv z n v u u y x D ⎰⎰'∧∂),cos(),(),(=dudv F EG D ⎰⎰'-2.例3：求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面的面积(图中阴影部分). 解：设球面方程为：(R 为球的半径). x=Rcos ψcos φ,y=Rcos ψsin φ, z=Rsin ψ.由E=222ψψψz y x ++=R 2, G=222ϕϕϕz y x ++=R 2cos 2ψ, F=ϕψϕψϕψz z y y x x ++=0，得2F EG -=R 2cos ψ. ∴△S=⎰⎰2121cos 2ψψϕϕψψϕd R d =R 2(φ2-φ1)(sin ψ2-sin ψ1).二、质心引例：设V 是密度函数为ρ(x,y,z)的空间物体，ρ(x,y,z)在V 上连续. 为求得V 的质心坐标公式，先对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则小块v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 若把每一小块看作质量集中在(ξi ,ηi ,ζi )的质点时，整个物体就可用这n 个质点的质点系来近似代替. 由于质点系的质心坐标公式为：∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v x 11),,(),,(ζηξρζηξρξ, ∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v y 11),,(),,(ζηξρζηξρη, ∑∑==∆∆=n i iiiini ii i i in v v z 11),,(),,(ζηξρζηξρζ.当T →0时，n x , n y , n z 的极限x , y , z 就定义为V 的质心坐标，即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x x x ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x y y ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x z z ),,(),,(ρρ.当物体V 的密度均匀即ρ为常数时，则有⎰⎰⎰∆=VxdV Vx 1, ⎰⎰⎰∆=VydV Vy 1, ⎰⎰⎰∆=VzdV Vz 1, 这里△V 为V 的体积.又密度分布为ρ(x,y)的平面薄板D 的质心坐标为：⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x x x σρσρ),(),(, ⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x y y σρσρ),(),(. 当平面薄板的密度均匀时，即ρ为常数时，则有⎰⎰∆=Dxd D x σ1, ⎰⎰∆=D yd D y σ1, △D 为薄板D 的面积.例4：求密度均匀的上半椭球体的质心.解：设椭球体由不等式a x 2+by 2+c z 2≤1表示.由对称性知x =0, y =0, 又由ρ为常数，得z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdVdVz ρρ=abc abc ππ3242=83c .三、转动惯量质点A 对于轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和A 与转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即J=mr 2.设ρ(x,y,z)为空间物体V 的密度分布函数，它在V 上连续. 对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 当以质点系{(ξi ,ηi ,ζi ), i=1,2,…, n}近似替代V 时，质点系对于x 轴的转动惯量为：i i i i ni i i x v J n∆+=∑=),,()(122ζηξρζη.当T →0时，上述积分和的极限就是物体V 对于x 轴的转动惯量 J x =⎰⎰⎰+VdV z y x z y ),,()(22ρ. 类似地,V 对于y 轴与z 轴的转动惯量分别为：J y =⎰⎰⎰+VdV z y x x z ),,()(22ρ, J z =⎰⎰⎰+VdV z y x y x ),,()(22ρ.同理，V 对于坐标平面的转动惯量分别为：J xy =⎰⎰⎰VdV z y x z ),,(2ρ, J yz =⎰⎰⎰VdV z y x x ),,(2ρ, J xz =⎰⎰⎰VdV z y x y ),,(2ρ.平面薄板对于坐标轴的转动惯量分别为：J x =⎰⎰Dd y x y σρ),(2, J y =⎰⎰Dd y x x σρ),(2. 以及有J l =⎰⎰Dd y x y x r σρ),(),(2,其中l 为转动轴, r(x,y)为D 中点(x,y)到l 的距离函数.例5：求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量. 解：设圆环D 为R 12≤x 2+y 2≤R 22, 密度为ρ, 则D 中任一点(x,y)与转轴的距离平方为x 2+y 2, 于是转动惯量为：J=⎰⎰+Dd y x σρ)(22=⎰⎰21320R R dr r d πθρ=2πρ(R 24-R 14)=例6：求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量.解：设D 为x 2+y 2≤R 2, 密度为ρ, D 内任一点(x,y)与y 轴的距离为|x|, 于是转动惯量为：(m 为圆盘质量) J=⎰⎰Dd x σρ2=⎰⎰Rdr r d 02320cos θθρπ=⎰πθθρ2024cos 4d R =44R ρπ=42mR .例7：设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.解：设球体由x 2+y 2+z 2≤R 2表示，密度为k 222z y x ++, k 为比便常数. 切平面方程为x=R, 则球体对于平面x=R 的转动惯量为： J=k ⎰⎰⎰-++VdV x R z y x 2222)(=k ⎰⎰⎰-ππϕθϕϕθ003220sin )cos sin (Rdr r r R d d=kR 6⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππϕθϕθϕθ023220cos sin 61cos sin 5241d d =⎰πθθ2026cos 911d kR =911k πR 6.四、引力求密度为ρ(x,y,z)的立体对立体外质量为1的质点A 的引力.设A 的坐标为(ξi ,ηi ,ζi )，V 中点的坐标用(x,y,z)表示. V 中质量微元dm=ρdV 对A 的引力在坐标轴上的投影为 dF xyz其中K 为引力系数， r=222)()()(ζηξ-+-+-z y x 是A 到dV 的距离，于是力F 在三个坐标轴上的投影分别为： F x =K ⎰⎰⎰-VdV r x ρξ3, F y =K ⎰⎰⎰-V dV r y ρη3, F z =K ⎰⎰⎰-VdV r z ρζ3, 所以F=F x i+F y j+F z k.例8：设球体V 具有均匀的密度ρ, 求V 对球外一点A(质量为1)的引力(引力系数为k).解：设球体为x 2+y 2+z 2≤R 2，球外一点坐标为(0,0,a) (R<a). 则F x =F y =0,F z =k ⎰⎰⎰-++-V dV a z y x a z ρ2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-++--zD R R a z y x dxdydz a z 2/3222])([)(, 其中D z ={(x,y)|x2+y2≤R 2-z 2}. 运用极坐标计算得： F z =k ρdr a z r rd dz a z z R RR ⎰⎰⎰---+-2202/32220])([)(πθ =2πk ρ⎰-+----R R dz aaz R a z )21(22=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-⎰-R R dz a az R R a a az R a R 22222222212= 2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----+---⎰⎰--RRRRaz d a az R a R a az d a az R a R )2(214)2(241222222222=2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-----RRRRa az R a R a a az R a R 22222322222)2(612 =2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++----222233)(6)()(2a R a R a a R R a R=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-232332a R R a R R R =2334a R k ρπ-. (注：z ≤R<a)习题1、求曲面az=xy 包含在圆柱x 2+y 2=a 2内那部分的面积.解：∵z x =a y, z y =ax , D={(r,θ)|0≤r ≤a, 0≤θ≤2π}, ∴曲面面积为： S=⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ddxdy a x a y 221=⎰⎰+a dr a r r d 022201πθ=)122(322-a π.2、求锥面z=22y x +被柱面z 2=2x 所截部分的曲面面积. 解：且面在xy 平面的投影区域为：D={(r,θ)|0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, 且z x =22yx x +, z y =22yx y +, ∴曲面面积为：S=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Ddxdy y x y y x x 2222221=⎰⎰10202rdr d πθ=π2.3、求下列均匀密度的平面薄板质心：(1)半椭圆2222by a x +≤1, y ≥0；(2)高为h, 底分别为a 和b 的等腰梯形.解：(1)设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.y =⎰⎰⎰⎰DDd yd σρσρ=⎰⎰⎰⎰DDd yd σσ=⎰⎰Dyd ab σπ2=dr r ab d ab ⎰⎰πθθπ122sin 2=π34b . (2)不妨设a 为下底，以下底中点为原点建立直角坐标系，则 D={(x,y)|l 1(y)≤x ≤l 2(y),0≤y ≤h}.设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.又等腰三角形的面积为2)(hb a +, ∴y =⎰⎰+D yd h b a σ)(2=⎰⎰+h y l y l dx ydy h b a 0)()(21)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+--+h ydy a h y h a b a h y h b a h b a 02)(22)(2)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+h ydy a h y h b a h b a 0)()(2=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+h dy by y h b a h b a 02)(2=h b a a b )(32++. 其中：l 1(y): x=2)(2a h y h a b ---; l 2(y): x=2)(2ah y h b a +--.4、求下列均匀密度物体的质心.(1)z ≤1-x 2-y 2, z ≥0；(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围的四面体. 解：(1)设质心为(x ,y ,z ), 由对称性x =y =0, 应用柱面坐标变换有,z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdV dV z ρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--221020110201r r dz r d r d zdz r d r d ππθθ=dr r r dr r r )1()1(212102210--⎰⎰=31. (2)设质心为(x ,y ,z ),∵V=⎰⎰⎰VdV =121， ∴x =⎰⎰⎰--+21001211x y x dz dy xdx V =⎰⎰---2101)21(12x dy y x xdx =⎰-1024)1(12dx x x =41. y =⎰⎰⎰--+yy x dz dx ydy V 210122101=⎰⎰---ydx x y ydy 210210)21(12=⎰-21022)21(12dy y y =81. z =⎰⎰⎰--+yy x zdz dx dy V21012211=⎰⎰--+-ydx y x dy 2102210)12(6=⎰--21033)21(6dy y =41-.5、求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量： (1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量；(2)边长为a 和b, 且夹角为φ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.解：(1)设切线为x=R, 密度为ρ.则对任一点P(x,y)∈D, P 到x=R 的距离为R-x ，从而转动惯量 J=ρ⎰⎰-Dd x R σ2)(=ρ⎰⎰+-Rdr r Rr R r d 022220)cos cos 2(θθθπ=ρ⎰+-πθθθ2024)cos 41cos 3221(d R= R 4. (2)设密度为ρ. 以底边为x 轴，左端点为原点，则转动惯量 J=⎰⎰Dd y σ2=ρ⎰⎰+by y a dx dy y ϕϕϕcot cot sin 02=3sin 33ϕρb a .6、计算下列引力：(1)均匀薄片x 2+y 2≤R 2, z=0对于轴上一点(0,0,c) (c>0)处的单位质量的引力；(2)均匀柱体x 2+y 2≤a 2, 0≤z ≤h 对于点P(0,0,c) (c>h)处的单位质量的引力；(3)均匀密度的正圆锥体(高h, 底半径R)对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.解：(1)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρ⎰⎰++Ddxdy c y x c 2/3222)(=kc ρ⎰⎰+R dr c r r d 02/32220)(πθ=2k .∴F={0,0,2k }.(2)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0. F z =k ρ⎰⎰⎰-++-VdV c z y x c z 2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-+-a h dr c z r rd dz c z 02/322200])([)(πθ=-2k πρdz c z a c z h⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+022)(1=2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(. ∴F={0,0,2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(}.(3)以圆锥体的顶点为原点, 对称轴为z 轴建立xyz 三维直角坐标系. 根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρm ⎰⎰⎰++V dV z y x z 2/3222)(=k ρm ⎰⎰⎰+R hrR dz z r zrdr d 02/322020)(πθ=2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22221R h R h R . ∴F={0,0, 2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22221R h R h R }.7、求曲面⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=ψϕψϕψsin sin )cos (cos )cos (a z a b y a b x (0≤φ≤2π, 0≤ψ≤2π) 的面积，其中常数a,b 满足0≤a ≤b.解：∵x φ=-(b+acos ψ)sin φ, y φ=(b+acos ψ)cos φ, z φ=0; x ψ=-asin ψcos φ, y ψ=-asin ψsin φ, z ψ=acos ψ.∴E=222ϕϕϕz y x ++=(b+acos ψ)2, G=222ψψψz y x ++=a 2, F=ψϕψϕψϕz z y y x x ++=0. ∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σψd a b a D ⎰⎰'+)cos (=⎰⎰+ππψψϕ2020)cos (d a b d a =4ab π2.8、求螺旋面⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϕb z r y r x sin cos (0≤r ≤a, 0≤φ≤2π) 的面积.解：∵x r =cos φ, y r =sin φ, z r =0; x φ=-rsin φ, y φ=rcos φ, z φ=b.∴E=222r r r z y x ++=1, G=222ϕϕϕz y x ++=r 2+b 2, F=ϕϕϕz z y y x x r r r ++=0.∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σd b r D ⎰⎰'+22=⎰⎰+πϕ20022d dr b r a=π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b b a a b b a a 22222ln .9、求边长为a 密度均匀的正方体关于其任一棱边的转动变量. 解：以正方体的一个顶点为原点，顶点上方的棱为z 轴，使正方体处于第一卦限中，则正方体对z 轴上的棱的转动变量为： J z =ρ⎰⎰⎰+V dV y x )(22=ρ⎰⎰⎰+aaadz y x dy dx 00220)(=a ρ⎰⎰+aady y x dx 0220)(=a ρ⎰+adx a ax 032)31(=32a 5ρ. (ρ为正方体密度)。

重积分的应用素材

n
n
得：IxIx y2y(ix2,my)i，dI,y Iy xxi22m(i，x, y)d . o
D i1
i 1D
(x, y)
•
D d
x
18
例3.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.
解: 建立坐标系如图,
y
x2 y2 a2
D
:
y
0
D a o a x
I y2 d x d y 3 sin2 d d
2.二重积分与曲线积分的联系
面密度为(x, y),假定( x, y)在D上连续, 求该薄片对x轴的转动惯
量I x以及对y轴的转动惯量I y .
用元素法：在D上任取小块d ,(x, y)d , 则 m ( x, y)d ,
这部分质量可近似地看作集中在点(x, y)上,于是对x轴的转动惯
量以及对y轴的转动惯量元素为：
y
dIx y2( x, y)d , dI y x2(x, y)d ,
F G
dv
z
r3
r x2 y2 z2
G 为引力常数
23
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
义
L
f (x,
y)ds
lim
0
i 1
f (i ,i )si
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
n
lim
0
i 1
[ P ( i
,i
)xi
Q(i
,i
)yi
]
联
系
L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
元素法的步骤：
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.

数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 6重积分的应用一、曲面的面积问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积.分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=∆ni i S 1≈∑=∆ni i A 1, 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积.∴当T →0时，可用和式∑=∆ni i A 1的极限作为S 的面积.建立曲面面积计算公式：∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量，记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=),(),(1122i i yi i xf f ηξηξ++.∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i =iiγσcos ∆=i i i y i i x f f σηξηξ∆++),(),(122. 又和数∑=∆ni i A 1=∑=∆++ni i i i y i i x f f 122),(),(1σηξηξ是连续函数),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有△S=∑=→∆++ni i i i y i i x T f f 1220),(),(1lim σηξηξ=⎰⎰++Dy x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑=→∆ni i iT 1cos limγσ=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(,其中),cos(∧z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦.例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤21, 0≤θ≤2π}, 又z x =22y x x +=r r θcos =cos θ, z y =22yx y+=r r θsin =sin θ, ∴△S=⎰⎰++Dyxdxdy z z 221=⎰⎰πθ202102rdr d =π42.例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=⎰'+ba dx x f x f )(1)(22π.证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x =22)()()(yx f x f x f -', z y =22)(yx f y --. 即有221yxz z ++=2222222)()()()(1yx f y y x f x f x f -+-'+=2222)())(1)((yx f x f x f -'+. ∴S=⎰⎰--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx )()(222)()(1)(2=⎰⎰-'+b a x f dyy x f dx x f x f )(0222)(1)(1)(4=⎰⎰---'+ba x f x yf d x f y dx x f x f )(01222))(()(11)(1)(4=⎰⎰-'+b a dt tdx x f x f 102211)(1)(4=⎰'+b adx x f x f )(1)(22π.注：若空间曲面S 由参量方程：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D 确定, 其中x(u,v), y(u,v), z(u,v)在D 上具有连续一阶偏导数，且),(),(v u u y x ∂,),(),(v u u z y ∂,),(),(v u u x z ∂中至少有一个不等于0，则曲面S 在点(x,y,z)的法线方向数为⎝⎛∂),(),(v u u z y ,),(),(v u u x z ∂,⎪⎪⎭⎫∂),(),(v u u y x , 则它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为：),cos(∧z n =222),(),(),(),(),(),(),(),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂v u u y x v u u x z v u u z y v u u y x=2222222)())((),(),(v u v u v u vvvuuuz z y y x x z y x z y x v u u y x ++-++++∂=21),(),(FEG v u u y x -∂,其中E=222u u u z y x ++,G=222v v v z y x ++,F=v u v u v u z z y y x x ++.当),(),(v u u y x ∂≠0，则有△S=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(=dudv z n v u u y x D ⎰⎰'∧∂),cos(),(),(=dudv F EG D ⎰⎰'-2.例3：求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面的面积(图中阴影部分). 解：设球面方程为：(R 为球的半径). x=Rcos ψcos φ,y=Rcos ψsin φ, z=Rsin ψ.由E=222ψψψz y x ++=R 2, G=222ϕϕϕz y x ++=R 2cos 2ψ, F=ϕψϕψϕψz z y y x x ++=0，得2F EG -=R 2cos ψ. ∴△S=⎰⎰2121cos 2ψψϕϕψψϕd R d =R 2(φ2-φ1)(sin ψ2-sin ψ1).二、质心引例：设V 是密度函数为ρ(x,y,z)的空间物体，ρ(x,y,z)在V 上连续. 为求得V 的质心坐标公式，先对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则小块v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 若把每一小块看作质量集中在(ξi ,ηi ,ζi )的质点时，整个物体就可用这n 个质点的质点系来近似代替. 由于质点系的质心坐标公式为：∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v x 11),,(),,(ζηξρζηξρξ, ∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v y 11),,(),,(ζηξρζηξρη, ∑∑==∆∆=n i iiiini ii i i in v v z 11),,(),,(ζηξρζηξρζ.当T →0时，n x , n y , n z 的极限x , y , z 就定义为V 的质心坐标，即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x x x ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x y y ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x z z ),,(),,(ρρ.当物体V 的密度均匀即ρ为常数时，则有⎰⎰⎰∆=VxdV Vx 1, ⎰⎰⎰∆=VydV Vy 1, ⎰⎰⎰∆=VzdV Vz 1, 这里△V 为V 的体积.又密度分布为ρ(x,y)的平面薄板D 的质心坐标为：⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x x x σρσρ),(),(, ⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x y y σρσρ),(),(. 当平面薄板的密度均匀时，即ρ为常数时，则有⎰⎰∆=Dxd D x σ1, ⎰⎰∆=D yd D y σ1, △D 为薄板D 的面积.例4：求密度均匀的上半椭球体的质心.解：设椭球体由不等式a x 2+by 2+c z 2≤1表示.由对称性知x =0, y =0, 又由ρ为常数，得z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdVdVz ρρ=abc abc ππ3242=83c .三、转动惯量质点A 对于轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和A 与转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即J=mr 2.设ρ(x,y,z)为空间物体V 的密度分布函数，它在V 上连续. 对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 当以质点系{(ξi ,ηi ,ζi ), i=1,2,…, n}近似替代V 时，质点系对于x 轴的转动惯量为：i i i i ni i i x v J n∆+=∑=),,()(122ζηξρζη.当T →0时，上述积分和的极限就是物体V 对于x 轴的转动惯量 J x =⎰⎰⎰+VdV z y x z y ),,()(22ρ. 类似地,V 对于y 轴与z 轴的转动惯量分别为：J y =⎰⎰⎰+VdV z y x x z ),,()(22ρ, J z =⎰⎰⎰+VdV z y x y x ),,()(22ρ.同理，V 对于坐标平面的转动惯量分别为：J xy =⎰⎰⎰VdV z y x z ),,(2ρ, J yz =⎰⎰⎰VdV z y x x ),,(2ρ, J xz =⎰⎰⎰VdV z y x y ),,(2ρ.平面薄板对于坐标轴的转动惯量分别为：J x =⎰⎰Dd y x y σρ),(2, J y =⎰⎰Dd y x x σρ),(2. 以及有J l =⎰⎰Dd y x y x r σρ),(),(2,其中l 为转动轴, r(x,y)为D 中点(x,y)到l 的距离函数.例5：求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量. 解：设圆环D 为R 12≤x 2+y 2≤R 22, 密度为ρ, 则D 中任一点(x,y)与转轴的距离平方为x 2+y 2, 于是转动惯量为：J=⎰⎰+Dd y x σρ)(22=⎰⎰21320R R dr r d πθρ=2πρ(R 24-R 14)=例6：求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量.解：设D 为x 2+y 2≤R 2, 密度为ρ, D 内任一点(x,y)与y 轴的距离为|x|, 于是转动惯量为：(m 为圆盘质量) J=⎰⎰Dd x σρ2=⎰⎰Rdr r d 02320cos θθρπ=⎰πθθρ2024cos 4d R =44R ρπ=42mR .例7：设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.解：设球体由x 2+y 2+z 2≤R 2表示，密度为k 222z y x ++, k 为比便常数. 切平面方程为x=R, 则球体对于平面x=R 的转动惯量为： J=k ⎰⎰⎰-++VdV x R z y x 2222)(=k ⎰⎰⎰-ππϕθϕϕθ003220sin )cos sin (Rdr r r R d d=kR 6⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππϕθϕθϕθ023220cos sin 61cos sin 5241d d =⎰πθθ2026cos 911d kR =911k πR 6.四、引力求密度为ρ(x,y,z)的立体对立体外质量为1的质点A 的引力.设A 的坐标为(ξi ,ηi ,ζi )，V 中点的坐标用(x,y,z)表示. V 中质量微元dm=ρdV 对A 的引力在坐标轴上的投影为 dF xyz其中K 为引力系数， r=222)()()(ζηξ-+-+-z y x 是A 到dV 的距离，于是力F 在三个坐标轴上的投影分别为： F x =K ⎰⎰⎰-VdV r x ρξ3, F y =K ⎰⎰⎰-V dV r y ρη3, F z =K ⎰⎰⎰-VdV r z ρζ3, 所以F=F x i+F y j+F z k.例8：设球体V 具有均匀的密度ρ, 求V 对球外一点A(质量为1)的引力(引力系数为k).解：设球体为x 2+y 2+z 2≤R 2，球外一点坐标为(0,0,a) (R<a). 则F x =F y =0,F z =k ⎰⎰⎰-++-V dV a z y x a z ρ2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-++--zD R R a z y x dxdydz a z 2/3222])([)(, 其中D z ={(x,y)|x2+y2≤R 2-z 2}. 运用极坐标计算得： F z =k ρdr a z r rd dz a z z R RR ⎰⎰⎰---+-2202/32220])([)(πθ =2πk ρ⎰-+----R R dz aaz R a z )21(22=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-⎰-R R dz a az R R a a az R a R 22222222212= 2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----+---⎰⎰--RRRRaz d a az R a R a az d a az R a R )2(214)2(241222222222=2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-----RRRRa az R a R a a az R a R 22222322222)2(612 =2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++----222233)(6)()(2a R a R a a R R a R=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-232332a R R a R R R =2334a R k ρπ-. (注：z ≤R<a)习题1、求曲面az=xy 包含在圆柱x 2+y 2=a 2内那部分的面积.解：∵z x =a y, z y =ax , D={(r,θ)|0≤r ≤a, 0≤θ≤2π}, ∴曲面面积为： S=⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ddxdy a x a y 221=⎰⎰+a dr a r r d 022201πθ=)122(322-a π.2、求锥面z=22y x +被柱面z 2=2x 所截部分的曲面面积. 解：且面在xy 平面的投影区域为：D={(r,θ)|0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, 且z x =22yx x +, z y =22yx y +, ∴曲面面积为：S=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Ddxdy y x y y x x 2222221=⎰⎰10202rdr d πθ=π2.3、求下列均匀密度的平面薄板质心：(1)半椭圆2222by a x +≤1, y ≥0；(2)高为h, 底分别为a 和b 的等腰梯形.解：(1)设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.y =⎰⎰⎰⎰DDd yd σρσρ=⎰⎰⎰⎰DDd yd σσ=⎰⎰Dyd ab σπ2=dr r ab d ab ⎰⎰πθθπ122sin 2=π34b . (2)不妨设a 为下底，以下底中点为原点建立直角坐标系，则 D={(x,y)|l 1(y)≤x ≤l 2(y),0≤y ≤h}.设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.又等腰三角形的面积为2)(hb a +, ∴y =⎰⎰+D yd h b a σ)(2=⎰⎰+h y l y l dx ydy h b a 0)()(21)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+--+h ydy a h y h a b a h y h b a h b a 02)(22)(2)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+h ydy a h y h b a h b a 0)()(2=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+h dy by y h b a h b a 02)(2=h b a a b )(32++. 其中：l 1(y): x=2)(2a h y h a b ---; l 2(y): x=2)(2ah y h b a +--.4、求下列均匀密度物体的质心.(1)z ≤1-x 2-y 2, z ≥0；(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围的四面体. 解：(1)设质心为(x ,y ,z ), 由对称性x =y =0, 应用柱面坐标变换有,z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdV dV z ρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--221020110201r r dz r d r d zdz r d r d ππθθ=dr r r dr r r )1()1(212102210--⎰⎰=31. (2)设质心为(x ,y ,z ),∵V=⎰⎰⎰VdV =121， ∴x =⎰⎰⎰--+21001211x y x dz dy xdx V =⎰⎰---2101)21(12x dy y x xdx =⎰-1024)1(12dx x x =41. y =⎰⎰⎰--+yy x dz dx ydy V 210122101=⎰⎰---ydx x y ydy 210210)21(12=⎰-21022)21(12dy y y =81. z =⎰⎰⎰--+yy x zdz dx dy V21012211=⎰⎰--+-ydx y x dy 2102210)12(6=⎰--21033)21(6dy y =41-.5、求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量： (1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量；(2)边长为a 和b, 且夹角为φ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.解：(1)设切线为x=R, 密度为ρ.则对任一点P(x,y)∈D, P 到x=R 的距离为R-x ，从而转动惯量 J=ρ⎰⎰-Dd x R σ2)(=ρ⎰⎰+-Rdr r Rr R r d 022220)cos cos 2(θθθπ=ρ⎰+-πθθθ2024)cos 41cos 3221(d R= R 4. (2)设密度为ρ. 以底边为x 轴，左端点为原点，则转动惯量 J=⎰⎰Dd y σ2=ρ⎰⎰+by y a dx dy y ϕϕϕcot cot sin 02=3sin 33ϕρb a .6、计算下列引力：(1)均匀薄片x 2+y 2≤R 2, z=0对于轴上一点(0,0,c) (c>0)处的单位质量的引力；(2)均匀柱体x 2+y 2≤a 2, 0≤z ≤h 对于点P(0,0,c) (c>h)处的单位质量的引力；(3)均匀密度的正圆锥体(高h, 底半径R)对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.解：(1)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρ⎰⎰++Ddxdy c y x c 2/3222)(=kc ρ⎰⎰+R dr c r r d 02/32220)(πθ=2k .∴F={0,0,2k }.(2)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0. F z =k ρ⎰⎰⎰-++-VdV c z y x c z 2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-+-a h dr c z r rd dz c z 02/322200])([)(πθ=-2k πρdz c z a c z h⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+022)(1=2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(. ∴F={0,0,2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(}.(3)以圆锥体的顶点为原点, 对称轴为z 轴建立xyz 三维直角坐标系. 根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρm ⎰⎰⎰++V dV z y x z 2/3222)(=k ρm ⎰⎰⎰+R hrR dz z r zrdr d 02/322020)(πθ=2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22221R h R h R . ∴F={0,0, 2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22221R h R h R }.7、求曲面⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=ψϕψϕψsin sin )cos (cos )cos (a z a b y a b x (0≤φ≤2π, 0≤ψ≤2π) 的面积，其中常数a,b 满足0≤a ≤b.解：∵x φ=-(b+acos ψ)sin φ, y φ=(b+acos ψ)cos φ, z φ=0; x ψ=-asin ψcos φ, y ψ=-asin ψsin φ, z ψ=acos ψ.∴E=222ϕϕϕz y x ++=(b+acos ψ)2, G=222ψψψz y x ++=a 2, F=ψϕψϕψϕz z y y x x ++=0. ∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σψd a b a D ⎰⎰'+)cos (=⎰⎰+ππψψϕ2020)cos (d a b d a =4ab π2.8、求螺旋面⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϕb z r y r x sin cos (0≤r ≤a, 0≤φ≤2π) 的面积.解：∵x r =cos φ, y r =sin φ, z r =0; x φ=-rsin φ, y φ=rcos φ, z φ=b.∴E=222r r r z y x ++=1, G=222ϕϕϕz y x ++=r 2+b 2, F=ϕϕϕz z y y x x r r r ++=0.∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σd b r D ⎰⎰'+22=⎰⎰+πϕ20022d dr b r a=π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b b a a b b a a 22222ln .9、求边长为a 密度均匀的正方体关于其任一棱边的转动变量. 解：以正方体的一个顶点为原点，顶点上方的棱为z 轴，使正方体处于第一卦限中，则正方体对z 轴上的棱的转动变量为： J z =ρ⎰⎰⎰+V dV y x )(22=ρ⎰⎰⎰+aaadz y x dy dx 00220)(=a ρ⎰⎰+aady y x dx 0220)(=a ρ⎰+adx a ax 032)31(=32a 5ρ. (ρ为正方体密度)。

《重积分计算方法》课件

计算引力场中的力
01
在物理学中，重积分常用于计算物体在引力场中所受的力。例
如，地球上物体的重力就是地球质量的重积分结果。
弹性力学中的应力分析
02
在弹性力学中，重积分用于分析物体在受力后内部的应力分布
情况。
电场和磁场中的高斯定理和安培环路定理
03
重积分在电场和磁场理论中有重要应用，如高斯定理和安培环
路定理的证明。
重积分计算方法
目录
• 重积分概述 • 重积分的基本计算方法 • 重积分的换元法 • 重积分的分部积分法 • 重积分的近似计算方法 • 重积分的应用实例
01
重积分概述
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的函数，$D$ 是二维平面上的一区域，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的重积分表示为 $int_{D} f(x, y) dsigma$。
∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫(x^2+y^2)dy ∫dx=π/2*∫(x^2+y^2)dy，其中D是积分区域。
∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz=∫(x^2 +y^2+z^2)dz∫(x^2+y^2)dy∫dx= π^2/6*∫(x^2+y^2+z^2)dz，其中 Ω是积分区域。
体积
当 $f(x, y) = z$ 时，$int_{D} dsigma$ 表示以 $D$ 为底面，高为 $f(x, y)$ 的立体的体积。
02
重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过将积分区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形进行积分，最后求和得到结果。

《重积分的运算》课件

重积分的运算
汇报人：PPT
单击输入目录标题重积分的概念重积分的运算规则重积分的应用实例重积分的注意事项
添加章节标题
重积分的概念
定义与性质
重积分的定义：对多元函数在某一区域内的积分
重积分的性质：线性性、可加性、绝对收敛性等
重积分的应用：计算体积、面积、质量等
重积分的计算方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法等
合理选择积分区域：选择合适的积分区域可以简化计算过程利用对称性：利用积分区域的对称性可以简化计算过程利用积分变换：利用积分变换可以简化计算过程利用数值积分：利用数值积分可以快速得到近似解，提高计算效率
注意事项总结
确定积分区域：选择合适的积分区域，避免积分区域过大或过小
确定积分变量：选择合适的积分变量，避免积分变量过多或过少
确定积分顺序：选择合适的积分顺序，避免积分顺序错误
确定积分方法：选择合适的积分方法，避免积分方法不当
确定积分结果：确定积分结果是否正确，避免积分结果错误
注意积分技巧：注意积分技巧的使用，提高积分效率
THANK YOU
汇报人：PPT
避免计算错误的方法
仔细阅读题目，理解题意
正确使用积分符号和积分区
间
避免积分区间错误，如积分区间的端点和
区间内的值
避免积分变量错误，如积分变量的取值范围和积分变量
的值
避免积分函数错误，如积分函数的定义域和积分函数的
值
避免积分计算错误，如积分计算的步骤和积分计算的结
果
提高计算效率的技巧
几何意义
重积分可以看作是积分的推广，将积分从一维扩展到二维或三维
重积分是积分的一种，用于计算曲面或曲面上的曲线的体积或面积

重积分的计算方法与例题

重积分的计算方法：重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（重积分）和一个二重积分。

从顺序看：Z2如果先做定积分f （x,y,z ）dz ，再做二重积分F （x,y ）d ，就是“投影法”,Z 1D也即“先一后二”。

步骤为：找及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点（x,y ） “穿线”确定 Z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域 D 上的二重积分，完成 “ 后二 ” 这一步。

Z2f(x, y,Z)dv [ f(x,y,Z)dZ]dD Z 1c2如果先做二重积分 f （x, y, Z ）d 再做定积分F ⑵dZ ，就是“截面法”，也D Zc 1即“先二后一”。

步骤为：确定位于平面Z G 与Z c 2之间，即Z [c 1,c 2]，过Z 作平行于xoy 面的平面截，截面D z 。

区域D z 的边界曲面都是Z 的函数。

计算区域D z 上的二重积分 f （x,y,z ）d ，完成了“先二”这一步（二重积分）；DZ为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy 面，得投影区域D （平面）（1） D 是X 型或丫型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）进而计算定积分c2F （Z ）dz ，完成“后一”这步。

c2f (x, y,Z)dv [ f (x,y,Z)d ]dZc 1 D Z当被积函数 f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且D z 的面积（Z ）容易求出时，“截面法” 尤为方便。

，且被积函数形如f （X 2 y 2）,fd ）时，可选择X面坐标系计算或不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法小结:1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：D z 是在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。

重积分的应用解析

x2 y2 R2及x2 z2 R2 所围立体的表面积.
解因第一卦限部分的表面积由两个相同部
分构成，故只需求出一个部分的表面积，再乘16
即得所求的表面积.
z
z R2 x2
z x , z 0
x
R2 x2 y
o
y
积分区域 D :
x2 y2 R2, x 0, y 0
x
A 16
xi
2
,
i 1
i 1
Io
n
mi
(
xi2
yi2 ).
i 1
设有一薄片，占有xoy面上的闭区域 D,在点 ( x, y) 处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在 D
* 上连续，求薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量。
薄片对于x 轴的转动惯量
I x y2( x, y)d ,
D
薄片对于2 d 0103
14 15
1
36r 2 1010
rdr
104
54
5044231,
面积比
S高 S低
09333.
练习1 求半径为 a 的球的表面积。练习2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为 h 36000km, 运行的角速度与地球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径 R 6400 km )。
02
d
02
d
02a
cos
r
6
sin3
dr
256a7
7
02
(cos7
cos9
)d cos
32a7 .
35
练习6 求密度为的均匀球体对于过球心的一

数学分析21重积分总练习题

第二十一章重积分总练习题1、求下列函数在所指定区域D 内的平均值： (1)f(x,y)=sin 2xcos 2y, D=[0,π]×[0,π]；(2)f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2, D={(x,y,z)|x 2+y 2+z 2≤x+y+z}. 解：(1)∵D 的面积为：π2, ∴平均值为：⎰⎰πππ02022cos sin 1ydy dx x =41. (2)由x 2+y 2+z 2=x+y+z 得(x-21)2+(y-21)2+(z-21)2=43, ∴V D =34π323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23π. 令x=21+rsin φcos θ, y=21+rsin φsin θ, z=21+rcos φ, 则平均值为：⎰⎰⎰++Ddxdydz z y x )(32222π=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++ππϕϕθϕθϕϕθπ02302220sin )cos sin sin cos (sin 4332dr r r r d d =⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++ππϕθϕθϕϕϕθπ023043220)cos sin sin cos (sin 43sin 32dr r r r d d =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ππϕϕϕθθϕϕθπ0220)cos sin )sin (cos sin 649sin 203332d d =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πθθθππ20)sin (cos 1289103332d =53332ππ⋅=56.2、计算下列积分：(1)⎰⎰≤≤≤≤+2020][y x d y x σ；(2)⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y x σ. 解：(1)如图，被积函数等价于[x+y]= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈4321),(3),(2),(1),(0D y x ，D y x ，D y x ，D y x ，,⎰⎰≤≤≤≤+2020][y x d y x σ=⎰⎰10D d σ+⎰⎰21D d σ+⎰⎰32D d σ+⎰⎰43D d σ=23+3+23=6. (2)如图被积函数为sgn(x 2-y 2+2)=⎩⎨⎧∈-∈321),(1),(1D D y x ，D y x ， ,⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y xσ=⎰⎰1D dxdy -⎰⎰2D dxdy -⎰⎰3D dxdy . 其中⎰⎰2D dxdy =⎰⎰-+-224211x x dy dx =⎰-+--1122)24(dx x x =32π-2ln 231+=⎰⎰3D dxdy . 又⎰⎰3D dxdy =4π-⎰⎰2D dxdy -⎰⎰3D dxdy ,∴⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y x σ=4π-4 ⎝⎛32π-2ln ⎪⎪⎭⎫+231=34π+4ln )32(+.3、应用格林公式计算曲线积分：⎰-L ydx x dy xy 22, 其中 L 为上半圆周x 2+y 2=a 2从(a,0)到(-a,0)的一段. 解：由y ∂∂(-x 2y)=-x 2, x∂∂xy 2=y 2, 得 ⎰-Lydx x dy xy22=⎰⎰+Dd x y σ)(22=⎰⎰adr r d 030πθ=44a π.4、求⎰⎰≤+→222),(1lim2ρρσπρy x d y x f , 其中f(x,y)为连续函数.解：由中值定理知，存在(ξ,η), 使得⎰⎰≤+222),(ρσy x d y x f =f(ξ,η)πρ2, 其中(ξ,η)∈D={(x,y)|x 2+y 2≤ρ2}, ∴⎰⎰≤+→222),(1lim 2ρρσπρy x d y x f =22),(lim πρπρηξρf →=),(lim 0ηξρf →. 又f(x,y)为连续函数，∴⎰⎰≤+→222),(1lim2ρρσπρy x d y x f=f(0,0).5、求F ’(t)，设(1)F(t)=⎰⎰≤≤≤≤ty t x ytxd e 1.01.02σ,(t>0)；(2)F(t)=⎰⎰⎰≤++++2222)(222t z y x dV z y xf ,其中f(u)为可微函数；(3)F(t)=⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤tz t y t x dV xyz f 000)(,其中f(u)为可微函数.解：(1)令x=tu, y=tv, 则|J|=t 2, F(t)=t 2⎰⎰112dv e du v u.∴F ’(t)=2t ⎰⎰10102dv e du v u=t2F(t).(2)令x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, z=rcos φ, 则F(t)=r d r f r d d t ⎰⎰⎰022020)(sin ϕϕθππ=4πr d r f r t⎰022)(, ∴F ’(t)=4πt 2f(t 2).(3)令x=tu, y=tv, z=tw, 则|J|=t 3,F(t)=⎰⎰⎰10331010)(dw uvw t f t dv du =⎰⎰⎰10310103)(dw uvw t f dv du t , ∴F ’(t)=⎰⎰⎰10310102)(3dw uvw t f dv du t +⎰⎰⎰'10310105)(3dw uvw t f uvw dv du t =)(3t F t+⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤'t z t y tx dV xyz f xyz t 000)(3.6、设f(t)=dx e t x ⎰-221, 求dt t tf ⎰10)(. 解：令dF(t)= 2x e-dx, 则f(t)=dx e t x ⎰-221=F(t 2)-F(1), f ’(t)=2tF ’(t 2)=2t 4t e -.dt t tf ⎰1)(=210)(21dt t f ⎰=21t 2f(t)|10-)(21102t df t ⎰=21f(1) -dt e t t ⎰-1034=-410441dt e t ⎰-=10441te -=41(e -1-1).7、证明：⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(, 其中V ：222222cz b y a x ++≤1；Ω：x 2+y 2+z 2≤1.证法一：若令x=arsin φcos θ, y=brsin φsin θ, z=crcos φ. 则⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(=r d cr br ar f abcr d d ⎰⎰⎰12020)cos ,sin sin ,cos sin (sin ϕθϕθϕϕϕθππ；若令x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, r=rcos φ. 则⎰⎰⎰ΩΩd cz by ax f ),,(=r d cr br ar f r d d ⎰⎰⎰12020)cos ,sin sin ,cos sin (sin ϕθϕθϕϕϕθππ；∴⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(.证法二：令x=au, y=bv, z=cw, 则|J|=abc,⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(= abc ⎰⎰⎰≤++1222),,(w v u dudvdw cw bv au f = abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(.8、试写出单位立方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.解：在柱面坐标系下，用z=c 的平面截立方体，截口为正方形，∴单位立方体可表示为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤40cos 1010πθθr z 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤24sin 1010πθπθr z ， ⎰⎰⎰11010),,(dzz y x f dy dx=⎰⎰⎰θπθθθcos 14010),sin ,cos (dr z r r rf d dz +⎰⎰⎰θππθθθsin 10241),sin ,cos (dr z r r rf d dz .在球面坐标系下，用θ=c 的平面截立方体，截口为长方形，∴单位立方体可表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤ϕθϕπθcos 10cos tan 040r arcc 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤θϕπϕθπθcos sin 102cos tan 40r arcc 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤ϕθϕπθπcos 10sin tan 024r arcc 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤θϕπϕθπθπsin sin 102sin tan 24r arcc ， ⎰⎰⎰1101),,(dzz y x f dy dx=⎰⎰⎰ϕπθϕθcos 140cos tan 0),,(dr w v u kf d d arcc +⎰⎰⎰θϕππθϕθcos sin 10402cos tan ),,(drw v u kf d d arcc+⎰⎰⎰ϕππθϕθcos 1024cos tan 0),,(dr w v u kf d d arcc +⎰⎰⎰θϕπππθϕθsin sin 10242cos tan ),,(dr w v u kf d d arcc ,其中k=r 2sin φ, u=rsin φcos θ, v=rsin φsin θ, w=rcos φ.9、证明：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积, 则2)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰b a dx x g x f ≤⎰⎰⋅b a b a dx x g dx x f )()(22.证：构造函数φ(t)=t2⎰badx x f )(2+2t ⎰b a dx x g x f )()(+⎰badxx g )(2=[⎰ba dx x f )(t 22+2tf(x)g(x)+]dx x g )(2=[]⎰+ba dx x g x f 2)()(t ≥0.∴函数φ(t)的图象与x 轴至多有一个交点，即△=2)()(2⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a dx x g x f -4⎰⎰⋅ba b a dx x g dx x f )()(22≤0.∴2)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x g x f ≤⎰⎰⋅b a b a dx x g dx x f )()(22.注：当且仅当f(x)与g(x)线性相关时等号成立.10、设f(x,y)在[0,π]×[0,π]上连续，且恒取正值，试求：⎰⎰≤≤≤≤∞→ππσy x nn d y x f x00),(sin lim.解：∵f(x,y)在[0,π]×[0,π]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，即 0<m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈[0,π]×[0,π]. 从而⎰πdy m n≤⎰π),(dy y x f n≤⎰πdy M n→π (n →∞).∴⎰⎰≤≤≤≤∞→ππσy x n n d y x f x 00),(sin lim =⎰⎰∞→ππ00),(sin lim dy y x f xdx nn =2π.11、求由椭圆(a 1x+b 1y+c 1)2+(a 2x+b 2y+c 2)2=1所界面积, a 1b 2-a 2b 1≠0. 解1：令x=12212112)sin ()cos (b a b a c r b c r b ----θθ,y=12211221)cos ()sin (b a b a c r a c r a ----θθ,则J=122121122121122112122112sin cos cos sin cos sin sin cos b a b a r a r a b a b a a a b a b a r b r b b a b a b b -+-------θθθθθθθθ=1221b a b a r -.∴⎰⎰Dd σ=⎰⎰-⋅1122120dr b a b a rd πθ=1221b a b a -π. 解2：令u= a 1x+b 1y+c 1, v=a 2x+b 2y+c 2, 则),(),(v u y x ∂∂=),(),(/1y x v u ∂∂=12211b a b a -. ∴S=⎰⎰Dd σ=⎰⎰≤+-1122122v u b a b a dudv=1221b a b a -π.12、设△=333222111c b a c b a c b a ≠0, 求由平面a 1x+b 1y+c 1z=±h 1, a 2x+b 2y+c 2z=±h 2, a 3x+b 3y+c 3z=±h 3,所界平行六面体的体积.解：令u=a 1x+b 1y+c 1z, v=a 2x+b 2y+c 2z, w=a 3x+b 3y+c 3z, 则J=∆1. ∴V=⎰⎰⎰Ωdxdydz =⎰⎰⎰Ω∆dudvdw ||1=⎰⎰⎰---∆332211||1h h h h h h dw dv du =||8∆h 1h 2h 3.13、设有一质量分布不均匀的半圆弧x=rcos θ, y=rsin θ (0≤θ≤π), 其线密度为ρ=a θ(a 为常数), 求它对原点(0,0)处质量为m 的质点的引力. 解：r=(x,y), dF=k r r r ds m ⋅2ρ=km ⎪⎭⎫ ⎝⎛33,r y r x ρρds, (k 为引力常数) ∴dF x =3r x km ρds, dF y =3rykm ρds. F x =ds r x km L ⎰3ρ=θθθπd r ra km ⎰022cos =r amk 2-； F y =ds ry km L ⎰3ρ=θθθπd r a km ⎰0sin =r amkπ； ∴F=(F x ,F y )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r amk r amk π,2, 且|F|=24π+r amk .14、求螺旋线x=acost, y=asint, z=bt (0≤t ≤2π)对z 轴的转动惯量，设曲线的密度为1.解：ds=)()()(222t z t y t x '+'+'dt=22b a +dt. J z =ds y x L ⎰+)(22=dt b a a 22202+⎰π=2πa 222b a +.15、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，质量分布均匀. 解：由ds=)()(22t y t x '+'dt=t a t a 2222sin )cos 1(+-dt=2sin2ta dt ，得 ⎰L ds =2a dt t ⎰π02sin =4a;⎰L xds =2a 2dt t t t ⎰-π02sin )sin (=316a 2;∴⎰⎰=L L ds xds x /=34a .又⎰L yds =2a2dt t t ⎰-π2sin )cos 1(=316a 2;∴⎰⎰=L L ds yds y /=34a. ∴摆线质心的为⎪⎭⎫⎝⎛34,34a a .16、设u(x,y), v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数，证明：(1)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v σ2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D d y v y u x v x u σ+ds n uv L ∂∂⎰； (2)⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v y v x v u σ22222222=ds n u v n v u L ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂，其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而n u ∂∂=),cos(∧∂∂x n x u +),sin(∧∂∂x n y u , n v ∂∂=),cos(∧∂∂x n xv+),sin(∧∂∂x n y v是u(x,y), v(x,y)沿曲线L 的外法线n 的方向导数. 证：在格林公式中，以P 代替Q ，-Q 代替P 得⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y Q x P =⎰-L Qdx Pdy =⎰∧∧+L ds x n Q x n P )],sin(),cos([. a 式(1)令P=vxu∂∂, Q=v y u ∂∂, 则由a 式有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y v y u x v x u y u x u v 2222=⎰∧∧∂∂+∂∂L ds x n y uv x n x u v )],sin(),cos([,即⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y u x u v 2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D dxdy y v y u x v x u +⎰∂∂L ds n u v . b 式 (2)令P=uxu∂∂, Q=u y u ∂∂, 则由a 式有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y v y u x v x u y u x u u 2222=⎰∧∧∂∂+∂∂L ds x n y uu x n x u u )],sin(),cos([,即⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y u x u u 2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D dxdy y v y u x v x u +⎰∂∂L ds n u u . c 式由c 式-b 式得：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v y v x v u σ22222222=ds n u v n vu L ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂.17、求指数λ, 使得曲线积分k=dy r yx dx r y x y x y x λλ22),(),(0-⎰与路线无关(r 2=x 2+y 2), 并求k.解：设P=λr yx , Q=λr y x 22-, 则y P ∂∂=])([2222x y x y x r λλ++--, x Q ∂∂=-])(2[232222λλy x y x y x r ++-，由y P ∂∂=x Q ∂∂得 x y x yx λ++-)(222=λ23222)(2y x y x y x ++, 得λ=-1. 这时k 与路径无关，且P=22yx y x +, Q=2222y x y x +-. d(y y x 22+)=22yx y x+dx-2222y x y x +dy. ∴k=dy y x y xdx yx y xy x y x 2222),(),(220+-+⎰=()),(,2200y x y x y yx +=yy x 22++C.。

重积分的计算及应用

I x2dxdy xyex2y2dxdy
D
D
y
1 2D (x2y2)dxdy0
D
1 2d 13d
20
0
4
o 1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 yx,将D 分为 D1,D2,
利用对称性 , 得
I x2dxdy xyex2y2dxdy
D (x2y2)dxdy4
(x2y2)dxdy
D 1
D(xy)dxdy0
例8. 计算二重积分 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D (1) D为圆域 x2y21;
(2) D由直线 y x ,y 1 ,x 1围成 .
解: (1) 利用对称性.
y
( 1 )f(x , y ) f(x ,y )则 ,
D1
Df(x,y)d2D 1f(x,y)d oD x
( 2 )f( x , y ) f( x ,y )则,Df(x,y)d0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果.
如 ,D 1为D 圆 :x2y 域 2 1 在第一象限部分, 则有
1 2 D ( s x 2 i c n x 2 ) o d D s ( s y 2 i c n y 2 ) o d
D (sixn 2cox2s)d 2D six n2 (4)d
0 x 2 1 , 1 2 sx i2 n 4 ) 1 ( ,又 D 的面积为 1 ,
y
D (xy2)dxdy
1
yx
作辅助线 yx将D 分成
D1
D1, D2两部分
D2 o 1x
2D 2(xy)dxdy2Ddxdy

数学分析21.8反常二重积分（含习题及参考答案）

数学分析21.8反常⼆重积分（含习题及参考答案）第⼆⼗⼀章重积分 8 反常⼆重积分⼀、⽆界区域上的⼆重积分：定义1：设f(x,y)为定义在⽆界区域D 上的⼆元函数. 若对于平⾯上任⼀包围原点的光滑封闭曲线γ, f(x,y)在曲线γ所围的有界区域E γ与D 的交集 D ∩E γ=D γ上恒可积. 令d γ=min{22y x +|(x,y)∈γ}. 若极限σγγd y x f Dd ??∞→),(lim存在且有限，且与γ的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛，并记σd y x f D),(=σγγd y x f Dd ??∞→),(lim，否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分发散，或简称σd y x f D),(发散.定理21.17：设在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, γ1, γ2,…, γn ,…为⼀列包围原点的光滑封闭曲线序列，满⾜：(1)d n =inf{22y x +|(x,y)∈γn }→+∞, (n →∞)；(2)I=σd y x f nD n),(sup <+∞, 其中D n 为γn 所围的有界区域E n 与D 的交集，则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛，且有σd y x f D),(=I.证：设γ’为任何包围原点的光滑封闭曲线，这曲线所围的区域记为E ’, 并记D ’=E ’∩D. ∵∞→n lim d n =+∞, ∴存在n, 使得D ’?D n ?D. 由f(x,y)≥0,有σd y x f D ??'),(≤σd y x f n),(sup , ?ε>0, ?n 0, 使得σd y x f nD ??0),(>I-ε. 对充分⼤的d ’, 区域D ’⼜可包含D 0n, 使得σd y x f D ??'),(>I-ε. 由I-ε<σd y x f D ??'),(≤I, 知f(x,y)在D 上的反常⼆重积分存在，且σd y x f D),(=I.定理21.18：若在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, 则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛的充要条件是：在D 的任何有界⼦区域上f(x,y)可积，且积分值有上界.例1：证明反常⼆重积分σd eDy x ??+-)(22收敛，其中D 为第⼀象限部分，即D=[0,+∞)×[0,+∞).证：设D R 是以原点为圆⼼, 半径为R 的圆与D 的交集，即该圆第⼀象限部分. ∵) (22y x e +->0，∴⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22关于R 递增.⼜σd eRD y x ??+-)(22=dr r e d Rr ??-0202πθ=)1(4D y x R ??+-+∞→)(22lim =)1(4lim 2R R e -+∞→-π=4π. 即对D 的任何有界⼦区域D ’, 总存在⾜够⼤的R ，使得D ’?D R , ∴σd e D y x ??' +-)(22≤σd e RD y x ??+-)(22≤4π.由定理21.18知，反常⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22收敛，⼜由定理21.17有，σd e Dy x ??+-)(22=4π.注：由例1结论，可推出反常积分?+∞-02dx e x 的值(常⽤于概率论). 考察S a =[0,a]×[0,a]上的积分σd eaS y x ??+-)(22=??--ay ax dy edx e22x dx e .由D a ?S a ?aD2(如图)知σd eaD y x ??+-)(22≤σd eaS y x ??+-)(22=202??? ???-ax dx e ≤σd e aDy x ??+-222)(. 令a →+∞, 则得202lim ??? ???-+∞→a x a dx e =σd e D y x ??+-)(22=4π, ∴?+∞-02dx e x =2π.例2：证明：若p>0, q>0, 则B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.证：令x=u 2, 则dx=2udu, Г(p)=?+∞--01dx e x x p =2?+∞--0122du e u u p , 从⽽ Г(p)Г(q)=4?+∞--+∞--?0ydx exy q x p =4??----+∞→?Ry q Rx p R dy e y dx ex1201222lim.令D R =[0,R]×[0,R], 由⼆重积分化为累次积分计算公式有σd eyxy x D q p R)(121222+---??=??----?Ry q Rx p dy e y dx ex1201222.∴Г(p)Г(q)= 4σd e y x y x D q p R R)(121222lim +---+∞2+---??, 其中D 为平⾯上第⼀象限部分. 记D r ={(x,y)|x 2+y 2≤r 2, x ≥0, y ≥0}. 于是有 Г(p)Г(q)=4σd e y x y x Dq p )(121222+---??=4σd e y x y x D q p r r)(121222lim +---+∞→??,应⽤极坐标变换，有Г(p)Г(q)=4??----++∞→rr q p q p r rdr e r d 012122)(2202sin cos lim θθθπ=4??--+--+∞→rr q p q p r dr e r d 01)(22012122sin cos lim πθθθ=2?+Γ?--201212)(sin cos πθθθq p d q p =B(p,q)Г(p+q). ∴B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.定理21.19：函数f(x,y)在⽆界区域D 上的反常⼆重积分收敛的充要条件是|f(x,y)|在D 上的反常⼆重积分收敛.证：[只证充分性]设σd y x f D|),(|收敛，其值为A. 作辅助函数f +(x,y)=2),(|),(|y x f y x f +, f -(x,y)=2),(|),(|y x f y x f -, 则0≤f +(x,y)≤|f(x,y)|, 0≤f -(x,y)≤|f(x,y)|.∴在D 的任何有界⼦区域σ上, 恒有σd y x f D+),(≤σd y x f D|),(|=A,σd y x f D即f +(x,y)与f -(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. ⼜f(x,y)=f +(x,y)-f -(x,y), ∴f(x,y)在D 上的反常⼆重积分也收敛.定理21.20：(柯西判别法)设f(x,y)在⽆界区域D 的任何有界⼦区域上⼆重积分存在, r 为D 内的点(x,y)到原点的距离r=22y x +. (1)若当r ⾜够⼤时, |f(x,y)|≤p rc, 其中常数c>0, 则当p>2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛；(2)若f(x,y)在D 内满⾜|f(x,y)|≥p rc,其中D 是含有顶点为原点的⽆限扇形区域, 则当p ≤2时，反常⼆重积分σd y x f D),(发散.⼆、⽆界函数的⼆重积分定义2：设P 为有界区域D 的⼀个聚点，f(x,y)在D 上除点P 外皆有定义，且在P 的任何空⼼邻域内⽆界，△为D 中任何含有P 的⼩区域，f(x,y)在D-△上可积. ⼜设d 表⽰△的直径，即 d=sup{221221)()(y y x x -+-|(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈△}. 若极限-→D d d y x f σ),(lim存在且有限，且与△的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. 记作-D d y x f σ),(=-→D d d y x f σ),(lim 0,否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分??Dd y x f σ),(发散.定理21.21：(柯西判别法)设f(x,y)在有界区域D 上除点P(x 0,y 0)外处处有定义, 点P(x 0,y 0)为瑕点，则： (1)若在点P 附近有|f(x,y)|≤a rc, 其中c 为常数, r=2020)()(y y x x -+-, 则当a<2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛； (2)若在点P 附近有|f(x,y)|≥a rc, 且D 含有以点P 为顶点的⾓形区域, 则当a ≥2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛.习题1、试讨论下列⽆界区域上⼆重积分的收敛性： (1)??≥++1σ?d y x y x y p≤≤++1022)1(),(, (0解：(1)令x=rcos θ, y=rsin θ, 则≥++12222)(y x m y x d σ=??+∞12201rdr r d m πθ=??+-+∞→d m d dr r d 11220lim πθ=-2π?+-+∞→d m d dr r 11 2lim . ∵?+-+∞→dm d dr r 112lim 当2m-1>1时, 收敛；当2m-1≤1时, 发散；∴≥++12222)(y x m y x d σ当m>1时, 收敛；当m ≤1时, 发散. (2)由区域的对称性和被积函数关于x,y 的偶性得原积分=4??+∞+∞++001111dy ydx x q p . ∵?+∞+011dx x p当p>1时, 收敛；当p ≤1时, 发散. ∴原积分当p>1, q>1时收敛，其它情况发散.(3)∵0y x y x )1(),(22++?≤p x M)1(2+,∴当p>21时, 由σd x My p ??≤≤+102)1(收敛，得原积分收敛；当p<21时, 由σd x my p ??≤≤+1∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x )cos(22)(22. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则+∞∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x)cos(22)(22=??+∞-0220cos 2dr r re d r πθ=π?-+∞→du d udu e 0cos lim=2π.3、判别下列积分的收敛性： (1)≤++12222)(y x m y x d σ；(2)??≤+--12222)1(y x m y x d σ. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则(1)??≤++12222)(y x m y x d σ=??102201rdr r d m πθ=2π?+-→1120lim d m d dr r . ∵?+-→1 120lim dm d dr r 当2m-1<1时, 收敛；当2m-1≥1时, 发散；∴??≤++1 2222)(y x m y x d σ2222)1(y x m y x d σ =??-10220)1(rdr r d d m σθπ=π?-→-d m d du u 01)1(lim . ∴当m<1时, 由?-→-dmd du u 01)1(lim 收敛知，原积分收敛；当m ≥1时, 由?-→-dm d du u 01)1(lim 发散知，原积分发散.。

《重积分的应用举例》PPT课件

§7.4 重积分的应用举例
1. 重积分的几何应用
计算面积与体积
n
S
1d
D
lim 0 i1
i
n
V
1dV
lim 0
i 1
Vi
例1 求两曲面 z x2 3y2 与 z 8 x2 y2 所围区域的体积.
解所求体积为 V dv, 将往oxy面上投影
z x2 3y2
z
(称为面积元素)
z
n
SP
o
x
d y
nz
dS P d
故有曲面面积公式
S D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
即
S
1 ( z )2 ( z )2 d xd y
D
x y
若光滑曲面方程为
x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
若光滑曲面方程为
面积.
解由已知条件得
S EG F 2 drd r 2 h2 drd
D
D
2
a
d
r 2 h2 dr [a
a2 h2 h2 ln( a
0
0
a2 h2 )].
h
2. 重积分的物理应用
(1) 质
量平面薄片的质量 M x, yd ,
D
x, y是薄片 D 在 x, y处的面密度.
2r.
V 2 (4 4r2 cos2 4r2 sin2 ) 2 2rdrd
D
16 2
2
d
1 4r(1 r 2 )dr 8
2.
0
0
曲面的面积
设曲面S的方程zf(x, y)在区域D上具有连续的一阶偏导数, 则曲面S的面积为

数学分析：21-8重积分的计算及应用典型例题

《重积分应用举例》PPT课件

重积分中的典型例题

重积分的 计算 及应用

重积分典型例题

《重积分计算习题》课件

《重积分的计算法》课件

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)

数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)

重积分的应用素材

数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)

《重积分计算方法》课件

《重积分的运算》课件

重积分的计算方法与例题

重积分的应用解析

数学分析21重积分总练习题

重积分的计算及应用

数学分析21.8反常二重积分（含习题及参考答案）

《重积分的应用举例》PPT课件

重积分的计算及应用