东南大学 结构力学第八章 影响线

即：选定坐标系；把Fp=1放在任一位置（x表示位置）；把x, Fp=
1看作是“固定的”；利用静力求解反力、内力；做影响线（标 出“+”“－”和大小）。
外伸梁的影响线
FR A lx
FR A l
FR B （ l1 x l l2）
FRA的影响线
ab l
bl1 l
b
al2 l
MC的影响线
l
l1
2. 在结点荷载作用下，任何影响线在相邻两结点之间为一直线。
作间接载荷下影响线方法
① 先将单位移动载荷视为直接作用在主梁上，作出各量的 影响线；
② 将所有结点投影到上述影响线上，然后将相邻投影点用 直线相连，即可得到间接载荷作用下主梁的影响线。
补充例题 作图示梁在结点荷载作用下的影响线
FP=1
x
1m
• 概述 • 下承载时
1.支反力影响线（与简支梁的相同） 2.上弦杆轴力影响线 3.下弦杆轴力影响线 4.斜杆轴力竖向分力影响线 5.竖杆轴力影响线 • 上承载时 1.支反力影响线（与简支梁的相同） 2.上弦杆轴力影响线（与下承载时相同） 3.下弦杆轴力影响线（与下承载时相同） 4.斜杆轴力竖向分力影响线（与下承载时相同） 5.竖杆轴力影响线
3) 荷载位置：
•求影响线时,FP=1是移动荷载; •内力图中,荷载位置固定。
4) FQC左的值与FQC右的值.
b
1
l
FQC影响线
a
l
1
在FQC影响线图中，当FP=1作用于C截面时,竖标
竖标
a l
=FQC右，如下图所示。
b l
=FQC左；
FP=1
FP=1
A
B
A
B
C
C
FQC左
FQC右
习题 (1) 用静力法作图示结构A,B,D支座反力影响线
A
2m
CD
2m
2m
B
2m
2m
3/4
1
3/2
15/8 5/4
FBy影响线 MD影响线
FP=1
x
1m
A
2m
CD
2m
2m
B
2m
2m
3/8 1/4
1/2
5/8
FSD影响线
FP=1
x
1m
A
2m
CD
2m
2m
1/2
2m 1/4
B
2m
1/4 1/2 1/4
FSC左影响线
1/2
FSC右影响线
§8-4 静力法作桁架的影响线
CED
B
M E FR B 2.5d
ME
当FP=1作用在DB段时,
（取E截面以左EA段研究）
FR A
FQ E
FR B
M E FR A 1.5d
15d 5d 16 8
3d 4
ME
FR A
FQ E
FR B
ME的影响线
当FP=1作用在CD段时, A 取AB梁研究
CED
B
dx
x
M E d yC d yD
l
a
l2 l
l
FQC的影响线
MD
FR A
FR B
FQ D
MD的影响线
d
1
FQD的影响线
影响线与内力图的区别 FP=1
1) 横坐标 x：
A
B
•影响线图中, x是移动荷载的位置;
•内力图中, x是梁截面位置。
2) 纵坐标y：
•影响线图中, y 是当FP=1在该位置时影响系数的值; •内力图中, y 是梁该截面的内力值。
1.直接荷载与结点荷载的概念
横梁 主梁
纵梁
直接荷载：荷载直接作用于梁上，且在梁上的位置不断变化。 如：纵梁上受到的荷载
结点荷载：仅在结点上受荷载作用，力的位置不变但大小在 不断变化。 如：主梁上受到的荷载
2.反力影响线
A
B
FR A
1
FR B
FRA的影响线
结论:反力的各影响线与简支梁的完全相同。
3.主梁上结点弯矩影响线、剪力影响线
概述
• 荷载特点：1.单位荷载仍为结点荷载 2.单位荷载分：上承载、下承载
• 作桁架内力影响线实质上仍然是求桁架内力 • 桁架内力的求法：截面法、结点法、联合法 • 桁架内力影响线特点：在两结点之间为一条直线
1.支反力影响线
下承载时
FR A
1
FR G
FRA的影响线
h
下承载时
2.上弦杆轴力影响线
B
MC的变化规律
• 分析：
1. 该图线的含义：每一纵坐标值都是MC的值；不同点的纵坐标值代表FP移 动到不同位置时MC的大小。（举例说明）
2. 每一点的MC与FP均成正比，其比例系数称为MC的影响系数，用 M C 表
示，即 M C MC 。 若将该影响系数的变化规律用图线来表示，则该图线 F
就称为MC的影响线。
FP=1
1. FRA的影响线
B
A
l
MB 0
lx FR A l
（0 x l）
FP=1 x
FR A
FR B
2. FRB的影响线
1
MA 0
FRA的影响线
FR B
x l
（0 x l）
1
FRB的影响线
简支梁的弯矩影响线（下侧受拉为正）
MC的影响线
FP=1
B
当FP=1在C截面以左时, 取C截面以右CB段研究
移动荷载和影响线的概念 静力法作简支梁影响线 结点荷载作用下梁的影响线 桁架的影响线 机动法作影响线 影响线的应用
§8-1 移动荷载和影响线的概念
回顾 固定荷载
M
• 定义：荷载的大小、方向、作用点始终不变。 • 作用效果：各截面的内力均为定值。 • 内力计算方法：1.静力法（静力平衡方程）
2.虚功原理
FN bCy FR A
FN bCy FQ0BC FPF=N1作fEy用在AFBQ段0E时F
FN bCy FRG
G F
FNbCy影响线
1
FN cDy FQ0CD FFNPF=bNC1yg作F为y用直在线BFCQ段0F时G
h
下承载时
5.竖杆轴力影响线
a
b
c
d
e
f
g
A
B
C
FP=1作用在DG段时
a
b
c
d
e
f
g
A
B
C
D
E
F
G
源自文库
l 6d
FP=1作用在CG段时
FP=1作用在AC段时
C
FR A
MC 0
FN bc
FR A 2d h
C
MC 0
FN bc
FRG h
4d
FR G
2.上弦杆轴力影响线
a
b
c
d
e
f
g
A
G
B
C
D
E
F
l 6d
h
2d
4d
h
3h
FNbc影响线 4d h
h
下承载时
3.下弦杆轴力影响线
x 1 MC
当FP=1在C截面以右时, 取C截面以左AC段研究
FQ C FR A
1
b
l
a
l
1
FR A
FQ C
FR B
x MC
1
FR A
FQ C
FR B
作影响线的步骤
1. 取分离体 2. 列平衡方程 3. 求未知量(影响系数)Z
4. 作出 Z 的变化图形，即为Z 的影响
线（标出“+”“－”和大小）
II
授课：陈素芳
几点说明
➢ 学 分：3 ➢ 讲课学时：48
➢ 考核方式：考试（笔试，闭卷）。无期中考 试，成绩采用百分制。
➢ 总评成绩：由平时成绩+期末考试成绩组成。 平时成绩占30％（平时作业15%，出勤及课堂 表现15%），期末考试成绩占70％。
第8章 影响线及其应用
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6
a
b
c
d
e
f
g
A
G
B
C
D
E
F
l 6d
FP=1作用在CG段时
c
cFP=1作用在AC段时
C
FR A
Mc 0
FN CD
FR A 2d h
D
Mc 0
FN CD
FRG 4d h
FR G
3.下弦杆轴力影响线
a
b
c
d
e
f
g
h
A
B
C
D
E
F
l 6d
4d
2d
3h
h
G
4d h
FNCD影响线
h
下承载时
4.斜杆轴力竖向分力影响线
2.求影响线的问题仍然是静定结构求反力、弯矩、剪力和轴力的问题。
§8-2 静力法作简支梁影响线
• 简支梁的反力影响线（支反力向上为正） • 简支梁的弯矩影响线（下侧受拉为正） • 简支梁的剪力影响线（顺时针为正） • 作影响线的步骤 • 外伸梁的影响线 • 影响线与内力图的区别
简支梁的反力影响线（支座反力向上为正）
3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示
的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线）
• 计算方法：1.静力法
2.机动法（虚功原理）
弯矩图与弯矩影响线的比较
FP
A
a
C
D b
ab l F
FP=1
B
AB梁的弯矩图
A
a
C
D b
ab
l
总结:
B
MC的影响线
1.由于荷载的位置由不变到可变,从而使得Z由不变到可变。
3.下弦杆轴力影响线（与下承载时相同）
4.斜杆轴力竖向分力影响线（与下承载时相同）
5.竖杆Dd的轴力影响线为： C
D
E
1
§8-5 机动法作影响线
原理：虚功原理 ① 虚力原理（虚设单位力，求位移） ② 虚位移原理（虚设单位位移，求内力）
方法和步骤
方法
FP=1
1.解除B支座约束，代以未知力 Z
（可变体系具有一个自由度）
C
D
B
FQ D FR B
MD
当FP=1在D截面以右时,
取D截面以左AD段研究
FR A
FQ D FR A
1
2
1
FR A
2
FQ D MD
FQ D
FR B FR B
结论:结点处的各影响线与简支梁的完全相同。
4.主梁上非结点弯矩影响线、剪力影响线
ME的影响线
当FP=1作用在AC段时, A
（取E截面以右EB段研究）
x的线性函数
dx
x
d
d
CED
3d
5d
8
4
yC
yD
ME的影响线
FQE的影响线
当FP=1作用在CD段时, A 取AB梁研究
dx
x
FQ E d yC d yD
x的线性函数
51 82
3 1
8 4
CED
B
B
dx
x
d
d
CED
yD
yC
FQE的影响线
5.结论
1. 在结点荷载作用下，结点上各量影响线与直接荷载作用下各 量影响线相同。
求MD的影响线
当FP=1在D截面以左时 A
(取D截面以右DB段研究)
C
D
B
M D FR B 2d
MD
当FP=1在D截面以右时
(取D截面以左AD段研究)
FR A
M D FR A 2d
d
FQ D MD
FR B
FR A
FQ D
FR B
求FQD的影响线
当FP=1在D截面以左时, A 取D截面以右DB段研究
1 2
FN bB FQ0BC
FP=F1N作eE用在FAQC0段DE时
FN cC FR G
f
g
h
G F
1
FNcC影响线
FN cC FQ0CD
FFPN=1fF作用F在Q0CEDF段时
FNcC 为直线
上承载时
h
a
b
c
d
e
f
g
A
G
B
C
D
E
F
l 6d
由于该桁架上、下结点在同一竖线上，所以有：
1.支反力FRA、 FRG 影响线（与简支梁的相同） 2.上弦杆轴力影响线（与下承载时相同）
二、 影响线
FP=1
A
aC
b
B
aabb ll F
MMCC的的影变响化线规律
• 定义：在单位移动荷载FP=1作用下，表示结构上某量值 (反力、内力等) Z的 变化规律的图线，称为Z的影响线。
• 说明：1. Z可以是反力、弯矩、剪力、轴力
2. 求Z的影响线，就是求在单位移动荷载FP=1作用下Z的大小。
A
a
C
b
M C FB b
x 1 MC
当FP=1在C截面以右时, 取C截面以左AC段研究
M C FRA a
b
a
ab
l
FR A
FQ C
FR B
x MC
1
FR A
FQ C
FR B
简支梁的剪力影响线（顺时针为正）
FQC的影响线
FP=1
B
当FP=1在C截面以左时, 取C截面以右CB段研究
A
a
C
b
FQ C FR B
一、 移动荷载
• 定义：大小 、方向一定，但位置连续变化的荷载。 • 特点：相互间的位置固定不变，作为整体在结构上移动。 • 作用效果：各截面的内力均随荷载的移动而变化。
➢ 本章任务：研究内力的变化规律，求出内力的最大值以
及产生最大值的荷载位置（即最不利荷载位置）。
二、 影响线
FP
A
a
C
D b
ab l F
a
b
c
d
e
f
g
A
B
C
D
E
F
G
l 6d
FP=1作用在CG段时
FP=1作用在AB段时
B
FR A
Fy 0
FN bCy FR A
C
Fy 0
FN bCy FRG
FR G
FP=1作用在BC段时 FN bCy 为直线
4.斜杆轴力竖向分力影响线
a
b
c
d
e
f
g
h
A
B
C
D
E
l 6d
2
1
3
1 6
FN aBy FQ0AB FP=1作F用N e在DyCG段 F时Q0DE
A x
FP=1
B
2.给体系一个符合约束的沿Z正方 向的单位虚位移
3.列虚功方程：
Z·1－FP·y(x)=0
Z
y(x)
1
Z=y(x)
符号规定：荷载以向下为正，反力以向上为正，虚位移以向上为正
结论：Z的变化规律(即影响线) = 该可变体系的竖向虚位移图
步骤 :
1.解除与Z相应的约束，代以相应的未知力Z（设为正方向）。 2.使体系沿Z的正方向发生单位广义虚位移，所得的竖向虚位移
图即为Z的影响线。 x FP=1
G
D
E
F
l 6d
c FP=1作用在AC段时
C
FR A
Fy 0
FN cC FR A
D
Fy 0
FN cC FR G
FR G
FP=1作用在CD段时 FNcC 为直线
5.竖杆轴力影响线
a
b
c
d
e
A
B
C
D
E
l 6d
1 3
1
FN aA FQ0AB FP=1F作N 用d D在D0G段时 FN cCFN gGFR AFQ0FG
FP=1
C
D
A
4m
B 4m
4m
(2) 用静力法作图示结构A,B反力和影响线,单位力在上DF移动
FP=1
D
E
F
4m
C
B
A
4m
4m
§8-3 结点荷载作用下梁的影响线
• 直接荷载与结点荷载的概念 • 反力影响线 • 主梁上结点弯矩影响线、剪力影响线 • 主梁上非结点弯矩影响线、剪力影响 • 结论 • 补充例题