误差理论与测量平差基础CH07

例7-2 在图中，A、B、C三点在一直线上，测出 了AB、BC及AC的距离，得4个独立观测值： l1 = 200.010m, l2 = 300.050m, l3 = 300.070m, l4 = 500.090m 若令100m量距的权为单位权，试按条件平差确定A、C之间各段 距离的平差值l。
l4 l1 l3 l2
二、测角网函数模型
观测角度Li ，设j,h,k均为待定 点，参数为(Xj , Yj )，(Xh , Yh ) 和(Xk , Yk )观测方程为 Li + vi = αjk − αjh
j 令li = Li − (αjk − αjh )，即有误 差方程 vi = δαjk − δαjh − li L k
h
将方向坐标平差的误差方程带入，即可得测角网坐标平差的误差 方程。
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
二、测角网函数模型
例7-4 图中A, B, C为已知坐标的三个控制点，同精度测得六 个角度L1 , L2 , · · · , L6 ，试列出测角网坐标平差的误差方程。
B
3
1
D
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-3 精度评定
一、单位权方差的估值公式
观测向量的方差为
2 2 −1 DLL = σ0 Q = σ0 P
单位权方差的估值公式:
2 σ0 =
V T PV r
其中 V T PV = (Bˆ x − l)T PV = ˆ xT BT PV − lT PV = −lT PV = lT Pl − lT PBˆ x
A
B
C
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
练习题
1 在图中所示的闭合水准网中，A为已知 点(HA = 10.000m)，P1 、P2 为未知点，测得高差及路线长度为：
h1 = 1.352m, S1 = 2km, h2 = −0.531m, S2 = 2km, h3 = −0.826m, S3 = 1km
2
3 4 5
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
二、按条件平差求平差值的计算步骤示例
例7-1 在图中所示的水准网中，已知水 准点A的高程为HA = 237.483m，为 求B、C、D三点的高程，进行了水准 测量，测得高差L和水准路线的长 度S，其结果见表，试按间接平差求 定B、C、D三点高程的平差值。
h1 A h3
试用间接平差法求各高差的平差值。
P1 h2 P2
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
练习题
2 在三角形中，以不等精度测得 α = 78◦ 23 12 β = 85◦ 30 06 γ = 16◦ 06 32 δ = 343◦ 53 24
δ
Pα = 1 Pβ = 2 Pγ = 1 Pδ = 1
V T PV = min
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
一、基础方程及其解
上式中将V 用ˆ x表示，即得 BT PBˆ x − BT Pl = 0 令NBB = BT PB，W = BT Pl，即得 NBBˆ x−W =0 称为间接平差的法方程。由于NBB 是满秩方阵，可得
7-1 间接平差原理
函数模型： ˆ = BX ˆ +d L 或 V = Bˆ x−l
ˆ = X0 + ˆ 其中，l = L − (BX 0 + d)，X x 随机模型： 平差的准则：
2 2 −1 D = σ0 Q = σ0 P
V T PV = min
已 知观测 值L和平 差的数 学模型 ，如何 根据优 化准ห้องสมุดไป่ตู้ (最 小二 乘 )， 寻找合 适的ˆ x？
X k αjk
0 +ˆ (Xk xk ) − (Xj0 + ˆ xj ) j 线性化后得到测方向坐标平差误差方程
δαjk =
0 sin αjk 0 Sjk
ˆ xj −
0 cos αjk 0 Sjk
ˆ yj −
0 sin αjk 0 Sjk
ˆ xk +
0 cos αjk 0 Sjk
ˆ yk
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
练习题
1. 有一中心在原点的椭圆，为了确定其方程，观测了10组 数据(xi , yi )(i = 1, 2, · · · , 10)，已知xi 无误差，试列出该椭圆的误 差方程。 2. 为确定某一抛物线方程y2 = ax，观测了6组数 据(xi , yi )(i = 1, 2, · · · , 6)，已知xi 无误差，yi 为相互独立的等精度 观测值，试列出该抛无线的误差方程。 3. 某一平差问题列有一下条件方程： V1 − V2 + V3 + 5 = 0 V3 − V4 − V5 − 2 = 0 V5 − V6 − V7 + 3 = 0 V1 + V4 + V7 + 4 = 0 试将其改写成误差方程。
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
第七章 间接平差
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
第七章 间接平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
间接平差原理 误差方程 精度评定 间接平差公式汇编和水准网平差示例 间接平差特例—直接平差 三角网坐标平差 测边网坐标平差 导线网间接平差 GPS网间接平差 七参数坐标转换平差
水准路线i 1 2 3 4 5 观测高差Li (m) 5.853 3.782 9.640 7.384 2.270
B h1 A h2 h3
C
h5 D
h4
路线长度Si (km) 3.5 2.7 4.0 3.0 2.5
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
二、按条件平差求平差值的计算步骤示例
二、按条件平差求平差值的计算步骤示例
计算步骤：
1
按照问题具体情况，选择t个独立量X 作为参数，获取其近似 值X 0 ； 将观测量的平差值表示为参数的函数，即观测方程(n)，列 出误差方程(n)； 由系数矩阵B和自由项l组成法方程(t)； ˆ； 解算法方程，求出改正数ˆ x，计算参数平差值X ˆ。 由误差方程，计算改正数V ，计算观测量平差值L
vi = −
0 ∆Xjk 0 Sjk
ˆ xj −
0 ∆Yjk 0 Sjk
ˆ yj +
0 ∆Xjk 0 Sjk
ˆ xk +
0 ∆Xjk 0 Sjk
ˆ y k − li
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
三、测边网函数模型
例7-5 同精度测得图中三个边长，结果分别为 L1 = 3887.363m, L2 = 306.065m, L3 = 354.862m 已知A, B, C的起算数据，试列出误差方程并求平差值。
第七章 间接平差
上式表明，当所选参数刚好等于必要观测数t，且参数之间相互 独立时，附有参数的条件平差具有很简洁的条件方程。 这种简洁的条件方程描述了各观测值的改正数与参数之间的关 系，称这种关系为误差方程。 以误差方程为基础可得到一种新的平差方法——间接平差。
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
第七章 间接平差
水准网如图所示:
h1 P1 h7 P2 h3 h5 h6
A h2 P4 h4 P3
按条件平差列出误差方程。 选P2 高程平差值为参数，列出全部条件方程。 选P1 、P2 和P3 高程平差值为参数，列出全部条件方程。
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
−1 ˆ x = NBB W = (BT PB)−1 BT Pl
根据误差方程求得改正数V ,最后获得观测量L和参数X 平差值。
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
二、按条件平差求平差值的计算步骤示例
−1 ˆ x = NBB W
→
ˆ = X0 + ˆ X x, V = Bˆ x−l
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
一、测方向三角网函数模型
在图中,观测j、k均为待定点,近 0 , Y 0 ,两点 似坐标为Xj0 , Yj0 和Xk k 间的方向观测值为αjk 。由反三 角函数可得方程 α ˆ jk = arctan
0 +ˆ (Yk yk ) − (Yj0 + ˆ yj )
→
ˆ =L+V L
ˆ = BX ˆ + d，计算l = L − (BX0 + d) 列方程L 计算NBB = BT PB，W = BT Pl，解方程NBBˆ x−W =0 ˆ = X0 + ˆ 计算X x，V = Bˆ x−l ˆ =L+V 计算L 平差成果检核
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
一、基础方程及其解
由于： V = Bˆ x−l 根据最小二乘原理 对ˆ x求导即得 dV T PV dV dV T PV = = V T PB = 0 dˆ x dV dˆ x 转置即有 BT PV = 0 l = L − (BX 0 + d)
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-3 精度评定
2 Zi = b0 + b1 xi + b2 yi + b3 xi + b4 xi yi + b5 y2 i
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
五、坐标转换模型
设有某点在新坐标系中的坐标为(xi , yi )，在旧坐标系中的坐 标为(xi , yi )，旧坐标系原点在新坐标系中的坐标为(x0 , y0 )，新旧 坐标系的坐标变换方程为 xi = x0 + xi m cos α − yi m sin α yi = y0 + yi m cos α + xi m sin α 令a = x0 , b = y0 , c = m cos α, d = m sin α，即有 xi = a + xi c − yi d yi = b + yi c + xi d 以新坐标系坐标为观测值，旧坐标系坐标视为无误差，可建立误 差方程。
5 6
A
2 4
C
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
三、测边网函数模型
测得待定点间的边长Li ,设待定 ˆ j ,Y ˆj 和X ˆk , Y ˆk 为 点的坐标平差值X 参数,可建立方程
L
k
j ˆk − X ˆ j )2 + (Y ˆk − Y ˆj )2 ˆi = (X L 泰勒公式展开，令li = Li − S0 ，可得测边坐标平差误差方程
一、测方向三角网函数模型
采用定向角的方向观测中，将定向角Zj 作为待估参数，观测 方程为 ˆjk = α ˆj L ˆ jk − Z 则对应的测方向误差方程为 vjk = δαjk − ˆ zj − ljk
1 2 3 4
参数中除待定点坐标平差值之外，还有定向角平差值； j和k均为待定点时，坐标未知数系数数值相等、符号相反； 同一边的正反方向方位角改正数相等，关系式一致； 测向边中有已知点时，对应改正数系数取0即可。
γ
α
β
试用间接平差法求各内角的平差值。
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
7-2 误差方程
间接平差模型的建立,主要是误差方程的组成。 所选取t个待估参数必须相互独立； 所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。 测方向三角网函数模型 测角网函数模型 测边网函数模型 拟合模型 坐标转换模型
A
L1
D
L2
L3
B
C
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
四、拟合模型
已知圆上m个点的坐标观测值为(Xi , Yi )(i = 1, 2, · · · , m)，设 为等权独立观测，试求该圆的曲线方程。 ˆi = X ˆ0 + ˆ X r cos α ˆi ˆi = Y ˆ0 + ˆ Y r sin α ˆi 已知m个点的高程数据是(Zi , xi , yi )(i = 1, 2, · · · , m)，其中Zi 是点i的高程数据，(xi , yi )为点i的坐标，视为无误差，建立 拟合模型
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
一、测方向三角网函数模型
例7-3 图中A, B, C为已知坐标的三个控制点，加密待定 点D，起算数据列于表中，在四个测站上观测10个方向，观测值 列于表中，试以D坐标为参数，列出其误差方程。
B
10 9
3 6 7 8
2 1
D
5 4
A
C
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程