最新创新探索问题答案

创新探索问题答案

创新性问题探索 姓名：

1.对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1,, 1.

a a

b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数2()(2)(1),f x x x x R =-⊗-∈。若函数()y f x

c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是

2. 设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=（R λ∈），1412

A A A A μ=（R μ∈），

且112λμ

+=，则称34,A A 调和分割12,A A .已知平面上的点,C D 调和分割点,A B ，则下列说法正确的是( )

A ．C 可能是线段A

B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点

C ．,C

D 可能同时在线段AB 上 D ．,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上

3. 设平顶向量m a ＝（ m , 1）, n b = ( 2 , n )，其中 m ，n ∈{1,2,3,4}．

I ）请列出有序数组（ m ，n ）的所有可能结果

II ）记“使得m a ⊥（m a -n b ）成立的（ m ，n ）”为事件A ，求事件A 发生的概率。

4. 对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ,若存在函数()(,h x kx b k b =+为常数),对任给的正数m ,存

在相应的0x D ∈,使得当x D ∈且0x x >时,总有0()()0()()f x h x m h x g x m

<-<⎧⎨<-<⎩,则称直线:l y kx b =+为曲线

()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为D ={}|1x x >的四组函数如

下:①2()f x x =,()g x x = ， ②()102x

f x -=+,23()x

g x x -=;③21()x f x x +=,ln 1()ln x x g x x +=; ④2

2()1

x f x x =+,()2(1)x g x x e -=--．其中, 曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是 A ． ①④ B ． ②③ C ．②④ D ．③④

５. 对有n (n ≥4)个元素的总体｛1,2,3,…,n ｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…，m ｝和｛m +1、m +2,…，n ｝(m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用P i j 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 1m =

4()

m n m - 所有P ij (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 6

６. 若A 、B 是抛物线y 2=4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当x >2时，点P （x ,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x 0>2. I ）证明：点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同

II)试问：点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x 0表示）：

若不存在，请说明理由.

解（I ）设AB 为点P （x 0,0）的任意一条“相关弦”，且点A 、B 的坐标分别是

（x 1,y 1）、（x 2,y 2）（x 1≠x 2）,则y 21=4x 1, y 22=4x 2,

两式相减得（y 1+y 2）（y 1-y 2）=4（x 1-x 2）.因为x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0.

设直线AB 的斜率是k ，弦AB 的中点是M （x m , y m ）,则k=

12121242m y y x x y y y -==-+. 从而AB 的垂直平分线l 的方程为 ().2m m m y y y x x -=-

- 又点P （x 0,0）在直线l 上，所以-y m 0().2

m m y x x -- 而0,m y ≠于是0 2.m x x =-故点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x 0-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB 所在直线的方程是()m m y y k x x -=-，代入24y x =中，

整理得2222[()2]()0.m m m m k x k y kx x y kx +--+-= （·）

则12x x 、是方程（·）的两个实根，且2

122().m m y kx x x k -= 设点P 的“相关弦”AB 的弦长为l ，则

22222121212()()(1)()l x x y y k x x =-+-=+-

22221212122222224222222200(1)[()4]4(1)()

2()44(1)[]4(4)(4)4(1)164(1)[2(1)]4(1)[2(3)].

m m m m m m m m m m m m m m

m m m m k x x x x k x x x y x y x y y y x y y y x x x y x x y x =++-=+--=+-=+-=-+-+=+---=----

因为0<2m y <4x m =4(x m -2) =4x 0-8,于是设t=2m y ,则t ∈(0,4x 0-8).

记l 2=g (t )=-[t-2(x 0-3)]2+4(x 0-1)2.

若x 0>3,则2(x 0-3) ∈(0, 4x 0-8),所以当t=2(x 0-3),即2m y =2(x 0-3)时,

L 有最大值2(x 0-1).

若2

综上所述，当x 0>3时，点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2

（x 0-1）；当2< x 0≤3时，点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.