江苏专版2020版高考数学一轮复习第六章数列第五节数列的综合问题教案理含解析苏教版

第五节数列的综合问题

考点一数列与不等式问题重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

若各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝a n＋1 (n∈N*)．

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若正项等比数列{b n}，满足b2＝2,2b7＋b8＝b9，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n；

(3)对于(2)中的T n，若对任意的n∈N*，不等式λ(－1)n＜1

2n＋1

(T n＋21)恒成立，求实数λ的取值范围．

解：(1)因为2S n＝a n＋1，

所以4S n＝(a n＋1)2，且a n＞0，

则4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，

又4S n＋1＝(a n＋1＋1)2，

所以4a n＋1＝4S n＋1－4S n＝(a n＋1＋1)2－(a n＋1)2，

即(a n＋1－a n－2)(a n＋1＋a n)＝0，

因为a n＞0，所以a n＋1＋a n≠0，

所以a n＋1－a n＝2，

所以{a n}是公差为2的等差数列，

又a1＝1，

所以a n＝2n－1.

(2)设数列{b n}的公比为q，

因为2b7＋b8＝b9，所以2＋q＝q2，解得q＝－1(舍去)或q＝2，

由b2＝2，得b1＝1，故b n＝2n－1.

因为T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1

，

所以2T n ＝1×2＋3×22

＋5×23

＋…＋(2n －1)×2n

， 两式相减得－T n ＝1＋2(2＋22

＋…＋2

n －1

)－(2n －1)×2n

，

故T n ＝(2n －1)×2n

－1－2(2＋22

＋…＋2n －1

)＝(2n －1)×2n －1－2(2n

－2)＝(2n －

3)×2n

＋3.

(3)不等式λ(－1)n ＜12n ＋1(T n ＋21)可化为(－1)n

λ＜n －32＋62n －1.

①当n 为偶数时，λ＜n －32＋6

2n －1，

记g (n )＝n －32＋6

2n －1，则有λ＜g (n )min .

因为g (n ＋2)－g (n )＝2＋62n ＋1－62n －1＝2－9

2

n ，

当n ＝2时，g (n ＋2)＜g (n )，当n ≥4时，g (n ＋2)＞g (n )，

即g (4)＜g (2)，当n ≥4时，g (n )单调递增，g (n )min ＝g (4)＝134，所以λ＜13

4.

②当n 为奇数时，λ＞32－n －6

2n －1，

记h (n )＝32－n －6

2n －1，则有λ＞h (n )max .

因为h (n ＋2)－h (n )＝－2－

6

2n ＋1＋62n －1＝－2＋9

2n ， 当n ＝1时，h (n ＋2)＞h (n )，当n ≥3时，h (n ＋2)＜h (n )，

即h (3)＞h (1)，当n ≥3时，h (n )单调递减，h (n )max ＝h (3)＝－3，所以λ＞－3. 综上所述，实数λ的取值范围为⎝

⎛⎭⎪⎫－3，134.

[由题悟法]

1．数列与不等式的综合问题考查类型 (1)判断数列中的一些不等关系问题； (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题． 2．解决数列与不等式问题的两个注意点

(1)利用基本不等式或函数的单调性求解相关最值时，应注意n 取正整数的限制条件． (2)利用放缩法证明不等式、求解参数的范围时，尽量先求和、后放缩，注意放缩的尺度，否则会导致范围扩大或缩小而得不到正确的结果．

[即时应用]

已知数列{a n }满足a 1＝6，a 2＝20，且a n －1·a n ＋1＝a 2

n －8a n ＋12(n ∈N *

，n ≥2)．

(1)证明：数列{a n ＋1－a n }为等差数列； (2)令c n ＝

n ＋1a n na n ＋1＋na n ＋1n ＋1a n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：2n ＜T n ＜2n ＋2

3

.

证明：(1)当n ＝2时，a 1·a 3＝a 2

2－8a 2＋12， 所以a 3＝42.

当n ≥2时，由a n －1·a n ＋1＝a 2

n －8a n ＋12， 得a n ·a n ＋2＝a 2

n ＋1－8a n ＋1＋12，

两式相减得a n a n ＋2－a n －1a n ＋1＝a 2

n ＋1－a 2

n －8a n ＋1＋8a n ， 所以a 2

n ＋a n a n ＋2－8a n ＝a 2

n ＋1＋a n －1a n ＋1－8a n ＋1， 即a n (a n ＋a n ＋2－8)＝a n ＋1(a n ＋1＋a n －1－8)， 所以

a n ＋a n ＋2－8a n ＋1＝a n ＋1＋a n －1－8a n ＝…＝a 3＋a 1－8a 2

＝2.

所以a n ＋2＋a n －8＝2a n ＋1， 即a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝8， 即(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝8， 当n ＝1时，也满足此式． 又a 2－a 1＝14，

所以数列{a n ＋1－a n }是以14为首项，8为公差的等差数列． (2)由(1)知a n ＋1－a n ＝14＋8(n －1)＝8n ＋6.

由a 2－a 1＝8×1＋6，a 3－a 2＝8×2＋6，…，a n －a n －1＝8×(n －1)＋6，累加得a n －a 1＝8×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋6(n －1)＝8×n －1

1＋n －1

2

＋6(n －1)＝4n 2

＋2n －6，

所以a n ＝4n 2

＋2n .

所以c n ＝n ＋1a n

na n ＋1

＋

na n ＋1n ＋1a n ＝2n ＋12n ＋3＋2n ＋32n ＋1＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－22n ＋3＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋22n ＋1＝2＋

2⎝

⎛⎭

⎪

⎫12n ＋1－12n ＋3，

所以T n ＝2n ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝2n ＋2⎝ ⎛⎭

⎪

⎫13－12n ＋3，

又13＞13－12n ＋3＝2n ＋3－332n ＋3＝2n

32n ＋3＞0，

所以2n ＜T n ＜2n ＋23

.

考点二 与数列有关的探索性问题

重点保分型考点——师生共研 [典例引领]

已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝a ，且a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数n 都成立，数列{a n }