空间中直线与平面垂直的定义及判定教学设计

新课标高中立体几何教学案例

空间中直线与平面垂直的定义及判定

广州大学附属中学王映

说明：

本教学案例使用的教材是人教 A 版普通高中数学课程标准实验教材必修2。

【教学设计】

一、教材分析

（一）教材内容的安排与要求：

与传统立体几何内容体系相比，本次立体几何内容的体系结构有重大改革。传统立体几何基本上按照从局部到整体的原则，从研究点、直线和平面开始，先讲清楚它们之间的位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体的结构特征，几何体的体积、表面积等等。人教A 版新课标实验教材先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力，淡化几何论证，降低立体几何学习入门难的门槛，强调几何直觉，把培养学生的空间观念和空间想象能力放到突出的位置，以激发学生学习立体几何的兴趣。

“空间中直线和平面垂直的定义及判定”这一专题内容经修改后教学要求大大降低，特别是论证方面，删去了"利用有关概念进行论证和解决有关的问题"的要求；将"三垂线定理及其逆定理"由"掌握"级降为" 了解" 级要求，淡化了几何论证的要求。强调通过直观感知、动手实践来认知和理解线面垂直的定义和判定定理，能运用定义及定理证明一些空间位置关系的简单命题。在教学内容设计上更注重实践操作和探

究。

（二）学情分析

笔者所带两个教学班差异明显，重点班学生学习习惯良好，基础相对扎实，但不善于大胆表述自己的观点，合作意识有待加强；另一普通班学生学习依赖性较强，自主探究意识薄弱。

同时，同一个班中的学生有近一半来自初中课改实验区，使用实验教材；而另一半则沿用原教材。学生的初中几何基础参差不齐，差异较大。其中非课改区学生的空间感以及了解的几何知识相对课改区有一定差距。

（三）教学目标

针对教材特点和学生现状，分别从知识、能力以及情感与态度三方面来确定本节课的教学目标如下：

1．知识目标：

（1）掌握直线与平面垂直的定义及判定定理；

（2）会应用直线与平面垂直的定义及判定定理解决一些简单的问题。2．能力目标：

（1）在合作探究中逐步构建知识结构；

（ 2 ）在实践操作中发展学生几何直观能力和空间想象能力。

3. 情感与态度目标：

（1）通过创造情境激发学生学习的兴趣与热情；

（2）鼓励合作探究、互助交流，培养创新意识。

（四）教学重点与难点

1．教学重点会运用定义与判定定理证明直线与平面的垂直关系。

2．教学难点在正方体模型中寻找线面垂直关系并予以证明。

二．教法分析

新课程标准把“自主探索、合作交流”作为本次课程改革积极倡导的学习方式之一。人教

A 版实验教材在内容处理上给教师提供了更多的创造新形式、新内容的空间，更注重教

师对教材个性化的处理。本教学内容在教法设计上力求做到用教材而非教教材：

1. 高一学生刚开始学习立体几何，尤其是非课改实验区的初中毕业生，他们的空间概念比较

薄弱。应充分利用“ 观察”、“ 思考”、“ 探究” 等栏目，在原有教材内容的基础上重组整合教学内容，创设宽松的开放式问题情境，给学生创造自己动手操作的机会，利用自己制作的模型分组谈论，自主探究，确保“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”四个层次认识过程的展开和实施。使学生在自主探索的学习中自己建构数学知识，发展学生的空间观念和几何直觉。

2. 适当的多媒体课件演示为学生理解和掌握几何图形性质的教学提供形象支持，有助

于提高学生的几何直观能力和空间想象能力。

三．学生课前准备：自由分组；准备三角板、正方体模型。

四．教学过程

教学实录（附教学录像）

教师：我们先来回顾一下，空间中直线和平面有哪几种位置关系？

学生1:两种。分别是平行、相交。

学生2 :应该还有直线在平面内的情况！

教师：直线与平面这三种位置关系可以分类列表归纳如下：

■线在面内

线与面的位置关系「线面平行

线在面外§

〔线面相交

教师：请欣赏图片：当把笔直的旗杆抽象成直线I,天安门广场抽象成平面，我们可以直观地感受到直线I与平面〉具有怎样的位置关系？

学生：显然是垂直的！

教师：今天这节课我们就一起来学习这种直线与平面相交的特殊情况：直线与平面垂直

的定义与判定。

教师：用教具直观演示：

我们知道两条异面直线可以通过适当平移成为相交直线，当这两条相交直线成90 度时，我们就称这两条相交直线互相垂直。也就是说空间中两直线的垂直可分为相交垂直和异面垂直。

探究活动一：尝试探究中生疑

教师把课本中的知识点转化为具有探索性的问题，通过学生合作探究，以动促学。

一.引出定义：

教师：我们来做一个实验：请大家拿出一支笔，竖立在桌面上，你会发现笔与桌面呈怎

样的位置关系？

学生会很快回答是垂直的关系！教师继续提问：请在桌面任取一条直线，观察此直线与竖立直线会有怎样的位置关系？学生的兴趣被调动起来，通过自己尝试并观察周围同学的实验操作，学生得出结论：无论桌面什么位置上的直线都会与竖立的直线成相交垂直或异面垂直的位置关系！教师：所以，我们可以借助线线垂直来定义线面垂直！以此引出空间中直线和平面垂直的定义：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则这条直线与平面垂直。二．强化定义教师：怎样可以判定一条直线和平面垂直呢？如果直线与平面内无数条直线都垂直，能否判定直线与平面垂直？学生：充分利用桌面和笔不断进行尝试与探索。在这一过程中，学生主动参与、乐于探究，对线面垂直的定义有了深层次的理解。

学生1：我可以举出反例说明。如一条直线与平面斜交。可以在平面内先找到一条与斜线垂直相交的直线，再把这条直线平移，可以得到平面内有无数条直线与斜线垂直，但很明显斜线并不与平面垂直。

（教师及时通过多媒体同步展示学生所举出的反例，增强直观感知）教师：很好！该同学抓住了这句话的关键字：无数！“无数”其实只是对平面内直线的数目予以要求，却并未强调平面内直线的任意方向。回到线面垂直的定义注意其关键字：“无数”并不等价于“任！何”