周益春-材料固体力学习题解答9-1

第九章

应变梯度理论

1. 简述提出应变梯度理论的物理背景和典型的实验。

答：新近的实验表明，当非均匀塑性变形的特征长度为微米量级时，金属材料呈现出很强的尺寸效应。例如，Fleck 等利用微米量级的不同直径的细铜丝进行了拉伸及扭转实验，在拉伸实验中材料没出现明显的尺寸效应，但在扭转实验中，当铜丝的直径从170m μ减小到12m μ时，无量纲化的扭矩增加至3倍。Stolken 和Evans 利用镍薄梁进行弯曲实验，观察到当梁的厚度从50m μ减小到12.5m μ时，无量纲化的弯曲硬度也显著增加。Lloyd 等人对不同的颗粒增强金属基复合材料进行研究，发现当颗粒的体积分数不变时，随着颗粒尺寸减小，复合材料的强度显著增强。更能说明材料在微米尺度下具有尺寸效应的一类实验是微米及亚微米压痕。压入深度小于50m μ的微米或亚微米实验中，压痕硬度表现出非常强烈的尺寸效应。对于金属材料，所测的材料硬度值随着压入深度的减小可达到传统硬度值的2倍甚至3倍。Elssner 等测量了单晶铌与蓝宝石单晶间界面的宏观断裂韧性与原子分离功。实验发现这两种材料的裂尖仍然保持有原子的尖锐性，即裂纹尖端不钝化，虽然铌是韧性材料并具有众多位错。此时促使晶格或强界面原子分离所需要应力水平典型值为屈服应力的10倍，但按照基于经典塑性理论的模型，裂纹尖端附近所能达到的最大应力水平不超过屈服应力的4~5倍。这显然不足以造成实验中所观察到的裂纹起裂。

由于经典塑性理论的本构关系不包含任何特征长度尺度，所以它不可能预测材料力学性能在微米尺度下的尺寸依赖性。现今的设计工具，例如有限元方法和计算机辅助设计，都是以经典连续介质力学为基础的，已不再适用于如此小的尺度。另一方面，目前还不可能进行微米尺度构元所需要的实时与实际尺度的量子和原子模拟。所以，建立连续介质框架下考虑应变梯度影响的新的本构模型就成了刻划尺度效应的有效工具，也是联系经典塑性力学与原子模拟之间现实可行的桥梁。在韧性材料的宏观断裂行为和原子断裂过程之间建立联系是发展微米尺度下连续介质力学理论的另一个目的，因为经典塑性理论不能够很好地模拟裂纹尖端小尺寸范围内的变形。

2. 简述一般偶应力理论的基本框架。

答：在一般偶应力理论中，微观转动矢量ω是不依赖于位移矢量u 的独立变量，不同于物质转动矢量θ。σ表示柯西应力的对称部分，τ表示柯西应力的反对称部分，m 表示偶应力张量。

为了更好的理解微观转动向量，我们想象真实材料由巨量的离散粒子组成，这些离散粒子可以是分子、原子、离子等微观粒子，大小一般在0.3nm 量级。当整个物体发生物质转动时，每个粒子同时也发生相对转动，粒子自身的转动包括物质转动和粒子的相对转动，每个粒子含有6个自由度。1mm 3体元中大约有3×1019个离散粒子，约有18×1019个自由度。将其看成场量，则有位移场量和微观转动场量。如图为一个含粒子的体元示意图，P 表示粒子的中心，Q 表示体元中的一点，当粒子中心P 运动到p 点，Q 伴随体元运动到q ’点，但由于粒子的自身运动，其实Q 运动到q 点。即

'

'),(),(),(),('

'

'

'

'

'

X X X u X

X X X u X

X

X

u X

X

u t t t t T ⨯+

=⨯+⨯++=⨯

++

=

+

+ωεϑθεϑ

其中，),('

t T X

X u

+

表示宏观与微观的总位移，),('

t X

X u +表示连续介质中任一点

处宏观位移场量，即粒子中心位移),(t X u 与宏观应变和物质转动所产生的位移之和，而

'

X

⨯ϑ表示粒子相对转动产生的微观位移。X 表示粒子中心初始位置，'

X 表示Q 点相

对于粒子中心的位置，θ表示物质转动，ϑ表示粒子相对转动。则

''X X u T

⨯

+∆=ω

ε

其中θϑω+=。可见微观转动包括了物质转动及粒子的相对转动。 不计体力和体力偶的情况下，一般偶应力理论的虚功原理写为

⎰

⎰

+=

++S

i i i i V

ij

ij ij

ij ij

dS q u T dV m ][])[(δωδδχ

δγ

τσ

其中j i ij ,ωχ=为功共轭的转动梯度张量，k ijk j i ij e u ωγ+=,为相对位移梯度张量，ijk e 为通常的置换符号，V 表示物体的体积，S 表示表面。定义反对称张量ij α为相对转动张量，即

)(2

)

(,,k k ijk j i i

j k ijk ij e u u

e θωωα-=--

=

相应的平衡方程为

p

ip ijk jk

j ij j

ij j ij m e t ,,,,2

10

=

=+=τ

τσ

其中，逗号表示对直角坐标系的偏导数，重复的下标表示从1到3的求和在表面S 上，面力及面力矩可表示为

j

ij i j

ij ij

i n

m q n T =+=)(τσ

一般偶应力理论的应变能密度函数w 依赖于应变张量ε，转动梯度张量χ及相对转动张量

α

，相应的本构关系为

ij

ij ij

ij ij

ij

m αωτχωεωσ

∂∂=

∂∂=

∂∂=

,

,

3. 试在只考虑平面应变变形(033=ε)的情况下简要说明CS 应变梯度塑性理论即偶应力理论。

答：在此情况下，柯西应力为)2,1,(=βααβt ，把它分为对称)(βα

αβαβσ

σσ=和反对称

)(βααβαβτττ-=两部分，偶应力为)2,1(=ααm 。