B 理论力学-第11章 达朗贝尔原理及其应用-2解析
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《理论力学(Ⅰ)》PPT 第11章
第11章 达朗贝尔原理
11.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
设一个质量为m的质点，受到固定曲线约
束而沿此曲线运动，作用于质点的主动力为
F，约束力为N，其加速度为a。
牛顿第二定律 ma F N
F
F N ma 0
质点的惯性力：FI ma
ma N
⑴ 假想的，并不作用在质点上；
⑵ 应用时大小、方向分开；
FAy
l aC1 2 α1
ml FIC1 maC1 2 α1
M IC1
ml 2 12 α1
A
FIC1
FAx αM1
IC1
l aC2 lα1 2 α2
ml 2 M IC2 12 α2
FIC2
maC2
mlα1
ml 2
α2
Fmg C1aC1
B α FIC2
2
M IC2
mg C2aC2
Fix 0
ωα O aC ain
MO
MO JOα
Fi M O Fit α miri2 M
负号表示矩的转向与α相反
IO
x
C
FIO FIit
y
ait FIin
结论：⑴ 定轴转动刚体惯性力系向轴心简
化，结果为通过轴心的一个惯性力和一个惯
性力偶。 FIO MaC，M IO JOα ⑵ 定轴转动刚体惯性力系向质心简化，结
ae P
FIAe
ar
P sin 2φ
aB ae 2 Q P sin2 φ
B Q FIB
φ
N
例11-6 长为l、质量为m的两均质细杆AB和 BD，用光滑铰链B相连接，并自由地挂在铅 直位置。今以水平力F作用于AB杆的中点， 求此瞬时两杆的角加速度及A点的约束力。
11.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
设一个质量为m的质点，受到固定曲线约
束而沿此曲线运动，作用于质点的主动力为
F，约束力为N，其加速度为a。
牛顿第二定律 ma F N
F
F N ma 0
质点的惯性力：FI ma
ma N
⑴ 假想的，并不作用在质点上；
⑵ 应用时大小、方向分开；
FAy
l aC1 2 α1
ml FIC1 maC1 2 α1
M IC1
ml 2 12 α1
A
FIC1
FAx αM1
IC1
l aC2 lα1 2 α2
ml 2 M IC2 12 α2
FIC2
maC2
mlα1
ml 2
α2
Fmg C1aC1
B α FIC2
2
M IC2
mg C2aC2
Fix 0
ωα O aC ain
MO
MO JOα
Fi M O Fit α miri2 M
负号表示矩的转向与α相反
IO
x
C
FIO FIit
y
ait FIin
结论：⑴ 定轴转动刚体惯性力系向轴心简
化，结果为通过轴心的一个惯性力和一个惯
性力偶。 FIO MaC，M IO JOα ⑵ 定轴转动刚体惯性力系向质心简化，结
ae P
FIAe
ar
P sin 2φ
aB ae 2 Q P sin2 φ
B Q FIB
φ
N
例11-6 长为l、质量为m的两均质细杆AB和 BD，用光滑铰链B相连接，并自由地挂在铅 直位置。今以水平力F作用于AB杆的中点， 求此瞬时两杆的角加速度及A点的约束力。
北京交通大学理论力学达朗贝尔原理课件
M gx
mi
zi
x i
2
mi yi zi
z
J yz J zy mi yi zi J zx J xz mi zi xi
刚体对z轴旳惯性积
ri
FIti
O
zi
yi
xi
x
FIin y
M gx J xz J yz 2 M gy J yz J xz 2
M gz miri2 J z
刚体作定轴转动时
FgR mac
M gc 0
（转轴与质量对称面垂直，向质量对称面与转轴交点简化）
FgR mac
M g0 M gz J z
刚体作平面运动时
（设运动平行于质量对称面、向质心C简化)
Fgc mac
M gc Jc
例1：
a
FgR maC
HC
M gc JC
a Hy
H
an HC
aA aC
均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其
质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：
圆柱体A旳角加速度。
MI
FOy
FT
FOx
拓展：
M IA
FT
FIA
FN
已知：均质圆盘 m1, 纯R,滚动.均质杆 l 2R, m2.
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面? 纯滚动旳条件?
FgO
FOY MgO O
FOX C1
MgC2 A
FgC2 C2 B
？拟定惯性力大小
mg
mg
例3长均为l，质量均为m旳均质杆OA、AB铰接于O，在图
示水平位置由静止释放，求初始瞬时OA、AB旳角加速度。
？列什么方程 aC1
武汉理工理论力学第十一章 达朗贝尔原理讲解
FI2 Nhomakorabea m2a
FIin
mi
v2 r
MO 0
(m1g FI1 m2g FI2)r FIit r 0
FIin
ait aiOn
FIit FOy FOx
FI1
mg
a
(m1g m1a m2g m2a)r miar 0 a
m2g
miar (mi )ar mar
m1g
FI2
a m1 m2 g m1 m2 m
理论力学
第十一章达朗贝尔原理 (动静法)
2020年9月24日
第十一章 达朗贝尔原理
§11－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理 §11－2 质点系的达朗贝尔原理 §11－3 刚体惯性力系的简化 §11－4绕定轴转动刚体的轴承动约束力
§11-1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m，加速度为a，作用于质点的主动 力F，约束力FN。 由牛顿第二定律，有
§11-2 质点系的达朗贝尔原理
例：飞轮质量为m，半径为R, 以匀角速度ω定轴转动，设
轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考虑重力的
影响，求轮缘横截面的张力。
解：由于对称，取四分之一轮缘为研究对象。
y
取微小弧段，加惯性力
FIi
mi ain
m
2R
Ri
R2
FA
A
列平衡方程
Fx 0 , FIi cosi FA 0
加惯性力
FIi miai miaC
惯性力系的合力：
FIR
FI1
FI
ma F FN
m
令 FI ma
F FN
F FN FI 0
ma
FI — 称为质点的惯性力。
FIin
mi
v2 r
MO 0
(m1g FI1 m2g FI2)r FIit r 0
FIin
ait aiOn
FIit FOy FOx
FI1
mg
a
(m1g m1a m2g m2a)r miar 0 a
m2g
miar (mi )ar mar
m1g
FI2
a m1 m2 g m1 m2 m
理论力学
第十一章达朗贝尔原理 (动静法)
2020年9月24日
第十一章 达朗贝尔原理
§11－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理 §11－2 质点系的达朗贝尔原理 §11－3 刚体惯性力系的简化 §11－4绕定轴转动刚体的轴承动约束力
§11-1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m，加速度为a，作用于质点的主动 力F，约束力FN。 由牛顿第二定律，有
§11-2 质点系的达朗贝尔原理
例：飞轮质量为m，半径为R, 以匀角速度ω定轴转动，设
轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考虑重力的
影响，求轮缘横截面的张力。
解：由于对称，取四分之一轮缘为研究对象。
y
取微小弧段，加惯性力
FIi
mi ain
m
2R
Ri
R2
FA
A
列平衡方程
Fx 0 , FIi cosi FA 0
加惯性力
FIi miai miaC
惯性力系的合力：
FIR
FI1
FI
ma F FN
m
令 FI ma
F FN
F FN FI 0
ma
FI — 称为质点的惯性力。
《达朗贝尔原理》课件
达朗贝尔原理的微分方程形式为：dM/dt=∫F·d(dr/dt)dr，其中dM/dt表示动量 矩对时间的变化率，dr/dt表示速度矢量，∫F·d(dr/dt)dr表示力矩对时间的积分 。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
达朗贝尔原理
FT maB ml cos30 0
Fy 0
FN FIr sin30 mg 0
(2)
C
FN ml sin30 mg 0 MC (F ) 0
B
FN
mg
x
FT l cos30 FN l sin30 M I 0
(3)
1 2 FT l cos 30 FN l sin 30 ml 0 3
以B为基点, 则A点的加速度为
t n t n aA aA aB aAB aAB
aB
2
A
t aA t aCB
其中
a v AE 0
n A 2 A
a
n AB
2l 0
B aB
30o
将上式投影到x 轴上得
0 aB a cos30
t AB
x
aB 2l cos30
ma F FN
将上式改写成
FI m F a
F FN ma 0
令
FI ma
FN
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘 积, 方向与质点加速度的方向相反。
一、质点的达朗贝尔原理
则有
F FN FI 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
(e)
(e)
称ΣFIi为惯性力系的主矢， ΣMO(FIi) 为惯性力 系的主矩。
三、刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题， 需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性 力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力学力 系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。
理力11(动力学-李卓球)-达朗贝尔原理
Fi ( e ) Fi (i ) FIi 0 (i 1, 2,, n)
(e) (i ) M ( F ) M ( F ) M ( F ) 0 O i O i O Ii (e) F i FIi 0 (e) M O (Fi ) M O (FIi ) 0
小。
3
例题
第11章 达朗贝尔原理
例 题 11-1
4
例题
第11章 达朗贝尔原理
例 题 11-1
解： 以小球为研究的质点。质点作匀速圆周
运动，只有法向加速度，在质点上除作用有
O θ
重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力FI，
如图所示。
l
v2 FI man m l sin
F eb en mg
作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力 在形式上组成平衡力系。 ——动静法
..＼惯性力· 达朗贝尔原理＼质点的达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx FIx Fx 0 Fy FNy FIy Fy 0 Fz FNz FIz Fz 0
i i i
应用达朗贝尔原理求解质点动力学问题的步骤
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。 4、应用达朗贝尔原理建立平衡方程求解
2
例题
第11章 达朗贝尔原理
例 题 11-1
如图所示一圆锥摆。质
O θ l
量m = 0.1 kg的小球系于长l = 0.3 m 的绳上，绳的一端 系在固定点 O ，并与铅直线 成θ =60º 角。如小球在水平 面内作匀速圆周运动，求小 球的速度v与绳的张力F的大
(e) (i ) M ( F ) M ( F ) M ( F ) 0 O i O i O Ii (e) F i FIi 0 (e) M O (Fi ) M O (FIi ) 0
小。
3
例题
第11章 达朗贝尔原理
例 题 11-1
4
例题
第11章 达朗贝尔原理
例 题 11-1
解： 以小球为研究的质点。质点作匀速圆周
运动，只有法向加速度，在质点上除作用有
O θ
重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力FI，
如图所示。
l
v2 FI man m l sin
F eb en mg
作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力 在形式上组成平衡力系。 ——动静法
..＼惯性力· 达朗贝尔原理＼质点的达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx FIx Fx 0 Fy FNy FIy Fy 0 Fz FNz FIz Fz 0
i i i
应用达朗贝尔原理求解质点动力学问题的步骤
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。 4、应用达朗贝尔原理建立平衡方程求解
2
例题
第11章 达朗贝尔原理
例 题 11-1
如图所示一圆锥摆。质
O θ l
量m = 0.1 kg的小球系于长l = 0.3 m 的绳上，绳的一端 系在固定点 O ，并与铅直线 成θ =60º 角。如小球在水平 面内作匀速圆周运动，求小 球的速度v与绳的张力F的大
(完整版)理论力学课后习题答案第11章达朗贝尔原理及其应用
第11章达朗贝尔原理及其应用11－1均质圆盘作定轴转动，其中图（a ），图（c ）的转动角速度为常数，而图（b ），图（d ）的角速度不为常量。
试对图示四种情形进行惯性力的简化。
ωα=0α≠0ωα=0ωα≠0ω（a ）（b ）习题11－1图（c ）（d ）F I OOF InF Itωα=0M I OωOωOωα≠0M I Oα≠0α=0（a ）（b ）（c ）（d ）习题11-1解图解：设圆盘的质量为m ，半径为r ，则如习题11-1解图：2（a ）F I=mr ω，MI O=0（b ）F I =mr ω，F I=mr α，MI O=J O α=（c ）F I=0，MI O=0（d ）F I=0，MI O=J O α=11－2矩形均质平板尺寸如图，质量27kg ，由两个销子A 、B 悬挂。
若突然撤去销子B ，求在撤去的瞬时平板的角加速度和销子A 的约束力。
n2t32mr α212mr α2ACB解：如图（a ）：设平板的质量为m ，长和宽分别为a 、b 。
F I=m α⋅AC =3.375α0.20m习题11－2图.15m1M I A =J A α=[m (a 2+b 2)+m ⋅AC 2]α=0.5625α122α=47.04rad/s M -0.1mg =0；；M (F )=0I A∑A F AyF IF Ax AM I A C a CBαm g θ∑F y=0；F I cos θ+F Ay -mg =0；sin θ=4=0.850.20m （a ）.15m∑Fx=0；F I sin θ-F Ax=0；其中：sin θ=3=0.65F Ax=3.375⨯47.04⨯0.6=95.26NF Ay=27⨯9.8-3.375⨯47.04⨯0.8=137.6N11－3在均质直角构件ABC 中，AB 、BC 两部分的质量各为 3.0kg ，用连杆AD 、DE 以及绳子AE 保持在图示位置。
若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD 、BE 所受的力。
理论力学经典课件-达朗伯原理
3
弹簧参数选择
使用达朗伯原理可以确定弹簧参数，以满足系统的稳定性和运动要求。
达朗伯原理的基本假设
1 理想约束
系统的约束可以用广义坐标表示，且广义坐标不相互依赖。
2 无耗散
系统的约束不引起能量的损耗。
达朗伯原理的三种形式
虚位移原理
系统的广义坐标在可行的无限小位移中，虚功等于零。
虚功原理
各个力沿任意小位移方向所做的虚功之和等于零。
虚功率原理
各个力的虚功率之和等于广义力的负广义势能的导数。
理论力学经典课件-达朗 伯原理
在力学领域，达朗伯原理是一项重要的基本原理，它提供了分析物体或系统 运动的理论框架。在本课件中，我们将探讨达朗伯原理的定义和应用。
达朗伯原理的定义
1 物理意义
达朗伯原理描述了一个自由度系统在广义坐标下运动的基本性质。
2 公式表达
达朗伯原理可以表示为系统动能与势能函数之间的差分式。
达朗伯原理在力学中的应用
通过应用达朗伯原理，我们可以：
• 分析并预测系统的运动 • 推导出系统的运动方程 • 计算系统的能量变化
达朗伯原理广泛应用于：
• 刚体力学 • 含有约束达朗伯原理中的虚位移是指系统在可能的位移下进行力学分析。通过选择合适的虚位移，我们可以简化问题并 得到更简洁的方程。
达朗伯原理在系统平衡分析中的应用
达朗伯原理可以用于分析系统的平衡条件，从而确定约束力和广义力的关系。这对于研究平衡稳定性和找到系 统的平衡位置非常重要。
达朗伯原理的实际应用举例
1
汽车悬挂系统
通过达朗伯原理，可以分析汽车悬挂系统的运动特性，优化系统设计。
2
自鸣钟
达朗伯原理可以解释自鸣钟的工作原理，为其设计和制造提供指导。
理论力学11—达朗贝尔原理2
静平衡与动平衡的概念
静平衡：
动平衡：转轴为中心惯性主轴时， 转动时不产生附加动反力。 动平衡的刚体，一定是静平衡的； 反过来，静平衡的刚体，不一定是动平 衡的。
[例8] 质量不计的转轴以角速度 匀速转动， 其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出 在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是 动平衡的？
z B
FB
由式 (1) 和 (2) 解得
b e FA (1 )P ab g
2
FIO
A
FA
O C
e
a e FB (1 )P ab g
2
aP
(b)
b
两轴承所受的力分别和 FA 、FB 的大小相等而 方向相反。
E 例10 均质杆的质量为m, 长为2l, A 一端放在光滑地面上, 并用两软 a C 绳支持 , 如图所示。求当 BD 绳 aB t 30o 切断的瞬时, B点的加速度、AE aCB B 绳的拉力及地面的约束力。 D aB 解: 以杆AB为研究对象，杆AB y FT 作平面运动。 以点 B为基点， A E 则点C 的加速度为
sin j r l r 4
2 2
MA
y FAy
C
B
x
cos j
l
2 l 2 r2 4
将已知数值代入以上三式，解之得
FAx mra
l FAy mg ma 2
1 1 2 M A W，B端与重G、半径为 r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力 偶，借助于细绳提升重为P的重物C。试求固定 l 端A的约束力。 解：先以轮和重物为研究对象 , A B 受力如图。假想地加上惯性力 M
M A (F ) 0
C
a
理论力学经典课件达朗伯原理
02
该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ，后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出，在一个动力学系统 中，对于任何一个质点，其受到的合 外力等于零，即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时，只需要 考虑主动力，而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中，物体的加速度与 作用力成正比，与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律，可以建立物 体运动的动力学方程，描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中，为了保持牛顿运 动定律的形式不变，引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出，在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下，单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析，可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理，可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中，达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析，可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用，特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律，例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外，达朗伯原理还可以应用于工程学领域，例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理，我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为，从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ，后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出，在一个动力学系统 中，对于任何一个质点，其受到的合 外力等于零，即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时，只需要 考虑主动力，而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中，物体的加速度与 作用力成正比，与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律，可以建立物 体运动的动力学方程，描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中，为了保持牛顿运 动定律的形式不变，引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出，在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下，单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析，可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理，可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中，达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析，可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用，特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律，例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外，达朗伯原理还可以应用于工程学领域，例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理，我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为，从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
11理论力学达朗贝尔原理
三、 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi， 加速度为ai。
（1）若把作用于此质点上的所有力分为主动力的合
力Fi、约束力的合力FNi，再虚拟加上此质点的 惯性力FIi= –miai。
由质点的达朗贝尔原理，有
Fi+ FNi+ FIi =0 （11－3） 该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、
F x 0,FIi cosi FA 0OFLeabharlann y 0,FIi sini FB 0
而
FIi = miain
m
2R
Ri
R 2
R Δθi
θi
FIi
B
x
FB
19
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
令 Δθi
0，有
FIi
cosi
2 0
m
2
R 2
cosd
mR 2 2
FIi
sini
2 0
m
2
R 2 sind
例11－3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定轴 转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考 虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。
y
A
R O
B
x
18
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
解：由于对称，取四分之一轮 缘为研究对象，如图所示。
轮缘横截面张力设为FA、FB。
y
FA
A
取圆心角为Δθi的微小弧段， 每段 加惯性力FIi。 列平衡方程
FIi 0
故
i 1 n
i 1 n
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
i 1
i 1
(14-4)
29.理论力学PPT课件之达朗贝尔原理的应用
有时候也可以综合应用达朗贝尔原理及其他动力学普遍定理。
10.4 达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
技术提示 应用达朗贝尔原理求动力学问题的步骤及要点： （1）选取研究对象。原则与静力学相同。 （2）受力分析。画出全部主动力和约束反力。 （3）运动分析。尤其刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。 （4）虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确运动 分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。 （5）列平衡方程。选取适当的矩心和投影轴。 （6）建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 （7）求解未知量。
10.4 达朗贝尔原理的应用
达朗贝尔原理是研究动力学问题的一种新的、有效的方法，以静力学平 衡方程的形式来建立动力学方程，可以熟练地求解两类动力学问题。应用达 朗贝尔原理既可求运动，例如：加速度、角加速度等；也可以求力，并且多 用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力等。
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如， 矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时， 应用动静法求解它们时就方便得多。此外，很多动力学问题都是一题多解，
10.4 达朗贝尔原理的应用
工程模拟训练 试分析轴上轮盘安装出现偏心距时ห้องสมุดไป่ตู้对轴承的动约束反力。 试分析货车装运超高时，容易翻到的原因。 试用达朗贝尔原理求解其他动力学定理能解决的问题。
10.4 达朗贝尔原理的应用 编辑人： XXX时 间 ： x x 月 x x 年
10.4 达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
技术提示 应用达朗贝尔原理求动力学问题的步骤及要点： （1）选取研究对象。原则与静力学相同。 （2）受力分析。画出全部主动力和约束反力。 （3）运动分析。尤其刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。 （4）虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确运动 分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。 （5）列平衡方程。选取适当的矩心和投影轴。 （6）建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 （7）求解未知量。
10.4 达朗贝尔原理的应用
达朗贝尔原理是研究动力学问题的一种新的、有效的方法，以静力学平 衡方程的形式来建立动力学方程，可以熟练地求解两类动力学问题。应用达 朗贝尔原理既可求运动，例如：加速度、角加速度等；也可以求力，并且多 用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力等。
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如， 矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时， 应用动静法求解它们时就方便得多。此外，很多动力学问题都是一题多解，
10.4 达朗贝尔原理的应用
工程模拟训练 试分析轴上轮盘安装出现偏心距时ห้องสมุดไป่ตู้对轴承的动约束反力。 试分析货车装运超高时，容易翻到的原因。 试用达朗贝尔原理求解其他动力学定理能解决的问题。
10.4 达朗贝尔原理的应用 编辑人： XXX时 间 ： x x 月 x x 年
理论力学教学材料第十一章PPT演示文稿
m
二. 质点系的达朗伯原理
F1
Fg1
m1
a1
FN1 FNi
mi
FN2
Fgi
Fg2
m2
ai
Fi
F2
a2
质点系的主动力系
F 1,F 2, ,F i, ,F n
质点系的约束力系 F N 1 ,F N 2 , ,F N i, ,F N n 质点系的惯性力系
F g 1 ,F g 2 , ,F g i, ,F g n
第11章 达朗伯原理(动静法)
※ 引言 ※ 惯性力 ※ 达朗伯原理 ※ 刚体惯性力系的简化 ※ 动绕定轴转动刚体的轴承动反力 ※ 结论与讨论
引言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。
达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问 题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
F —— 主动力； FN —— 约束力； Fg—— 质点的惯性力。
非自由质点的达朗伯原理
作用在质点上的主动力和约束力 与假想施加在质点上的惯性力，形 式上组成平衡力系。
达朗伯原理(动静法)
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法
F + FN ＋ Fg＝0 Fg ＝－ ma
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度；
BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出
F1
m1g
2cos
以F1值代入前两式，可解出
y1
F1 F1 F2
C
B F*
cos m1 m2 m1l2
m1g F 1
m2 g
由此式可知，调速器两臂的张角α与主轴转动角速度ω有关。 利用这个结果可以选择m1 ，m2 ，l等参数，使在某一转速ω下， 角α为某一值，从而可以求得重锤C的相应位置，带动调节装置 进行调速。
二. 质点系的达朗伯原理
F1
Fg1
m1
a1
FN1 FNi
mi
FN2
Fgi
Fg2
m2
ai
Fi
F2
a2
质点系的主动力系
F 1,F 2, ,F i, ,F n
质点系的约束力系 F N 1 ,F N 2 , ,F N i, ,F N n 质点系的惯性力系
F g 1 ,F g 2 , ,F g i, ,F g n
第11章 达朗伯原理(动静法)
※ 引言 ※ 惯性力 ※ 达朗伯原理 ※ 刚体惯性力系的简化 ※ 动绕定轴转动刚体的轴承动反力 ※ 结论与讨论
引言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。
达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问 题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
F —— 主动力； FN —— 约束力； Fg—— 质点的惯性力。
非自由质点的达朗伯原理
作用在质点上的主动力和约束力 与假想施加在质点上的惯性力，形 式上组成平衡力系。
达朗伯原理(动静法)
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法
F + FN ＋ Fg＝0 Fg ＝－ ma
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度；
BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出
F1
m1g
2cos
以F1值代入前两式，可解出
y1
F1 F1 F2
C
B F*
cos m1 m2 m1l2
m1g F 1
m2 g
由此式可知，调速器两臂的张角α与主轴转动角速度ω有关。 利用这个结果可以选择m1 ，m2 ，l等参数，使在某一转速ω下， 角α为某一值，从而可以求得重锤C的相应位置，带动调节装置 进行调速。
(完整版)理论力学课后习题答案第11章达朗贝尔原理及其应用
（a ）习题11－1图第11章 达朗贝尔原理及其应用11－1 均质圆盘作定轴转动，其中图（a ），图（c ）的转动角速度为常数，而图（b ），图（d ）的角速度不为常量。
试对图示四种情形进行惯性力的简化。
解：设圆盘的质量为m ，半径为r ，则如习题11-1解图：（a ）2I ωmr F =，0I =O M（b ）2n I ωmr F =，αmr F =tI ，αα2I 23mr J M O O == （c ）0I =F ，0I =O M （d ）0I =F ，αα2I 21mr J M O O ==11－2矩形均质平板尺寸如图，质量27kg ，由两个销子 A 、B 悬挂。
若突然撤去销子B ，求在撤去的瞬时平板的角加 速度和销子A 的约束力。
解：如图（a ）：设平板的质量为m ，长和宽分别为a 、b 。
αα375.3I =⋅=AC m Fααα5625.0])(121[222I =⋅++==AC m b a m J M A A∑=0)(F AM ；01.0I =-mg M A ；2rad/s 04.47=α ∑=0x F ；0sin I =-Ax F F θ；其中：6.053sin ==θN 26.956.004.47375.3=⨯⨯=Ax F∑=0y F ；0cos I =-+mg F F Ay θ；8.054sin ==θ习题11－2图习题11-1解图（a ）（a ）N 6.1378.004.47375.38.927=⨯⨯-⨯=Ay F11－3在均质直角构件ABC 中，AB 、BC 两部分的质量各为3.0kg ，用连杆AD 、DE 以及绳子AE 保持在图示位置。
若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD 、BE 所受的力。
连杆的质量忽略不计，已知l = 1.0m ，φ = 30º。
解：如图（a ）：设AB 、BC 两部分的质量各为m = 3.0kg 。
直角构件ABC 作平移，其加速度为a = a A ，质心在O 处。
理论力学达朗贝尔原理
§10-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力R Q 和一个 惯性力偶 M QO 。
RQ QmaMaC MQOmO(Q)
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
5
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F ， 约束反力 N ，合力 RFNm a FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
7
例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
8
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得
agtg
对平面任意力系：
Xi(e) Qix0 Yi(e) Qiy0 mO(Fi(e) )mO(Qi )0
对于空间任意力系：
Xi(e)Qix0 , mx(Fi(e))mx(Qi)0 Yi(e)Qiy0 , my(Fi(e))my(Qi)0 Zi(e)Qiz0 , mz(Fi(e))mz(Qi)0
dv dvdv dvgsin dt d dt Rd
v2 2gR(1cos)
F Nm(3 g co s2)
§10-2 质点系的达朗伯原理
第11章 达朗贝尔原理及其应用
1 2 a M I mA r 2 r
a 3g
mA a
y
F
0
地面摩擦力
FS f S F N f S g m A m
FN m A m g
（2）以圆轮为研究对象：
1 FS r M I m A r a 2
fS FS FN 2 mA m 3 mA
AB 受重力 G、支座 A 处反力F A x 、F A y
。
（2）运动分析及虚加惯性力及力偶
杆 AB 的角速度w = 0，角加速度设为a。 l l 2 n aC aC 0 2 2 G G 1G 2 FI a C l ; M IA J A l g 2g 3g
主矢： 主矩：
FI 0
——惯性力 ——惯性力偶
M IC J C
三、平面运动刚体
主矢： 主矩： M
FI maC
IC
——惯性力 ——惯性力偶
J C
第16章
达朗贝尔原理
关于惯性力和惯性力偶“－”号的处理： （1）画图时总是按照质心加速度和刚体角加速度相反方向画出惯性力 与惯性力偶； （2）写公式时总是只写惯性力与惯性力偶的大小表达式。 例如：画出图中惯性力和惯性力偶，而其表达式为：
a 3g
以圆轮为研究对象： M A 0
FS r M I 0
1 3 FS m A a mA g 2 2
fS FS FN 2 mA m 3 mA
解：（1）以杆为研究对象：
MA F 0
F
IA
m a r sin 300 m g r cos300 0
ห้องสมุดไป่ตู้
解：以小球为研究对象 2 FI man an l sin
a 3g
mA a
y
F
0
地面摩擦力
FS f S F N f S g m A m
FN m A m g
（2）以圆轮为研究对象：
1 FS r M I m A r a 2
fS FS FN 2 mA m 3 mA
AB 受重力 G、支座 A 处反力F A x 、F A y
。
（2）运动分析及虚加惯性力及力偶
杆 AB 的角速度w = 0，角加速度设为a。 l l 2 n aC aC 0 2 2 G G 1G 2 FI a C l ; M IA J A l g 2g 3g
主矢： 主矩：
FI 0
——惯性力 ——惯性力偶
M IC J C
三、平面运动刚体
主矢： 主矩： M
FI maC
IC
——惯性力 ——惯性力偶
J C
第16章
达朗贝尔原理
关于惯性力和惯性力偶“－”号的处理： （1）画图时总是按照质心加速度和刚体角加速度相反方向画出惯性力 与惯性力偶； （2）写公式时总是只写惯性力与惯性力偶的大小表达式。 例如：画出图中惯性力和惯性力偶，而其表达式为：
a 3g
以圆轮为研究对象： M A 0
FS r M I 0
1 3 FS m A a mA g 2 2
fS FS FN 2 mA m 3 mA
解：（1）以杆为研究对象：
MA F 0
F
IA
m a r sin 300 m g r cos300 0
ห้องสมุดไป่ตู้
解：以小球为研究对象 2 FI man an l sin
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本课程有部分内容与《大学物理》重复，如点的运动、刚体 简单运动、质点运动微分方程、质点的动量、动量矩和动能 定理等，对这些内容，本课程只作适当的复习或让学生自学。
第11章 达朗贝尔原理及其应用
引入惯性力的概念，应用达朗贝尔原理，将静力学中求解 平衡问题的方法用于分析和解决动力学问题。这种方法称为 “动静法”。“动”代表研究对象是动力学问题；“静”代表 研究问题所用的方法是静力学方法。 达朗贝尔原理是在18世纪随着机器动力学问题的发展而提 出的，它提供了有别于动力学普遍定理的新方法，尤其适用于 受约束质点系统求解动约束力和动应力等问题。因此在工程技 术中有着广泛应用，并且为“分析力学”奠定了理论基础。 达朗贝尔原理虽然与动力学普遍定理具有不同的思路， 但却获得了与动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方程， 并在某些应用领域也是等价的。
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
这里仅讨论刚体有质量对称 面且转轴与质量对称面垂直的
情形。这种情形下，可以先将
惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关；惯性力系的主矩 与刚体的运动形式有关。
刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体平移时，由于同一瞬时刚体内各质点的加速度都相同， 惯性力系为平行力系，所以，惯性力系简化结果为通过质心C 的合力，用FIR表示：
FIR m a C
其中m为刚体的质量;aC为刚体的质心加速度。
e i Ii e O i
O ( FIi ) 0
这两个矢量式可以写出六个投影方程。 根据达朗贝尔原理，只要在质点系上施加惯性力，就 可以应用上述方程求解动力学问题，这就是质点系的动静法。
11.2 惯性力系的简化
惯性力系的主矢与主矩 刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果
动静法平衡方程的矢量形式
F FN FI 0
动静法平衡方程的投影形式
Fx FNx FIx 0 Fy FNy FIy 0 Fz FNz FIz 0动静法方程的矢量形式来自F FN FI 0
动静法方程的投影形式
Fx FNx FIx 0 Fy FNy FIy 0 Fz FNz FIz 0
根据静力学中力系的平衡条件和平衡方程，空间一般力系 平衡时，力系的主矢和对任意一点O的主矩必须同时等于零。
为方便起见，将真实力分为内力和外力（各自包含主动力 和约束力）。主矢、主矩同时等于零可以表示为
Fi e Fi i FIi 0 FR e i M O M O ( Fi ) M O ( Fi ) M O ( FIi ) 0
惯性力系的主矢与主矩
所有惯性力组成的力的系统，称为惯性力系。 与一般力系相似，惯性力系中所有惯性力的矢量和称为惯 性力系的主矢：
FIR F Ii (mi a i ) m a C
惯性力系中所有力向同一点简化，所得力偶的力偶矩矢量 的矢量和，称为惯性力系的主矩：
M IO M O ( FIi )
注意到质点系中各质点间的内力总是成对出现，且等值、 反向，故上式中 i i M ( F F 0 O i )=0 i
上述方程变为
F F 0 M (F ) M
e i Ii e O i
( F ) 0 O Ii
F F 0 M (F ) M
m a F FN
若将上式左端的ma移至右端，则有
F FN m a 0
FI m a
F FN FI 0
F FN FI 0
可以假想FI是一个力，它的大小等于质点的质量与加速 度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。因其与质点的 质量有关，故称为达朗贝尔惯性力(dˊAlembert inertial force)，简称惯性力。
第11章 达朗贝尔原理及其应用
11.1 惯性力与达朗贝尔原理 11.2 惯性力系的简化 11.3 达朗贝尔原理的应用示例
11.4 结论与讨论 11.5 参考性例题
11.1 惯性力与达朗贝尔原理
质点的达朗贝尔原理与惯性力
质点系的达朗贝尔原理
质点的惯性力与达朗贝尔原理
在惯性参考系Oxyz中，设一非自由 质点的质量为m，加速度为a，在主动 力、约束力作用下运动。由牛顿第二 定律，有
应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还必 须分析惯性力，并假想地加在质点上。其余过程与静力学完 全相同。 需要注意的是，惯性力只是为了应用静力学方法求解动 力学问题而假设的虚拟力，所谓的平衡方程，仍然反映了真 实力与运动之间的关系。
质点系的达朗贝尔原理
将质点的达朗贝尔原理推广至质点系。考察由n个质点组成 的非自由质点系，对每个质点都施加惯性力，则n个质点上所受 的全部主动力、约束力和假想的惯性力均形成空间一般力系。 对于每个质点，达朗贝尔原理均成立，即认为作用在质点上 的主动力、约束力和惯性力组成形式上的平衡力系，则由n个质 点组成的质点系上的主动力、约束力和惯性力，也组成形式上的 平衡力系。
理论力学
西安航空学院
赵银燕 教授
西安航空学院机械学院力学基础部 范钦珊教育与教学工作室
第3篇 工程动力学基础
第 7 章 质点动力学
第 8 章 动量定理及其应用
第 9 章 动量矩定理及其应用
第 10 章 动能定理及其应用 第 11 章 达朗贝尔原理及其应用
第 12 章 虚位移原理及其应用
第
13 章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
上述方程形式上是一静力平衡方程。可见，由于引入了 达朗贝尔惯性力，质点动力学问题转化为形式上的静力平 衡问题。
假想在运动的质点上加上惯性力，则可认为作用在质点上 的主动力、约束力以及惯性力，在形式上组成平衡力系。此即 达朗贝尔原理(dˊAlembert principle)，亦即动静法(method of kineto statics)。