人教版高三数学专题总复习及参考答案

人教版高三数学专题总复习及参考答案

高考数学

复习专题

专题一集合、逻辑与不等式

集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．

关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．

§1－1 集合

【知识要点】

1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．

2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．

3．两类不同的关系：

(1)从属关系——元素与集合间的关系；

(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．

4．集合的三种运算：交集、并集、补集．

【复习要求】

1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．

2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．

3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．

4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】

例1 给出下列六个关系：

(1)0∈N* (2)0{－1，1} (3)∈{0}∉∅

(4){0} (5){0}∈{0，1} (6){0}{0}∅∉⊆

其中正确的关系是______．

解答：(2)(4)(6)

【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作；N 表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实

数集．∅

2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a 是集合A 的元素，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，记作：aA ．∉

3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集．记作：AB 或BA ．⊆⊇

如果集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么，集合A 叫做集合B 的真子集．AB 或BA ．

4．子集的性质：

①任何集合都是它本身的子集：AA ；⊆

②空集是任何集合的子集：A ；∅⊆

提示：空集是任何非空集合的真子集．

③传递性：如果AB ，BC ，则AC ；如果AB ，BC ，则AC ．⊆⊆⊆

例2 已知全集U ＝{小于10的正整数}，其子集A ，B 满足条件(UA)∩(UB)＝{1，9}，A ∩B ＝{2}，B ∩(UA)＝{4，6，8}．求集合A ，B ．

解：根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，

图1－1

于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．

故A ＝{2，3，5，7}，B ＝{2，4，6，8}．

【评析】1、明确集合之间的运算

对于两个给定的集合A 、B ，由既属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集．记作：A ∩B ．

对于两个给定的集合A 、B ，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A 、B 的并集．记作：A ∪B ．

如果集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合叫做A 在U 中的补集．记作UA ．

2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．

例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a}．若M ∩N ＝，则实数a 的取值范围是______．∅

答：(－∞，－1]．

【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．

例4 设a ，b ∈R ，集合，则b －a ＝______．},,0{},,1{b a

b a b a =+

【分析】因为，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则没有意义)，},,0{},,1{b a b

a b a =+a b 所以，a ＋b ＝0，＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a}，a ＝－1，

a

b 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．

练习1－1

一、选择题

1．给出下列关系：①；②Q ；③｜－3｜N*；④．其中正确命题的个数是( )R ∈212∉∉Q ∈-|3|

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( )

(A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}

(C)A ＝{0}，B ＝ (D)A ＝{y ｜y ＝x2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x2＋1}∅

3．已知M ＝{(x ，y)｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y)｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( )

(A)MN (B)NM (C)M ＝N (D)M ∩N ＝∅

4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N}，则下式中正确的关系是( )

(A)U ＝A ∪B (B)U ＝(UA)∪B (C)U ＝A ∪(UB) (D)U ＝(UA)∪(UB)

二、填空题

5．已知集合A ＝{x ｜x ＜－1或2≤x ＜3}，B ＝{x ｜－2≤x ＜4}，则A ∪B ＝______．

6．设M ＝{1，2}，N ＝{1，2，3}，P ＝{c ｜c ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N}，则集合P 中元素的个数为______．

7．设全集U ＝R ，A ＝{x ｜x ≤－3或x ≥2}，B ＝{x ｜－1＜x ＜5}，则(UA)∩B ＝______.

8．设集合S ＝{a0，a1，a2，a3}，在S 上定义运算为：aiaj ＝ak ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0，1，2，3．则a2a3＝______；满足关系式(xx)a2＝a0的x(x ∈S)的个数为______．⊕⊕⊕⊕⊕

三、解答题

9．设集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，C ＝{2，3，4}，求(A ∩B)∪C ．

10．设全集U ＝{小于10的自然数}，集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(UA)∩B ＝{4，6，

8}，(UA)∩(UB)＝{1，9}，求集合A 和B ．

11．已知集合A ＝{x ｜－2≤x ≤4}，B ＝{x ｜x ＞a}，

①A ∩B ≠，求实数a 的取值范围；∅

②A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；

③A ∩B ≠，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．∅

§1－2 常用逻辑用语

【知识要点】

1．命题是可以判断真假的语句．

2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．

可以利用真值表判断复合命题的真假．

3．命题的四种形式

原命题：若p 则q ．逆命题：若q 则p ．否命题：若p ，则q ．逆否命题：若q ，则p ．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．⌝⌝⌝⌝

4．充要条件