3.矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵
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第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵一、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝
01
11
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，Ｂ＝
11
23
-
⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
，Ｃ＝
01
10
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
由A、B、C研究矩阵
是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性质【应用】
1.设Ａ＝
01
11
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，求Ａ8
2. 【练习：P41】
二、逆变换与逆矩阵
1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。
2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
符号、记法：1
A-，读作Ａ的逆。
【应用】
1.试寻找Ｒ30o的逆变换。
【应用】
1.A＝
31
42
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1
A-。
2. A＝
21
42
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1
A-。
由以上两题，总结一般矩阵A＝
a b
c d
⎛⎫
⎪
⎝⎭
可逆的必要条件。
三、逆矩阵的性质
1.二阶矩阵可逆的唯一性。
2.设二阶矩阵A、B均可逆，则A B也可逆，且111
()
AB B A
---
=
【练习：P50】
【第三讲.作业】
1.已知非零二阶矩阵A 、B 、C ，下列结论正确的是 （ ） A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC 则A=B D. 若CA=CB 则A=B
2.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。 B.60o
R 变换。 C.横坐标不变，
纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换 3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ） A. 0110⎛⎫
⎪
⎝⎭
B. 0.5001⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 1010⎛⎫
⎪⎝⎭ 4.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.111()AB A B ---= B. 111()AB B A ---= C.11()A A --= D. 2112()()A A --= 5.0110N -⎛⎫=
⎪⎝⎭
，则Ｎ2
＝
6. 1011⎛⎫ ⎪⎝⎭1002⎛⎫ ⎪⎝⎭1101⎛⎫ ⎪⎝⎭0111⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝
7.1203⎛⎫
⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭4624-⎛⎫
⎪-⎝⎭
＝ 8.设1021A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0210B ⎛⎫= ⎪⎝⎭则向量11⎛⎫
⎪-⎝⎭
经过先Ａ再Ｂ的变换后的
向量为 经过先Ｂ再A 的变换后的向量为
9.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是
10.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1
将（1，0）变成点 11.矩阵0111⎛⎫
⎪⎝⎭
的逆矩阵为 12.设ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝
⎭x y ⎛⎫
⎪⎝⎭，点（－2，3）在ρ
－1
的作用下的点
的坐标为
13.A ＝1101-⎛⎫ ⎪⎝
⎭122122⎛⎫
- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则1A -= 14.△ABC 的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过
1101⎛⎫ ⎪⎝⎭和1011⎛⎫ ⎪⎝⎭
两次变换变成△A ‘B ’C ’,求△A ‘B ’C ’的面积。
15.已知A
＝122122⎛- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，B ＝2001⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求圆221x y +=在1()AB -变换作用下的图形。
16.已知2102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，试分别计算：2A ,3A ,4A ,n
A
答案：1.B 2.A 3.D 4.A 5. 1001-⎛⎫
⎪-⎝⎭ 6. 1234⎛⎫ ⎪⎝⎭
7. 2406⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.21⎛⎫ ⎪⎝⎭、23-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
9. 1001⎛⎫
⎪-⎝⎭ 10.（3，2） 11. 1110-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
12.（1，3）
13. 1
2
222⎛
-
⎝
⎭
14.1 15.22
41x y +=
16. 2
4404A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
、3
81208A ⎛⎫=
⎪⎝⎭、4
1632016A ⎛⎫= ⎪⎝⎭、1220
2
n n n
n
n A -⎛⎫
=
⎪⎝⎭