大一高数课件第二章 2-5-1
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高等数学第二章2-5
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
解
y
1 1 x2
y (
1 2x ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
2x 2( 3 x 2 1) y ( ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3 2x (0) f (1 x 2 ) 2
x0
2( 3 x 2 1) 0; f (0) (1 x 2 ) 3
x0
2.
例2
设 y x ( R), 求y (n) .
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
c , 2 是常数）
六、求下列函数的 n 阶导数： 1、 y e x cos x ； 1 x 2、 y ； 1 x x3 3、 y 2 ; x 3x 2 4、 y sin x sin 2 x sin 3 x .
练习题答案
一、1、 2e t cos t ； 2、2 sec 2 x tan x ；
例7 设 y
y
(5)
1 5! 5! [ ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1) 1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)
例8 设 y sin6 x cos6 x, 求y ( n ) .
2 3 2 3 解 y (sin x ) (cos x )
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )( n ) a x ln n a (a 0) ( n) n ( 2) (sin kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2
解
y
1 1 x2
y (
1 2x ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
2x 2( 3 x 2 1) y ( ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3 2x (0) f (1 x 2 ) 2
x0
2( 3 x 2 1) 0; f (0) (1 x 2 ) 3
x0
2.
例2
设 y x ( R), 求y (n) .
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
c , 2 是常数）
六、求下列函数的 n 阶导数： 1、 y e x cos x ； 1 x 2、 y ； 1 x x3 3、 y 2 ; x 3x 2 4、 y sin x sin 2 x sin 3 x .
练习题答案
一、1、 2e t cos t ； 2、2 sec 2 x tan x ；
例7 设 y
y
(5)
1 5! 5! [ ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1) 1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)
例8 设 y sin6 x cos6 x, 求y ( n ) .
2 3 2 3 解 y (sin x ) (cos x )
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )( n ) a x ln n a (a 0) ( n) n ( 2) (sin kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2
大一高讲义数课件第二章2-6-1
(2)炮弹在时t刻 0的速度大.小
解 (1) 在t0时刻的运动方向即 轨迹在t0时刻的切线方向, 可由切线的斜率来反映.
dy(v0tsin12gt2) dx (v0tcos)
v0 sin gt v0 cos
dy dxtt0
v0si ng0t. v0cos
y
vy v
v0
vx
o
x
xv0tcos ,
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t时 ,xa ( 1 ),ya .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1) 即yxa(2)
2
2
例7 不计空气的阻, 以 力初速度 v0, 发射角发射炮弹 ,
其运动方程为xy
v0t cos, v0tsin
1 gt2, 2
求(1)炮弹在时t刻 0的运动方;向
x
x
一般地 f(x ) u (x ) v (x ) ( u (x ) 0 )
lf ( n x ) v ( x ) l u ( x n )
又 dln f(x)1df(x) dx f(x)dx
f(x)f(x)dln f(x) dx
f(x ) u (x )v (x )[v (x )lu n (x ) v (x )u (x )] u (x )
设xx(t)及y y(t)都是可导,函 而数 变量 x与y之间存在
某种关,从 系而它们的变 dx化 与d率 y之间也存在一,定 dt dt
这样两个相互依化赖率的称变为相关.变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
三、由参数方程所确定的函数的导数
若 参 数 x y 方 ((tt))程 确 定 y与 x间 的 函,称 数此 关为 系由
高等数学课件2-5ppt
【 高 等 数 学 】 电 子 教 程
1. 四则运算法则：设u = u(x), v = v(x)均可微.则：
(1) d( u v ) du dv .
( 2) d(u v ) vdu udv .
(3) d(cu) cdu. 其中C为常数.
u vdu udv (4) d( ) , 其中v 0. 2 v v
－理学院信息与计算科学系－
五、高阶微分
【 高 等 数 学 】 电 子 教 程
类似, 记d3y = d(d2y), 称为y的三阶微分. 当x为自变量时, 有, d3y = d(d2y) = ( f ''(x)dx2)'dx = f (3)(x)(dx)3 = f (3)(x)dx3 . 其中dx3 = (dx)3 .
dy 由于复合函数y 的导数 dx f ' ( u) ' ( x ).
从而, dy [ f ' (u) ' ( x )]dx f ' (u) ( x )dx f ' (u)du
－理学院信息与计算科学系－
【 高 等 数 学 】 电 子 教 程
即 dy f ' ( u)du 可见，不论u是自变量还是中间变量, 总有 dy f ' (u)du.
这一性质，称为一阶微分形式的不变性.
例2. 设y = sin(2x+x2), 求dy.
cos(2 x x 2 )d(2 x x 2 ) 2 解：dy d[sin( x x )]
2
cos(2 x x )[2dx 2 xdx]
2
2(1 x) cos(2 x x 2 )dx
大一高等数学教材第二章
大一高等数学教材第二章第二章：函数与极限概述：在大一的高等数学教材中，第二章节主要介绍了函数与极限的概念、性质和应用。
函数和极限是数学中非常重要的概念，在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
通过学习这一章，学生将能够理解函数的本质，掌握函数的基本性质和图像，以及运用极限来解决各种数学问题。
1. 函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
具体而言，一个函数是由两个集合A和B以及一个对应关系f所组成的三元有序对(A, B, f)。
其中，A称为定义域，B称为值域，f将A中的元素映射到B中的元素。
1.2 函数的性质函数可以通过多种方式来描述和表示，包括函数图像、显式表达式、隐式表达式等。
此外，函数还具有诸如奇偶性、单调性、周期性等数学性质。
2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义极限是函数与数列中的重要概念之一，用于描述序列或函数在某一点或无穷远处的趋势。
对于一个函数f(x)，当自变量x趋近于某个值a 时，函数f(x)的极限可以通过数列或函数的趋近性来定义。
2.2 极限的性质极限具有多种性质，包括唯一性、有界性、保序性等。
这些性质使极限在数学中具有广泛的应用，尤其是在微积分和数学分析中。
3. 函数的连续性和可导性3.1 函数的连续性连续性是函数中的重要概念，描述了函数在某一点上的平滑性和无间断性。
在第二章中，学生将学习如何判断函数在某一点上是否连续，并掌握连续函数的性质和图像。
3.2 函数的可导性可导性是函数在某一点上的斜率概念，用于描述函数的变化率。
学生将学习如何判断函数在某一点上是否可导，并通过导数和微分来进行求解和应用。
4. 函数的曲线图与应用4.1 函数的曲线图通过绘制函数的曲线图，可以直观地了解函数的性质、特点和变化趋势。
学生将学习如何绘制函数的曲线图，并通过曲线图分析函数的特性。
4.2 函数的应用函数与极限在数学以及其他科学领域中有广泛的应用。
大一高数课件第二章2-2-1共19页PPT资料
x
y 3 ( 1 2 x 2 3 5 x lo 0 .1 x g1 x 5 x l5 n lo 0 .1 x g 1 x 5 xx l1 0 n .1 )
(3 )[u v ( (x x ) )] u (x )v (x v )2 (x u )(x )v (x ) (v (x ) 0 ).
3x2 y
(1 x 2 )2
18
5 、 ( a ) x ( b ) a ( x ) b (ln a a b ) . bxa b x
三 、 ( b , b 2 4 ac ) . 四 、 2 x 2a y 2 4 a0 和 2 x y 2 0 .
谢谢！
ch2x
例6 设 f(x ) ln 1 x ,( x ),x x 0 0,求 f(x ).
解 当x0时, f(x)(x)1,
当x0时,
f(x)ln1(x)
1
1
x
,
f(0) lx i0m f(0xx )f(0)
当x0时, f(0)lx im 0(0 x x)0 1,
f (0)lx i0 m ln 1[(0 xx) ]0 1,
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6
3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为
y
4
6 9
和
y
4 6 9
练习题
一、 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________.
x
dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离课件 bb高一数学课件
第七页，共三十九页。
求点到直线的距离 求点 P(1，2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y 轴．
12/11/2021
第八页，共三十九页。
【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， 由点到直线的距离公式，得 d1＝ |112－＋2(－－31|)2＝2 2． (2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式，得 d2＝ |20＋2＋11| 2＝3．
2 4
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第六页，共三十九页。
4．当点 P(x1，y1)在直线 Ax＋By＋C＝0 上时，还适合点到直 线的距离公式吗？
解：适合．点 P 在直线 Ax＋By＋C＝0 上，则距离 d＝0，且 有 Ax1＋By1＋C＝0， 所以 d＝|Ax1＋A2B＋y1B＋2 C|＝0．
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第十八页，共三十九页。
两平行线间距离的求法 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可 以应用公式． (2)应用两平行线间的距离公式 d＝ |CA2－2＋CB1|2时，两直线方程必 须是一般形式，而且 x，y 的系数对应相等．
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第十九页，共三十九页。
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第二十七页，共三十九页。
2．求过点 P(1，2)且与原点距离最大的直线方程． 解：由题意知与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最大， 因为 kOP＝2， 所以所求直线方程为 y－2＝－12(x－1)， 即 x＋2y－5＝0．
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第二十八页，共三十九页。
1．点到直线距离公式的推导用到了解析几何中的常用方法 “设而不求”，希望在今后学习中注意这种方法在解题中的 应用．公式只与直线方程中的系数有关，因而它适合任意直 线，在具体应用过程中，应将直线方程化为一般式，再套用 公式．
《高等数学第二章》课件
讲解复合函数的微分法则，以及计算方法和 应用。
高阶导数及其应用
高阶导数的 定义
解释高阶导数的概 念和计算方法，以 及与一阶导数的关 系。
阶乘
讨论阶乘的定义和 性质，以及在高阶 导数中的应用。
幂指函数的 导数
给出幂指函数的导 数计算公式和性质。
洛必达法则 及其应用
介绍洛必达法则的 原理和应用方法， 解决极限的问题。
极限的定义
清晰地定义函数的极限，包括左极限和右极限。
极限的性质
介绍极限的性质，如极限的唯一性和四则运算法则。
连续性
连续函数的概念
解释连续函数的定义和性质，以及在实际问 题中的应用。
连续函数的性质
讨论连续函数的重要性质，如介值定理和最 值定理。
导数
导数的定义
给出导数的几何和 代数定义，以及导 数的计算法则。
导数的性质
介绍导数的性质， 如导数的唯一性和 四则运算法则。
导数的计算
探讨不同类型函数 的导数计算方法， 如幂函数、三角函 数和复合函数的求 导法则。
几何意义和 物理意义
解释导数在几何和 物理中的意义和应 用。
微分学基本公式
函数的四则运算及其微分
给出函数的加减乘除法则，并给出微分的法 则。
复合函数的微分
《高等数学第二章》PPT 课件
欢迎大家来到《高等数学第二章》课件。本课将介绍函数的基本概念、常用 函数、极限、连续性、导数、微分学基本公式、高阶导数及其应用，以及函 数的图形与曲率。让我们一起探索数学的魅力吧！
导言
概述
介绍《高等数学第二章》的重要性和内容 概览。
常用符号说明
解释常见的数学符号的意义和用法。
常用函数
幂函数、指数函 数、对数函数
高阶导数及其应用
高阶导数的 定义
解释高阶导数的概 念和计算方法，以 及与一阶导数的关 系。
阶乘
讨论阶乘的定义和 性质，以及在高阶 导数中的应用。
幂指函数的 导数
给出幂指函数的导 数计算公式和性质。
洛必达法则 及其应用
介绍洛必达法则的 原理和应用方法， 解决极限的问题。
极限的定义
清晰地定义函数的极限，包括左极限和右极限。
极限的性质
介绍极限的性质，如极限的唯一性和四则运算法则。
连续性
连续函数的概念
解释连续函数的定义和性质，以及在实际问 题中的应用。
连续函数的性质
讨论连续函数的重要性质，如介值定理和最 值定理。
导数
导数的定义
给出导数的几何和 代数定义，以及导 数的计算法则。
导数的性质
介绍导数的性质， 如导数的唯一性和 四则运算法则。
导数的计算
探讨不同类型函数 的导数计算方法， 如幂函数、三角函 数和复合函数的求 导法则。
几何意义和 物理意义
解释导数在几何和 物理中的意义和应 用。
微分学基本公式
函数的四则运算及其微分
给出函数的加减乘除法则，并给出微分的法 则。
复合函数的微分
《高等数学第二章》PPT 课件
欢迎大家来到《高等数学第二章》课件。本课将介绍函数的基本概念、常用 函数、极限、连续性、导数、微分学基本公式、高阶导数及其应用，以及函 数的图形与曲率。让我们一起探索数学的魅力吧！
导言
概述
介绍《高等数学第二章》的重要性和内容 概览。
常用符号说明
解释常见的数学符号的意义和用法。
常用函数
幂函数、指数函 数、对数函数
大一高数上 PPT课件 第二章
xh x 解：解：f(x)lim ff((x h)) ff((x)) lim lim lim 解：f (x) hh0 0 hh0 0 h h
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
高等数学上2_5课件.ppt
若函数 f (x) 在开区间 a,b 内连续，并在左端点 a 处右连续，右端点 b 处左连续，则称函数 f (x) 在闭区 间 a, b 上连续.
函数在区间 I 上连续，称它为 I 上的连续函数.
2.5.2 连续函数的概念
2.函数在一个区间连续 如果函数 f (x) 在开区间 a,b内的每一点都连续， 则称函数 f (x) 在开区间 a,b内连续；
y f (x0 x) f (x)
为函数 f (x) 在 x0 处对应于自变量改变量 x 的函数改变 量. y f (x0 x) f (x)
2.5.1 函数的改变量
y 既与 x0 有关，也与 x 的改变量 x 有关.见图 2.16 （ x 的情形）.
图 2.16
2.5.2 连续函数的概念
＊在第二类间断点中，若当 x x0 时， f (x) 极限
不存在，也不趋于∞，而是呈无限振荡情形，则称 x0 为 f (x) 的振荡间断点.
2.5.3 函数的间断点及其分类
跳跃间断点 第一类间断点
可取间断点 函数间断点
无穷间断点 第二类间断点
振荡间断点
2.5.3 函数的间断点及其分类
作业 习题 2.5：1.⑵、⑶；2.⑷、⑸；4.
1.函数在一点 x0 连续
定义 2.9 设函数 y f (x) 在 x0 点的某邻域内有定 义，如果当自变量的改变量 x x x0 趋向于 0 时，相 应
的函数改变量 y f (x0 x) f (x0 ) 也趋于 0，
即
lim y
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f
( x0 )
0
则称函数 y f (x) 在点 x0 处连续.
又因为
函数在区间 I 上连续，称它为 I 上的连续函数.
2.5.2 连续函数的概念
2.函数在一个区间连续 如果函数 f (x) 在开区间 a,b内的每一点都连续， 则称函数 f (x) 在开区间 a,b内连续；
y f (x0 x) f (x)
为函数 f (x) 在 x0 处对应于自变量改变量 x 的函数改变 量. y f (x0 x) f (x)
2.5.1 函数的改变量
y 既与 x0 有关，也与 x 的改变量 x 有关.见图 2.16 （ x 的情形）.
图 2.16
2.5.2 连续函数的概念
＊在第二类间断点中，若当 x x0 时， f (x) 极限
不存在，也不趋于∞，而是呈无限振荡情形，则称 x0 为 f (x) 的振荡间断点.
2.5.3 函数的间断点及其分类
跳跃间断点 第一类间断点
可取间断点 函数间断点
无穷间断点 第二类间断点
振荡间断点
2.5.3 函数的间断点及其分类
作业 习题 2.5：1.⑵、⑶；2.⑷、⑸；4.
1.函数在一点 x0 连续
定义 2.9 设函数 y f (x) 在 x0 点的某邻域内有定 义，如果当自变量的改变量 x x x0 趋向于 0 时，相 应
的函数改变量 y f (x0 x) f (x0 ) 也趋于 0，
即
lim y
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f
( x0 )
0
则称函数 y f (x) 在点 x0 处连续.
又因为
精品课件-高等数学-第二章
(2) 算比值：Δy/Δx=[f(x+Δx)－f(x)]/Δx；
(3) 取极限：y f (x) lim y . 我们根据这三个步骤来求x解0 一x 些基本初等函数的导数.
例1 求函数f(x)=C (C为常数)的导数.
解 在x处给自变量一个增量Δx，相应的函数值的增量为
Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0
(2-6)
第二章 导数与微分
(loga
x)
1 x
loga
x
1 x ln a
(2-7)
特别地，当a=e时，有
(ln x) 1 x
(2-8)
例2 [切线与法线方程] 曲线y=x3/2上哪个点处的切线与
直线y=3x－1平行？试求该曲线在点(1，1)处得切线方程和法
线方程.
解 设曲线y=x3/2在点M(x0，y0)处得切线的斜率为k，则有
v s s(t0 t) s0
t
t
第二章 导数与微分
图2-1
第二章 导数与微分
因此，当|Δt|越小，v 就越接近质点在t0时刻的瞬时速度.
据此，当Δt→0时，若v 的极限存在，就将此极限值称为质 点在时刻t0的(瞬时)速度，即
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
s t
lim
t 0
s(t0
k tan y f x0 x f x0
x
x
当点Q沿曲线L趋于点P时， Δx→0，割线PQ的倾斜角j就
趋于切线PT的倾斜角α，于是割线PQ的斜率 的极k 限(如果存 在)，就是曲线L在点P处的切线的斜率，即
k切
tan
lim k
x0
lim
大一高数课件第二章
微分的计算方法：微分的计算方法包括基本初等函数的微分公式和微分运算法则。通 过这些方法，我们可以快速地计算出函数的微分值。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
添加标题
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多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
添加标题
添加标题
多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
第二章《高等数学(上册)》课件
f (x) 或 y 或 df (x) 或 dy
dx
dx
在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数．
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
（2）算比值 （3）取极限
y f (x x) f (x)
x
x
y lim y x0 x
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
2．左、右导数
既然导数是比值 y 当x 0 时的极限，那么下面两个极
限
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
例2 求抛物线y=x2在点(1，1)处的切线方程和法线方程． 解 因为 y (x2 ) 2x，由导数的几何意义可知，曲线y=x2
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
大一高数课件第二章2-5-1
2 2e 2 0 x x 2 2 2 1 0 e 2 9 x 2 x 2 1 0 2 1 9 e 2 8 x 2 2 !
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代
换等方法, 求出n阶导数.
常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
解
y
1
1 x2
y
(11x2
)
(1
2x x2
)2
y
((12xx2)2)
2(3 x 2 (1 x
1) 2 )3
f(0)(12xx2)2 x0 0;
f(0)2((13xx22)13)
2.
x0
例2 设 y x ( R )求 ,y (n ).
解
yx1
y(x1)(1)x2
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自然 n,则 数
y(n) (xn)(n)n!,
y(n1) (n!)0.
例3 设 yln 1(x)求 ,y(n ).
解 y 1 1 x
y
1
(1
x)2
y
2! (1 x)3
y(4)
3!
(1
x)4
y (n ) ( 1 )n 1(n 1 )! (n 1 ,0 ! 1 ) (1 x )n
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n )k n 0 C n ku (n k)v(k) 莱布尼兹公式
n
莱布尼兹公式 (uv)(n) Cn ku(nk)v(k) k0 (uv) uvuv (uv) (uvuv)uv2uvuv (uv) uv3uv3uvuv 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代
换等方法, 求出n阶导数.
常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
解
y
1
1 x2
y
(11x2
)
(1
2x x2
)2
y
((12xx2)2)
2(3 x 2 (1 x
1) 2 )3
f(0)(12xx2)2 x0 0;
f(0)2((13xx22)13)
2.
x0
例2 设 y x ( R )求 ,y (n ).
解
yx1
y(x1)(1)x2
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自然 n,则 数
y(n) (xn)(n)n!,
y(n1) (n!)0.
例3 设 yln 1(x)求 ,y(n ).
解 y 1 1 x
y
1
(1
x)2
y
2! (1 x)3
y(4)
3!
(1
x)4
y (n ) ( 1 )n 1(n 1 )! (n 1 ,0 ! 1 ) (1 x )n
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n )k n 0 C n ku (n k)v(k) 莱布尼兹公式
n
莱布尼兹公式 (uv)(n) Cn ku(nk)v(k) k0 (uv) uvuv (uv) (uvuv)uv2uvuv (uv) uv3uv3uvuv 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
高等数学第二章课件.ppt
x x0
x x0
左极限和右极限统称为单侧极限．
lim f (x) A 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是
x x0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
2）自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义，如
果在 x 的过程中，对应的函数值 f (x) 无限接
也趋于零,即 lim y x0
lim [
x0
f
(x0
x)
f
(x0 )]
0 ，那么
称函数 f (x) 在点 x0 处连续, x0 叫做函数 f (x) 的连
续点．
函数在点 x0 连续必须满足下面三个条件： （1）在点 x0 的某个邻域内有定义； （2）极限 lim f (x) 存在；
x x0
（3）极限
xx0 (x)
穷小，特别地，当 k 1 时，称 (x) 与(x) 等价 无穷小，记作 (x) ~ (x), (x x0 ) ．
常用的等价无穷小如下：当 x 0 时 ，
sin x ~ x ， tan x ~ x ，
1
c os x
~
1 2
x2
， ln(1
x)
~
x
，
ex 1 ~ x ，n 1 x 1~ 1 x． n
几何解释：函数的增量表示当自变量从 x0 变 化到 x0 x 时,曲线上对应点的纵坐标的增量.
2）函数的连续性
设函数 y f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定
义，如果当自变量 x 在 x0 处的增量 x 趋于零时,
函数 y f (x) 相应的增量 y f (x0 x) f (x0 )
大专-高等数学--第二章-PPT
定义１ 设函数 f (x) 在 x0 的某一空心邻域N (xˆ0 , )
内有定义，如果当自变量 x 在N (xˆ0 , ) 内无限接近于 x0
时，相应的函数值无限接近于常数 A ，则 A 为x x0 时
函数
f
( x) 的极限，记作lim xx0
f
(x)
A或
f
(x)
A( x
x0 ) ．
２． x x0 时函数 f (x)的极限
x
定理 2 lim f (x) A的充要条件是 x
lim f (x)= lim f (x) A．
x
x
例 3 由图 5 可知： lim 1 0 ； lim 1 0 ．
x x
x x
由图 6 可知 lim ex 0 ． x
y y ex
y
y
1 x
O
x
O
x
图5
图6
二、数列的极限
1． 数列的概念
设自变量为正整数的函数un f (n)(n 1,2,)，其 函数值按自变量 n 由小到大排列成一列数
6． x 时函数 f (x)的极限
定义 6 设函数 f (x)在(, a)内有定义( a为某个 实数)，当自变量无限变小(或 x 无限变大)时，相应的 函数值 f (x)无限接近于常数 A，则称 A为 x 时函 数 f (x)的极限，记 lim f (x) A或 f (x) A(x )．
定理 3 (单调有界原理) 单调有界数列必有极限．
三、极限的性质
性质 性质 1 (惟一性) 则A B.
若 lim f (x) A， lim f (x) B，
xx0
xx0
性质 2
(有界性)
若 lim xx0
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2x
20 19 18 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2! 220 e 2 x ( x 2 20 x 95)
19
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代
换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )( n ) a x ln n a (a 0)
k C n u( n k ) v ( k ) k 0
n
( uv ) uv uv
( uv ) ( uv uv) uv 2 uv uv
( uv ) uv 3uv 3uv uv
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
( n) n
(e )
x kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2 (4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(5) (ln x )
二、 高阶导数求法举例
1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f ( 0), f ( 0). 1 2x 1 解 y y ( ) 2 1 x2 (1 x 2 ) 2 1 x
2( 3 x 1) 2x ( y ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3
例3 设 y ln( 1 x ), 求y (n ) . 解
y 1 1 x
3! (1 x ) 4
n 1
1 y (1 x ) 2
y
2! (1 x ) 3
y (4)
( n 1, 0! 1)
y
(n)
( 1)
( n 1)! (1 x ) n
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结束
例6 设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20) . 解
y
(e )
( 20 )
(e x )
2x
2
2 ( 20 )
2 x ( 20 )
x 20(e )
20 2x 2
2 x ( 19 )
( x )
2
20( 20 1) 2 x (18 ) (e ) ( x 2 ) 0 2!
(n)
( x n )( n ) n!
( 1)
n 1
( n 1)! xn
1 (n) n n! ( ) ( 1) n 1 x x
例7
1 设 y 2 , 求y ( 5 ) . x 1
解
1 1 1 1 y 2 ( ) x 1 2 x 1 x 1
y
(5)
1 5! 5! 1 1 [ ] 60[ ] 6 6 6 6 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
练习题答案
一、1、 2e t cos t ； 2、2 sec 2 x tan x ；
2x x2 3、2 arctan x ； 4、2 xe ( 3 2 x 2 ) ； 1 x2 5、2 f ( x 2 ) 4 x 2 f ( x 2 ) ； 6、207360； 7、n ! ； 8、( n 1)! . 5 3 2 4 x 8 x 3 ； 二、1、 4 2 sin 2 x cos 2 x 2、 2 cos 2 x ln x ； 2 x x x 3、 3 . (1 x 2 ) 2
d2 y d dy 或 y ( y ) ( ) 2 dx d x dx
或
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,依次类推 ,
n 1阶导数的导数称为 n 阶导数 ,分别记作
或
d y d2 y , , 2 dx d x
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地 f ( x )称为零阶导数 , .
例4
设 y sin x , 求y
(n )
.
解 y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2
y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) (n) y sin( x n ) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2 2
n x
2
2x f (0) (1 x 2 )2
x 0
0;
2( 3 x 2 1) f (0) (1 x 2 ) 3
x0
2.
例2
设 y x ( R), 求y (n ) .
y x 1
y (x
1
解
( 1) x 2 )
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu)( n) Cu( n)
(3) (u v )
( n)
k 0
Cn u
n
k
( n k ) ( k )
v
莱布尼兹公式
莱布尼兹公式 ( u v )( n )
x2
5.设 y
f ( x2 )
,
f ( x )
存在，则 y =_________.
6.设 f ( x ) ( x 10) 6 , 则 f (2) =_________.
7.设 y x n a1 x n1 a2 x n 2 an1 x an ( a 1 , a 2 , , a n 都是常数)，则 y (n ) =___________. 8、设 f ( x ) x( x 1)( x 2)( x n) 则 f ( n1) ( x ) =____________. ,
第五节
高阶导数
• 一、高阶导数的定义
• 二、高阶导数求法举例 • 三、小结
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度 即
v s
即
加速度
a ( s )
定义. f ( x) 的导数 f ( x) 称为 f ( x) 的一阶导数 .
若函数 y f ( x ) 的导数 y f ( x ) 可导,则称 的导数为 f ( x ) 的二阶导数 , 记作
五、1、 ( 2 ) e cos( x n ) ； 4 2 n! n 2、 ( 1) ； n1 (1 x ) 8 1 n ], ( n 2) ； 3、 ( 1) n![ n1 n1 ( x 2) ( x 1) 1 n n ) 4、 [2 sin( 2 x 4 2 n n n n ) 6 sin( 6 x )] . + 4 sin( 4 x 2 2
y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
y ( n) ( 1)( n 1) x n (n 1)
若 为自然数n, 则
y ( n ) ( x n )( n ) n! ,
y ( n 1) ( n! ) 0.
二、 求下列函数的二阶导数： 2x3 x 4 1、 y ； x 2、 y cos 2 x ln x ； 3、 y ln( x 1 x 2 ).
dx 1 三、试从 ，导出： dy y
d2x y 1、 2 dy ( y ) 3
d 3 x 3( y ) 2 yy 2、 3 dy ( y )5
三、小结
高阶导数的定义;
高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法;
1.直接法; 2.间接法.
练 习 题
一、 填空题：
sin t 1、设 y t 则 y =_________. e
2、设 y tan x ,则 y =_________. 3、设 y (1 x 2 ) arctan x ，则 y =________. 4、设 y xe ,则 y =_________.
20 19 18 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2! 220 e 2 x ( x 2 20 x 95)
19
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代
换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )( n ) a x ln n a (a 0)
k C n u( n k ) v ( k ) k 0
n
( uv ) uv uv
( uv ) ( uv uv) uv 2 uv uv
( uv ) uv 3uv 3uv uv
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
( n) n
(e )
x kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2 (4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(5) (ln x )
二、 高阶导数求法举例
1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f ( 0), f ( 0). 1 2x 1 解 y y ( ) 2 1 x2 (1 x 2 ) 2 1 x
2( 3 x 1) 2x ( y ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3
例3 设 y ln( 1 x ), 求y (n ) . 解
y 1 1 x
3! (1 x ) 4
n 1
1 y (1 x ) 2
y
2! (1 x ) 3
y (4)
( n 1, 0! 1)
y
(n)
( 1)
( n 1)! (1 x ) n
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例6 设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20) . 解
y
(e )
( 20 )
(e x )
2x
2
2 ( 20 )
2 x ( 20 )
x 20(e )
20 2x 2
2 x ( 19 )
( x )
2
20( 20 1) 2 x (18 ) (e ) ( x 2 ) 0 2!
(n)
( x n )( n ) n!
( 1)
n 1
( n 1)! xn
1 (n) n n! ( ) ( 1) n 1 x x
例7
1 设 y 2 , 求y ( 5 ) . x 1
解
1 1 1 1 y 2 ( ) x 1 2 x 1 x 1
y
(5)
1 5! 5! 1 1 [ ] 60[ ] 6 6 6 6 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
练习题答案
一、1、 2e t cos t ； 2、2 sec 2 x tan x ；
2x x2 3、2 arctan x ； 4、2 xe ( 3 2 x 2 ) ； 1 x2 5、2 f ( x 2 ) 4 x 2 f ( x 2 ) ； 6、207360； 7、n ! ； 8、( n 1)! . 5 3 2 4 x 8 x 3 ； 二、1、 4 2 sin 2 x cos 2 x 2、 2 cos 2 x ln x ； 2 x x x 3、 3 . (1 x 2 ) 2
d2 y d dy 或 y ( y ) ( ) 2 dx d x dx
或
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,依次类推 ,
n 1阶导数的导数称为 n 阶导数 ,分别记作
或
d y d2 y , , 2 dx d x
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地 f ( x )称为零阶导数 , .
例4
设 y sin x , 求y
(n )
.
解 y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2
y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) (n) y sin( x n ) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2 2
n x
2
2x f (0) (1 x 2 )2
x 0
0;
2( 3 x 2 1) f (0) (1 x 2 ) 3
x0
2.
例2
设 y x ( R), 求y (n ) .
y x 1
y (x
1
解
( 1) x 2 )
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu)( n) Cu( n)
(3) (u v )
( n)
k 0
Cn u
n
k
( n k ) ( k )
v
莱布尼兹公式
莱布尼兹公式 ( u v )( n )
x2
5.设 y
f ( x2 )
,
f ( x )
存在，则 y =_________.
6.设 f ( x ) ( x 10) 6 , 则 f (2) =_________.
7.设 y x n a1 x n1 a2 x n 2 an1 x an ( a 1 , a 2 , , a n 都是常数)，则 y (n ) =___________. 8、设 f ( x ) x( x 1)( x 2)( x n) 则 f ( n1) ( x ) =____________. ,
第五节
高阶导数
• 一、高阶导数的定义
• 二、高阶导数求法举例 • 三、小结
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度 即
v s
即
加速度
a ( s )
定义. f ( x) 的导数 f ( x) 称为 f ( x) 的一阶导数 .
若函数 y f ( x ) 的导数 y f ( x ) 可导,则称 的导数为 f ( x ) 的二阶导数 , 记作
五、1、 ( 2 ) e cos( x n ) ； 4 2 n! n 2、 ( 1) ； n1 (1 x ) 8 1 n ], ( n 2) ； 3、 ( 1) n![ n1 n1 ( x 2) ( x 1) 1 n n ) 4、 [2 sin( 2 x 4 2 n n n n ) 6 sin( 6 x )] . + 4 sin( 4 x 2 2
y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
y ( n) ( 1)( n 1) x n (n 1)
若 为自然数n, 则
y ( n ) ( x n )( n ) n! ,
y ( n 1) ( n! ) 0.
二、 求下列函数的二阶导数： 2x3 x 4 1、 y ； x 2、 y cos 2 x ln x ； 3、 y ln( x 1 x 2 ).
dx 1 三、试从 ，导出： dy y
d2x y 1、 2 dy ( y ) 3
d 3 x 3( y ) 2 yy 2、 3 dy ( y )5
三、小结
高阶导数的定义;
高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法;
1.直接法; 2.间接法.
练 习 题
一、 填空题：
sin t 1、设 y t 则 y =_________. e
2、设 y tan x ,则 y =_________. 3、设 y (1 x 2 ) arctan x ，则 y =________. 4、设 y xe ,则 y =_________.