高数 数列极限及性质

上两式同时成立, bn ≤ an ≤ cn也成立,
即 a − ε < bn < a + ε , a − ε < cn < a + ε ,
当 n > N时, 恒有 a − ε < bn ≤ an ≤ cn < a + ε ,
即 an − a < ε 成立,
∴
lim
n→∞
an
=
a.
例7 求 lim n 1n + 3n + 8n n→∞
数列极限的定义未给出求极限的方法，我们 可以用定义来证明极限的存在.
例1 证明 lim n + (−1)n−1 = 1.
n→∞
n
证
an − 1
=
n + (−1)n−1 − 1 = 1
n
n
∀ε > 0,
பைடு நூலகம்
要使 an − 1 < ε ,
即 1 < ε ,即n > 1
n
ε
取N
=
[
1
ε
],
则当n > N时,
解 ∵ 8 < n 1n + 3n + 8n < 8 n 3,
又 lim n 3 = 1 n→∞
由夹逼准则得
lim n 1n + 3n + 8n = 8.
n→∞
利用夹逼准则求极限关键是构造出{bn }与{cn }, 并且{bn }与{cn }的极限是容易求的.
如果数列{an }满足条件
a1 ≤ a2 ≤ an ≤ an+1 ≤ , 单调增加
注意: 数列对应着数轴上一个点列,可看作一
动点在数轴上依次取 a1,a2 , ,an , .
a3 a1
a2 a4
an
x
3、数列的极限
例如 2,4,8, ,2n , ;
{2n }
111 1
1
,,, 248
, 2n ,
;
{2n }
2, 3 , 4 , , n + 1 , ; 23 n
1, −1,1, ,(−1)n−1, ;
< 3,
∴
{an
}是有上界的
;∴
lim
n→∞
an存在.
（3）设
lim
n→∞
an
=
a
.
∵ an+1 =
3 + an ,
从而 an
<
a+b, 2
a矛n 盾−取同b. N理故−< b=,b假−2因am−2设<aalnx不ix→,m{n∞从真N−an1b而a,!=<a因Nbbnb−22−2此>,}aa,故a收则+2存敛b当在数, n列N3a>a+222的−bN,b<极使<时x限当nx,n<必an<3n惟b>a2满−+2aNb一足2.时的,不有等式
推论 无界数列必定发散.
注意: 数列有界是数列收敛的必要条件.
有界数列未必收敛,如{(-1)n-1}. 例5 证明数列an = (−1)n−1是发散的.
例5 证明数列an = (−1)n−1是发散的.
证
设
lim
n→∞
an
=
a,
由定义,
∀ε > 0, ∃N > 0,当 n > N时,有 an − a < ε
接近程度.
an − 1 =
1 + (−1)n−1 − 1 = n
(−1)n−1 1 = 1 nn
随着n的增加，1/n会越来越小.
∵
an
−1
=
1+
( − 1) n−1 n
−1
= (−1)n−1
1 n
=
1 n
随着n的增加，1/n会越来越小.例如
给定ε = 1, 由
1 < 1, n
只要
n > 1时,
有
an − 1 < 1,
那么数列{an }的极限存在,
且
lim
n→∞
an
= a.
证 ∵ bn → a, cn → a,(n → ∞)
∀ ε > 0, ∃N1 > 0, N2 > 0, 使得
当 n > N1时恒有 bn − a < ε ,
当
n
>
N
时恒有
2
cn − a < ε ,
取 N = max{N1, N2 , N0 },
a
a
2
2
o
a
x
定理3
若
lim
n→∞
an
=a
,且
a > 0 (< 0)
,
则∃N ∈ N + ,
当n > N 时,有 an > 0 (< 0).
推论1
若
lim
n→∞
an
=a
,且
a > r (< r)
,
则∃N ∈ N + ,
当n > N 时,有 an > r (< r).
推论 2
若
lim
n→∞
an
=
a ，且an
§1.1 集合 §1.2 函数
§1.3 函数的极限 §1.4 无穷小量与无穷大量 §1.5 函数的连续性
1 . 3 函数的极限(1)
一、数列极限的定义及性质 二、函数极限的定义 三、函数极限的性质 四、两个重要极限
一、数列极限的定义及性质
1、概念的引入
引例1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
X2
=
1 ;
22
第n天截下的杖长为
Xn
=
1 2n
;
Xn
=
1 2n
0
2、数列的定义
定义:一个定义在正整数集上的函数称为整标
函数： y = f (n) n ∈ N +.
特别地，令an = f (n)，得到的一列有序数
a1,a2 , ,an ,
(1)
称为数列.其中的每个数称为数列的项, an 称为
通项(一般项)，数列(1)记为{an }.
n→∞
n→∞
4、收敛数列的性质 （1）惟一性
b−a b−a 22
定理1 收敛的数列极限惟一.
a
a+b 2
b
x
证: 用反证法.
假设
lim
n→∞
an
=a
及
lim
n→∞
an
=b
, 且 a < b.
取ε
=
b
− 2
a
,
因
lim
n→∞
an
=a
, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
an
−a
<
b−a, 2
给定ε = 1 , 由 1 < 1 ,
10
n 10
只要 n > 10时 ,
有
an
−
1
<
1 10
,
给定 ε = 1 , 由 1 < 1 , 只要 n > 100时, 有 100 n 100
an
−
1
<
1 100
,
给 定ε = 1 , 只要 n > 1000时, 有
1000
an
−1
<
1, 1000
给 任
定ε = 1
lim 1 (1 + n→∞ 2
1) n
=
1. 2
（5）保不等式性
定理
5:
若
lim
n→∞
an
=
a
,
lim
n→∞
bn
=
b ，且 an
≤
bn ,
n
>
N
,则
0
．a
≤
b
(即lim n→∞
an
≤
lim
n→∞
bn
)．
证：构造辅助整标函数cn = bn − an ≥ 0, n > N0 由定理 4 和定理 3 的推论 2 得证！
an
=
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
例3 证明 lim q n = 0, 其中 q < 1. n→∞
证 ∀ε > 0, (ε < 1) 若q = 0, 则 lim qn = lim 0 = 0;
n→∞
n→∞
若0 < q < 1, 要使 an − 0 = qn < ε , 即 n ln q < ln ε ,
（2）有界性
定 义 : 对 数 列 { an }, 若 ∃M > 0 , ∀n ∈ N + , 恒 有 an ≤ M ,则称数列{an}有界, 否则, 称为无界.
例如,
数列
xn
=
n n+1
有界； 数列 yn = 2n 无界.
数轴上对应于有界数列的点 an 都落在闭区间
[− M , M ]上.
定理2 收敛的数列必定有界.
a1 ≥ a2 ≥ an ≥ an+1 ≥ ,
(2)单调有界准则
单调减少
单调数列
定理 7 单调有界数列必有极限.
更细致地，单调增加且有上界的数列必有极限. 单调递减且有下界的数列必有极限.
几何解释:
a1 a2 a3 an an+1 a
M