初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案

初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案

一、相似

1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．

（1）求证：AF⊥BE；

（2）求证：AD=3DI．

【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，

∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，

∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，

∴AE=CE，

∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF，

∴△CDE≌△CDF，

∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，

∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，

在△ABE与△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴∠ABE=∠FAC，

∵∠BAG+∠CAF=90°，

∴∠BAG+∠ABE=90°，

∴∠AGB=90°，

∴AF⊥BE

（2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°

∴四边形DECF是正方形，

∴EC∥DF，EC=DF，

∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，

在△AEH与△FDH中，

∴△AEH≌△FDH（AAS），

∴EH=DH，

∵∠BAG+∠CAF=90°，

∴∠BAG+∠ABE=90°，

∴∠AGB=90°，

∴AF⊥BE，

∵M是IC的中点，E是AC的中点，

∴EM∥AI，

∴，

∴DI=IM，

∴CD=DI+IM+MC=3DI，

∴AD=3DI

【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。

（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。

2．如图，抛物线y=﹣ +bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．

（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；

（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=px+q，

把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣ x+2；

把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣ +bx+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2

（2）解：∵M（m，0），MN⊥x轴，

∴N（m，﹣ m2+ m+2），P（m，﹣ m+2），

∴NP=﹣ m2+4m，PM=﹣ m+2，

而NP=PM，

∴﹣ m2+4m=﹣ m+2，解得m1=3（舍去），m2= ，

∴N点坐标为（，）

（3）解：∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），

∴AB= = ，BP= = m，

而NP=﹣ m2+4m，

∵MN∥OB，

∴∠BPN=∠ABO，

当 = 时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即 m：2=（﹣ m2+4m）：，

整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，

此时M点的坐标为（，0）；

当 = 时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即 m： =（﹣ m2+4m）：2，

整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，

此时M点的坐标为（，0）；

综上所述，点M的坐标为（，0）或（，0）

【解析】【分析】（1）因为抛物线和直线AB都过点A（3,0）、B（0,2），所以用待定系数法求两个解析式即可；

（2）由题意知点P是MN的中点，所以PM=PN；而MN OA交抛物线与点N，交直线AB于点P，所以M、P、N的横坐标相同且都是m,纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表

示，即P（m,）,N（m,）,PM与PN的长分别为相应两点的纵坐标的绝对值，代入PM=PN即可的关于m的方程，解方程即可求解；

（3）因为以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，而△APM是直角三角形，所以分两种情况：当∠PBN=时，则可得△PBN∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值；当∠PNB=时，则可得△PNB∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值。

3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形A BCD的边BC在x轴上，D点在y 轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三

点．

（1）请直接写出点B、D的坐标：B（________），D（________）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）求证：ED是⊙P的切线；

（4）若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形．

【答案】（1）-4，0；0，2

（2）解：将（2，0），B（-4,0），D(0,);三点分别代入y=ax2+bx+c得，

解得

∴所求抛物线的解析式y=- x2- x+

（3）证明：在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴，∵∴

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAE=∠DCB=60°，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°