福建省三明市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
2021-2022学年福建省三明市初一数学第一学期期末试卷及解析
2021-2022学年福建省三明市初一数学第一学期期末试卷一、选择题。
（本题共10小题，每小题4分，共40分.）.1．（4分）5的相反数是（）A．﹣5 B．5 C．﹣D．2．（4分）数据248.65万用科学记数法表示为（）A．248.65×104B．24.865×105C．2.4865×105D．2.4865×1063．（4分）以下几何体的截面不可能是圆的是（）A．球体B．长方体C．圆柱体D．圆锥体4．（4分）下列运算正确的是（）A．a3+a3＝2a6B．3x﹣x＝3C．2m2n﹣mn2＝m2n D．2abc﹣3abc＝﹣abc5．（4分）某超市迎春节让利促销，若某商品按8折销售的价格为20元，则该商品的原价是（）A．12元B．16元C．25元D．28元6．（4分）为了解某县七年级4000名学生近视的情况，随机抽取了其中200名学生的视力进行检查并统计．下列判断正确的是（）A．这种调查方式是普查B．这4000名学生是总体C．每名学生的视力是个体D．这200名学生是总体的一个样本7．（4分）已知A，B，C，D四点在同一直线上，若AB＝3，B是AD中点，则线段CD的长为（）A．6 B．C．3 D．8．（4分）已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．＞0 D．ab＞09．（4分）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，所围成的几何体的体积是（）A．4πB．6πC．12πD．18π10．（4分）“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法，“甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸”被称为“十天干”，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥”被称为“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，其相配顺序为：甲子，乙…癸酉，乙亥，…，癸亥，这样60年一个循环，周而复始（草案）》提出，展望2035年，那么2035年是“干支纪年法”中的（）A．甲寅B．乙卯年C．丙辰年D．丁巳年二、填空题。
2021-2022学年福建省泉州市晋江市第一中学高一上学期期中质量检测数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省泉州市晋江市第一中学高一上学期期中质量检测数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B ⋃=A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A【详解】由题意{1,2,3,4}A B ⋃=，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．已知命题2:R,210p x x x ∀∈-+≥，则p ⌝为（ ） A ．2R,210x x x ∃∈-+≥ B ．2R,210x x x ∃∈-+< C ．2R,210x x x ∀∈-+< D ．2R,210x x x ∀∈-+≤ 【答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题，可选出答案.【详解】由题意可知，命题2:R,210p x x x ∀∈-+≥的否定为：2,210x R x x ∃∈-+<， 故选：B.3．函数1()2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像必经过定点是（ ） A ．()1,2 B ．()1,3C ．()0,2D ．()0,1【答案】B【分析】利用01a =，求解指数型函数图像过的定点. 【详解】10x -=时，有1x =，则0(1)2123f a =+=+=，∴函数1()2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像必经过定点是()1,3. 故选：B4．下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ） A ．2yxB ．y x =C ．ln y x =D ．e x y -=【答案】A【分析】判断单调性和奇偶性得到A 正确，根据单调性排除BD ，根据奇偶性排除C ，得到答案. 【详解】对选项A ：函数定义域为()(),00,∞-+∞，()2y f x x -==，2fx x f x ，函数为偶函数，当0x <时，函数单调递增，满足；对选项B ：当0x <时，y x =-，函数单调递减，排除；对选项C ：ln y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，排除； 对选项D ：当0x <时，e x y -=单调递减，排除. 故选：A.5．已知函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ） A ．9- B ．9C ．19-D ．19【答案】D【分析】根据题意，直接计算即可得答案. 【详解】解：由题知，211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D6．设3log 2a =，5log 2b =，2log πc =，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【详解】因为321log 2log 3a ==，521log 2log 5b ==，而22log 3log 21c =>=，2log 51>， 所以01a <<，01b <<， 又22log 5log 31>>， 所以2211log 5log 3<，即01b a <<<， 所以有c a b >>． 故选D ．7．函数()()2ln 23f x x x =--的单调递增区间是（ ）A ．().1-∞-B ．(),1∞-C ．()1,+∞D ．()3,+∞【答案】D【解析】先由2230x x -->求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由2230x x -->可得()()310x x -+>，解得：3x >或1x <-，所以函数()()2ln 23f x x x =--的定义域为()(),13,-∞-+∞，因为()()2ln 23f x x x =--是由ln y t =和223t x x =--复合而成，因为ln y t =在定义域内单调递增，223t x x =--对称轴为1x =，开口向上，所以223t x x =--在(),1-∞-单调递减，在()3,+∞单调递增， 根据复合函数同增异减可得：()()2ln 23f x x x =--在(),1-∞-单调递减，在()3,+∞单调递增，所以函数()()2ln 23f x x x =--的单调递增区间是()3,+∞，故选：D【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是先计算函数的定义域，外层函数单调递增，只需求二次函数在定义域内的增区间即可.8．定义：区间[]()x x x x <1212，的长度为21x x -,已知函数2x y =的定义域为[]a b ，，值域为[]12，，记区间[]a b ，的最大长度为m ，最小长度为.n 则方程()ln m x n -+=20的实根个数（ ）A ．1B ．2C ．0D ．3【答案】B【分析】作出函数2xy =的图象，从而结合图象可得m ，n 的值；进而方程()ln m x n -+=20的根的个数转化为函数y m =与()ln y x n =+的图象交点的个数，分别作出函数的图象即可求解.【详解】由题意可知，作函数2xy =的图象,如图所示函数2xy =的定义域为[]a b ，，值域为[]12，， 可知区间[]a b ，的最大长度为2m =，最小长度为1n =，所以()ln m x n -+=20，即()ln x +=14方程()ln x -+=2210的根的个数转化为函数4y =与()ln y x =+1的图象交点的个数作函数4y =与()ln y x =+1的图象，如图所示由图可知，函数4y =与()ln y x =+1的图象有2个交点，所以方程()ln m x n -+=20的实根个数为2.故选:B ．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件 【答案】BD【解析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断. 【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误； B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y >，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题. 10．下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()f x =()g x x =C ．2()lg f x x =与()2lg g x x =D ．()xf x x=与0()g x x =【答案】AD【分析】根据两个函数定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一个函数即可得出结果.【详解】对于A 选项，()f x x =，定义域为R ，()||g x x ==，定义域为R ，两函数定义域相同， 对应关系相同，是同一个函数，所以A 选项正确；对于B 选项，()f x ==-(,0]-∞，()g x x =(,0]-∞， 两函数对应关系不同，不是同一个函数，所以B 选项错误；对于C 选项，2()lg f x x =，定义域(,0)(0,)-∞+∞，()2lg g x x =，定义域为(0,)+∞， 两函数定义域不同，不是同一个函数，所以C 选项错误；对于D 选项，()1xf x x==，定义域(,0)(0,)-∞+∞，0()1g x x ==，定义域(,0)(0,)-∞+∞， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一个函数，所以D 选项正确， 故选：AD11．若0m n >>，则下列结论一定成立（ ）A ．1155m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．lg()0m n ->C ．1m n -π>D ．11m mn n+>+ 【答案】AC【分析】利用指数函数单调性可以判定A 和C 选项，对数函数性质可判定B 选项， D 选项可代入特殊值法判断.【详解】若0m n >>，则0m n ->，根据指数函数单调性性质，直接得1155m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，01m n ππ->=，所以A 和C 选项正确，由对数函数性质，当01m n <-<时， lg()0m n -<，当1m n ->时，lg()0m n ->，所以B 选项错误，取特殊值3m =，12n =，1813m n +=+， 6mn =，所以11m m n n+<+，即D 选项错误， 故选：AC12．—般地,若函数()f x 的定义域为[],a b ,值域为[],ka kb ,则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”;特别地,若函数()f x 的定义域为[],a b ,值域也为[],a b ,则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,则3b =B ．函数()32f x x=-不存在跟随区间C ．若函数()f x m =,则1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”【答案】BCD【解析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 错误.对B,由题,因为函数()32f x x =-在区间(),0∞-与()0,+∞上均为增函数,故若()32f x x=-存在跟随区间[],a b则有3232aabb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即,a b为32xx-=的两根.即2230x x-+=,无解.故不存在.故B正确.对C, 若函数()f x m=[],a b,因为()f x m=,故由跟随区间的定义可知b ma ba m⎧=⎪-=⎨=⎪⎩a b<即()()()11a b a b a b-=+-+=-,因为a b<,1=.易得01≤<.所以(1a m m==-,令t=20t t m--=,同理t=20t t m--=,即20t t m--=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故140mm+>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C正确.对D,若()212f x x x=-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b,值域为[]3,3a b.当1a b<≤时,易得()212f x x x=-+在区间上单调递增,此时易得,a b为方程2132x x x-+=的两根,求解得0x=或4x=-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-.故D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.三、填空题13．已知方程2410x x-+=的两根为12,x x,则2212x x+=_______．【答案】14【分析】根据韦达定理,得到1212,x x x x+⋅,将数值代入到()2212121222x x x x x x++⋅=-中即可求得.【详解】解:由题知2410x x-+=的两根为12,x x,由韦达定理可知:121241x xx x+=⎧⎨⋅=⎩,()2221212122x x x x x x ∴+=+-⋅162=-14=.故答案为:1414．函数()()ln 2f x x =-________． 【答案】{}12x x -≤<【解析】根据对数的真数大于零，偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得2010x x ->⎧⎨+≥⎩，解得12x -≤<.因此，函数()y f x =的定义域为{}12x x -≤<. 故答案为：{}12x x -≤<.【点睛】本题考查函数定义域的求解，一般要根据求函数定义域的基本原则建立不等式组求解，考查计算能力，属于基础题. 15．设函数()21221xx f x e x--=++，若()()24f ax f x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】[]4,4-【解析】首先判断函数的奇偶性和单调性，根据函数性质，不等式等价于()()()()2244f ax f x f ax f x ≥+⇒≥+，再根据函数的单调性得24ax x ≤+，再利用参变分离的方法，转化为函数的最值，求a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可知函数的定义域为R ，且满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，当0x >时，()()22112224222x x x x f x e e x x ---++-=+=+++， ()12412x f x e x -∴=+-+ ()0x >， 1x y e -=是单调递减函数，()24102y x x =->+也是减函数， 所以函数()12412xf x e x-=+-+ ()0x >是单调递减函数 ()()()()2244f ax f x f ax f x ≥+⇒≥+，即24ax x ≤+，当0x =时，不等式成立，当0x ≠时，244x a x x x +≤=+，即min4a x x ⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭， 4424x x x x+≥⋅=，当2x =±时，等号成立， 即444a a ≤⇔-≤≤， 综上可知a 的取值范围是[]4,4-. 故答案为：[]4,4-【点睛】本题考查指数函数，函数的奇偶性和函数的单调性，解抽象不等式，属于中档题型. 方法点睛：本题涉及利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式，一般包含以下方法： 1.奇函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数的给定区间上的单调性，将不等式转化为()()12f x f x <的形式，再根据单调性去掉“f ”，再解不等式；2.偶函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数在()0,∞+的单调性，根据()()()f x f x f x -==，将不等式转化为()()12f x f x <的形式，再根据单调性去掉“f ”，解不等式.四、双空题16．图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x 的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是______；图③的建议是_____.【答案】 增加票价，运营成本不变 票价不变，降低运营成本【解析】由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y 轴上的截距的相反数表示运营成本，根据图②③中的斜率截距变化即可得出.【详解】由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y 轴上的截距的相反数表示运营成本， 图②中，直线的斜率增加，在y 轴上的截距不变，即表示增加票价，运营成本不变，图③中，直线斜率不变，直线的截距增加，即表示票价不变，降低运营成本. 故答案为：增加票价，运营成本不变；票价不变，降低运营成本.五、解答题17．计算下列各式的值．21513236231.538a a a-⎛⎫⋅÷+⨯ ⎪⎝⎭；(2)421lg log8log3log100++⋅【答案】(1)π(2)0【分析】（1）根据根式的定义与分数指数幂的运算法则计算．（2）根据对数的运算法则、换底公式计算．【详解】（1）原式223115323633222aπ-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⨯⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22332122ππ-⎛⎫⎛⎫=-++⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式()2323221lg10log2log3log22-⎛⎫⎪⎝=+⋅⎭+223312lg10log2log3log222⎛⎫=-++⋅ ⎪⎝⎭312022=-++=18．已知0,0x y>>，且141x y+=．(1)求x y+的最小值；(2)若26xy m m>+恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)9(2)()8,2-【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；（2）根据题意结合基本不等式可得16xy≥，然后求解关于m的不等式，即可得到结果. 【详解】（1）因为0,0x y>>，所以()144559x yx y x yx y y x⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭当且仅当4x y y x=，即3,6x y ==时取等号， 所以x y +的最小值为9（2）因为0,0x y >>，所以141x y =+≥， 所以16xy ≥，当且仅当2,8x y ==时等号成立，因为26xy m m >+恒成立，所以2166m m >+，解得82m -<<所以实数m 的取值范围为()8,2-19．已知幂函数()93m f x x -=()*m N ∈的图像关于原点对称，且在R 上函数值随x 的增大而增大.（1）求()f x 的解析式；（2）求满足()()1340f a f a ++-<的a 的取值范围.【答案】（1）()3f x x =；（2）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据幂函数()f x 图像关于原点对称和在R 上递增，求得m 的值.（2）利用幂函数()f x 的奇偶性和单调性列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）由题可知，函数在R 上单调递增，∴930m ->，解得3m <.又*m N ∈，∴1,2m =.又函数图像关于原点对称，∴93m -为奇数，故2m =.∴()3f x x =.（2）∵()()1340f a f a ++-<，∴()()134f a f a +<--.∵()f x 为奇函数，∴()()143f a f a +<-.又函数在R 上单调递增，∴143a a +<-.∴34a <. ∴a 的取值范围是3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 20．已知()f x 是二次函数，()0f x >的解集是{35}x x -<<且()015f =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[1,4]x ∈-时，函数()f x 的最值；（3）令()()()12g x m x f x =--.若函数()g x 在区间[]0,2上不是单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()2215f x x x =-++；（2）()f x 的最大值为16，最小值为7；（3）13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由()015f c ==，再转化()0f x >的解集是{35}x x -<<为3,5-是对应方程的两个根，结合韦达定理，可得12a b =-⎧⎨=⎩，即得解； （2）()2215f x x x =-++为开口向下的二次函数，对称轴为1x =，根据二次函数性质即得解；（3）转化为()()22115g x x m x =-+-的对称轴在给定区间的开区间内，即21022m +<<，求解即可 【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠.∵()015f =∴15c =又()0f x >的解集是{35}x x -<<∴3,5-是方程2150ax bx ++=的两个根 ∴351535b a c a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯==⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩ ∴()2215f x x x =-++.（2）由于()2215f x x x =-++为开口向下的二次函数，对称轴为1x =根据二次函数性质，当[1,4]x ∈-当1x =时，取得最大值，即max ()(1)16f x f ==，由于4比1-离对称轴远，故当4x =时，取得最小值，即min ()(4)7f x f ==（3）∵()()()12g x m x f x =--∴()()22115g x x m x =-+-.∵函数()g x 在区间[]0,2上不是单调函数 ∴21022m +<<,解之得:1322m -<<. ∴实数m 的取值范围是13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 21．地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t ．（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量（2）若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）210200200,210(),10401200,1020t t t p t t ⎧-++<=⎨⎩， （2）当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．【分析】（1）由题意知21200(10),210()1200,1020k t t p t t ⎧--<=⎨⎩，t N ∈，(k 为常数），再由p （2）560=求得k ，则()p t 可求，进一步求得p （6）得答案；（2）由6()3360360p t Q t -=-，可得2120010(10)5606[60],2103840360,1020t t t Q t t⎧----<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，分段求最值得答案． 【详解】（1）由题意知21200(10),210()1200,1020k t t p t t ⎧--<=⎨⎩，t N ∈，(k 为常数）， p （2）21200(102)560k =--=，10k ∴=，22120010(10),21010200200,210()1200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧--<-++<∴==⎨⎨⎩⎩， p ∴（6）2120010(106)1040=--=；（2）由6()3360360p t Q t-=-，可得 2120010(10)5606[60],2103840360,1020t t t Q t t⎧----<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩， 当210t <时，366[14010()]6(1401012)120Q t t=-+-⨯=， 当且仅当6t =时等号成立；当1020t 时，7200336036038436024Q t -=--=，当10t =时等号成立， ∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22．已知函数()()1e ,ln 1x f x g x x -==+．(1)判断函数()()()ln F x f x g x ⎡⎤⎦+⎣=在其定义域上的单调性（不需要证明）﹔ (2)对任意的1,e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，都有()()f b a g a b =，若存在a 的两个取值()1212,a a a a ≠，使得2(b c c -=为常数），求12a a ⋅的值．【答案】(1)()F x 在()0,∞+上单调递增(2)212e a a =【分析】（1）求出函数式，然后根据单调性的性质判断；（2）已知等式交叉相乘后取对数变形利用（1）中函数的单调性得出ln 1b a =+，代入2b c -=，利用12,a a 是此方程的两个解，得出培训五日关系，完成证明.【详解】（1）由已知()1ln 1ln F x x x x x =-++=+，由于y x =和ln y x =在(0,)+∞上都是增函数， 因此()F x 在定义域内是增函数；（2）由()()f b a g a b=，即ln 10a +>，化简为()1e ln 1b b a a -=+． 因为1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以ln 10a +>，又由题可知0a >，所以0b >． 所以两边取对数得()()1ln e ln ln 1b b a a -=+⎡⎤⎣⎦，即()1ln lne ln ln ln 1b b a a -+=++， 即()ln 1ln ln ln 1b b a a +-=++，即()()ln ln 1ln ln 1b b a a +=+++，即()()ln 1F b F a =+，由（1）知()ln F x x x =+为()0,∞+上的增函数，所以ln 1b a =+． 又因为2ln 1b a c -=-=，即存在()1212,a a a a ≠使ln 1a c -=成立，不妨设12a a <，即12ln 1ln 1a a c -=-=，即12ln 1ln 1a a -+=-，即12ln 2a a =，所以212e a a =．。
2021-2022学年福建省泉州市高一年级上册学期期中考试数学试题【含答案】
2021-2022学年福建省泉州市高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合，，则（ ）{}|02A x x =<≤{}|1B x x =>()R A C B = A ．B ．C ．D ．{}|01x x <≤{}1|0x x <<{}|12<≤x x {}2|x x ≤【答案】A【分析】根据集合交集和补集的定义进行运算即可.【详解】解析：，所以，{}1R C B x x =≤∣(){}|01R A C B x x =<≤ 故选：A ．2．函数的定义域是（ ）1()2f x x =-A ．B ．C ．D ．[0,2)(2,)+∞1,2(2,)3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 1,2(2,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据解析式的形式可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.x 【详解】由题设可得，故且，31020x x -≥⎧⎨-≠⎩13x ≥2x ≠故函数的定义域为.1,2(2,)3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 故选：C.3．若，一定成立的是（ ）a b >A ．B ．a c b c +>+22a b>C ．D ．22ac bc >11a b<【答案】A【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.【详解】若，则，故A 正确；a b >a c b c +>+当时，，故BC 错误；1,2a b ==-2211114,12a b a b =<==>-=当时，，故C 错误.0c =220ac bc ==故选：A.4．设，则“”是“”的（ ）x ∈R ()50x x -<11x -<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】解不等式、，利用集合的包含关系判断可得出结论.11x -<()50x x -<【详解】由可得，()50x x -<05x <<由可得，解得，11x -<111x -<-<02x <<因此“”是“”的必要不充分条件.()50x x -<11x -<故选：B.5．已知关于x 的方程有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）312x a-=A ．B ．C ．D ．(),0-¥()0,2()0,+¥()0,1【答案】B【分析】将问题转化为与的图象有两个交点，应用数形结合法判断参数a 的取值范2ay =31xy =-围即可.【详解】函数，其大致图象如图所示．31,03131,0x xxx y x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩关于x 的方程有两个不等实根等价于直线与的图象有两个交点，由图可312x a-=2a y =31x y =-知：，即．012a <<02a <<故选：B ．6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的()f x部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）()f xA ．B ．()21x f x x=-()221x f x x =+C ．D ．()221xf x x =-()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据时函数值为正排1x >除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当时，，不满足图象；对于C ，当时，，满足图象.1x >0y <1x >0y >故排除A ，选C.故选：C7．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为1.75%，若按复利计算，将这1000元存满5年，可以获得利息（ ）（参考数据：，，）41.0175 1.072=51.0175 1.091=61.0175 1.110=A ．110元B ．91元C ．72元D ．88元【答案】B【分析】根据已知求出存满5年后的本息和，再减去本金，即可得出答案.【详解】解：将1000元钱按复利计算，则存满5年后的本息和为，故可以获51000 1.01751091⨯=得利息（元）.1091100091-=故选：B.8．已知的定义域是，，且函数为偶函数．当时，()f x R ()()110f x f x ++--=()1f x +[]0,1x ∈在区间上的所有根之和为（ ）()f x =()()210x f x --=[]3,6-A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D 【分析】由得函数在上是奇函数.由函数为偶函数，得()()110f x f x ++--=()f x R ()1f x +关于直线对称.画出函数图像，由函数图像即可得到方程在区间()f x 1x =()()210x f x --=上的所有根之和.[]3,6-【详解】由得，()()110f x f x ++--=()()0f x f x +-=所以在上是奇函数.()f x R 又因为函数为偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x +=-+所以关于直线对称.()f x 1x =当时，[]0,1x ∈()f x =如图，做出在区间上的图像.()f x []3,6-由方程解得，令，()()210x f x --=()1,22f x x x =≠-()1,22g x x x =≠-如图，做出在区间上的图像.()g x []3,6-由图可知，与在区间上有个交点：.()f x ()g x []3,6-4A BC D 、、、且与均关于直线对称.()f x ()g x 2x =所以,,22DA x x +=22C B x x +=所以，8A C DB x x x x +++=即方程在区间上的所有根之和为.()()210x f x --=[]3,6-8故选：D【点睛】难点点睛：本题解题的关键在于根据题目所给的条件，进行适当变形得到函数的奇偶性和对称性，根据函数的奇偶性和对称性，画出函数在给定区间内的图像.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．B ．2.531.71.7<2.530.80.8<C ．D ．220.90.8--<0.33.11.70.8>【答案】ACD【分析】利用指数函数和幂函数图像比较数的大小.【详解】对于A ，在定义域上是增函数，，故A 正确；1.7x y = 2.532.53, 1.7 1.7<∴< 对于B ，在定义域上是减函数，，故B 错误；0.8x y = 2.532.53,0.80.8∴ 对于C ，在上是减函数，，故C 正确；2y x -=()0,+∞220.80.9,0.90.8--<∴< 对于D ，故D 正确；0.3 3.10.3 3.11.710.81, 1.70.8>∴ ，故选：ACD.10．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．，B ．()f x x=-[]1,2x ∈-()1f x x x=+C ．D ．()f x x x =-()3f x x =-【答案】CD【分析】根据函数单调性以及奇偶性的判定即可求解.【详解】对于A ，，的定义域不关于原点对称，不符合题意；()f x x=-[]1,2x ∈-对于B ，，因为，()1f x x x =+()()1212f f -=-<=所以该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C ，，故为奇函数，()()f x x x f x -==-当时，在上单调递减，0x ≥2()f x x =-[)0,∞+当时，在单调递减，0x <2()f x x =(),0∞-又函数为连续函数，且，所以函数在上单调递减，故C 符合题意；()00f =R对于D ，为奇函数，且在定义域内是减函数，故D 符合题意.()3f x x =-故选：CD.11．下列结论中，正确的结论有（ ）A ．如果，，且，那么的最小值为40a >0b >111a b +=a b +B ．如果，那么取得最大值为102x <<()43x x-43C ．函数2()f x D ．如果，，，那么的最小值为60x >0y >39x y xy ++=3x y +【答案】AD【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】对于选项A ，如果，，且，0a >0b >111a b +=那么，()11114a ab a b b b b a a ⎛⎫+⋅=++++≥ ⎪+=⎝⎭当且仅当且，即时取等号，故选项A 正确；b aa b =111a b +=2a b ==对于选项B ， 如果，那么，102x <<430x ->则，()()()23113334343423x x x x x x ⎡⎤=-⋅≤⋅⎢⎥⎣+⎦--即，当且仅当，即时取等号，()3443x x -≤343x x =-23x =因为，所以不能取得最小值，故选项B 错误；102x <<43对于选项C，函数，()2f x==≥时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故选项C 错误；1=x 对于选项D ，如果，，，0x >0y >39x y xy ++=则21393332x y x y xy x y +⎛⎫=++≤++⋅ ⎪⎝⎭整理得，()()231231080x y x y +++-≥所以或（舍去），36x y +≥318x y +≤-当且仅当时取得最小值，故选项D 正确.1,3y x ==故选：AD12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利()R 1,0,x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩Q Q 克雷函数，则关于函数有（ ）()f x A ．函数的值域为B ．()y f x ={}0,1()()1f f x =C ．D ．，都有()1ff >x ∀∈R ()()12f x f x -=+【答案】ABD【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.【详解】对于A ，因为函数，所以的值城为，故A 正确；()1,Q0,Q x f x x ∈⎧=⎨∉⎩()f x {}0,1对于B ，因为，所以，故B 正确；(){}R 01x f x ∀∈∈，，()()1f f x =对于C ，，，所以，，C错误；0f =(1)1f=(1)f f >对于D ，由题意，函数定义域为，且，所以，为偶函数，R ()()f x f x -=()f x 若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；x x T +x x T +所以，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，T 对恒成立，故，()()f x T f x +=x ∈R (2)()()(1)f x f x f x f x +==-=-所以，都有，D 正确.x ∀∈R ()()12f x f x -=+故选：ABD.三、填空题13．已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m 的值为()()2231mm f x m m x +-=--__________．【答案】1-【分析】根据幂函数定义，由求得m ，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.211m m --=【详解】由幂函数知，()()2231mm f x m m x +-=--得或.211m m --=2m =1m =-当时，图象与坐标轴有交点，2m =()3f x x =()0,0当时，与坐标轴无交点，1m =-()3f x x-=∴.1m =-故答案为:1-14．是定义在R 上的奇函数，当时，，当x ＜0时，= ______.()f x 0x ≥2()2f x x x =-+()f x 【答案】22x x+【分析】当时，，所以，然后结合函数的奇偶性可得答案.0x <0x ->2()2f x x x -=--【详解】当时，，所以0x <0x ->2()2f x x x -=--因为是定义在R 上的奇函数，所以，所以()f x ()2()2f x x x f x -=--=-2()2f x x x =+故答案为：22x x+15．已知函数有最小值，则的取值范围是 _______．()()212,02,0a x a x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩a 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情0x ≥0x <()()12f x a x a=-+况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围.a 【详解】当时， ，此时；0x ≥()()211f x x =--()()min 11f x f ==-当时，.0x <()()12f x a x a=-+①时，为常函数，此时在R 上满足函数有最小值为，1a =()2f x =()f x 1-②时，函数此时为单调的一次函数，要满足在R 上有最小值，1a ≠()f x 需 解得，10(1)021a a a -<⎧⎨-⨯+≥-⎩112a -≤<综上，满足题意的实数的取值范围为：.a 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、双空题16．若函数对任意实数x ，y 都有，则称其为“保积函数”．若时，()f x ()()()f xy f x f y =[)0,1x ∈，且，，则__________，不等式的解集为()[)0,1f x ∈()8127f =()11f -=()9f =()f x ≤__________．【答案】[]9,9-【分析】令，可证明函数为偶函数，再根据即可求得，设任意的1y =-()8127f =()9f ，则，证明在上单调递增，再根据函数的单调性解不等式即可.1201x x ≤<<1201x x ≤<()f x ()0,∞+【详解】令，则对任意实数x 都成立，1y =-()()()()1f x f x f f x -=-=所以是偶函数，()f x ，()()()(228199927f f f =⨯===⎡⎤⎣⎦因为，所以()0f x ff f ==⋅≥()9f =设任意的，则，所以，1201x x ≤<<1201x x ≤<1201x f x ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以，()()()11122222x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在上单调递增，()f x ()0,∞+所以不等式等价于，()f x ≤()()9f x f ≤又是R 上的偶函数，所以，解得，()f x 9x ≤99x -≤≤所以不等式的解集为．()f x ≤[]9,9-故答案为：．[]9,9-【点睛】关键点点睛：设任意的，则，结合时，，证明1201x x ≤<<1201x x ≤<[)0,1x ∈()[)0,1f x ∈在上单调递增，是解决本题的关键.()f x ()0,∞+五、解答题17．（1）化简求值：；11273192-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）已知，求的值．13a a -+=1122a a -+【答案】（12【分析】（1）利用幂的运算直接求解；（2）先判断出和，根据式子结构，对待求式平0a >120a >方后即可求解.【详解】（1）1122173163129292--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(42233=+-=（2）因为，所以，所以.13a a -+=0a >120a >因为，()1122212325a aa a--+=++=+=所以1122a a-+=18．设A ={x |2<x <4}，B ={x |x 2-4ax +3a 2<0}．(1)当a =3，求；A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围．A B ⊆【答案】(1){}29A B x x ⋃=<<(2)423a ≤≤【分析】（1）当时，求出集合B ，根据并集的定义即可求出；（2）讨论a 求解二次不等式，3a =根据列不等式直接求出A B ⊆【详解】（1）当时，B ={x |x 2-4ax +3a 2<0}=，3a ={|39}x x <<；{}29A B x x ∴⋃=<<（2）B ={x |x 2-4ax +3a 2<0}=，()(){|30}x x a x a --<当不符合题意；0,a B ==∅当 则需要{|0,3}x a a a B x ><<=A B ⊆0422334a a a a >⎧⎪≤⇒≤≤⎨⎪≥⎩当 不符合题意，故 实数a 的取值范围是{|30,}x a a x B a <<<=423a ≤≤19．条件①：；条件②：不等式的解集为．已知二次函数()()12f x f x x+-=()4f x x <+()1,3-满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知．（注：如果选择条件①()f x ()01f =和条件②分别解答，按第一个解答计分）(1)求的解析式；()f x (2)若函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数的取值范围．()f x 2y x m =+m 【答案】(1)()21f x x x =-+(2)54m <-【分析】（1）依题意设，若选择①，表示出，即可得到关()()210f x ax bx a =++≠()()1f x f x +-于、的方程组，解得即可，选择②由题知方程的两实根分别为和，利a b ()2130ax b x +--=1-3用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意可得对恒成立，令，则问题可转化为，231x x m -+>x ∀∈R ()231g x x x =-+()min g x m >根据二次函数的性质求出函数的最小值，即可得解.【详解】（1）由，可设．()01f =()()210f x ax bx a =++≠选择①，则有，()()()()()221111122f x f x a x b x ax bx ax a b x+-=++++-++=++=由题意，得，解得，故．220a a b =⎧⎨+=⎩11a b =⎧⎨=-⎩()21f x x x =-+选择②，则可化为，()4f x x <+()2130ax b x +--<由题知方程的两实根分别为和，()2130ax b x +--=1-3所以，即，1132b a --=-+=21a b +=及，即，所以，3133a -=-⨯=-1a =1b =-故．()21f x x x =-+（2）由题意，得，即对恒成立．212x x x m -+>+231x x m -+>x ∀∈R 令，则问题可转化为，()231g x x x =-+()min g x m>又因为在上单调递减，在上单调递增，()g x 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，故．()min 3524g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭54m <-20．已知函数是奇函数．()331xxb f x -=+(1)求b 的值；(2)证明在R 上为减函数；()f x (3)若不等式成立，求实数t 的取值范围．()()222360f t t f t ++-<【答案】(1)1b =(2)证明见解析(3)或32t <-1t >【分析】（1）利用奇函数定义和奇函数中求b 的值；()00f =（2）按取点，作差，变形，判断的过程来即可；（3）通过函数的单调性，然后结合奇函数的性质把转化为一元二次()f x ()()222360f t t f t ++-<不等式，最后由一元二次不等式知识求出t 的取值范围．【详解】（1）∵的定义域为R ，()f x 又∵为奇函数，∴由得，()f x ()00f =1b =此时，∴为奇函数，()()13313113x x x xf x f x -----===-++()1331x x f x -=+所以．1b =（2）任取，，且，则，1x 2x ∈R 12x x <()()()()()2112122333131x x x x f x f x --=++∵，∴，∴．12x x <2133x x >21330x x->又∵，∴，即，()()1231310x x ++>()()120f x f x ->()()12f x f x >故为R 上的减函数．()f x （3）因为为奇函数，所以，()f x ()()222360f t t f t ++-<可化为，()()22263f t t f t +<-又由（2）知为减函数，所以，所以或．()f x 22263t t t +>-32t <-1t >21．物联网是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）），仓库到车站的距离x （单位：千米，1y ），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元），；若在距离车站9千0x >1y 1x +2y 20.8y x =米处建仓库，则仓库每月土地占地费为2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，1y 才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？【答案】应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元【分析】设，根据题意求出，设两项费用之和为z （单位：万元），求出的关()101ky k x =≠+k ,z x 系式，再结合基本不等式即可得解.【详解】设，其中，()101ky k x =≠+0x >当时，，解得，所以，9x =1210ky ==20k =1201y x =+又，设两项费用之和为z （单位：万元），20.8y x=则12200.81z y y x x =+=++，()200.810.80.87.2,01x x x =++-≥=>+当且仅当，即时，“”成立，()200.811x x =++4x ==所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．22．已知函数.()1422x x f x a +=-⋅-（1）若的最小值为，求实数的值；()f x 3-a （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.()0f x <[)0,1x ∈a 【答案】（1）；（2）.1a =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）换元，问题转化为求二次函数在时有最小值，20x t =>222y t at =--()0,t ∈+∞3-求实数的值，然后分、两种情况讨论，分析二次函数在区间上的a 0a ≤0a >222y t at =--()0,∞+单调性，求出函数的最小值，进而可求得实数的值；222y t at =--a （2）由（1）结合，可得出对任意的恒成立，分析函数在区间()0f x <12t a t >-[)1,2t ∈()12t g t t =-上的单调性，求出的值域，由此可得出实数的取值范围.[)1,2()g t a 【详解】（1），()()214222222x x x x f x a a +=-⋅-=-⋅- 换元，则.20x t =>()222222y t at t a a =--=---①当时，二次函数在区间上单调递增，无最小值；0a ≤222y t at =--()0,∞+②当时，二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，0a >222y t at =--()0,a (),a +∞所以，，，解得.2min 23y a =--=-0a > 1a =综上所述，；1a =（2）由（1）知，若对任意的恒成立，则，()0f x <[)0,1x ∈[)21,2x t =∈即对任意的恒成立，2220y t at =--<[)1,2t ∈即对任意的恒成立，22122t t a t t ->=-[)1,2t ∈令，其中，易知函数在区间上单调递增，()12t g t t =-[)1,2t ∈()12t g t t =-[)1,2当时，，即，所以，，12t ≤<()()()12g g t g ≤<()1122g t -≤<12a ≥因此，实数的取值范围是.a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；x D ∀∈()()min m f x m f x ≤⇔≤（2），；x D ∀∈()()max m f x m f x ≥⇔≥（3），；x D ∃∈()()maxm f x m f x ≤⇔≤（4），.x D ∃∈()()minm f x m f x ≥⇔≥。
福建省三明市10-11学年高一数学上学期期末考试
三明市2022—2022学年第一学期普通高中期末考试高一数学试卷第一卷〔选择题 共36分〕一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答． 1．直线20x y --=的倾斜角为A ．30︒B ．45︒ C. 60︒ D. 90︒ 2．在数列{}n a 中，1112, 2n n a a a +=-=，那么5a 的值为 A ．3B ．72C ．4D ．923．如图是一个物体的三视图．那么此三视图所描述的几何体是4．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a +等于A. 12B. 24C. 36D. 48 5．直线210mx y m ++-=恒过定点A ．(-2，1)B ．(2，-1)C ．(0,1)D ．(-2，-1) 6．直线,a b 和平面α，以下四个说法 ①a ∥α，b ⊂α,那么a //b ；②a ∩α＝P ，b ⊂α，那么a 与b 不平行；③假设a ∥b ，b α⊥，那么a α⊥；④a //α，b //α，那么a //b ． 其中说法正确的选项是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 7．直线012=--y x 被圆2)1(22=+-y x 所截得的弦长为30 B 355C 230D 6558．以下命题中正确的选项是A ．假设22,a b am bm >>则B ．假设,a b a b c c>>则 Ｃ．假设11,0,<a b ab a b >>则 Ｄ．假设2211,0,<a b ab a b>>则9．设A 在x 轴上，它到点2,3)P 的距离等于到点(0,1,1)Q -的距离的两倍，那么A 点的坐标是A.〔1，0，0〕和〔 -1，0，0〕B.〔2，0，0〕和〔-2，0，0〕C.〔12，0，0〕和〔12-，0，0〕 D.〔22，0，0〕和〔22，0，0〕10．在ABC ∆中，假设cos cos a A b B =，那么ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形11．,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，那么2z x y =+的最大值是A ．32-B ．32 C ．-3 D ． 312. 1)1,1(=f ，(,)N f m n +∈〔,N m n +∈〕，且对任意,N m n +∈都有①2),()1,(+=+n m f n m f ； ② )1,(2)1,1(m f m f =+.那么(2010, 2011)f 的值为 A. 201024022+ B ．201022010+ C ．201022011+ D ．201024020+第二卷〔非选择题 共64分〕二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分．在答题卷相应题目的答题区域内作答． 13．直线2310x y +-=与直线40x ay += 平行，那么a = ． 14．数列{n a }的前n 项和n S ＝22n ，那么n a ＝ ． 15．在ABC ∆中，C ∠为钝角，2AC =，1BC =，3ABC S ∆=,那么AB ＝ ． 16．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，6SD PD ==，CR SC =，AQ AP =，点,,,S D A Q 及,,,P D C R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使,,,P Q R S 四点重合，那么 需要 个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．三、解答题：本大题共6小题，共52分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．17.〔本小题总分值8分〕集合A =2{|340}x x x --<，集合B =22{|(1)(1)0}x x x +->，求A B ．18．〔本小题总分值8分〕如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果 冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由．19．〔本小题总分值8分〕如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中． (I) 求异面直线BD 与1B C 所成的角；(II) 求证平面1ACB ⊥平面11B D DB ．20．〔本小题总分值9分〕圆22:(3)(4)4C x y -+-=，〔Ⅰ〕假设直线1l 过定点A (1，0)，且与圆C 相切，求1l 的方程；(Ⅱ) 假设圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．21．〔本小题总分值9〕某厂家2022年拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量m 万件〔即该厂的年产量〕与促销费用x 万元(0)x ≥满足231m x =-+．2022年生产该产品m 万件的本钱168C m =+万元，厂家将每件产品的销售价定为每件产品本钱的1.5倍． 〔Ⅰ〕试将2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数；〔Ⅱ〕该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ (利润=销售额-本钱-促销费用)_ 12 cm_ 4 cmD 1C 1B 1A 1CDBA22．〔本小题总分值10分〕数列{n a }有以下的特征：11=a ， 12 , ,a a ...5,a 是公差为1的等差数列；56 , ,a a (10),a 是公差为d 的等差数列；1011,,a a …15,a 是公差为2d 的等差数列；……；55152,,,n n n a a a ++…55,n a +是公差为n d 的等差数列〔*n N ∈〕，其中0d ≠．设数列{}n b 满足55(1)n n n b a a -=- (2)n ≥ ，15b a =． (Ⅰ) 求证数列{n b }为等比数列； (Ⅱ) 求数列{n b }的前n 项和n S ；(Ⅲ) 当1d >-时，证明对所有正奇数n ，总有52n S >．三明市2022—2022学年第一学期普通高中阶段性考试高一数学参考答案二、填空题〔本大共4小题.每题3分,共12分〕13．6 14. 42n - 16. 3． 三、解答题〔本大题共6小题,共52分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值8分〕解： 0432<--x x ，解得41<<-x ； ……………………………………3分 由22(1)(1)0x x +->，又210x +>，所以210x ->， 解得 1,1>-<x x 或； …………………………………6分 ∴AB ＝〔1,4〕 ………………………………………8分18．〔本小题总分值8分〕解： 由图可知33314141284()23233V R cm πππ=⨯=⨯⨯=半球；……………………3分2231141264()33V r h cm πππ==⨯⨯=圆锥； ……………………………………6分因为圆锥半球V V <，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．…………………………………………8分 19．〔本小题总分值8分〕 解：〔Ⅰ〕如图，DB ∥11D B ，那么11D B C ∠就是异面直线BD 与1B C 所成的角． 连接1D C ，在11D B C ∆中，1111D B B C CD ==， 那么1160D B C ∠=，因此异面直线BD 与1B C 所成的角为60．………4分(Ⅱ) 由正方体的性质可知 1DD AC ⊥面， 故1DD AC ⊥，又 正方形ABCD 中，AC BD ⊥， ∴ 11AC B D DB ⊥面；又 AC 1ACB ⊂平面，∴ 平面111ACB B D DB ⊥平面． …………………………………………8分 20．〔本小题总分值9分〕 解：〔Ⅰ〕①假设直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意． …………………1分②假设直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心〔3，4〕到直线1l 的距离等于半径2， 即2= …………………………………………………………………4分解之得 34k =． 所求直线方程是1x =，3430x y --=． …………………………………… 5分 〔Ⅱ〕依题意设(,2)D a a -，又圆的圆心(3,4),2C r =， 由两圆外切，可知5CD =∴可知＝5， ……………………………………… 7分 解得 2,3-==a a 或，OD 1C 1B 1A 1CDBA∴ (3,1)D -或(2,4)D －，∴ 所求圆的方程为9)4()29)1()32222=-++=++-y x y x 或（（．…… 9分 21．〔本小题总分值9分〕解：〔Ⅰ〕依题意得：20.5848(3)41y C x m x x x =-=+-=-+-+ 1628(0)1x x x =--≥+ …………………………………… 5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得1629(1)29211y x x =-++≤-=+ 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号， 所以厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的最大利润为21万元 ………9分22．〔本小题总分值10分〕解：〔Ⅰ〕证明：当2≥n 时，)1(55--=n n n a a b 15-=n d ，∴ 1155nn n n b d d b d+-== )0(≠d ． …………………………………… 2分 又d a a b a a b 5,5145102151=-==⨯+==， ∴21b d b =，……………… 3分 ∴ 当时，2≥n 1n n bd b -= 都成立，故数列{}n b 是以5为首项，d 为公比的等比数列． ……………………………4分 〔Ⅱ〕∵ 21125555n n n S b b b d d d -=+++=++++5(1),(1)15 , (1)n d d d n d ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩…………………………７分〔Ⅲ〕 当),0(+∞∈d 时，2155555n n S d d d -=++++> 显然成立 …………8分当时)0,1(-∈d ， 211<-<d ，又 n 为正奇数 ，∴nd -<11故 1112n d d ->-，∴ 52n S >． ……………………………………… 10分或当时)0,1(-∈d ，又 n 为正奇数，那么102n d d +>>，所以2210n d d ->->．因此1112n d d ->-，∴ 52n S >． ……………………………………… 10分。
2021-2022学年福建省三明市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年福建省三明市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|0<x<4),B={2,3,4}，则A∩B=()A. {2,3}B. {1,2,3}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4}2.命题“∀x>2，x2+2>6”的否定()A. ∃x≥2，x2+2>6B. ∃x≤2，x2+2≤6C. ∃x≤2，x2+2>6D. ∃x>2，x2+2≤63.函数f(x)=√2−x+1x−1的定义域为()A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (−∞,1)∪(1,2)D. (−∞,1)∪(1,2]4.若条件p：x≤2，q：1x ≥12，则p是q成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分各件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件5.已知sin(π3−x)=35，则cos(x+π6)=()A. 35B. 45C. −35D. −456.设m>0，n>0，且m+2n=1，则1m +1n的最小值为()A. 4B. 3+√2C. 3+2√2D. 67.已知a=0.30.2，b=0.20.3，c=20.3，则它们的大小关系是()A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. b<c<a8.设f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0).若存在0≤x1<x2≤π2，使得f(x1)−f(x2)=−2，则ω的最小值是()A. 2B. 73C. 3 D. 133二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=tan(2x−π3)，以下判断正确的是()A. f(x)的最小正周期为π2B. f(x)的最小正周期为πC. (π3,0)是y=f(x)图象的一个对称中心D. (π6,0)是y=f(x)图象的一个对称中心10.若实数a，b，c，d满足a>b>0>c>d，则以下不等式一定成立的是()A. c2<cdB. a−d>b−cC. ac>bdD. ac <bd11.整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，其中k∈{0,1,2,3,4}.以下判断正确的是()A. 2021∈[1]B. −2∈[2]C. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D. 若a−b∈[0]，则整数a，b属同一类12.已知函数f(x)=log2(2x+8x)−2x，以下判断正确的是()A. f(x)是增函数B. f(x)有最小值C. f(x)是奇函数D. f(x)是偶函数三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知角α的终边经过点(−√32,12)，则sin(α−π6)=______．14.已知f(x)=x2，g(x)=x.若实数m满足f(m)+g(−m)≤6，则m的取值范围是______．15.函数y={x 2+2x−1,x≤0lgx+2x−3,x>0的零点个数为______．16.设x，y∈R，a>0，b>0.若a x=b y=4，且a+2b+ab=16，则1x +1y的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列各式的值：(1)823−(−78)0+√(3−π)2+[(−2)4]12；(2)lg2−lg14+3lg5+lg0.1．18. 已知f(θ)=sin(π−θ)cos(2π−θ)sin(θ−π2)cos(π+θ)．(1)化简f(θ)，并求f(8π3)的值；(2)若f(θ)=3，求2sin 2θ−3sinθcos0的值．19. 设函数f(x)=2+x2−x ，g(x)=log 2f(x)．(1)根据定义证明f(x)在区间(−2,2)上单调递增； (2)判断并证明g(x)的奇偶性；(3)解关于x 的不等式g(1−x)+g(x2)>0．20. 国际上常用恩格尔系数r(r =食物支出金额总支出金额×100%))来衡量一个国家或地区的人民生活水平．根据恩格尔系数的大小，可将各个国家或地区的生活水平依次划分为：贫困，温饱，小康，富裕，最富裕等五个级别，其划分标准如表：某地区每年底计算一次恩格尔系数，已知该地区2000年底的恩格尔系数为60%.统计资料表明：该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长6%．根据上述材料，回答以下问题：(1)该地区在2010年底是否已经达到小康水平，说明理由；(2)最快到哪一年底，该地区达到富裕水平？参考数据：1.0410=1.480，1.0610=1.791，ln2=0.693，ln3=1.099，ln5=1.609，ln52=3.951，ln53=3.970．21.已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x+m(m∈R)的最大值为2．(1)求m的值；(2)求使f(x)≥1成立的x的取值集合；(3)将y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的t(t>0))倍(纵坐标不变)，得到是y=g(x)的一个零点，求t的最大值．函数y=g(x)的图象，若π422.已知函数f(x)=m√−x2−2x+3+√1−x+√3+x，其中m为实数．(1)求f(x)的定义域；(2)当m=0时，求f(x)的值域；(3)求f(x)的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|0<x <4),B ={2,3,4}， ∴A ∩B ={2,3}． 故选：A ．进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x >2，x 2+2≤6， 故选：D ．根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】D【解析】解：要使f(x)有意义，则{2−x ≥0x ≠1，解得x ≤2且x ≠1，∴f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,2]． 故选：D ．可看出，要使得f(x)有意义，则需满足{2−x ≥0x −1≠0，然后解出x 的范围即可．本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：p ：x ≤2，q ：1x ≥12，解得：0<x ≤2， 而(0,2]⫋(−∞，2]， 则p 是q 成立必要不充分条件， 故选：B ．根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵π3−x+x+π6=π2，∴cos(x+π6)=sin(π3−x)=35．故选A．利用诱导公式，可得cos(x+π6)=sin(π3−x)，即可得出结论．本题考查诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由n>0，n>0，m+2n=1，得1m +1n=(m+2n)(1m+1n)=3+2nm+mn≥3+2√2nm ⋅mn=3+2√2，当且仅当2nm =mn，即m=√2−12，n=2−√22时等号成立，所以1m +1n的最小值为3+2√2．故选：C．由题意，1m +1n=(m+2n)(1m+1n)=3+2nm+mn，从而即可利用基本不等式进行求解．本题考查基本不等式的运用，解题关键在于运用1的代换并构造出“积定”的形式进行求解．7.【答案】B【解析】解：∵a=0.30.2>0.30.3>0.20.3=b，且0.30.2<0.30=1，c=20.3>20=1，∴b<a<c．故选：B．直接由幂函数与指数函数的单调性比较a ，b ，c 的大小．本题考查实数的大小比较，考查指数函数与幂函数的性质，是基础题．8.【答案】D【解析】解：∵f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)，存在0≤x 1<x 2≤π2，使得f(x 1)−f(x 2)=−2，则函数f(x)在区间[0,π2]上，存在包含最大值和最小值的一个增区间． ∵ωx +π3∈[π3,ωπ2+π3]，∴ωπ2+π3≥5π2，∴ω≥133，则ω的最小值是133． 故选：D ．先化简f(x)的解析式，由题意利用正弦函数的单调性和最值即可求解． 本题主要考查正弦函数的单调性和最值，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：函数的最小正周期T =π2，故A 正确，B 错误； 由2x −π3=12kπ，k ∈Z ，得x =kπ4+π6，k ∈Z ，当k =0时，x =π6，即点(π6,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心，故D 正确，C 错误． 故选：AD ．根据正切函数的图象和性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及正切函数的图象和性质，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：因为0>c >d ，所以c 2<cd ，故A 正确；因为a >b >0>c >d ，所以−d >−c ，所以a −d >b −c ，故B 正确；取a=2，b=1，c=−1，d=−2，满足a>b>0>c>d，此时ac=bd，故C错误；因为a>b>0>c>d，所以−d>−c>0，所以−ad>−bc，所以ad<bc，又1cd >0，所以ad⋅1cd<bc⋅1cd，即ac<bd，故D正确．故选：ABD．由不等式的性质可判断ABD，由特值法可判断C．本题主要考查不等式的基本性质，考查特值法的应用，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：对于选项A，2021=404×5+1，即2021∈[1]，即选项A正确；对于选项B，−2=(−1)×5+3，即2021∈[3]，即选项B错误；对于选项C，任一整数除以5，余数为0或1或2或3或4，即Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，即选项C正确；对于选项D，若a−b∈[0]，则a，b除以5余数相同，即整数a，b属同一类，即选项D 正确，故选：ACD．先阅读题设中“类”的定义，再逐一判断即可得解．本题考查了阅读理解能力，属基础题．12.【答案】BD【解析】解：函数f(x)=log2(2x+8x)−2x，则f(x)=log2(2x+8x)−log222x，则f(x)=log2(2x+12x)，则f(x)=f(−x)，即函数为偶函数，即选项D正确，选项C错误；由2x+12x ≥2√2x×12x=2，当且仅当x=0时取等号，即函数f(x)有最小值1，即选项B正确；由函数f(x)为偶函数，则f(x)不为增函数，且减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞)，即选项A错误，综上，判断正确的是选项BD，故选：BD．先由对数的运算化简，再结合对数函数的性质逐一判断即可得解．本题考查了对数的运算，重点考查了对数函数的性质，属中档题．13.【答案】√32【解析】解：因为角α的终边经过点(−√32,12 )，所以cosα=−√32，sinα=12，则sin(α−π6)=sinαcosπ6−cosαsinπ6=√32sinα−12cosα=√32×12−12×(−√32)=√32．故答案为：√32．由题意利用任意角的三角函数的定义可求cosα，sinα的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】[−2,3]．【解析】解：∵f(x)=x2，g(x)=x．实数m满足f(m)+g(−m)≤6，即m2+(−m)≤6，即m2−m−6≤0，解得−2≤m≤3，则m的取值范围是[−2,3]．故答案为：[−2,3]．结合题意将m代入函数表达式，可得不等式m2−m−6≤0，求解不等式即可．本题考查了不等式的解法，是基础题．15.【答案】2【解析】解：当x ≤0时，x 2+2x −1=0，解得x 1=−√2−1或x 2=√2−1，∵x 2=√2−1>0，∴此时零点为x 1=−√2−1；当x >0时，y =lgx +2x −3在(0,+∞)上单调递增，当x =1时，y <0，当x =2时，y >0，故在(1,2)之间有唯一零点， 综上所述，函数y 在R 上有2个零点． 故答案为：2．当x ≤0时，令函数值为零解方程即可，当x >0时，根据零点存在性定理判断即可． 本题考查函数零点问题，属基础题．16.【答案】32【解析】解：由a +2b +ab =16，得a =16−2b b+1，所以ab =b(−2b+16)b+1=−2(b+1)2+20(b+1)−18b+1=−[2(b +1)+18b+1]+20≤−2√2(b +1)⋅18b+1+20=8，当且仅当2(b +1)=18b+1，即a =4，b =2时等号成立， 又a >0，b >0，a x =b y =4，得1x =log 4a ，1y =log 4b ，所以1x +1y =log 4a +log 4b =log 4(ab)≤log 48=32，当且仅当a =4，b =2时等号成立， 所以1x +1y 的最大值为32． 故答案为：32．由a +2b +ab =16可得a =16−2b b+1，从而ab =b(−2b+16)b+1=−2(b+1)2+20(b+1)−18b+1，进一步可求出ab 的取值范围，最后结合1x +1y =log 4a +log 4b =log 4(ab)进行求解即可． 本题考查基本不等式的运用，解题的关键在于准确消元求最值，属于中档题．17.【答案】解：(1)原式=23×23−1+|3−π|+24×12=22−1+(π−3)+22=4−1+(π−3)+4=4+π；(2)原式=lg2+2lg2+3lg5−1=3(lg2+lg5)−1=3lg10−1=3×1−1=2．【解析】(1)进行指数式和根式的运算即可； (2)进行对数式的运算即可．本题考查了指数式、根式和对数式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：法一：(1)f(θ)=sin(π−θ)cos(2π−θ)sin(θ−π2)cos(π+θ)=sinθcos(−θ)−sin(π2−θ)(−cosθ)=sinθcosθ−cosθ(−cosθ)=tanθ，则f(8π3)=tan(8π3)=tan(2π3)=−tan(π3)=−√3． (2)由(1)知，tanθ=3，即sinθcosθ=3， 所以sinθ=3cosθ． 因为sin 2θ+cos 2θ=1，所以(3cosθ)2+cos 2θ=1，即10cos 2θ=1， 解得cosθ=±√1010．当cosθ=√1010时，sinθ=3√1010； 当cosθ=−√1010时，sinθ=−3√1010， 所以sin 2θ=910，sinθcosθ=310，所以2sin 2θ−3sinθcosθ=2×910−3×310=910． 法二： (1)同解法一．(2)由(1)知，tanθ=3， 则2sin 2θ−3sinθcosθ=2sin 2θ−3sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2sin 2θ−3sinθcosθcos 2θsin 2θ+cos 2θcos 2θ=2tan 2θ−3tanθtan 2θ+1=2×32−3×332+1=910．【解析】法一：(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解． (2)利用同角三角函数基本关系式即可求解． 法二： (1)同解法一．(2)由(1)知，tanθ=3，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．19.【答案】证明：(1)∀x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2+x 12−x 1−2+x22−x 2=(2+x 1)(2−x 2)−(2+x 2)(2−x 1)(2−x 1)(2−x 2)=4(x 1−x 2)(2−x 1)(2−x 2)．因为x 1−x 2<0，2−x 1>0，2−x 2>0． 所以f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)在(−2,2)上单调递增．(2)由f(x)>0，得−2<x <2，即g(x)的定义域为(−2,2)．对于任意x ∈(−2,2)，g(x)=log 22+x2−x ，g(−x)=log 22+(−x)2−(−x)=log 22−x2+x =log 2(2+x2−x )−1=−log 22+x 2−x=−g(x)，所以g(x)是奇函数．(3)由(1)知，y =2+x2−x 在(−2,2)上单调递增，又因为y =log 2x 是增函数，所以g(x)是(−2,2)上的增函数． 由{−2<1−x <2−2<x 2<2，得−1<x <3．由g(1−x)+g(x 2)>0， 得g(x2)>−g(1−x)，因为g(x)是奇函数，所以−g(1−x)=g(x −1)． 所以原不等式可化为g(x2)>g(x −1)， 则x2>x −1， 解得x <2．所以原不等式的解集为{x|−1<x <2}．【解析】(1)根据函数单调性的定义进行证明即可． (2)根据函数奇偶性的定义进行判断，(3)根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．是个中档题．20.【答案】解：(1)该地区2000年底的恩格尔系数为r 2000=60%，则2010年底的思格尔系数为r 2010=1.04101.0610⋅r 2000……………………(1分)=1.4801.791×0.6……………………(2分)因为1.480×0.6=0.8880，1.791×0.5=0.8955， 所以1480×0.6<1.791×0.5， 则1.4801.791×0.6<0.5，所以r 2010<50%.……………………(4分)所以该地区在2010年底已经达到小康水平．……………………(5分) (2)从2000年底算起，设经过n 年，该地区达到富裕水平 则1.04n 1.06n ⋅r 2000≤40%，……………………(6分)故(1.041.06)n ≤23，即(5253)n ≤23．化为nln 5253≤ln 23.……………………(7分) 因为0<5253<1，则In 5253<0，所以n ≥ln23ln 5253.……………………(8分)因为ln23ln 5253=ln2−ln3ln52−ln53……………………(9分)=ln3−ln2ln53−ln52=1.099−0.6933.970−3.951≈21.37.……………………(11分) 所以n ≥22．所以，最快到2022年底，该地区达到富裕水平．……………………(12分)【解析】(1)用食品消费支出额除以消费支出总额，求出食品消费支出额是消费总额的百分之几(即n)，然后找出所处的范围，从而判断其生活水平． (2)从2000年底算起，设经过n 年，该地区达到富裕水平，推出1.04n 1.06n⋅r 2000≤40%，转化求解即可．本题考查实际问题的处理方法，恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重的理解与应用．21.【答案】(1)f(x)=√3sin2x +2cos 2x +m =√3sin2x +cos2x +1+m =2(√32sin2x +12cos2x)+1+m =2sin(2x +π6)+1+m ； 因为sin(2x +π6)的最大值为1，所以f(x)的最大值为3+m ；依题意，3+m =2， 解得m =−1．(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x +π6)， 由f(x)≥1， 得sin(2x +π6)≥12； 所以π6+2kπ≤2x +π6≤5π6+2kπ,k ∈Z ．解得kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈Z所以，使f(x)≥1成立的x 取值集合为{x|kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈Z}． (3)依题意，g(x)=sin(2t x +π6)，因为π4是g(x)的一个零点，所以sin(π2t +π6)=0， 所以π2t +π6=kπ,k ∈Z ． 所以t =36k−1，因为t >0，所以k ≥1， 所以t 的最大值为35．【解析】(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出m 的值； (2)利用整体思想的应用求出x 的范围；(3)利用三角函数的关系式的变换和函数的零点的关系求出t 的最大值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象和函数的零点的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22.【答案】解：法一(1)由{1−x ≥03+x ≥03−2x −x 2≥0，得{x ≤1x ≥−3−3≤x ≤1，解得−3≤x ≤1．所以f(x)的定义域为{x|−3≤x ≤1}． (2)当m =0时，f(x)=√1−x +√3+x ． 设t =√1−x +√3+x ，则t 2=2√−x 2−2x +3+4=2√−(x +1)2+4+4． 当x =−1时，t 2取得最大值8；当x=−3或x=1时，t2取得最小值4．所以t2的取值范围是[4,8]．所以f(x)的值域为[2,2√2].(3)设t=√1−x+√3+x，由(2)知，t∈[2,2√2]，且√−x2−2x+3=t2−42，则m√−x2−2x+3+√1−x+√3+x=m2(t2−4)+t=m2t2+t−2m．令φ(t)=m2t2+t−2m，t∈[2,2√2]，若m=0，φ(t)=t，此时φ(t)的最小值为φ(2)=2；若m≠0，φ(t)=m2t2+t−2m=m2(t+1m)2−12m−2m．当m>0时，φ(t)在[2,2√2]上单调递增，此时φ(t)的最小值为φ(2)=2；当−1m ≥1+√2，即1−√2≤m<0时，|−1m−2|≥|2√2−(−1m)|，此时φ(t)的最小值为φ(2)=2；当0<−1m <1+√2，即m<1−√2时，|−1m−2|≥|2√2−(−1m)|，此时φ(t)的最小值为φ(2√2)=2m+2√2．所以，当m≥1−√2时，f(x)的最小值为2；当m<1−√2时，f(x)的最小值为2m+2√2．解法二(1)同解法一．(2)当m=0时，f(x)=√1−x+√3+x．因为−3≤x≤1，所以0≤√1−x2≤1,0≤√3+x2≤1，且(√1−x2)2+(√3+x2)2=1，令√1−x2=cosα,√3+x2=sinα，其中0≤α≤π2．则√1−x+√3+x=2cosα+2sinα=2√2sin(α+π4)．因为0≤α≤π2，即π4≤α+π4≤3π4，当α+π4=π4，即α=0时，sin(α+π4)取最小值√22；当α+π4=π2，即α=π4时，sin(α+π4)取最大值1所以，当m=0时，f(x)的值域为[2,2√2].(3)令√1−x2=cosα,√3+x2=sinα，其中0≤α≤π2，则m√−x2−2x+3+√1−x+√3+x=4msinαcosα+2(sinα+cosα)．令t=sinα+cosα，由(2)知，t∈[1,√2]．因为sinαcosα=t2−12，所以4m⋅sinαcosα+2(sinα+cosα)=2mt2+2t−2m．令φ(t)=2mt2+2t−2m，t∈[1,√2]．若m=0，φ(t)=2t，此时φ(t)的最小值为φ(1)=2；若m≠0，φ(t)=2m(t+12m )2−12m−2m．当m>0时，φ(t)在[1,√2]上单调递增，此时φ(t)的最小值为φ(1)=2；当−12m ≥1+√22，即1−√2≤m<0时，|−12m−1|≥|√2−(−12m)|，此时φ(t)的最小值为φ(1)=2；当0<−12m <1+√22，即m<1−√2时，|−12m−1|<|√2−(−12m)|，此时φ(t)的最小值为φ(√2)=2m+2√2．所以，当m≥1−√2时，f(x)的最小值为2；当m<1−√2时，f(x)的最小值为2m+2√2．【解析】(1)根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可，(2)当m=0时，求出函数f(x)的解析式，利用换元法进行转化求解即可，(3)利用换元法进行转化，利用函数的单调性和最值关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域，值域以及最值的求解，利用换元法进行转化是解决本题的关键，是中档题．。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
A．{x|﹣4≤x＜﹣2 或 3＜x≤7}
B．{x|﹣4＜x≤﹣2 或 3≤x＜7}
C．{x|x≤﹣2 或 x＞3}
D．{x|x＜﹣2 或 x≥3}
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
故选：A．
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
【解答】解：M﹣N＝3x2﹣x+1﹣2x2﹣x＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0．
பைடு நூலகம்
∴M≥N．
故选：A．
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
对于 B，0＜x＜1⇒x2＜1，故 B 正确；
对于 C，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故 C 正确；
对于 D，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故 D 错误．
故选：BC．
11．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 M＝{2，3，4}，则 M 的子集个数是 8
B．函数 y
与 y＝（ ）2 是同一函数
t C．不等式
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）不等式 x2＞8 的解集是（ ）
A．（﹣2 ，2 ）
B．（﹣∞，﹣2 ）∪（2 ，+∞）
C．（﹣4 ，4 ） 6．（5 分）下列函数中，最小值为 2 的是（
(以此份为准)三明市2021-2022上学期高三期末质量检查测试参考答案
高三数学试题参考答案第1页（共10页）三明市2021-2022学年第一学期普通高中期末质量检测高三数学试题参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．D2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．AC 10．BC 11．ABD 12．BCD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[]0,414．215．53或33（注：写出一个或两个正确值均可得满分）16．6四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：因为)2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos cos sin cos )A A C B B C =+，即2sin cos )A A B C =+，即2sin cos A A A =,又因为A 为内角，0sin >A ，所以3cos 2A =，..........................................................4分因为(0,)A ∈π，所以6A π=.根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-及b =，1a =，6A π=，高三数学试题参考答案第2页（共10页）得2223132c c =+-⋅，即21c =，即1=c ，3=b ，.....................................8分所以ABC ∆的面积43211321sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC .....................................10分18．解：（1）因为123232n a a a na n++++= ，所以123232n a a a na n ++++= ①..................................................................................................................................................1分当1n =时，12a =，............................................................................................................2分当2n ≥时，123123(1)2(1)n a a a n a n -++++-=- ②...........................................4分①-②得，2n na =，即2n a n =（2n ≥），....................................................................5分又因为12a =，满足2n a n =，所以2n a n=（n *∈N ），..............................................6分（2）因为2n a n =，所以22.(2)n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩，为奇数，，为偶数.....................................................7分所以20222(2638)()24462022S =+++++++⨯⨯⨯ ，.......................................8分所以20(238)10111111(224462022S +⨯=+-+-++- ，.....................................10分所以2011200222S =+-，即20220511S =．.................................................................12分19．解：（1）由题知，15=μ，5=σ，所以)2()2510(σμσμ+<<-=<<X P X P )22(21)(21σμσμσμσμ+<<-++<<-=X P X P高三数学试题参考答案第3页（共10页）)9545.06827.0(21+≈6372.121⨯=8186.0=...............................................................................................4分所以1000位植树者中植树的棵数在15(，)25内的人数估计为8198186.01000≈⨯人........................................................................................................................................................5分（2）甲箱内一次摸奖，奖金1Y 的所有可能值为0，50，100，且21)0(1==Y P ，10)50(1b Y P ==，10)100(1a Y P ==，则2555)(5105101001050210(1+=++=+=⨯+⨯+⨯=a a b a a b a b Y E ），所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为7515)(31+=a Y E ，{}1,2,3,4a ∈...............8分乙箱内一次摸奖，奖金2Y 的所有可能值为0，150，且2151(150)453P Y ===，22(0)3P Y ==，212()15005033E Y =⨯+⨯=所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为22()100E Y =.................................................10分所以，当1,4a b ==时，90)(31=Y E 100)(22=<Y E ，建议该职工选择方案二；当2,3a b ==时，105)(31=Y E 100)(22=>Y E ，建议该职工选择方案一；当3,2a b ==时，120)(31=Y E 100)(22=>Y E ，建议该职工选择方案一；当4,1a b ==时，135)(31=Y E 100)(22=>Y E ，建议该职工选择方案一...............................................................................................................................................12分.20．解：（1）取BC 的中点O ，连结AO ，1C O ，因为ABC △为等边三角形，所以AO BC ⊥........................................................................................................................................................1分高三数学试题参考答案第4页（共10页）因为侧面11B BCC 为菱形，所以12BC CC ==，又因为160BCC ∠= ，所以1BCC △为等边三角形，所以1C O BC ⊥，..............................................................2分因为1AO C O O = ，AO ⊂平面1AOC ，1C O ⊂平面1AOC ，所以BC ⊥平面1AOC ，..................................................................................................................................................4分因为1AC ⊂平面1AOC ，所以1AC BC ⊥.. (5)分（2）因为侧面11B BCC 为菱形，所以11BC B C ∥，由（1）知1AC BC ⊥，所以111AC B C ⊥，所以2221111AB AC B C =+，因为1AB =，112B C =，所以1AC =，...............................................................6分又因为1AO OC ==1AOC △为等边三角形.在平面1AOC 过点O 作1OH OC ⊥，由（1）知BC ⊥平面1AOC ，且OH ⊂平面1AOC ，所以BC OH ⊥.以O 为原点，OC ，1OC ，OH为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系...........................................................................................................................7分高三数学试题参考答案第5页（共10页）此时，33(0,,)22A ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C，1C，所以()1CC =- ，因为11CC AA =，所以13(1,)22A -，.................................................................................8分所以1BC = ，1333(0,,22BA = 设(),,x y z n =为平面1A BC 的一个法向量，则110,0,BC BA ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ n =n =即0,3330,22x y +z ⎧+⎪⎨⎪⎩==取z =，则1y =-，x =-n =，........................................10分又因为平面11BB C 的一个法向量为()0,0,1m =，所以cos 7,=⋅<>==⋅m n m n m n ,所以二面角111A BC B --的余弦值为217...................................................................12分21．解法一：（1）由焦距为得2=c ，................................................................1分又因为3)3P -在椭圆上，所以1)33(22222=-+b a ）（，即131222=+b a ...........2分又因为222a b c =+，所以23a =，21b =.......................................................................4分所以椭圆C 的方程为：1322=+y x ....................................................................................5分（2）假设在y 轴上存在定点N ，使得ABN AMN ∠=∠2恒成立，高三数学试题参考答案第6页（共10页）设0(0,)N y ，()()1122,,,A x y B x y ①当直线l 的斜率存在时，设1:2l y kx =-由221213y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()224121290k x kx +--=，()22144364120k k ∆=++>，121222129,412412k x x x x k k-+==++........................7分因为ABN AMN ∠=∠2，所以点N 在以AB 为直径的圆上，即0NA NB ⋅= ..........8分因为()()110220,,,NA x y y NB x y y =-=- ，所以()()121020NA NB x x y y y y ⋅=+-- ()212120120x x y y y y y y =+-++()()2212121201201124k x x k x x x x y k x x y =+-+-+-++⎡⎤⎣⎦()()22120120011124k x x k y x x y y ⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭()22200021214480412y k y y k-++-==+20200104480y y y ⎧-=⎪∴⎨+-=⎪⎩解得01y =，即存在()0,1N ......................................................11分②当直线l 的斜率不存在时(0,1),(0,1),(0,0)A B M -，点()0,1N 满足20AMN ABN ∠=∠= .综上，存在定点()0,1N ，使得ABN AMN ∠=∠2恒成立........................................12分解法二：（1）由焦距为2=c ，可知)0,2(1-F ,)0,2(2F .......................1分高三数学试题参考答案第7页（共10页）由椭圆定义：a PF PF 221=+得：a 2332233222222=-+-+-+）（）（）（）（......................................................2分整理得：32335332=+=a ，即3=a .................................................................3分由2222==-cb a 得：1=b ...............................................................................................4分所以椭圆的方程为：1322=+y x .........................................................................................5分（2）同解法一.解法三：（1）由焦距为2=c ，可知)0,2(1-F ,)0,2(2F .......................1分因为3)3P -，所以a b PF 22=，即ab 233=.........................................................2分又因为2222==-c b a ，解方程组得：3=a ，1=b 所以椭圆的方程为：1322=+y x ........................................................................................5分（2）同解法一.22．解法一：（1）()f x 定义域为R ，由2()()e xf x ax x a =++得22()(21)e ()e (21)1e x x x f x ax ax x a ax a x a '⎡⎤=++++=++++⎣⎦．....................1分当0a =时，()(1)e x f x x '=+，此时()f x 在(1,)-+∞上单调递增；在(,1)-∞-上单调递减.........................................2分高三数学试题参考答案第8页（共10页）当0a >时，令()(1)(1)e 0x f x x ax a '=+++=，即11x =-，21a x a+=-，..........3分因为2111a x a a +=-=--，所以12x x >.令()0f x '>，则1a x a+<-或1x >-，即()f x 在1(,)a a+-∞-和(1,)-+∞上单调递增.令()0f x '<，则11a x a +-<<-，即()f x 在1(,1)a a+--上单调递减....................4分当0a <时，令()(1)(1)e 0x f x x ax a '=+++=，即11x =-，21a x a +=-.因为2111a x a a+=-=--，所以12x x <，令()0f x '>，则11a x a +-<<-，即()f x 在1(1,)a a+--上单调递增.令()0f x '<，则1x <-或1a x a +>-，即()f x 在(,1)-∞-和1(,)a a +-+∞上单调递减..................................................................................................................................................5分综上所述：当0a =时，()f x 在(1,)-+∞上单调递增；在(,1)-∞-上单调递减.当0a >时，()f x 在1(,)a a +-∞-和(1,)-+∞上单调递增，在1(,1)a a+--上单调递减.当0a <时，()f x 在1(1,a a +--上单调递增，在(,1)-∞-和1(,)a a+-+∞上单调递减...................................................................................................................................................6分（2）因为函数()f x 有两个不大于1-的极值点，由（1）知0a >，高三数学试题参考答案第9页（共10页）因为22()()e (1)e x xf x ax x a x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦且0a >，所以()e x f x x >，所以要证明()e ln(1)1x f x x x ≥+-++，只要证明e e ln(1)1x x x x x ≥+-++，即要证明e e ln(1)10x x x x x -----≥............................................................................7分令()e e ln(1)1x x g x x x x =-----（1x >），则1()e e e 1e 11x x x x x g x x x x x '=+---=---，令()0g x '=，则1e 01x x -=-，令1()e 1x h x x =--，则21()e 0(1)x h x x '=+>-，所以()h x 在()1,x ∈+∞上单调递增，因为2(2)e 10h =->，2212(1)e 0e h e e --++=-<，所以()h x 在()1,x ∈+∞上有唯一零点，设为0x ，且当()01,x x ∈时，()0h x <，()g x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()g x 单调递增，所以00min 0000()()e e ln(1)1x x g x g x x x x ==-----，.............................................10分因为001e 01x x -=-，即001e 1x x =-，即00ln(1)x x -=-，所以min 000001()()(1)10(1)g x g x x x x x ==-+--=-所以()0g x ≥，所以原不等式成立..................................................................................12分解法二：（1）同解法一；高三数学试题参考答案第10页（共10页）（2）因为函数()f x 有两个不大于1-的极值点，由（1）知0a >，因为22()()e (1)e x xf x ax x a x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦且0a >，所以()e x f x x >，所以要证明()e ln(1)1x f x x x ≥+-++，只要证明e e ln(1)1x x x x x ≥+-++，即要证明e e ln(1)10x x x x x -----≥............................................................................7分即要证明()1e ln(1)e 10x xx x ----≥，令()1e xt x =-（1x >），即要证明ln 10t t --≥，....................................................9分因为'(1)x x x t e x e xe =+-=，所以()1e xt x =-在()1,x ∈+∞上单调递增，所以0t >，令()ln 1h t t t =--（0t >），因为'11()1t h t t t-=-=，所以()h t 在()0,1t ∈上单调递减，在()1,t ∈+∞上单调递增，所以()(1)0h t h ≥=，所以原不等式成立...............................................................................................................12分。
广东省云浮市2021-2022学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
广东省云浮市2021-2022学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24A x x =<≤，{}3782B x x x =-≥-，则A B = （）A ．[]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．(]3,42．9sin 4π=（）A ．12B ．2C ．2D ．2-3．指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,24．已知函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：x 12456()f x 123.13615.55210.88-52.488-232.064在以下区间中，()f x 一定有零点的是（）A ．（1，2）B ．（2，4）C ．（4，5）D ．（5，6）5．如图所示的时钟显示的时刻为4:30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π6．若关于x 的一元二次不等式23208x kx -+>对于一切实数x 都成立，则实数k 满足（）A ．{k k <B ．{k k <C ．{k k <<D ．{k k >7．已知函数()()()sin 0,0,0f r A x k A ωϕωϕπ=++>><<的部分图象如图所示，若函数()g x 的图象由()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到，则（）A ．()3sin 226g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()23sin 223g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()2sin 236x g x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭D ．()3sin 22g x x =-8．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2017年8月8日我国四川九寨沟县发生里氏7.0级地震的（）A ．32倍B ．64倍C ．1000倍D ．1024倍二、多选题9．下列结论中正确的是（）A ．2sin cos sin 2ααα=B ．若3sin 5x =，则4cos 5x =±C ．命题“x ∀∈R ，10x +>”的否定是“x ∀∈R ，10x +<”D ．“a b >”是“22a b >”的充分条件10．若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则（）A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图像的对称轴是直线4x =D ．()f x 的最小值为1-11．已知0a b >>，则（）A ．22ac bc >B ．22a ab b >>C ．11b a>D的取值范围是[)2,+∞12．已知函数()()221,1,2,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.函数()y f x a =-有四个不同零点，1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（）A ．a 的值范围是()0,1B ．21x x -的取值范围是()0,1C ．342x x +=D ．12342212x x x x +=+三、填空题13．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．14．若4log 31x =，则33x x -+=__________．15．函数()()()sin 2cos 2sin cos 1sin 1cos f x a x x x x a x a x =+++⋅++-，a ∈R ，且()f x 的最大值为3，则实数=a ______．四、双空题16．已知0x >，则2x x+的最小值为______，此时x ＝______．五、解答题17．求下列各式的值．(1)1lg lg 254-；(2)．18．已知函数()sin f x x x =+．(1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求()f x 的最小正周期、最大值、最小值及单调递增区间．19．已知函数()1f x x x=+．(1)判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；(2)用定义证明f （x ）在（1，＋∞）上单调递增；(3)求f （x ）在[－2，－1]上的值域．20．已知函数()()e 1e x xf x a -=++．(1)若()f x 是偶函数，求a 的值；(2)若对任意()0,x ∈+∞，不等式()1f x a +恒成立，求a 的取值范围．21．武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．(1)求小夏与地面的距离y （米）与时间x （分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少253分钟，求t 的最小值．22．已知函数()3131x x a f x ⋅+=-．(1)当1a =时，解方程()()lg 2lg 1lg16f x f x -=-；(2)当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．A【分析】求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为{}{}37823B x x x x x =-≥-=≥，所以[]3,4A B ⋂=．故选：A.2．B【分析】利用诱导公式即可求得答案.【详解】9sin sin 2sin 4442ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.故选：B.3．D【分析】由已知条件结合指数函数的性质列不等式求解即可【详解】因为指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，所以011a <-<，得12a <<，所以实数a 的取值范围是()1,2，故选：D 4．C【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.【详解】∵(1)0(2)0(4)0(5)0(6)0f f f f f >>><<，，，，∴(1)(2)0f f >，(2)(4)0f f >，(4)(5)0f f <，(5)(6)0f f >,又函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，由函数零点存在定理可得()f x 在区间()4,5上一定有零点．故选：C.5．C【分析】求出α的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.【详解】由图可知，1284παπ=⨯=，所以该扇形的面积212481S ππ=⨯⨯=．故选：C.6．C【分析】只需要满足条件()234208k ∆=--⨯⨯<即可.【详解】由题意()234208k ∆=--⨯⨯<，整理可得，230k -<，解得k <<故选：C.7．A【分析】结合图象利用五点法即可求得函数解析式.【详解】由图象可得1,5,A k A k +=⎧⎨-+=-⎩解得3A =，2k =-．因为22362T πππ=-=，所以2T ππω==．又因为0ω>，所以2ω=．因为3sin 2216πϕ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，所以2262k ππϕπ⨯+=+，Z k ∈，即26k πϕπ=+，Z k ∈．又因为0ϕπ<<，所以6πϕ=．()3sin 226f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．()3sin 226g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．故选：A.8．C【分析】设里氏9.0级和7.0级地震释放出的能量分别为1E 和2E ,可得出12lg 4.8 1.59.0lg 4.8 1.57.0E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩，利用对数的运算性质可求得12E E 的值，即可得解.【详解】设里氏9.0级和7.0级地震释放出的能量分别为1E 和2E ,由已知可得12lg 4.8 1.59.0lg 4.8 1.57.0E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩，则()()122lglg lg 4.8 1.59.0 4.8 1.57.03l E E E E =-=+⨯-+⨯=，故312101000EE ==．故选：C.9．AB【分析】根据二倍角正弦公式的逆用，可知A 正确；由22sin cos 1x x +=，解出cos x 值，即可判断B 项；根据全称量词命题的否定，写出命题的否定，可判断C 项；举例可说明D 项.【详解】对于A 项，根据二倍角正弦公式的逆用，可知2sin cos sin 2ααα=，故A 项正确；对于B 项，由22sin cos 1x x +=，可知4cos 5x ==±，故B 项正确；对于C 项，命题“x ∀∈R ，10x +>”的否定是“0x ∃∈R ，010x +≤”，故C 项错误；对于D 项，取1a =，2b =-，则a b >成立，2214a b =<=，故D 项错误.故选：AB.10．ABD【分析】根据已知求出()243f x x x =-+，再利用二次函数的性质判断得解.【详解】由题得()()1018f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即1018b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，所以()243f x x x =-+.对于A 项，因为431b c +=-+=-，故A 正确；对于B 项，因为()2334330f =-⨯+=，故B 正确；对于C 项，因为()243f x x x =-+的对称轴为2x =，故C 项错误；对于D 项，因为()()224321f x x x x =-+=--，所以()f x 的最小值为1-，故D 项正确.故选：ABD.11．BC【分析】根据不等式的性质与基本不等式依次判断各选项即可.【详解】解：对于A 选项，当0c =时，22ac bc >不成立，A 错误.对于B 选项，因为0a b >>，所以22a ab b >>，11b a>，故BC 正确；对于D 选项，当0a >，0b >时，a b +≥a b =时，等号成立，而a b >，所()2,+∞，故D 错误.故选：BC 12．AD【分析】将问题转化为()f x 与y a =有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.【详解】()y f x a =-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，即()f x a =有四个不同的解．()f x的图象如下图示，对于A 项，由图知：当01a <<时，()y f x =与直线y a =有4个交点，故A 项正确；对于B 项，由图知：1201x x <<<，所以210x x ->，即21x x -的取值范围是(0,＋∞)，故B 项错误；对于C 项，3x ，4x 是()22x a -=的两个根，由二次函数()22y x =-的对称性得：344x x +=，故C 项错误；对于D 项，因为1x ，2x 是21xa -=的两个根，则121221x x -=-，即12222x x +=.又344x x +=，所以12342212x x x x +=+．故选：AD【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.13．3【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()ay f x x ==，由于图象过点(,12,2aa ==，()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14．174【解析】先求出x 的值,然后再运用对数的运算法则求解出3x 和3x -的值,最后求解答案.【详解】若4log 31x =,则341log 4log 3x ==,所以33log 4log 41173333444x x --+=+=+=.故答案为:174【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.15．1±【分析】化简得()22122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪⎭⎭.令sin α=cos α=()()()|sin 2||12|f x x x αα=+++.令()2m x α=+，()2n x α=+，则2221m n a +=+，根据基本不等式推得m n +≤()1f x ≤.根据题意，列出方程，即可得到结果.【详解】函数22()|sin 2cos 2||(1)sin 2sin cos (1)cos |f x a x x a x x x a x =++++⋅+-()|sin 2cos 2||1cos 2sin 2|a x x a x x =++--22122x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪⎭⎭.令sin α=cos α=则()()()sin 2||12|f x x x αα=+++.令()2m x α=+，()2n x α=+，则2221m n a +=+.因为()()2222222m n m n mn m n +=++≤+，当且仅当m n =时，等号成立.所以m n +≤m n ==时，取等号.所以()1113f x m n m n =+-≤++≤+=，解得1a =±，故答案为：1±.【点睛】关键点点睛：将函数变形为()()()2||12|f x x x αα=++-+是本题求解的关键.16．.【分析】根据基本不等式可求出和的最小值，根据等号相等的条件可求出x 的值.【详解】因为0x >，所以2x x+≥当且仅当2xx=，且0x >，即x .故答案为：.17．(1)2-；(2)18.【分析】（1）根据对数的运算性质，即可得出答案；（2）现将根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算性质，即可得出答案.【详解】（1）2111lglg 25lg 25lg lg10244100-⎛⎫-=÷==- ⎪⎝⎭.（2）()11132263233232⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭11111332366236318-+++=⨯⨯=⨯=.18．(1)2；(2)最小正周期为2π，最大值为2，最小值为2-，单调递增区间为()5ππ2π,2π66Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦k k k 【分析】（1）将π4x =代入()f x 解析式，求解即可得出答案；（2）由已知可得()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得出最小正周期、最大值、最小值.解πππ2π2π,232k x k k -+≤+≤+∈Z ，即可得出()f x 的单调递增区间.【详解】（1）由已知可得，πππsin 444f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）因为，()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以，()f x 的最小正周期2πT =.当ππ2π,32x k k +=+∈Z 时，()f x 有最大值为2；当ππ2π,32x k k +=-+∈Z 时，()f x 有最小值为2-.由πππ2π2π,232k x k k -+≤+≤∈Z 可得，5ππ2π2π,66k x k k -+≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为()5ππ2π,2π66Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦k k k .19．(1)f （x ）为奇函数，理由见解析(2)证明见解析(3)[－52，－2]【分析】（1）根据奇偶性的定义判断；（2）由单调性的定义证明；（3）由单调性得值域．【详解】（1）f （x ）为奇函数．由于f （x ）的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，且()()1f x x f x x-=-+=--，所以f （x ）为在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）（2）证明：设任意x ，1212,(1,),x x x x ∈+∞<，有()()12121212112211(1)x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由1212,(1,),x x x x ∈+∞<，得1212121,11,0x x x x x x >>+>-<，()12121210x x x x x x --<，即()()12f x f x <，所以函数f （x ）在（1，＋∞）上单调递增．（3）由（1），（2）得函数f （x ）在[－2，－1]上单调递增，故f （x ）的最大值为()12f -=-，最小值为()522f -=-，所以f （x ）在[－2，－1]的值域为[－52，－2]．20．(1)0(2)(],3-∞【分析】（1）由偶函数的定义得出a 的值；（2）由()1f x a + 分离参数得2e e 1e 1x x x a -+≤-，利用换元法得出2e e 1e 1x x x -+-的最小值，即可得出a 的取值范围．【详解】（1）因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()e 1e e 1e x x x xa a --++=++，故0a =．（2）由题意知()e 1e 1x xa a -++≥+在()0,∞+上恒成立，则()2e 1e e 1xx x a --+，又因为()0,x ∈+∞，所以e 1x >，则2e e 1e 1x x xa -+≤-．令()e 10xt t -=>，则e 1x t =+，可得()()22111111t t t t a t ttt+-++++≤==++，又因为113t t++≥，当且仅当1t =时，等号成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞．21．(1)()260cos 680y x x tπ=-+≥(2)25【分析】（1）建立坐标系，由68y OA =-得出所求函数关系式；（2）由98y ≥得出21cos 2x t π≤-，由余弦函数的性质得出第一圈满足98y ≥持续的时间，再解不等式225333t t -≥得出t 的最小值．【详解】（1）如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处1O 为原点，以地平面所在直线为x 轴建立平面直角坐标系1xO y ，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O 到地面的距离为68米．因为每转动一圈需要t 分钟，所以12xO OP t π∠=．()126868cos 60cos 680y OA OP O OP x x tπ=-=-∠=-+≥．（2）依题意，可知260cos 6898x y tπ=-+≥，即21cos 2x t π≤-，不妨取第一圈，可得22433x t πππ≤≤，233t t x ≤≤，持续时间为225333t t -≥，即25t ≥，故t 的最小值为25．22．(1)1x =(2)115,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）当1a =时，()3131x x f x +=-，求出()2f x ，把原方程转化为指数方程，再利用换元法求解，即可求出结果；（2）()()()23321131x xx a f x f x -⋅---⇔≥≥⇔|a+1|≥2x−12x ，令3xt =，(]1,3t ∈，则211t a t -+≥对任意(]1,3t ∈恒成立，利用函数的单调性求出()1g t t t=-的最大值，再求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围．【详解】（1）解：当1a =时，()31313131xxx x a f x ⋅++==--，()()()2222313123131x xx x f x ++==--．原方程等价于()()210lg lg16f x f x =且()20f x >，()0f x >，即()()258f x f x =，且()()2231031x x +>-，31031x x +>-，所以()()223131531831x x x x+-=+-，且31x >．令3xt =，则原方程化为()221581t t +=+，整理得231030t t -+=，解得3t =或13t =，即33x =或x133=（舍去），所以1x =．故原方程的解为1x =．（2）解：因为()()21f x f x -≥，所以()()22313113131x x x x a a ⋅+⋅+-≥--，即()233131x xx a -⋅-≥-．令3x t =，因为(]0,1x ∈，所以(]1,3t ∈，210t ->．则()2111a tt +⋅≥-恒成立，即211t a t-+≥在(]1,3上恒成立，令函数()1g t t t =-，因为函数y t =与1y t=-在(]1,3上单调递增，所以()g t 在(]1,3上单调递增．因为()833g =，()10g =，所以()80,3g t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2183t t -≤，所以813a +≥，解得113a ≤-或53a ≥．故a 的取值范围是115,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．。
2021-2022学年山东省蓬莱高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省蓬莱第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则R A B ⋃=（ ）A ．3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|2}x x【答案】D【解析】根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.【详解】因为{}{242B x x x x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以R A B ⋃={|2}x x . 故选：D【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.2．函数()lg(2)f x x =-的定义域为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)2,∞+【答案】C【分析】解不等式组310,20x x -≥⎧⎨->⎩即得解. 【详解】解：由题得3101,2203x x x -≥⎧∴≤<⎨->⎩. 所以函数的定义域为1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C3．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】依据三角函数值的符号判断角α的终边所在象限即可解决. 【详解】由点(sin ,tan )P αα在第四象限，可知sin 0,tan 0αα><，则角α的终边在第二象限. 故选：B4．已知命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,)-+∞ B ．()21,+∞ C ．(),21-∞ D ．()3,-+∞【答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可. 【详解】因为命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，所以240x x a -++>在[3,3]x ∈-上有解，所以2max (4)0x x a -++>，而一元二次函数24x x a -++在422(1)x =-=⨯-时取最大值，即22420a -+⨯+>解得4a >-， 故选：A5．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()f π，可排除B ，即可得到答案.【详解】因为()()()1331cos 3cos31331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ，故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．若α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则（ ） A ．sin sin 0αβ+= B ．cos cos 0αβ+= C ．22sin sin 1αβ+= D ．tan tan 0αβ-=【答案】A【分析】因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则2k αβπ+=，Z k ∈，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．【详解】解：因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称， 则2k αβπ+=，Z k ∈，选项A ：sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβαπααα+=+-=-=，故A 正确， 选项B ：cos cos cos cos(2)2cos 0k αβαπαα+=+-=≠，故B 错误， 选项C ：22222sin sin sin sin (2)2sin 0k αβαπαα+=+-=≠，故C 错误， 选项D ：tan tan tan tan(2)tan tan 2tan 0k αβαπαααα-=--=+=≠，故D 错误， 故选：A ．7．若31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记cos sin cos log ,log cos ,1log tan x y z αααααα===+，则,,x y z 的大小关系正确的是（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．x z y <<D ．y x z <<【答案】C【分析】由题意可得0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>，然后利用对数函数的单调性比较大小 【详解】因为31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>， 所以cos cos log log 10x ααα=<=， sin sin log cos log sin 1y αααα=>=，cos cos cos 1log tan log (cos tan )log sin z ααααααα=+==，因为0cos sin 1αα<<<，所以cos cos cos log cos log sin log 1ααααα>>， 所以cos 1log sin 0αα>>，即01z <<， 综上，x z y <<， 故选：C8．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f -=-，当,1,1a b且0a b +≠时()()0f a f b a b+>+.已知,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由奇偶性分析条件可得()f x 在[]1,1-上单调递增，所以()max 1f x =，进而得2143sin 2cos θθ<+-，结合角的范围解不等式即可得解. 【详解】因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以当,1,1a b且0a b +≠时()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，根据,a b 的任意性，即,a b -的任意性可判断()f x 在[]1,1-上单调递增， 所以()max (1)(1)1f x f f ==--=，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则2143sin 2cos θθ<+-，整理得(sin 1)(2sin 1)0θθ++>，所以1sin 2θ>-，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,62ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二、多选题9．已知全集U =R ，集合M ，N 的关系如图所示，则（ ）A ．NM M =B ．()U M N ⋂=∅C ．()()U U M N ⊇D ．()()U U UM N N ⋂=【答案】AB【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.【详解】由图可知()()()()(),,,U U U U UUN M M M N M N M N M ==∅⊆=.故选：AB10．幂函数21*()(22),N m f x m m x m --=+-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．1m = B ．函数()f x 是偶函数 C ．(2)(3)f f -< D ．函数()f x 的值域为(0,)+∞【答案】ABD【分析】根据幂函数定义可知2221m m +-=，即可解得m 的值，结合m 是正整数即可对选项做出判断.【详解】由幂函数定义可知，系数2221m m +-=，解得1m =或32m =-，又因为*N m ∈，所以1m =；故A 正确； 1m =时，221()f x xx -==，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足2()()1f f x x x ==-，所以函数()f x 是偶函数，即B 正确； 由21()f x x=可知，函数()f x 在(0,)+∞为单调递减，所以(2)(2)(3)f f f -=>，所以C 错误； 函数21()f x x=的值域为(0,)+∞，即D 正确； 故选：ABD.11．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（ ）A ．函数解析式()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度可得函数()f x 的图象C ．直线1112x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴 D ．函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2【答案】ABC【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可. 【详解】由题图知：函数()f x 的最小正周期453612T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22πωπ==，2A =，所以函数()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式中可得22sin 6πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，得()23k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，因此()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度可得函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，故B正确.()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1112x π=-时，()2f x =，故C 正确.当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，23x π+∈2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()f x ⎡∈-⎣故D 错误． 故选：ABC ．12．已知正实数x ，y ，z 满足236x y z ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．236x y z >>C ．236x y z >> D ．24xy z ≥【答案】ACD【分析】令236x y z t ===则1t >，可得：2log x t =，6log z t =，进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案.；【详解】解：令236x y z t ===，则1t >，可得：2log x t =， 3log y t =，6log z t =， 对于选项A ：因为()231111lg 2lg 31lg 61lg 2lg 3log 6log log lg lg lg lg t x y t t t t t t z+=+=+=+===， 所以111x y z+=，故选项A 正确；对于选项B ，因为1t >，故lg 0t >，所以232lg 3lg 2log 3log lg 2lg323t t t x t y -=-=-()23lg lg3lg 2lg 2lg3t -=⋅9lg lg80lg 2lg3t =>⋅，即23x y >； ()3663lg lg3lg lg 62lg33lg 6lg 9363log 6log 0lg3lg 6lg3lg 6lg3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅，即36y z <，故B 选项错误. 对于选项C ：log lg lg a t t a a a =，因为02lg 23lg36lg 6<<<，所以1112lg 23lg 36lg 6>>， 因为lg 0t >，所以lg lg lg 2lg 23lg 36lg 6t t t >>，即362log log log 236t t t >>，即236x y z>>，故选项C 正确；对于选项D ：()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t txy t t =+=⋅=⨯， ()()()222262lg 444log 4lg lg 6lg 6t z t t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⨯<=⎪⎝⎭，因为lg 2lg3≠所以等号不成立， 所以()214lg 2lg3lg 6>⨯，即()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⨯， 所以24xy z >，根据“或”命题的性质可知选项D 正确. 故选：ACD三、填空题13．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是__________.【答案】{}90180120180,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈ 【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.【详解】因为终边落在y 轴上的角为90180,k k Z ︒+⋅︒∈， 终边落在图中直线上的角为1203601202180,k k ︒︒+⋅︒=+⋅︒Z k ∈； 3003601201802180120(21)180,n n n n Z ︒︒︒+⋅︒=+︒+⋅︒=++⋅︒∈，即终边在直线上的角为120180k ︒+⋅︒，Z k ∈，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,k k k Z α︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈， 故答案为：{}90180120180,k k k Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈14．已知正数x ，y 满足21x y +=，则12xx y +的最小值为__________.【答案】5【分析】根据基本不等式即可求解最值.【详解】()212121124y x x y x y x y-+=+=+-， 由于0,0x y >>，21x y +=,所以()12122222241125x y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++-=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当13x y == 时，取等号，故12x x y +最小值为5，故答案为：515．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是________．【答案】2π23-232π-【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得2π3AB BC AC ===， 则AB =BC =AC =2，故扇形的面积为2π3， 由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍， ∴所求面积为22π33222π233⨯-=- 故答案为：2π23-32π-．四、双空题16．已知定义在R 上的奇函数12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩，则(1)f -=________；不等式(())7≤f f x 的解集为________.【答案】 1 (,2]-∞【解析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得(1)f -；不等式(())7≤f f x 的解集等价于()3f x ≥-的解集，即可求得答案.【详解】解：∵12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()()()1221x xg x f x f x --==--=-=--，12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-<⎩，∴(1)211f -=-=；又12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在()0,∞+和()0-∞，上都单调递减，而且函数又是连续性函数，图像没有断开，所以函数12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在R 上单调递减，∵不等式(())7,(3)7f f x f ≤-=，()3f x ∴≥-，123xx ≥⎧∴⎨-≥-⎩或0213x x -<⎧⎨-≥-⎩， 解得：2x ≤，即不等式(())7≤f f x 的解集为(,2]-∞. 故答案为：1；(,2]-∞.【点睛】本题考查奇函数的性质以及求解方法，考查复合不等式的求解，属于中档题.五、解答题 17．（1）计算20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）计算31log 242766194log 3log 8log 82log 3--⋅+-【答案】（1）0；（2）3【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解； （2）利用对数性质及运算法则求解.【详解】（1）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12223816442216273-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22933220444⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）31log 242766194log 3log 8log 82log 33--⋅+-3212log 2323662134log 3log 2log 22log 33=-⨯++3log 42366134log 3log 2log 2log 32=-⨯⨯++()642log 23213=-+⨯=+=.18．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值；（2）若cos cos sin sin 0αβαβ+=，求()sin αβ+的值． 【答案】（1）1825（2）725【分析】(1)由三角函数的定义首先求得sin ,cos αα的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；(2)由题意首先求得,αβ的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】（1）由三角函数定义得3cos 5α=-，4sin 5α， ∴原式2222sin cos 2cos 2cos (sin cos )3182cos 2sin sin cos 5251cos cos αααααααααααα++⎛⎫====⨯-=⎪+⎝⎭+． （2）∵cos cos sin sin cos()0αβαβαβ+=-=，且0βαπ<<<， ∴2παβ-=，2πβα=-，∴3sin sin cos 25πβαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．∴44337sin()sin cos cos sin 555525αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程; (2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈； (2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(2)3f x x =-， 由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象， 由1()2g x ≥得π1sin(2)62x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.(2)证明函数()y f x =是R 上的减函数； (3)若2(2)()0f x f x -+<，求x 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3){1x x >或}2x <-【分析】（1）利用特殊值求出(0)0f =，从而证明()()f x f x -=-即可；（2）证明出[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-12()f x x =-，再利用当0x >时，()0f x <恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解. 【详解】（1）证明：由()()()f a b f a f b +=+， 令0a b 可得(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，令,==-a x b x 可得()()()f x x f x f x -=+-， 即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f =，()()f x f x ∴-=-，而函数()y f x =的定义域为R ，故函数()y f x =是奇函数．（2）证明：设12x x >，且1R x ∈，2x R ∈，则120x x ->， 而()()()f a b f a f b +=+[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-1222()()()f x x f x f x =-+- 12()f x x =-，又当0x >时，()0f x <恒成立，即12()0f x x -<，12()()f x f x ∴<， ∴函数()y f x =是R 上的减函数；（3）(方法一）由2(2)()0f x f x -+<， 得2(2)()f x f x -<-， 又()y f x =是奇函数， 即2(2)()f x f x -<-，22x x ∴->-解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是{1x x >或}2x <-. (方法二)由2(2)()0f x f x -+<且(0)0f =，得2(2)(0)f x x f -+<， 又()y f x =在R 上是减函数， 220x x ∴-+>，解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是 {1x x >或}2x <-.21．已知函数()2f x x bx c =++，满足()()1f x f x =-，其一个零点为1-．(1)当0m ≥时，解关于x 的不等式()()21mf x x m ≥--； (2)设()()313f x x h x +-=，若对于任意的实数1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤，求M 的最小值．【答案】(1)答案见解析 (2)242【分析】（1）根据条件求出,b c ，再分类讨论解不等式即可； （2）将问题转化为()()max min M h x h x ≥-，再通过换无求最值即可. 【详解】（1）因为()()1f x f x =-，则()()2211x bx c x b x c ++=-+-+，得1b又其一个零点为1-，则()1110f c -=++=，得2c =-，则函数的解析式为()22f x x x =--则()()2221m x x x m --≥--，即()()()222210mx m x mx x -++=--≥当0m =时，解得：1x ≤当0m >时，①2m =时，解集为R ②02m <<时，解得：1x ≤或2x m≥， ③m>2时，解得：2x m≤或1x ≥， 综上，当0m =时，不等式的解集为}{1x x ≤；当2m =时，解集为R ；当02m <<时，不等式的解集为{1x x ≤或2x m ⎫≥⎬⎭； 当m>2时，不等式的解集为2x x m ⎧≤⎨⎩或}1x ≥.（2）对于任意的1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤， 即()()max min M h x h x ≥-令()222314t x x x =+-=+-，则()3th t =因为[]2,2x ∈-，则min 0t =，max 5t =可得()5max 3h t =，()0min 31h t ==则()()max min 2431242h x h x -=-=， 即242M ≥，即M 的最小值为242．22．某同学用“五点法”画函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请根据上表数据，求函数()f x 的解析式；(2)关于x 的方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求t 的取值范围；(3)求满足不等式()()52043f x f f x f ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数解． 【答案】(1)()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)2⎡⎤⎣⎦； (3)2.【分析】（1）由表格中的数据可得出A 的值，根据表格中的数据可得出关于ω、ϕ的方程组，解出这两个量的值，可得出函数()f x 的解析式；（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，即可得出实数t 的取值范围；（3）分析可得()0f x <或()1f x >，分别解这两个不等式，得解集，令0k =，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.【详解】（1）解：由表格数据知，2A =，由325362πωπϕπωπϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）解：当2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 262x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦， 因为方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以t的取值范围为2⎡⎤⎣⎦. （3）解：因为552cos 2sin 14266f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2432cos 2cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以不等式即：()()10f x f x ⎡⎤-⋅>⎣⎦，解得()0f x <或()1f x >，由()0f x <得cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()3222Z 262k x k k πππππ+<-<+∈， 所以5,36x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈； 由()1f x >得1cos 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()222Z 363k x k k πππππ-+<-<+∈，所以,124x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈.令0k =可得不等式解集的一部分为5,,12436ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，解集中最小的正整数为2．。
2021-2022学年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷（含解析）
2021-2022学年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷（含解析）2021-2022学年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin 600°＋tan 240°的值为（?）A．B．C．D．2．已知集合，，则（?）A．B．C．D．3．角的终边经过点，且，则（?）A．B．C．D．4．已知函数，下列结论中错误的是（?）A．，B．函数最多两个极值C．若是的极值点，则D．若是的极小值点，则在区间上单调递减5．若，，，则，，的大小关系为（?）A．B．C．D．6．已知函数，则下列说法正确的是A．的最小正周期为B．的最大值为2C．的图像关于轴对称D．在区间上单调递减7．要得到函数的图像，只需把函数的图像（?）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位8．已知集合，，则，（?）A．B．C．D．二、多选题9．若，，则（?）A．B．C．D．10．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（?）A．B．若，且，则C．若，则D．的值域为11．下列说法正确的是（?）A．“”是“”的必要不充分条件B．“且”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“方程有解”的充要条件D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件12．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（?）A．B．C．D．三、填空题13．若是第三象限的角，则是第________象限角；14．以下说法正确的是______．①函数的定义域为②函数的值域为③函数的值域是④函数在上不具有单调性，则实数k的取值范围为．15．已知，则___________ ．四、双空题16．已知函数，则函数的最大值为____，若函数在上为增函数，则w的取值范围为______．五、解答题17．已知函数的图像经过点(1)求的值并判断的奇偶性；(2)判断并证明函数在的单调性，并求出最大值.18．（1）计算：（2）化简：19．求下列函数的值域：(1)；(2).20．设函数.(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值.参考答案：1．C【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案.【详解】解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－＋＝．故选：C.2．C【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】因为，则或，因此，.故选：C.3．A 【分析】利用三角函数的定义可求得的值，再利用三角函数的定义可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，则，解得，因此，.故选：A.4．D【分析】根据零点存在定理，导数与极值、单调性的关系判断．【详解】，最多有两个解，因此最多有两个极值点，B正确；根据极值的定义，是的极值点，则，C正确；设有两个解，且，则或时，时，，因此函数在和上递增，在上递减，是极小值点，D错误．由上分析，可得时，，时，，由零点存在定理知在上至少存在一个零点，A正确；故选：D．5．D【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，故选：D6．C【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．7．C【分析】根据函数图象满足“左加右减”进行求解平移后的解析式，得到正确答案.【详解】把函数的图象向右平移个单位得到把函数的图象向左平移个单位得到把函数的图象向右平移个单位得到，把函数的图象向左平移个单位得到，故C正确；故选：C8．D【分析】解一元二次不等式得到集合，再利用集合交集的定义进行运算求解即可.【详解】集合又，，故选：D9．BCD【分析】根据不等式的性质，并结合指数函数与幂函数的单调性依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于B选项，因为，所以，故B选项正确；对于C选项，由于函数是增函数，所以当，，故C选项正确；对于D选项，由于函数在单调递减，所以，，故D选项正确；故选：BCD10．ABD【分析】根据题意，由指数函数的性质分析、的值，即可得函数的解析式，根据函数的奇偶性以及单调性即可对选项逐一求解.【详解】函数的图像过原点，，即，，且的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，，，，故A确；由于为偶函数，故若，且，则，即，故B确，由于在上，单调递减，故若，则，故C错误，由于，，，，故D确；故选：ABD11．ABD 【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.【详解】对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确；对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.所以D正确.故选：ABD.12 ．AC【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；故选：AC13．一或三【分析】根据的范围求得的范围，从而确定正确答案.【详解】依题意，，，所以当为奇数时，在第三象限；当为偶数时，在第一象限.故答案为：一或三14．②④【解析】根据函数的解析式求出函数的定义域与值域，再利用二次函数的性质即可得出结果.【详解】对于①，函数，则，解得且，所以函数的定义域为，故①错误；对于②，函数，令，则，所以，所以函数的值域为，故②正确；对于③，函数，由，所以函数的值域为，故③错误；对于④，函数在上不具有单调性，则，解得，实数k的取值范围为，故④正确；故答案为：②④15．【分析】将化为，再利用平方关系化弦为切，将代入即可求解.【详解】解：，因为，所以.故答案为：.16．3【分析】根据正弦函数值域即可求f(x)最大值；求出f(x)的增区间，则根据为其子集即可求出ω关于整数k的范围，令k为具体的整数即可求出ω的具体范围.【详解】当sin＝1时，取最大值3；函数在上为增函数，根据正弦函数的性质可知，区间的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半，即.令，则，k∈Z；则，k∈Z；∵，∴时，；时，；时，∵，故不符题意；综上，ω∈.故答案为：3；.17．（1），奇函数；（2）函数在上递增，证明见解析，最大值为.【分析】（1）利用点列方程，解方程求得的值.根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性.（2）首先判断出函数在上递增，然后利用单调性的定义，证明出单调性，并根据单调性求得函数的最大值.【详解】（1）由于函数过点，故，所以.函数的定义域为，且，所以函数为奇函数.（2）函数在上递增，证明如下：任取，则，由于，所以，所以函数在上递增，且最大值为.【点睛】本小题主要求函数解析式，考查函数的奇偶性，考查利用定义证明函数的单调性，考查根据函数的单调性求最值，属于中档题.18．（1）；（2）.【分析】（1）根据对数的运算性质可知，，代入原式，可求出结果；（2）利用诱导公式可化简，约分，得出结果.【详解】（1）；（2）.19．(1) ；(2) .【分析】(1)根据函数的解析式的特征,利用换元法求解函数的值域；(2)根据函数的解析式的特征,进行常变量分离即可求出函数的值域.【详解】(1)令,因此有：,所以函数的值域为：；(2) ,所以函数的值域为：.【点睛】本题考查了利用换元法和常变量分离法求函数的值域,考查了数学运算能力.20．(1)，(2)时，最大值是2，时，最小值是1【分析】（1）利用正弦函数的性质求解；（2）由正弦函数的性质求解.(1)解：的最小正周期为，由，得，所以函数的对称轴方程为；(2)由（1）知，时，，则，即时，，，即时，，的最大值是2，此时，的最小值是1，此时.试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页。
2021-2022学年福建省三明市宁化县第五中学高三数学理联考试题含解析
2021-2022学年福建省三明市宁化县第五中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】在轴上的投影为点，由抛物线的定义可得，，故可得结果.【详解】解：因为抛物线，所以抛物线的准线方程为，因为在轴上的投影为点，所以即为点到的距离减去2，因为点在该抛物线上，故点到的距离等于，所以,故，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将进行转化.2. 设F1、F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，c=2,，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A. B. C. D.参考答案：D 【分析】由已知条件求出a、b的值，可得渐近线的方程，可得两条渐近线的夹角.【详解】解：由题意可得，可得，可得，可得a=1，，可得渐近线方程为：，可得双曲线的渐近线的夹角为，故选D.【点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键.3. 四棱锥的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右图所示，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A． B． C． D．参考答案：D4. 某公司准备招聘一批员工，有20人经过初试，其中有5人是与公司所需专业不对口，其余都是对口专业，在不知道面试者专业情况下，现依次选取2人进行第二次面试，则选取的第二人与公司所需专业不对口的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】求出从经过初试的20人中任选2人的所有不同方法种数，再分类求出选到第二人与公司所需专业不对口的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：从经过初试的20人中任选2人，共有=20×19种不同选法．第一个人面试后，则选到的第二人与公司所需专业不对口的选法分为两类：第一类、第一个人与公司专业对口的选法为；第二类、第一个人与公司专业不对口的选法为．故第一个人面试后，选到第二人与公司所需专业不对口的选法共15×5+5×4=19×5．∴选取的第二人与公司所需专业不对口的概率是．故选：C．5. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到圆面的距离是4cm，则该球的体积是（）A． B． C． D．参考答案：C略6. 在极坐标方程中，曲线 C 的方程是，过点(4, π/6)作曲线C 的切线，切线长为Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ． 22 Ｄ．3 2参考答案：C7. 椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m的值为()A．2或 B．2 C．4或 D.参考答案：C8.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A9. 某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A.2B.C.D.3参考答案：C10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A．4+2B．4+C．4+2D．4+A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形．据此可计算出表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形，过D作AB的垂线交AB于E，连SE，则SE⊥AB，在直角三角形ABD中，DE==，在直角三角形SDE中，SE===，于是此几何体的表面积S=S△SAC+S△ABC+2S△SAB=×2×2+×2×2+2×××=4+2．故选A．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知n次多项式. 如果在一种计算中, 计算(k=2,3,4,……, n)的值需要次乘法, 计算的值共需要9次运算(6次乘法, 3次加法). 那么计算的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法: ,, 利用该算法, 计算的值共需要6次运算, 计算的值共需要__________次运算.参考答案：；2n.12. 设数列a1，a2， ，a n， 满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n，都有a n a n+1a n+211，又a n a n+1a n+2a n+3=a n+a n+1+a n+2+a n+3，则a1+a2+ +a100的值是____.参考答案：解：a n a n+1a n+2a n+3=a n+a n+1+a n+2+a n+3，a n+1a n+2a n+3a n+4=a n+1+a n+2+a n+3+a n+4，相减，得a n a n+1a n+2(a4－a n)=a n+4－a n，由a n a n+1a n+211，得a n+4=a n．又，a n a n+1a n+2a n+3=a n+a n+1+a n+2+a n+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4．∴ a1+a2+ +a100=25(1+1+2+4)=200．13. 若直线与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则（O为坐标原点）的最小值为_________．参考答案：14. 设二次函数的图象在点的切线方程为，若则下面说法正确的有：。
2024学年福建省三明市A片区高中联盟校数学高三第一学期期末检测试题含解析
2024学年福建省三明市A 片区高中联盟校数学高三第一学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(5D ．)5,⎡+∞⎣3．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A 29B 2932C 1923D ．54．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 5．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=6．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．27．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 8．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．239．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．210．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．3211．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．63C ．36D ．33612．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含答案
2021—2022学年第一学期质量检测高一年级数学试题班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或36. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或47. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD. sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 1812. 设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________．15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数， 则实数a 的取值范围为________．16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.17. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若A B A =，求a 的取值范围．19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)πααπαππα⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-的值.20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1xf x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值.23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2.（Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由.24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式： （2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B2. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）【答案】C3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者 【答案】A4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位【答案】B5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或3【答案】A6. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或4【答案】C7. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)【答案】B8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD.sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)【答案】C11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C12. 设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________． 【答案】15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]2∞－， 16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.【答案】－231617. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．【答案】24:25三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若AB A =，求a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2- （2）()(),45,-∞-+∞19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)ααπαππα-- ⎪⎝⎭+-的值. 【答案】（1）35；（2）54-. 20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1x f x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．【答案】（1）22,[0,1]1(),[1,0)1x x x f x x x x -⎧∈⎪⎪+=⎨⎪∈-⎪+⎩（2）单调减函数，证明见解析21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()283,05257,5x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩（2）4万件22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值. 【答案】（1）答案见解析，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最大值2；最小值2-. 23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2. （Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12k =（2）0a ≤（3）518m =- 24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩；（2）1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。
福建省泉州鲤城北大培文学校2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
福建省泉州市鲤城区北大培文学校2021-2022学年高一上学期期末数学试卷（解析版）一、单项选择题：本大题共9小题，每小题6分，共54分1．已知集合M＝{﹣3，﹣1，0，1，2}，N＝{﹣1，0，1，3}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，3}D．{﹣3，﹣1，0，1，2}2．命题“∃x0∈R，”的否定是（）A．∃x0∉R，B．∃x0∈R，C．∀x∈R，x2+2x+2≤0D．∀x∈R，x2+2x+2＞03．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知cos x＝，则cos2x＝（）A．﹣B．C．﹣D．5．已知，那么sinα＝（）A．B．C．D．6．下列函数是偶函数且值域为[0，+∞）的是（）①y＝|x|；②y＝x3；③y＝2|x|；④y＝x2+|x|A．①②B．②③C．①④D．③④7．函数f（x）＝lnx+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．B．C．D．8．若a＞1，则与y＝log a x在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．9．已知，且，则cosα＝（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分（多选）10．若集合P＝{x|y＝x2，x∈R}，集合T＝{y|y＝x2，x∈R}，则（）A．0∈P B．﹣1∉T C．P∩T＝∅D．P＝T（多选）11．以下说法正确的有（）A．B．C．D．（多选）12．下列命题为假命题的是（）A．若a＞b，则B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dC．若a＜b，c＜d，则ab＜cd D．（多选）13．已知函数，则下列关于f（x）的判断正确的是（）A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于直线成轴对称D．图象关于点成中心对称三、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分14．已知tanα＝1，则＝．15．函数f（x）＝+lg（6﹣x）的定义域为．16．计算＝．17．不等式（）x﹣1≤9的解集为．四、解答题：本大题共4小题，每题12分18．（12分）（1）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），求的值；（2）已知，且，求cos（α+β）的值．19．（12分）已知函数f（x）＝2x2﹣3x+1．（1）求解不等式f（x）＞0的解集；（2）当x∈（0，+∞）时，求函数的最小值，以及y取得最小值时x的值．20．（12分）已知cosα＝﹣，且tanα＞0．（1）求tanα的值；（2）求的值．21．（12分）设函数f（x）＝2sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值及相对应的x的值．参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共9小题，每小题6分，共54分1．已知集合M＝{﹣3，﹣1，0，1，2}，N＝{﹣1，0，1，3}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，3}D．{﹣3，﹣1，0，1，2}【分析】根据集合的定义求出M，N的交集即可．【解答】解：由题意得：M＝{﹣3，﹣1，0，1，2}，N＝{﹣1，0，1，3}，则M∩N＝{﹣1，0，1}，故选：A．【点评】本题考查了集合的运算，考查交集的定义，是一道基础题．2．命题“∃x0∈R，”的否定是（）A．∃x0∉R，B．∃x0∈R，C．∀x∈R，x2+2x+2≤0D．∀x∈R，x2+2x+2＞0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x0∈R，”的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由题意，推导出，确定α的象限，然后取得结果．【解答】解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，∴，由tanα＜0，得α在第二、四象限，由cosα＜0，得α在第二、三象限∴α在第二象限．故选：B．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．4．已知cos x＝，则cos2x＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】利用倍角公式即可得出．【解答】解：∵根据余弦函数的倍角公式cos2x＝2cos2x﹣1，且cos x＝，∴cos2x＝2×﹣1＝．故选：D．【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知，那么sinα＝（）A．B．C．D．【分析】运用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：因为，可得﹣sinα＝，那么sinα＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6．下列函数是偶函数且值域为[0，+∞）的是（）①y＝|x|；②y＝x3；③y＝2|x|；④y＝x2+|x|A．①②B．②③C．①④D．③④【分析】由函数的奇偶性逐一判断，找出正确选项．【解答】解：①函数y＝f（x）＝|x|，可得f（﹣x）＝|﹣x|＝f（x），故函数为偶函数且|x|≥0，故①正确；②函数y＝f（x）＝x3，可得f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），故函数为奇函数；③y＝2|x|是非奇非偶函数；④y＝x2+|x|，可得f（﹣x）＝（﹣x）2+|﹣x|＝f（x），故函数为偶函数且y＝x2+|x|≥0，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的值域，考查了函数的奇偶性，是基础题．7．函数f（x）＝lnx+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．B．C．D．【分析】直接利用零点存在性定理判断求解即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），其图象在定义域上为一条不间断的曲线，且，由零点存在性定理可知，函数f（x）在上存在定理．故选：C．【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的运用，属于基础题．8．若a＞1，则与y＝log a x在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由指数函数与对数函数的性质依次判断即可．【解答】解：与y＝log a x分别过（0，1），（1，0）点，又∵a＞1，∴与y＝log a x分别为定义域内的减函数，增函数，故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的性质应用，属于基础题．9．已知，且，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】求出角的范围，利用两角和差的余弦公式进行求解即可．【解答】解：∵，∴＜α+＜π，则cos（α+）＝﹣，则cosα＝cos（α+﹣）＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝﹣+＝﹣，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分（多选）10．若集合P＝{x|y＝x2，x∈R}，集合T＝{y|y＝x2，x∈R}，则（）A．0∈P B．﹣1∉T C．P∩T＝∅D．P＝T【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断即可．【解答】解：集合P＝{x|y＝x2，x∈R}＝{x|x∈R}，集合T＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，故0∈P，选项A正确，故﹣1∉T，选项B正确，故P∩T＝[0，+∞），选项C错误，P＝R，T＝[0，+∞），选项D错误．故选：AB．【点评】本题主要考查了集合与元素、集合与集合的关系，属于基础题．（多选）11．以下说法正确的有（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：对于A，tan600°＝tan（360°+180°+60°）＝tan60°＝，故正确；对于B，sin（﹣225°）＝﹣sin（180°+45°）＝sin45°＝，故错误；对于C，cos135°＝cos（180°﹣45°）＝﹣cos45°＝﹣，故正确；对于D，tan75°＝tan（45°+30°）＝＝＝2+，故正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．（多选）12．下列命题为假命题的是（）A．若a＞b，则B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dC．若a＜b，c＜d，则ab＜cd D．【分析】根据特殊值法判断ACD，根据不等式的基本性质判断B即可．【解答】解：对于A，令a＝1，b＝﹣2，显然错误，对于B，根据不等式的基本性质，B正确，对于C，令a＝﹣10，b＝2，c＝﹣3，d＝4，显然错误，对于D，令a＝﹣1，b＝﹣2，显然错误，故选：ACD．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是基础题．（多选）13．已知函数，则下列关于f（x）的判断正确的是（）A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于直线成轴对称D．图象关于点成中心对称【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．【解答】解：A．x∈⇒x+∈（，）；故单调递增；A正确B．函数f（x）的最小正周期是＝π，故B正确，C．正切函数没有对称轴，故C错误，D．令x+＝⇒x＝﹣，k∈Z；则f（x）图象关于点（，0）成中心对称，故D正确，故选：ABD．【点评】本题主要考查与正切函数有关的性质，涉及周期性，单调性和对称性，利用整体代换的性质进行判断是解决本题的关键．三、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分14．已知tanα＝1，则＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵tanα＝1，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．函数f（x）＝+lg（6﹣x）的定义域为[1，6）．【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：由题意可知，解得1≤x＜6，∴函数的定义域为[1，6），故答案为：[1，6）．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．16．计算＝2．【分析】利用对数的运算性质求解．【解答】解：原式＝++＝+（lg5+lg2）＝+＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．17．不等式（）x﹣1≤9的解集为[﹣1，+∞）．【分析】利用指数函数的单调性求解即可．【解答】解：∵（）x﹣1≤9，∴（）x﹣1≤，∴x﹣1≥﹣2，∴x≥﹣1，∴不等式（）x﹣1≤9的解集为[﹣1，+∞），故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查指数不等式的解法，利用指数函数的单调性是关键，属于基础题．四、解答题：本大题共4小题，每题12分18．（12分）（1）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），求的值；（2）已知，且，求cos（α+β）的值．【分析】（1）根据三角函数的定义可得sinα，cosα和tanα的值，再代入运算，即可；（2）根据同角三角函数的平方关系可求得cosα和sinβ的值，再结合两角和的余弦公式，展开运算即可．【解答】解：（1）因为角α的终边经过点P（﹣3，4），所以r＝|OP|＝5，所以sinα＝，cosα＝﹣，tanα＝﹣，所以＝＝﹣；（2）因为，且，所以cosα＝＝，sinβ＝＝，所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝×﹣×＝﹣．【点评】本题考查三角函数的求值问题，熟练掌握三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝2x2﹣3x+1．（1）求解不等式f（x）＞0的解集；（2）当x∈（0，+∞）时，求函数的最小值，以及y取得最小值时x的值．【分析】（1）令2x2﹣3x+1＞0，然后根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）先求出函数y＝的解析式，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：（1）令2x2﹣3x+1＞0，得（2x﹣1）（x﹣1）＞0，解得x或x＞1，所以不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）；（2）当x∈（0，+∞）时，函数y＝＝＝2x+﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当2x＝，即x＝时，函数y取得最小值为2﹣3．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法以及基本不等式的应用，涉及到求解函数最值问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．20．（12分）已知cosα＝﹣，且tanα＞0．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：（1）因为cosα＝﹣，且tanα＝＞0，所以sinα＝﹣＝﹣，所以tanα＝＝；（2）＝＝＝＝10．【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21．（12分）设函数f（x）＝2sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值及相对应的x的值．【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性和图象的对称性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（2x+）的最小正周期为＝π，由2x+＝kπ+，k∈Z，可得x＝+，k∈Z，所以函数f（x）的图象对称轴方程为x＝+，k∈Z．（2）由（1）知，在上，2x+∈[，），故当2x+＝，即x＝时，f（x）取得最大值为2，当2x+＝，即x＝0时，f（x）取得最小值为1，故f（x）的最大值是2，此时x＝，f（x）的最小值是1，此时x＝0．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。
2021-2022学年福建省三明市高一上学期期末考试地理试题(解析版)
福建省三明市 2021-2022 学年高一上学期期末考试注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证、姓名”与考生本人准考证、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡对应序号方框内。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（共24 题,48 分）2021 年12 月9 日 15 时40 分,中国航天员在空间站开展太空授课活动。
本次太空授课活动将采取天地互动方式进行,在中国科技馆（北京）设置地面主课堂,在广西南宁、四川汶川、香港澳门设置地面分课堂。
下图示意航天员王亚平正在进行太空授课。
完成下面小题。
1.太阳活动对本次太空授课可能产生的影响有（）A.黑子爆发产生带电粒子,破坏电子设备B.耀斑爆发产生磁暴,使地面信号接收异常C.日珥出现喷射带电粒子,产生恶劣天气 D.日冕物质抛射扰动电离层,导致通讯中断2.地面课堂所在地形区的描述,正确的是（）A.北京——酸性红壤深厚B.南宁——喀斯特地貌广布C.汶川——河流不参与海陆间循环D.香港——地壳最厚〖答案〗1.D 2.B〖解析〗〖1 题详解〗根据所学知识可知，耀斑爆发产生的电磁波干扰地球的电离层，影响无线电短波通讯，A错误；耀斑爆发发出的带电粒子流，干扰地球磁场，产生磁暴现象，使磁针不能正确指示方向，而不是地面信号接收异常，B 错误；日珥喷射带电粒子进入地球两极大气层，与那里的大气层摩擦碰撞，产生极光现象，而不是出现恶劣天气，C错误；日冕物质抛射扰动电离层，影响无线电短波通讯，导致通讯中断，D 正确。
故选D。
〖2 题详解〗根据所学知识可知，北京位于华北平原，黄土层深厚，A错误；南宁位于云贵高原，喀斯特地貌广布，B 正确；汶川县城是岷江水流过，岷江水是长江的支流，最后流入太平洋，参与海陆间循环，C 错误；香港地势低，地壳不是最厚处，地壳最厚处位于海拔最高的青藏高原， D 错误。
福建省三明市2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
因为 ，所以 解得 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的基底表示，选择合适的基底是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
8.设函数 ， ，若对任意 ，总存在 ，使得 ，则实数 的最大值是（ ）
A. B.2C.4D.16
【答案】C
【解析】
【分析】
先求 的值域，根据题意 的值域应该是 的值域的子集，对 分类讨论可得.
故选：AB.
【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
12.已知函数 方程 ，则下列判断正确的是（ ）
A.函数 的图象关于直线 对称
B.函数 在区间 上单调递增
C.当 时，方程有2个不同的实数根
D.当 时，方程有3个不同的实数根
【答案】BC
16.使不等式 成立的 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
在同一个坐标系中分别作出三个函数的图象，结合图象可得.
【详解】如图，分别作出 的图象，结合图象可知 恒成立，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
所以不等式 成立的 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查函数图象的应用，利用图象求解不等式的关键是数形结合，侧重考查直观想象的核心素养.
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】
逐项考查每两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.
【详解】对于选项A， 与 对应法则不同，所以两者不是同一函数；
对于选项B， 与 定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；
对于选项C， 与 定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；
三明市高一上学期数学期末试卷及答案
2021年三明市高一上册数学期末试卷及答案同学们都在繁忙地复习自己的功课，为了帮助大家可以在考前对自己多学的知识点有所稳固，下文整理了这篇上册数学期末试卷，希望可以帮助到大家!(考试时间：2021年1月25日上午8：30-10：30 总分值：100分)第一卷(选择题，共30分)一、选择题：(本大题共10小题，每题3分，共30分)1.设集合，，那么()A.B.C.D.2. ，那么点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设是定义在R上的奇函数，当时，，那么的值是 ()A.B.C.1D.34.以下各组函数中表示同一函数的是()A.与B.与C.与D.与5.设是不共线的两个向量，，，.假设三点共线，那么的值为()A.1B.2C.-2D.-16.以下函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是()A.B.C.D.7.在平行四边形中，，那么必有()A.B.或C.是矩形D.是正方形8.设函数，那么以下结论正确的选项是()A.的图像关于直线对称B.的图像关于点(对称C.的图像是由函数的图象向右平移个长度单位得到的D.在上是增函数。
9.函数的图象可能是()10.设函数满足，且当时，又函数，那么函数在上的零点个数为()A. 5B. 6C. 7D. 8第二卷(非选择题，共70分)二、填空题：(本大题共5小题，每题3分，共15分)11.假设，那么;12.幂函数过点，那么的值为13.单位向量的夹角为60，那么__________;14.在平面直角坐标系中，以轴为始边作锐角，角的终边与单位圆交于点A，假设点A的横坐标为，那么;15.用表示a，b两数中的最小值。
假设函数的图像关于直线x=对称，那么t的值为 .三、解答题：(本大题共6小题，共55分.解容许写出文字说明，证明过程和解题过程.)16.(本小题总分值9分)设集合，(I)假设，试断定集合A与B的关系;(II)假设，务实数a的取值集合.17.(本小题总分值9分)，，函数;(I)求的最小正周期;(II)求在区间上的最大值和最小值。
2021-2022学年福建省三明市高三(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|0≤x ≤3}，B ={x|x =2n +1,n ∈Z}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {1}C. {3}D. {1,3}2. 若复数z 满足iz =1−i(i 为虚数单位)，z −为z 的共轭复数，则|z −|=( )A. √22B. 1C. √2D. 23. 北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有( )A. 16种B. 36种C. 48种D. 60种4. 已知△ABC 中，AB =AC =1，BC =√2，点O 是△ABC 的外心，则CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −√22B. −12C. 12D. √225. 若直线x −y +1=0与圆(x −a)2+(y −1)2=4没有公共点，则实数a 的取值范围是( )A. (−4√2,4√2)B. (−2√2,2√2)C. (−∞,−4√2)∪(4√2,+∞)D. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞)6. 著名物理学家牛顿在1701年提出的牛顿冷却定律是传热学的基本定律之一：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1°C ，空气温度为θ0°C ，则t 分钟后物体的温度θ(单位：°C)满足：θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt ，其中k 是一个根据物体与空气接触情况而定的正常数，现有42°C 的物体放在2°C 的空气中冷却，2分钟后物体的温度为22°C ，则再过4分钟该物体的温度可冷却到( )A. 6°CB. 7°CC. 8°CD. 9°C7. 函数f(x)=2cos(3π2+x)x 2+1(x ∈[−2,2])的大致图像是( )A.B.C.D.8.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，SA=4，∠BAC=2π3，AB=2√3，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为()A. 3B. 4√33C. √3 D. 32二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()A. e a>e bB. log12a>log12b C. ba<b+1a+1D. 1a+b<1ab10.已知等差数列{a n}中，|a2|=|a8|，公差d<0，则使其前n项和S n取得最大值的自然数n是()A. 3B. 4C. 5D. 611. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，BB 1的中点，G 为侧面ADD 1A 1内一点，且满足∠C 1GD 1=∠BGA ，则下列说法正确的是( )A. D 1F ⊥CEB. EF ⊥B 1GC. 存在点G ，使平面EFG//平面ACD 1D. 三棱锥B 1−EFG 的体积为定值12. 已知函数f(x)=xlnx −a2x 2有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A. a 的取值范围为(−∞,1)B. x 1+x 2>2C. 1x 1+1x 2>2D. x 2−x 1>1a −1三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2−ax +a <0，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是______． 14. 已知双曲线C ：x 216−y 2b 2=1(b >0)的左焦点为F ，M 是该双曲线一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若△OMF 的面积为4，则双曲线C 的离心率为______．15. 已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为2√33，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为______．16. 一个二元码是由0和1组成的数字串．x 1x 2x 3⋯x n (n ∈N ∗)，其中x k (k =1,2,⋯,n)称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2x 3⋯x 7的码元满足如下校验方程组：{x 1⊕x 2⊕x 6⊕x 7=1x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0x 3⊕x 4⊕x 6⊕x 7=0，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101011，那么利用上述校验方程组可判定k 等于______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2acosA =√3(ccosB +bcosC)，b =√3c ，a =1，求△ABC 的面积．18.定义G n=a1+2a2+3a3+⋯+na nn为数列{a n}的“匀称值”，若数列{a n}的“匀称值”为2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n={n2a n,n为奇数a nn+2,n为偶数，{b n}的前n项和为S n，求S20．19.为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球(a,b∈N∗)，乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．(1)据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N(15,25)，现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间(10,25)内的人数(结果四舍五入取整数)；(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．附参考数据：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545．20.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面BCC1B1为菱形，∠BCC1=60°．(1)证明：AC1⊥BC；(2)若AB1=√7，求二面角A1−BC1−B1的余弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1、F2为椭圆的左、右焦点，焦距为2√2，P(√2,−√33)为椭圆上一点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点(0,−12)的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在y轴上是否存在定点N，使得∠AMN=2∠ABN恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=(ax2+x+a)e x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个不大于−1的极值点，证明：f(x)≥e x+ln(x−1)+x+1．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|0≤x≤3}，B={x|x=2n+1,n∈Z}={奇数}，∴A∩B={1,3}，故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵iz=1−i，∴z=1−ii =(1−i)ii2=−1−i，∴z−=−1+i，∴|z−|=√(−1)2+12=√2．故选：C．根据已知条件，结合复数的运算法则，对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进行：①将4人分为3组，有C42=6种分组方法，②将分好的三组安排到3个场馆工作，有A33=6种排法，则有6×6=36种安排方法，故选：B．根据题意，分2步进行：①先将4人分为3组，②再将分好的三组安排到3个场馆工作，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：△ABC 中，AB =AC =1，BC =√2，点O 是△ABC 的外心， 可知三角形是等腰三角形，O 是三角形的斜边中点，所以CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos45°=12×√2×1×√22=12．故选：C ．判断O 的位置，利用已知条件转化求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由题得圆心坐标为(a,1)，半径为2， 所以a−1+1√1+1>2，∴|a|>2√2，∴a >2√2或a <−2√2．所以实数a 的取值范围是(−∞,−2√2)⋃(2√2,+∞)． 故选：D ． 由题意解不等式a−1+1√1+1>2即得解．本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵42°C 的物体放在2°C 的空气中冷却，2分钟后物体的温度为22°C ， ∴22=2+(42−2)e −2k ，解得e −2k =12，∴再过4分钟该物体的温度可冷却到2+(42−2)e −6k =2+40×18=7°C ． 故选：B ．根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握指数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：f(x)=−2cos(x+π2 )x2+1=2sinxx2+1，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当0<x<2时，sinx>0，则f(x)>0，排除C，当x=−1时，f(x)=−2sin12=−sin1∈(−1,0)，排除D，故选：A．利用三角函数诱导公式进行化简，然后判断函数的奇偶性，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的对应性进行判断是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意：设外接球的半径为r，则4πr2=64π，∴r=4，设外接球的球心为O，则O在平面ABC内的投影O′为三角形ABC的外心，SA⊥平面ABC，SA=4，所以OS2=22+O′A2，从而AO′=2√3，所以BCsin∠BAC =ABsinC=2R=4√3，解得sinC=12，BC=6，又∠BAC=2π3，∴C=π6，∴B=π6，M是边BC上一动点，SM与平面ABC内的射影最短时，直线SM与平面ABC所成的最大，此时AM⊥BC，易求AM长的最小值为√3，所以直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为4√3=4√33．故选：B．易求外接球半径r=4，从而可求△ABC外接圆半径R=2√3，从而可求BC=6，C=π6，又SM与平面ABC内的射影最短时，直线SM与平面ABC所成的最大，求得SM的最小值，可求直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值．本题考查线面角的正切值的最大值的求法，以及空间几何体外接球的性质，属中档题．9.【答案】AC【解析】解：A：∵a>b>0，∴e a>e b，∴A正确，B：∵a>b>0，∴log12a<log12b，∴B错误，C：∵a>b>0，∴b+1a+1−ba=a−b(a+1)a>0，∴b+1a+1>ba，∴C正确，D：当a=3，b=2时，满足a>b>0，但15>16，∴D错误，故选：AC．根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，根据作差法判断C，根据举实例判断D即可．本题主要考查利用指数函数，对数函数的性质，作差法判断实数的大小，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：在等差数列{a n}中，由|a2|=|a8|，公差d<0，得a2+a8=0，即2a5=a2+a8=0，a5=0，又d<0，∴自第六项起，a n<0，可得使其前n项和S n取得最大值的自然数n是4和5．故选：BC．由已知可得a5=0，结合d<0，可得自第六项起，a n<0，由此得答案．本题考查等差数列的性质及前n项和，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则D1(0,0,2)，F(2,2,1)，C(0,2,0)，E(1,2,2)，得D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)， ∵D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2=0，∴D 1F ⊥CE ，故A 正确； 连接GA ，GD 1，∵C 1D 1⊥平面ADD 1A 1，BA ⊥平面ADD 1A 1，∴△C 1GD 1与△BGA 均为直角三角形，∵∠C 1GD 1=∠BGA ，∴tan∠C 1GD 1=tan∠BGA ，而C 1D 1=BA ，∴GA =GD 1， 可得G 为侧面ADD 1A 1的中心，即A 1D 的中点，∵EF//BC 1//AD 1，AD 1⊥A 1B 1，AD 1⊥A 1G ，A 1B 1∩A 1G =A 1，∴AD 1⊥平面B 1A 1G ，则EF ⊥B 1G ，故B 正确；∵G ∈AD 1，∴平面EFG 与平面ACD 1相交，故C 错误； ∵G 为定点，∴三棱锥B 1−EFG 的体积为定值，故D 正确． 故选：ABD ．建系证明D 1F ⊥CE ；由已知推出G 为侧面ADD 1A 1的中心，即A 1D 的中点，然后依次分析选项BCD 得答案．本题考查空间直线与直线、直线与平面之间的位置关系，涉及正方体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.【答案】BCD【解析】解：对于A 选项：求导，f′(x)=lnx +1−ax ，x >0，则f″(x)=1−ax x，当a ≤0时，f″(x)>0，则f′(x)单调递增，不可能存在两个零点，则f(x)不可能存在两个极值点，故A 错误；当0<x <1a 时，f″(x)>0，即f′(x)单调递增，当x >1a 时，f″(x)<0，即f′(x)单调递减，即f′(x)≤f′(1a )=−lna ，当a ≥1时，f′(x)max =ln 1a ≤0，f′(x)至多有一个零点，当0<a <1时，f′(x)max =ln 1a >0，而f′(1)=1−a >0，当x 趋向于0时，f(x)趋向于负无穷大，当x 趋向于正无穷时，f(x)趋向于负无穷大，综上，0<a <1，f′(x)在(0,1)，(1,+∞)内各有一个零点x 1，x 2(x 1<x 2)， 且0<x 1<1<1a <x 2；对于B 选项：由f′(1a )>0且x 趋向于0时，f′(x)趋向于负无穷大，所以0<x 1<1a <x 2，故2a −x1>1a，令g(x)=f′(2a −x)−f′(x)=ln(2a−x)−2−lnx+2ax(x∈(0,1a]),g′(x)=−12a −x−1x+2a=2(ax−1)2x(ax−2)，又x∈(0,1a]，所以g′(x)<0，g(x)单调递减，故当x1<1a ，故g(x1)>g(1a)=f′(1a)−f′(1a)=0，又f′(x1)=0，所以f′(2a −x1)=ln(2a−x1)−a(2a−x1)+1−f′(x1)=g(x1)>0，而f′(x2)=0，因此f′(2a −x1)>f′(x2)，因此2a−x1<x2，因此x1+x2>2a>2，故B正确；对于C选项：f′(x)=lnx+1−ax=0，则a=1+lnxx，令F(x)=1+lnxx ，显然F(x1)=F(x2)，令t1=1x1，t2=1x2，显然t1>t2，因此有：1+ln1t11t1=1+ln1t21t2，因此t1(1−lnt2)=t2(1−lnt2)，设ℎ(x)=x(1−lnx)=x−xlnx，则ℎ′(x)=−lnx，所以，当x>1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当0<x<1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，因为ℎ(t1)=ℎ(t2)，所以0<t2<1<t1，令φ(x)=ℎ(x)−ℎ(2−x)，(x∈(0,1))，则φ′(x)=ℎ′(x)+ℎ′(2−x)=−lnx−ln(2−x)=−ln(2x−x2)=−ln[1−(x−1)2]，因为x∈(0,1)，所以φ′(x)>0，φ(x)单调递增，因为0<t2<1<t1，所以φ(t2)=ℎ(t2)−ℎ(2−t2)<φ(1)=0，所以ℎ(t2)<ℎ(2−t2)，而ℎ(t1)=ℎ(t2)，因为0<t2<1<t1，所以2−t2>1，当x>1时，ℎ(x)单调递减，因此有t1>2−t2，所以t1+t2>2，即1x1+1x2>2，故C正确；对于D选项：由0<x1<1<1a <x2，则x1−1<0<x2−1a，故x2−x1>1a−1，故D正确，故选：BCD．对于A选项：求导，根据导数与函数单调性和极值的关系，因此，求得a的取值范围；对于B选项：利用a的取值范围，构造一元差函数，利用极值点偏移即可求得x1+x2>2a>2；对于C选项：换元，再构造一元差函数，再利用极值点偏移，即可求得答案；对于D选项：由0<x1<1<1a <x2，则x1−1<0<x2−1a，故x2−x1>1a−1，即可判断D选项．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】[0,4]【解析】解：命题p：∃x∈R，x2−ax+a<0，若命题p是假命题，则￢p：∀x∈R，x2−ax+a≥0成立，可得Δ=(−a)2−4a≤0，解得0≤a≤4，即实数a的取值范围是：[0,4]．故答案为：[0,4]．由题意可得￢p：∀x∈R，x2−ax+a≥0成立，运用判别式非负，解不等式可得a的范围．本题考查命题的存在性命题的真假判断，注意运用转化思想和不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】√52【解析】解：因为双曲线C：x216−y2b2=1(b>0)，可得a2=16，设M在第二象限，∠MOF=α，因为OM⊥MF，所以|OM|=|OF|cosα=ccosα，|MF|=|OF|sinα= csinα，所以S△MOF=12|OM|⋅|MF|=12c2sinαcosα，由双曲线的方程可得c2=a2+b2=16+b2，tanα=ba =b4，所以sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanα1+tan2α=b41+b216=4b16+b2，所以S△MOF=12(16+b2)⋅4b16+b2=2b=4，可得b=2，所以双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√1+416=√52，故答案为：√52．设M在第二象限，由OM⊥MF，设∠MOF=α，可得|OM|，|MF|用c表示的代数式，可得△OMF的面积的表达式，由渐近线的定义可得b的值，进而求出离心率．本题考查双曲线的性质的应用，属于基础题．15.【答案】√35或3√3(注：写出一个或两个正确值均可得满分)【解析】解：某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为2√33，那么设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为k、m，且k< m，则tan30°=√33=2√33−k1+2√33k=m−2√331−2√33m，解得k=√35，m=3√3，故答案为：√35或3√3．由题意利用一条直线到另一条直线的夹角公式，求得与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率．本题主要考查一条直线到另一条直线的夹角公式，属于中档题．16.【答案】6【解析】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101011，(1)若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠1；(2)若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=0，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x3⊕x4⊕x6⊕x7=1，故k≠2；(3)若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=0，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠3；(4)若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=0，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x2⊕x6⊕x7=0，故k≠4；(5)若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x2⊕x6⊕x7=0，故k≠5；(6)若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x2⊕x6⊕x7=1，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，x3⊕x4⊕x6⊕x7=0，故k=6符合；(7)若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=1，x7=0，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于6．故答案为：6由题意，相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1，讨论错误发生的位置，结合校验方程组，依次验证即可得结果．本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于中档题．17.【答案】解：因为2acosA=√3(ccosB+bcosC)，由正弦定理得：2sinAcosA=√3(sinCcosB+sinBcosC)，即2sinAcosA=√3sin(B+C)，即2sinAcosA=√3sinA，又因为A为内角，sinA>0，所以cosA=√32，因为A∈(0,π)，所以A=π6．根据余弦定理a2=b2+c2−2bccosA及b=√3c，a=1，A=π6，得1=3c2+c2−2√3c2⋅√32，即c2=1，即c=1，b=√3，所以△ABC的面积S△ABC=12bcsinA=12×√3×1×12=√34．【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinAcosA=√3sinA.结合sinA≠0，可求cosA的值，求得A角，利用余弦定理求得c边，结合面积公式即可求得答案．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为a1+2a2+3a3+⋯+na nn=2，所以a1+2a2+3a3+⋯+na n=2n，当n=1时，a1=2，当n≥2时，a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=2(n−1)②，①−②得，na n=2，即a n=2n(n≥2)，又因为a1=2，满足a n=2n ，所以a n=2n(n∈N∗)，(2)因为a n=2n ，所以b n={2n,n为奇数2n(n+2),n为偶数，所以S20=(2+6+⋯+38)+(22×4+24×6+⋯+220×22)，所以S20=(2+38)×102+(12−14+14−16+⋯+120−122)，所以S20=200+12−122，即S20=220511．【解析】(1)由题意，利用a n的递推关系，即可求得a n，(2)由(1)得出b n的通项公式，再利用分组求和法求得S20即可．本题考查数列的递推公式及数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题知，μ=15，σ=5，所以P(10<X<25)=P(μ−σ<X<μ+2σ)=12P(μ−σ<X<μ+σ)+12P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈12(0.6827+0.9545)=12×1.6372=0.8186..................(4分)所以1000位植树者中植树的棵数在(15,25)内的人数估计为1000×0.8186=819人．............(5分)(2)甲箱内一次摸奖，奖金Y1的所有可能值为0，50，100，且P(Y1=0)=12，P(Y1=50)=b10，P(Y1=100)=a10，则E(Y1)=0×12+50×b10+100×a10=5b+10a=5(a+b)+5a=5a+25，所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为3E(Y1)=15a+75，a∈{1,2,3,4}......(8分)乙箱内一次摸奖，奖金Y2的所有可能值为0，150，且P(Y2=150)=1545=13，P(Y2=0)=23,E(Y2)=150×13+0×23=50所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为2E(Y2)=100.....................(10分)所以，当a=1，b=4时，3E(Y1)=90<2E(Y2)=100，建议该职工选择方案二；当a=2，b=3时，3E(Y1)=105>2E(Y2)=100，建议该职工选择方案一；当a=3，b=2时，3E(Y1)=120>2E(Y2)=100，建议该职工选择方案一；当a=4，b=1时，3E(Y1)=135>2E(Y2)=100，建议该职工选择方案一．...............(12分)【解析】(1)求出μ=15，σ=5，然后求解P(10<X <25)，即可求解1000位植树者中植树的棵数在(15,25)内的人数．(2)甲箱内一次摸奖，奖金Y 1的所有可能值为0，50，100，求出概率，得到期望，乙箱内一次摸奖，奖金Y 2的所有可能值为0，150，求出概率，得到期望，即可得到方案． 本题考查正态分布的应用，离散型随机变量的期望的求法与应用，是中档题．20.【答案】(1)证明：取BC 的中点O ，连结AO ，C 1O ，因为△ABC 为等边三角形，所以AO ⊥BC............(1分)因为侧面B 1BCC 1为菱形，所以BC =CC 1=2，又因为∠BCC 1=60°， 所以△BCC 1为等边三角形，所以C 1O ⊥BC ，................(2分)因为AO ∩C 1O =O ，AO ⊂平面AOC 1，C 1O ⊂平面AOC 1，所以BC ⊥平面AOC 1，.............(4分)因为AC 1⊂平面AOC 1，所以AC 1⊥BC................(5分)(2)解：因为侧面B 1BCC 1为菱形，所以BC//B 1C 1，由(1)知AC 1⊥BC ，所以AC 1⊥B 1C 1，所以AB 12=AC 12+B 1C 12， 因为AB 1=√7，B 1C 1=2，所以AC 1=√3........................(6分) 又因为AO =OC 1=√3，所以△AOC 1为等边三角形．在平面AOC 1过点O 作OH ⊥OC 1，由(1)知BC ⊥平面AOC 1，且OH ⊂平面AOC 1， 所以BC ⊥OH.以O 为原点，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1，OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系．.........(7分)此时，A(0,√32,32)，B(−1,0,0)，C(1,0,0)，C 1(0,√3,0)，所以CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)， 因为CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A 1(−1,3√32,32)........(8分) 所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3√32,32)设n ⃗ =(x,y,z)为平面A 1BC 1的一个法向量，则{BC 1−⋅n ⃗ =0BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0即{x +√3y =03√32y +32z =0 取z =√3，则y =−1,x =√3，所以n ⃗ =(√3,−1,√3)，...........(10分) 又因为平面BB 1C 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√31×√3+1+3=√217， 所以二面角A 1−BC 1−B 1的余弦值为√217.......(12分)【解析】(1)取BC 的中点O ，连结AO ，C 1O ，证明AO ⊥BC ，C 1O ⊥BC ，推出BC ⊥平面AOC 1，然后证明AC 1⊥BC ．(2)以O 为原点，OC⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1，OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系．求出平面A 1BC 的一个法向量，平面BB 1C 1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A 1−BC 1−B 1的余弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)法一：由焦距为2√2得c =√2....................(1分)又因为P(√2,−√33)在椭圆上，所以(√2)2a 2+(−√33)2b 2=1，即2a 2+13b 2=1.....(2分)又因为a 2=b 2+c 2，所以a 2=3，b 2=1，.........................(4分) 所以椭圆C 的方程为：x 23+y 2=1...........................(5分)法二：由焦距为2√2得c =√2，可知F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，..........(1分)由椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=2a 得：√(2√2)2+(−√33)2+√(√2−√2)2+(−√33)2=2a ，.............(2分) 整理得：2a =√33+5√33=2√3，即a =√3，..........(3分)由a 2−b 2=c 2=2得：b =1，..................................(4分) 所以椭圆的方程为：x 23+y 2=1.............................(5分)法三：由焦距为2√2得c =√2，可知F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，..........(1分) 因为P(√2,−√33)，所以|PF 2|=b 2a ，即√33=b 2a，......................(2分)又因为a 2−b 2=c 2=2，解方程组得：a =√3,b =1， 所以椭圆的方程为：x 23+y 2=1............................(5分)(2)假设在y 轴上存在定点N ，使得∠AMN =2∠ABN 恒成立， 设N(0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，①当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx −12，由{y =kx −12x 23+y 2=1，整理得(4+12k 2)x 2−12kx −9=0，Δ=144k 2+36(4+12k 2)>0，x 1+x 2=12k 4+12k 2，x 1x 2=−94+12k 2，........(7分)因为∠AMN =2∠ABN ，所以点N 在以AB 为直径的圆上，即NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0............(8分) 因为NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−y 0),NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−y 0)， 所以NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−y 0)(y 2−y 0)=x 1x 2+y 1y 2−y 0(y 1+y 2)+y 02 =x 1x 2+k 2x 1x 2−k 2(x 1+x 2)−y 0[k(x 1+x 2)−1]+14+y 02=(1+k 2)x 1x 2−k(12+y 0)(x 1+x 2)+y 02+y 0+14=12(y 02−1)k 2+4y 02+4y 0−84+12k 2=0，∴{y 02−1=04y 02+4y 0−8=0， 解得y 0=1，即存在N(0,1)，........................(11分) ②当直线l 的斜率不存在时A(0,1)，B(0,−1)，M(0,0)， 点N(0,1)满足∠AMN =2∠ABN =0°，综上，存在定点N(0,1)，使得∠AMN =2∠ABN 恒成立．................(12分)【解析】(1)法一：利用焦距求解c ，又因为P(√2,−√33)在椭圆上，转化求解a ，b ，得到椭圆方程．法二：求出焦点坐标，由椭圆定义求解a ，推出b ，得到椭圆方程． 法三：求出焦点坐标，利用通径转化求解a ，b ，得到椭圆方程．(2)假设在y 轴上存在定点N ，使得∠AMN =2∠ABN 恒成立，设N(0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，①当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx −12，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积，求解N ；②当直线l 的斜率不存在时验证求解即可． 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)f(x)定义域为R ，由f(x)=(ax 2+x +a)e x ，得f′(x)=(2ax +1)e x +(ax 2+x +a)e x =[ax 2+(2a +1)x +a +1]e x ， 当a =0时，f′(x)=(x +1)e x ，此时f(x)在(−1,+∞)上单调递增，在(−∞,−1)上单调递减，当a >0时，令f′(x)=(x +1)(ax +a +1)e x =0，即x 1=−1，x 2=−a+1a，因为x 2=−a+1a=−1−1a，所以x 1>x 2，令f′(x)>0，则x <−a+1a或x >−1，即f(x)在(−∞,−a+1a)和(−1,+∞)上单调递增， 令f′(x)<0，则−a+1a<x <−1，即f(x)在(−a+1a,−1)上单调减，当a <0时，令f′(x)=(x +1)(ax +a +1)e x =0，即x 1=−1,x 2=−a+1a，因为x 2=−a+1a=−1−1a，所以x 1<x 2，令f′(x)>0，则x <−1或x >−a+1a，即f(x)在(−∞,−1)和(−a+1a,+∞)上单调递增．令f′(x)<0，则−1<x <−a+1a，即f(x)在(−1,−a+1a)上单调递减，综上所述：当a =0时，f(x)在(−1,+∞)上单调递增，在(−∞,−1)上单调递减， 当a >0时，f(x)在(−∞,−a+1a)和(−1,+∞)上单调递增，在(−a+1a,−1)上单调递减，当a <0时，f(x)在(−∞,−1)和(−a+1a,+∞)上单调递增，在(−1,−a+1a)上单调递减；证明：(2)因为函数f(x)有两个不大于−1的极值点，由(1)知a >0，因为f(x)=(ax 2+x +a)e x =[(x 2+1)a +x]e x 且a >0，所以f(x)>xe x ， 所以要证明f(x)≥e x +ln(x −1)+x +1，只要证明xe x ≥e x +ln(x −1)+x +1， 即要证明xe x −e x −ln(x −1)−x −1≥0， 令g(x)=xe x −e x −ln(x −1)−x −1(x >1)， 则g′(x)=e x +xe x −e x −1x−1−1=xe x −xx−1， 令g′(x)=0，则e x −1x−1=0，令ℎ(x)=e x −1x−1，则ℎ′(x)=e x +1(x−1)2>0， 所以ℎ(x)在x ∈(1,+∞)上单调递增， 因为ℎ(2)=e 2−1>0，ℎ(1+e −2)=e 1+e−2−e 2<0，所以ℎ(x)在x ∈(1,+∞)上有唯一零点，设为x 0， 且当x ∈(1,x 0)时，ℎ(x)<0，g(x)单调递减， 当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min =g(x 0)=x 0e x 0−e x 0−ln(x 0−1)−x 0−1，因为e x0−1x0−1=0，即e x0=1x0−1，即−x0=ln(x0,−1)，所以g(x)min=g(x0)=(x0−1)1(x0−1)+x0−x0−1=0所以g(x)<0，所以原不等式成立．【解析】(1)根据导数和函数单调性的关系，分类讨论即可求出；(2)不等式转化为xe x−e x−ln(x−1)−x−1≥0，令g(x)=xe x−e x−ln(x−1)−x−1(x>1)，利用导数求出函数的最值即可证明．本题考查了导数和函数单调性的关系，导数和函数最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．第21页，共21页。
2021-2022学年第一学期三明市期末质量检测高一数学参考答案
2021-2022学年第一学期三明市期末质量检测高一数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共60分。
1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．AD 10．ABD 11．ACD 12．BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．214．23m -≤≤15．216．32四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）()1234027828⎛⎫⎡⎤--- ⎪⎣⎦⎝⎭2134322321⨯⨯=-+-π+()221232=-+π-+()4341=-+π-+··········································································4分4=+π··························································································5分（2）1lg 2lg 3lg5lg 0.14-++lg 22lg 23lg51=++-····································································7分()3lg 2lg 51=+-3lg101=-·····················································································9分311=⨯-2=······························································································10分18．解法一（1）()()()()sin cos 2sin cos 2f θθθθθπ-π-=π⎛⎫-π+ ⎪⎝⎭()()sin cos sin cos 2θθθθ-=π⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos cos cos θθθθ=--·······································································4分tan θ=·······················································································5分则3f 8π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 38π⎛⎫= ⎪⎝⎭tan 32π⎛⎫= ⎪⎝⎭······························································································6分tan 3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭=·································································································7分（2）由（1）知，tan 3θ=.········································································8分即sin 3cos θθ=，所以sin 3cos θθ=．因为22sin cos 1θθ+=，所以()223cos cos 1θθ+=，即210cos1θ=，··············································9分解得10cos 10θ=±．···············································································10分当10cos 10θ=时，310sin 10θ=；当cos 10θ=-时，sin 10θ=-．······················································11分所以29sin 10θ=，3sin cos 10θθ=，所以29392sin 3sin cos 23101010θθθ-=⨯-⨯=．·······································12分解法二（1）同解法一．·······················································································7分（2）由（1）知，tan 3θ=.······································································8分则22sin 3sin cos θθθ-2222sin 3sin cos sin cos θθθθθ-=+·········································································9分222222sin 3sin cos cos sin cos cos θθθθθθθ-=+·······································································10分222tan 3tan tan 1θθθ-=+···············································································11分22233331⨯-⨯=+910=．·······························································································12分19．（1）12,(2,2)x x ∀∈-，且12x x <，则()()12f x f x -12122222x x x x ++=---······················································································1分()()()()()()122112222222x x x x x x +--+-=--()()()1212422x x x x -=--．·················································································2分因为120x x -<，120x ->，220x ->，所以()()120f x f x -<，··········································································3分即()()12f x f x <，所以()f x 在()2,2-上单调递增.······································4分（2）由()0f x >，得22x -<<，即()g x 的定义域为()2,2-．·····················5分对于任意的(2,2)x ∈-，()22log 2x g x x+=-,()()()22log 2x g x x +--=--··············································································6分22log 2x x-=+122log 2x x -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭22log 2x x+=--()g x =-························································································7分所以()g x 是奇函数．················································································8分（3）由（1）知，22x y x+=-在(2,2)-上单调递增，又因为2log y x =是增函数，所以()g x 是(2,2)-上的增函数．由212,222x x -<-<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得13x -<<．································································9分由()102x g x g ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，得()12x g g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭因为()g x 是奇函数，所以()()11g x g x --=-．所以原不等式可化为()12x g g x ⎛⎫>-⎪⎝⎭，······················································10分则12x x >-，解得2x <．···························································································11分所以原不等式的解集为{}12x x -<<．······················································12分20．（1）该地区2000年底的恩格尔系数为200060%r =，则2010年底的恩格尔系数为1020102000101.041.06r r =⋅···········································1分1.4800.61.791=⨯，·······································2分因为1.4800.60.8880⨯=，1.7910.50.8955⨯=，所以1.4800.6 1.7910.5⨯<⨯，则1.4800.60.51.791⨯<，所以201050%r <．·················································································4分所以该地区在2010年底已经达到小康水平．···············································5分（2）从2000年底算起，设经过n 年，该地区达到富裕水平则20001.0440%1.06n nr ⋅≤，··············································································6分故1.0421.063n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，即522533n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤．化为522lnln 533n ≤．·················································································7分因为520153<<，则52ln 053<，所以2ln 352ln 53n ≥．············································8分因为2ln ln 2ln 3352ln 52ln 53ln 53-=-···········································································9分ln 3ln 2ln 53ln 52-=-1.0990.6933.970 3.951-=-21.37≈．···············································································11分所以22n ≥．所以，最快到2022年底，该地区达到富裕水平．··········································12分21．（1）()222cos f x x x m=++2cos 21x x m =+++·······················································1分312sin 2cos 2122x x m ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭····························································2分因为sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，所以()f x 的最大值为3m +，·····················3分依题意，32m +=，解得1m =-．·······················································································4分（2）由（1）知，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭···················································5分由()1f x ≥，得1sin 262x π⎛⎫+⎪⎝⎭≥．·············································································6分所以5222666k x k πππ+π++π≤≤，k ∈Z ．·············································7分解得3k x k ππ+π≤≤，k ∈Z ．所以，使()1f x ≥成立的x 取值集合为3x k x k k ⎧π⎫π+π,∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤．··············8分（3）依题意，()2sin 6g x x tπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，······················································9分因为4π是()g x 的一个零点，所以sin 026t ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以26k t ππ+=π，k ∈Z ．···································································10分所以361t k =-，··················································································11分因为0t >，所以1k ≥，所以t 的最大值为35．············································································12分22．解法一（1）由210,30,320,x x x x ⎧-⎪+⎨⎪--⎩≥≥≥·········································································2分解得31x -≤≤．所以()f x 的定义域为{}31x x -≤≤．·····················································3分（2）当0m =时，()f x =··············································4分设t =则24t =．····································································5分4=．当1x =-时，2t 取得最大值8；当3x =-或1x =时，2t 取得最小值4．所以2t 的取值范围是[4,8]．·····································································6分所以()f x 的值域为[2,．·································································7分（3）设t =，由（2）知，[2,t ∈242t -=，则()224222m m t t t t m =-+=+-．············8分令2()22m t t t m ϕ=+-，[2,t ∈若0m =，()t t ϕ=，此时()t ϕ的最小值为()22ϕ=；·································9分若0m ≠，2211()22222m m t t t m t m m mϕ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭．当0m >时，()t ϕ在[2,上单调递增，此时()t ϕ的最小值为(2)2ϕ=；·····························································10分当11m -≥+，即10m <时，112m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥，此时()t ϕ的最小值为(2)2ϕ=；·····························································11分当101m <-<+，即1m <-时，112m m ⎛⎫--<- ⎪⎝⎭，此时()t ϕ的最小值为2m ϕ=+．所以，当1m -≥时，()f x 的最小值为2；当1m <时，()f x 的最小值为2m +．·······················································································12分解法二（1）同解法一．····················································································3分（2）当0m =时，()f x =··············································4分。
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【答案】ABD
【解析】
【分析】
逐个选项进行验证，结合正切型函数的性质进行判断可得.
【详解】对于选项A， 时， ，此时 为增函数；
对于选项B， 的最小正周期为 ；
对于选项C，因为 ， ，所以图象不是关于直线 成轴对称；
对于选项D，令 ， ，得 ，令 得 ，所以图象关于点 成中心对称.
所以 ，即 ；
因为 ，所以 解得 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的基底表示，选择合适的基底是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
8.设函数 ， ，若对任意 ，总存在 ，使得 ，则实数 的最大值是（ ）
A. B.2C.4D.16
【答案】C
【解析】
【分析】
先求 的值域，根据题意 的值域应该是 的值域的子集，对 分类讨论可得.
6.在平面直角坐标系中，已知 是以原点 为圆心，半径长为2的圆.设角 的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与 的交点为 ，则点 的纵坐标 关于 的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出点 的坐标，结合三角函数的定义可求.
【详解】设 ，则 ，
，
所以 .
故选：D.
福建省三明市2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一､单选题：
1.函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据真数大于零可得定义域.
【详解】要使函数 有意义，则有 ，即 ，所以函数 的定义域为 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，对数函数一般要求真数大于零，侧重考查数学运算的核心素养.
【解析】
【分析】
先作出函数 的图象，然后依据图象可得.
【详解】对于选项A， ，显然函数 的图象不关于直线 对称；
对于选项B， 的图象是开口向上的抛物线，所以函数 在区间 上单调递增；
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】
逐项考查每两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.
【详解】对于选项A， 与 对应法则不同，所以两者不是同一函数；
对于选项B， 与 定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；
对于选项C， 与 定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查正切型函数的性质，熟记性质的求解方法是解决本题的关键.侧重考查逻辑推理的核心素养.
11.设 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A.若 ，则存在实数 使得
B.若 ，则
C.若 ，则 在 方向上的投影为
D.若存在实数 使得 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】
若 ，则 反向，从而 ；
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的确定，根据零点存在定理可得 ，则 至少存在一个零点.
3.设向量 与向量 垂直，则实数 的值是（ ）
A. B. C.3D.12
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量垂直的坐标表示可得 ，从而可求实数 的值.
【详解】因为向量 与向量 垂直，
所以 ，即 .
故选：A.
【详解】因为对任意 ， ，
所以根据题意可知 的值域包含 .
当 时， 符合题意；
当 时， ， ，解得 ；
显然当 时，不符合题意；
所以实数 的最大值是4.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的值域问题，二次型函数的值域要关注二次项系数的影响，侧重考查数学抽象的核心素养.
二､多选题：
9.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
对于选项D， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，定义域不同，所以两者不是同一函数；
故选：BC.
【点睛】本题主要考查同一函数的判定，两个函数是同一函数要满足两个条件：一是定义域要相同；二是对应法则要一致.侧重考查数学抽象的核心素养.
10.已知函数 ，则下列关于 的判断正确的是（ ）
A.在区间 上单调递增B.最小正周期是
故选：AB.
【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
12.已知函数 方程 ，则下列判断正确的是（ ）
A.函数 的图象关于直线 对称
B.函数 在区间 上单调递增
C.当 时，方程有2个不同的实数根
D.当 时，方程有3个不同的实数根
【答案】BC
2.用二分法求解方程 近似解的过程中，设 ，经计算得部分函数值近似值如下表：
1ห้องสมุดไป่ตู้
1.25
1.5
2
2.25
0.98
5.39
8.24
据此可以判断方程的根所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点存在定理可得，只需要找到函数值异号的区间即可.
【详解】因为根据零点存在定理可得 ，则 至少存在一个零点，
若 ，则 ，从而可得 ；
若 ，则 同向， 在 方向上的投影为
若存在实数 使得 ，则 共线，但是 不一定成立.
【详解】对于选项A，若 ，则 反向，由共线定理可得存在实数 使得 ；
对于选项B，若 ，则 ， ,可得 ；
对于选项C，若 ，则 同向， 在 方向上的投影为 ;
对于选项D，若存在实数 使得 ，则 共线，但是 不一定成立.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据角终边上一点的坐标可得定义式，侧重考查数学抽象的核心素养.
7.如图，在 中， 分别是 的中点， 是该平面上任意一点，设 ，则 （ ）
A. B. C.2D.4
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形中位线性质可得 ,结合 可得 ，从而可求.
【详解】因为 分别是 的中点，
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，向量垂直则得向量的数量积为0，侧重考查数学运算的核心素养.
4.已知幂函数 的图象经过点（2，8），则实数 的值是（ ）
A. B. C.2D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用幂函数 的图象经过点（2，8），可得实数 的值.
【详解】因为幂函数 的图象经过点（2，8），
所以 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，函数图象经过某点，则该点坐标一定适合解析式，侧重考查数学运算的核心素养.
5.已知函数 ，则 （ ）
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
先求 ，再把 代入 可得.
【详解】因为
所以 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分段函数的求值要注意”对号入座”，侧重考查数学运算的核心素养.