206考研数学(一、二、三)真题及答案解析

2016考研数学（一）真题及答案解析

考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A ）若lim n n x a →∞

=，则221lim lim n n n n x x a +→∞

→∞

==

（B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞

→∞

==，则lim n n x a →∞

=

（C ）若lim n n x a →∞

=，则321lim lim n n n n x x a -→∞

→∞

==

（D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞

→∞

==，则lim n n x a →∞

=

【答案】（D ） （2）设211

()23

x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则

（A ）3,2,1a b c =-==- （B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ）

【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。故选A 。

（3）若级数1

n

n n a x

∞

=∑在2x =处条件收敛，则x =

3x =依次为幂级数1

(1)n n n na x ∞

=-∑的

（ ）

（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】（A ） 【解析】因为级数

1

n

n n a x

∞

=∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质，

1

(1)

n

n

n na x ∞

=-∑的收敛半径也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为

13x -<≤，进而x =3x =依次为幂级数1

(1)n n n na x ∞

=-∑的收敛点，收敛点，故选A 。

（4）下列级数发散的是（ ） （A ）

18

n

n n

∞

=∑

（B

）

1

1)n n ∞

=+

（C ）2

(1)1

ln n n n ∞

=-+∑

（D ）

1

!n n n n ∞

=∑ 【答案】（C ）

【解析】（A ）12212 (888)

n n n n

S u u u =+++=

+++， 231211127111817()......(1())8888888884988

n n n n n n n n n n n S S S ++=+++⇒=+++-⇒=--，8

lim 49

n n S →∞=

存在，则收敛。

(B)3

3

1

2

2

1

11)

n n u n n

n

∞

==+⇒∑

收敛，所以（B ）收敛。

（C ）222(1)1(1)1ln ln ln n n n n n n n n ∞

∞∞===-+-=+∑∑∑，因为22

(1)1

,ln ln n n n n n ∞

∞==-∑∑分别是收敛和发散，所以2

(1)1

ln n n n ∞

=-+∑发散，故选（C)。 （D)!,n n n u n =11lim lim 11n

n n n n u n e u n -+→∞→∞⎛⎫

==< ⎪

+⎝⎭

，所以收敛。 （5）设矩阵22

111112,14A a b a αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（ ） （A ）,a α∉Ω∉Ω （B ）,a α∉Ω∈Ω （C ）,a α∈Ω∉Ω （D ）,a α∈Ω∈Ω 【答案】（D ）

【解析】Ax b =有无穷多解⇔()()

3,0r A r A A =<⇒=，即(2)(1)0a a --=，从而

12a a ==或

当1a =时，221111111

1

121010

114100032A ααααα⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪=→-

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝

⎭⎝⎭ 从而2

32=0=1=2αααα-+⇒或时Ax b =有无穷多解

当2a =时，22111

11111

122011

1144000

32A ααααα⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪=→-

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝

⎭⎝⎭

从而2

32=0=1=2αααα-+⇒或时Ax b =有无穷多解 所以选D.

（6）二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222

1232y y y +-，其中

123(e ,e ,e )P =，若132

(e ,e ,)Q e =-，123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准型为（ ） （A ）2221232y y y -+ （B ）222

1232y y y +- （C ）222

1232y y y --

（D ）222

1232y y y ++

【答案】（A ）

【解析】由已知得222

123123(,,)2T T f x x x Y P APY y y y ==+-，232(1)Q PE E =-，

从而

123223232(,,)(1)(1)T T T T

T T f x x x Y Q AQY Y E E P APE E Y

==--222

223232123(1)(1)2T T Y E E P APE E Y y y y =--=-+，其中23100001010E ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，

2100(1)010001E ⎡⎤

⎢⎥-=-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

均为初等矩阵，所以选A 。

（7）若,A B 为任意两个随机事件，则 （A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥

（C ）()()

()2

P A P B P AB +≤

（D ）()()

()2

P A P B P AB +≥

【答案】（C ）

【解析】排除法。若AB =Φ，则()0P AB =，而(),()P A P B 未必为0，故