平面向量的加法及其几何意义(高)
2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义
③当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2),则a+b与b方向相同 (与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||. ④当两个向量a与b中至少有一个为0时,则必有|a+b|=|a|+|b|=||a||b||. 综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
uuur uuur 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;
uuur uuur uuur 两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = AC .
uuur uuur 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km), 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
新知导学 课堂探究
新知导学·素养养成
1.向量加法的定义 定义:求两个向量 和 的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+ 0 = a .
2.向量求和的法则
三角形 法则
法则
前提 作法
结论
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
uuur uuur
uuur
作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1)解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, 所以 0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|0|+|b|,⑤正确.故选 C.
uuur uuur uuur (2)化简:① AB + CD + BC ;
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
向量加法运算及其几何意义 课件
【核心素养培优区】 【易错案例】向量的加法在向量化简中的应用 【典例】如图,在正六边形ABCDEF中, BA CD EF=( B )
A.0 B.BE C.AD D.CF
【失误案例】BA CD EF (BA AF) EF BF EF BE.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的原因是未能结合正六边形边的关系, 得到 EF CB, 在化简的过程中代入.
【点拨】 (1)对向量加法三角形法则的两点说明 ①适用范围:任意向量. ②注意事项:(ⅰ)两个向量一定首尾相连. (ⅱ)和向量的始点是第一个向量的始点,终点是第二个 向量的终点. (ⅲ)当多个向量相加时,可以使用三角形法则.
(2)对向量加法的平行四边形法则的三点说明 ①适用范围:任意两个非零向量,且不共线. ②注意事项:(ⅰ)两个非零向量一定要有相同的始点; (ⅱ)平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向 量.
【变式训练】(荆州高一检测)设正六边形
ABCDEF,AB m，AE n, 则AD =________. 【解析】如图,
ED AB所 m以， 答案:n+m
AD AE ED n m．
类型三 向量加法的实际应用 【典例】长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h.
列结论中,正确的是 ( ) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; ⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
3.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中 点,化简下列各式:
高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向 ． 是____________________ 大小相等，方向相同 ，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反 向量是指___________________ 的向量．
向量和 的方法叫做向量加法的三角形 和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
第二章
2.2 2.2.1
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自主预习 1．向量的加法
和 的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量 ． 个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
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[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组 向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个 法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.
平面向量向量加法运算及其几何意义
平面向量向量加法运算及其几何意义平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的过程。
在进行向量加法运算时，可以使用坐标法或三角法。
坐标法是指将向量表示为有序数对的形式，例如vector AB可以表示为(Ax, Ay)，vector CD可以表示为(Cx, Cy)。
要将两个向量相加，只需将它们对应的坐标相加即可。
例如，若vector AB + vector CD =vector EF，则有(Ax + Cx, Ay + Cy) = (Ex, Ey)。
三角法是指利用向量的方向角和长度来进行向量加法运算。
假设vector AB的长度为a，方向角为θ，vector CD的长度为b，方向角为φ。
要求它们的和，可以先将它们用三角形形式绘制出来，然后将其首尾相接，连接向量AB的尾部和向量CD的头部，得到一个新的向量EF，即vector AB + vector CD = vector EF。
无论使用何种方法进行向量加法运算，其几何意义是将两个向量进行平移后的结果。
首先，将向量AB的起点平移到坐标原点，然后将向量AB的终点与向量CD的起点连接起来，再将向量CD的终点与该连接线的终点连接起来，得到向量EF。
即vector AB + vector CD = vector EF。
在几何上，向量加法运算的结果可以表示为一个以向量AB为一条边，以向量CD为相邻边的平行四边形，其中向量EF为对角线。
向量AB称为平行四边形的第一条边，向量CD称为平行四边形的第二条边。
向量EF称为平行四边形的对角线，连接向量AB的起点和向量CD的终点。
此外，可以利用向量的加法运算推导出向量的其他运算规律。
例如，可以推导出向量加法满足交换律（vector AB + vector CD = vector CD+ vector AB）和结合律（vector AB + (vector CD + vector EF) = (vector AB + vector CD) + vector EF）。
向量的加法运算及几何意义
例1
B
岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
平面向量的加法运算及几何意义
1、向量加法的定义： 向量的和结果也是一个向量
2、向量加法的几何意义： 三角形法则（首尾依次连，起点指终点）， 平行四边形法则（同起点）
3、向量加法的运算律：
交换律 结合律 4、向量的模不等关系：
|| a | | b ||| a b || a | | b |
变式：船在静水中的速度为6m/s，水流的速度为 3m/s，则它必须朝哪个方向开，才能保证船沿水流 的垂直方向前进？船实际前进的速度为多少？
北 西 南 东
向量的加法
1.向量加法的三角形法则
2.向量加法的平行四边形法则 3.向量加法的交换律及结合律
4.向量不等式
| a b || a | | b |
D
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速， 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。
解： (2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
平面向量加法及其几何意义
向量加法运算及其几何意义(第一课时)学校：福清虞阳中学班级：高一（6）班时间：2016年5月17日执教：朱庆飞一、教学目标：1、知识与技能理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．2、过程与方法经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3、情感态度与价值观经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣。
二、教学重点和难点：重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．三、教学策略和方法：教法：“问题情境教学法”、讲练结合四、教学过程设计：1.复习引入向量的定义、表示方法；平行向量的概念；相等向量的概念。
2.情境设置(1)位移之和问题：(2)物理力学的合成。
问：对于任意的向量→a和→b，如何定义向量的加法→a+→b3.向量加法的三角形法则：已知非零向量→a、→b，在平面内任取一点A，作→→→→==bBCaAB,，则向量→AC叫做→a与→b的和，记作→a+→b，即→a+→b=→→→=+ACBCAB.→aC→→→=+ACBCAB→b A B第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点并以第二个向量的终点为终点的向量即为两个向量的和. 简记：首尾相接，首尾连4.练习：(1)用向量的三角形法则作出下列两个向量的和向量(2)两种特例(两向量平行)5.问题探究问题2：两个向量的和仍为一个向量，那么和向量 →a + →b 的方向与 →a ,→b 的方向有何关系？|→a + →b |与|→a |，|→b |有何关系？ 6.向量加法的平行四边形法则：在平面内任取一点O ，→→→→==b OB a OA ,，以向量→→OB OA ,为邻边的平行四边形OACB 的对角线所对应的向量→OC 就→a 与→b 的和，记作→→→=+OC b a . B→a C →→→=+OC OB OA →b O A平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线的向量. 简记：共起点，平行四边形对角线7.练习：用向量的平行四边形法则作出下两个列向量的和向量abababa b ab a b8.问题再探究：.)(),(,,,2c b a c b a c b a b b a c b a +++++++，请作出、、：如图已知向量问题总结： 1）.向量加法的运算律交换律：结合律：2）.向量加法的三角形法则可以推广到3个或3个以上向量的加法运算。
平面向量的加法和减法运算
交换律：向量加法满足交换律，即a+b=b+a
向量加法的几何意义：表示平行四边形的对角线
向量加法的代数表示：表示两个向量的坐标之和
结合律：向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)
02
平面向量的减法运算
向量减法的定义
向量减法满足三角形法则，即任意两个向量的差等于第三个向量加上与第三个向量共线的向量
在物理中的应用
力的合成与分解
电磁学中的洛伦兹力
速度与加速度的合成与分解
力的平衡与扭矩
在解析几何中的应用
平面向量加法和减法在解析几何中用于表示点的移动和变化
平面向量加法和减法可以用于表示和解决一些几何变换问题，如平移、旋转等
平面向量加法和减法可以用于解决解析几何中的一些问题，如求交点、求轨迹等
平面向量加法和减法可以用于计算两点之间的距离和方向
在日常生活中的应用
物理中的向量加法和减法：解释力和运动的合成与分解
经济学中的成本和收益分析：通过向量加法和减法进行优化
地理学中的风向和风速测量：利用向量加法和减法计算风向角和风速大小
生物学中的遗传和变异研究：通过向量加法和减法分析基因型和表现型之间的关系
汇报人：XX
感谢观看
向量减法可以表示为连接起点和终点的有向线段
向量减法的结果与减数的方向有关
向量减法的运算律
பைடு நூலகம்
向量减法满足结合律：a-b-c=a-(b+c)
向量减法满足数乘分配律：λ(a-b)=λa-λb
向量减法满足向量的模运算律：|a-b|≤|a|+|b|
向量减法满足交换律：a-b=-b+a
03
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组 合，利用向量加法法则运算求解． 解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各 向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量 是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一 向量的加法运算 【例 1】 化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二 利用向量证明几何问题 【例 2】 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边 形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明 一组对边对应的向量相等即可．
平面向量的加法运算课件
录
• 平面向量的加法定义 • 平面向量的加法运算性质 • 平面向量的加法运算律 • 平面向量的加法运算应用 • 平面向量加法运算的练习和巩固
contents
01
平面向量的加法定
定义及意义
平面向量的加法定 义
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其和向量$\mathbf{c}$定义为 $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中$\mathbf{c}$的方向是 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的平行四边形的对角线方向。
向量$\mathbf{c}$等于零向量，即$\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
向量加法的几何意 义
• 向量加法的几何意义：向量加法可以理解为将两个向量首尾相 连，得到一个新的向量，这个向量的长度等于两个向量的长度 之和，方向与两个向量的平行四边形的对角线方向一致。
02
平面向量的加法运算性
向量加法的多边形法则
总结词
向量加法满足多边形法则
详细描述
多边形法则是指将一个多边形的起点与另一 个多边形的终点相连，得到的向量等于两个 多边形的向量之和。这个法则可以用于求解 多个向量的和以及判断多边形的方向。
04
平面向量的加法运算用
解向量方程
求解与向量相关的方 程，例如平行向量、 垂直向量、共线向量 等。
03
平面向量的加法运算律
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法满足平行四边形法则
详细描述
根据平行四边形的性质，向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线 向量等于两个向量的和。
6.2.1向量的加法运算及其几何意义
如图：
| a b || a | - | b | (或 | b | - | a |);
且 | a b || a | + | b |;
| a | | b | | a b || a | + | b |;
(2)当a与b共线时， (ⅰ)当a与b同向时， 如图：
| a b | = | a | + | b || a | - | b | (或 | b | - | a |); | a | | b | | a b | = | a | + | b |;
6.2.1向量加法运算及其几何意义
思考：
(1).某人从A地到B地,再从B地按原来的方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
A
C
(2).飞机从A地到B地,再从B地左转450方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
C A
B
这是物理学中从点A到点B,再从点B到点C的问题。
因此： AB BC AC
1、向量的加法的定义：
求两个向量和的运算叫向量的加法。
B C
a
b
A
口诀：首尾相接，首尾连 2.向量的加法的作法： 三角形法则
(1)在平面内任取一点A (2)作 AB a, BC b
(3)则向量 AC a+b.
特别地：
方向相同 a b
A
B
C
AC a b
a0 0a a
练习2. 如图,已知a,b用向量加法的平行四边形法则作出a b
（1）
性质
(1) 交换律:a b b a
b ab b
a
(2) 结合律:(a b) c a (b c)
abc
平面向量的加法PPT课件
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
初识平面向量的几何意义与运算
初识平面向量的几何意义与运算平面向量是数学中常见的概念，它可以用来描述平面上的运动、位移和力等物理量。
本文将介绍平面向量的几何意义以及相关的运算。
一、平面向量的几何意义平面向量可以表示平面上的位移和方向。
它由两个有序的数对(x, y)表示，其中x代表水平方向的位移，y代表垂直方向的位移。
平面向量可以用箭头来表示，箭头的起点表示向量作用的初始位置，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小（也称为模）。
平面向量的起点和终点分别为A和B，用向量AB来表示。
二、平面向量的基本运算1. 加法：平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
设有平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的和记作C(x1+x2, y1+y2)。
几何上，向量的加法可通过将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接起来，新的向量即为连接起点和终点的直线。
2. 减法：平面向量的减法是指将一个向量的对应分量分别减去另一个向量的对应分量，得到一个新的向量。
设有平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的差记作D(x1-x2, y1-y2)。
几何上，向量的减法可通过将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接起来，新的向量即为连接起点和终点的直线的反向。
3. 数乘：平面向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
设有平面向量A(x, y)和实数k，则kA为与A方向相同（或相反）但长度为|k|倍的向量。
几何上，kA的起点和A的起点相同，方向与A相同（或相反），长度为k|A|。
三、平面向量的运算性质1. 交换律：对于任意的平面向量A和B，有A + B = B + A。
2. 结合律：对于任意的平面向量A、B和C，有(A + B) + C = A +(B + C)。
3. 数乘结合律：对于任意的平面向量A和实数k1、k2，有(k1k2)A = k1(k2A)。
4. 数乘分配律：对于任意的平面向量A和实数k1、k2，有(k1 +k2)A = k1A + k2A。
2.2_平面向量的线性运算2.2.1_向量加法运算及其几何意义
答案：8 2
北偏东 45°
答案：8 2 北偏东 45° 答案：8 2 北偏东 45°
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典例精析
演练广场
知识要点一：准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 1．两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量 求和．
3．以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB，则以 O 为起点的对角线 OC― →就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4．对任意两个向量 a、b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|. 当 a、b 同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|；当 a、b 反向时有|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． 5．向量的加法满足交换律和结合律， 即 a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． a＋0＝0＋a＝a.
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知识要点二：向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模及方向的关系 1．当向量 a 与 b 不共线时，a＋b 的方向与 a，b 都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|，几何背 景是三角形两边之和大于第三边． 2．当 a 与 b 同向时，a＋b 与 a，b 的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. 3．当 a 与 b 反向时，若|a|≥|b|，则 a＋b 与 a 的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|. 若|a|＜|b|，则 a＋b 与 b 的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 知识要点三：向量加法的运算律 1．向量加法的交换律：将 a 的起点移至 A 点，将 b 的起点移至 a 的终点，则由 a 的起 点 A 指向 b 的终点 C 的向量 AC― →＝a＋b；同样将 b 的起点移至 A 点，将 a 的起点移至 b 的终点，则由 b 的起点 A 指向 a 的终点 C′的向量 AC′― →＝b＋a，由平行四边形法则知 C 必然和 C′重合，即 a＋b＝b＋a. 2．向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，就可以按照 任意的次序和任意的组合去进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)． 3．向量加法运算满足：A1A2―→＋A2A3― →＋„＋An－ 1An― →＝A1An―→.
新人教A版高中数学必修二课件：6.2平面向量的运算—加法 减法——课件
人民教育出版社A版必修 一
二.向量的减法运算
2.向量的减法：求两个向量差的运算. a b 叫做 a, b 的差.
a b a b
a b 表示为由向量
33.向量减法的几何意义:
.已知a, b,根据减法的定义，如何
作出a b呢？ b 的终点指向向量a 的终点的向量
B
a
b
ab
→ →
BC，BD.
解：
CD AE c
BC AC AB b a
BD BC CD b a c
步骤：
1)找到未知向量所在的平行四边形或三角形；
2)按照平行四边形法则或三角形法则进行分解；
3)用已知表示未知.
人民教育出版社A版必修 一
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，
律
二、思想方法
类比、数形结合 、分类讨论
b
a
b
口诀：首同尾连，指向被减
C
O
A
a b
D
人民教育出版社A版必修 一
例 1.化简下列各式：
→ → →
(1) AB－AD－DC;
DB DC CB
→ →
→
→
(2)(AB＋MB)＋(－OB－MO).
或 AB ( AD DC ) AB AC CB
AB MB OB MO AB MB MO OB AB OB OB AB
人民教育出版社A版必修 一
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、基本概念平面向量是指在平面内有大小和方向的量，通常用箭头表示。
平面向量有起点和终点，可以表示为两个点之间的有向线段。
加减法是指将两个或多个数值相加或相减的运算。
对于平面向量，加法和减法也是有规则的。
二、平面向量的加法1.定义设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a+b表示从O出发先沿着a到达A，再沿着b到达C，则C就是a+b的终点。
2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)。
3.几何意义将一个向量加上另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量。
这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。
三、平面向量的减法设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a-b表示从B出发先沿着-b到达O，再沿着a到达C，则C就是a-b的终点。
2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
3.几何意义将一个向量减去另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量，并将这个新的向量旋转180度。
这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。
四、平面向量加减法的性质1.交换律a+b=b+a，a-b≠b-a2.结合律(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c=a-(b+c)3.分配律k(a+b)=ka+kb，k为常数对于任意平面向量a，存在唯一的平面向量-b，使得a+(-b)=0。
五、应用举例平面向量加减法在物理学、力学、几何学等领域有广泛应用。
例如，在力学中，可以用平面向量表示物体所受到的力和加速度；在几何学中，可以用平面向量表示线段和角度等概念。
六、总结平面向量加减法是基本的运算规则，在数学和其他领域都有广泛应用。
掌握了平面向量加减法的性质和应用方法，可以更好地理解和解决相关问题。
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rr r r (3) a b a b
rr
rr
a，b反向且 a b
r r r r rr
rr
(4) a b b a a，b反向且 a b
向量加 法
结论： a b a b a b
已知 a 8, b 6,则 a b的最大值和最小值是 1_4_,_2
学以致用
完成课本P81例1和P84第1，2题
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
温故夯基
1、 向量：既有 大小又有 方向的量叫向量
2、 共线向量（平行向量）： （1）方向 相同 或_相__反__的非零向量叫平行向量
rr （2）规定： 0 / /a
3、相等向量： 长度 相等 且方向 相同 的向量叫相等向量
O 上海
台北
B
香A港 OA AB OB
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
C
C
B
B
A
A
AB BC AC
O
OB OA OC
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加法
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
C B
向量加 法
学以致用
1.化简
(1)AB CD BC ___A_D____
(2) MA BN AC CB __M_N_____
uuur
(3)AB
uuur uuur BD CA
uuur DC
__0___
2.完成课本P84第3，4题
3.完成课本P83例2
向量加法
小结
1.一个定义-------- 向量加法的定义 2.两个法则-------- 三角形法则和平行四边形法则 3.一个关系--------- 模的关系 4.两个运算律-------- 交换律和结合律
a
a
b
A
B
C
b
B
CA
AC a b
方向相同
AC a b
方向相反
向量加 法
问题3.请选用合适符号连接：
rr
rr
a b ____ a b(<,>, ,, )
rr
非零向量a,b处于什么位置时？
r r r r rr
探究
(1) a b a b rr r r
a，b不共线或共线反向 rr
(2) a b a b a，b共线且同向
学习目标
1、通过实例，掌握向量的加法运算，并理解 其几何意义.
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形 法则作两个向量的和向量.
3、记住向量加法运算的交换律和结合律，并 会用它们进行向量计算.
向量加法的定义
问题1.完成导学案课前预习案第2题
问题2.阅读课本2.2.1例1前的内容，完成导学案
课前预习案3～4题
C
C
b
B
A
a
尾首顺次相接
首指向尾为和
B
b
b
A
O
a
起点相同，两边平行
同一起点，对角线为和
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加 法
向量加 法
r
பைடு நூலகம்
对于零向量与任一向量a,我们规定
rrrr r
a0 0a a
问题：除了零向量，有没有不能用平行四
边形法则求和向量的情况？
特例：共线向量
作业
课本91页第1题、第2题
向量加法的运算律：
问题1.阅读课本P82页探究～P83例2前的
内容，完成导学案课前预习案第5题
向量加 法
问题2. AB BC CD DE JK ?AK
首尾相接的多个向
量加法，和向量由第一
JF
个向量的起点指向最后 K
E
一个向量的终点.
AB BC CD DE
D
JK KA ?0 A