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第五节经济学中常用函数

教学目的：了解经济中常用函数的概念。结合经济现象理解盂求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念.

教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学难点：经济现象的理解.

教学内容：

一.需求函数与价格函数

一种商品的需求量0与该种商品的价格“密切相关，如杲不考虑其它因素的影响，则商

品的蛊求量Q可看作价格P的函数。称为需求函数，记作Q = /(卫)。

评注：(1)一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数Q = f(p) 是价格〃的减少函数。如图

(2)在企业管理和经济中常见的需求函数有

线性需求函数：Q = a-bp,其中/?>0, a>0均为常数;

二次需求函数：Q = a_bp_cp2,其中^>0, b>0, c>Q均为常数；

指数需求函数：Q = A严,其中A>0, b>0均为常数；基函数需求函数：Q = AP-a ,其+ A>0, G>0均为常数。

二、供给函数

“供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意11!售并且有可供出售的商品量，如果不考

虑价格以外的其它因素，则商品的供给量S是价格p的函数，记作S = S(p)0评注：(1) 一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数S = S(p)是价格〃的单调增加函数。

(2)常见的供给函数有线性函数，二次函数，幕函数，指数函数等。

(3)如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商品价格刁就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。◎就是均衡数量。

2 4

例1 :已知某商品的供给函数是S=-p-4,需求函数是Q = 50--p,试求该漓品处于市

3 3

场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。

解: 令S=Q,解方程组< e=|/^-4

4 Q

= 50--p得均衡价格p = 27,均衡数量e = 14o

2 4

说明供给函数S=-p-4与需求函数2 = 50-一0的图彖交点的横坐标就是市场均衡价格。高于这个价格，供大于求；低于这个价格，求大于供。

三、总成本函数

总成本是工厂生产一种产品所需费用的总和，它通常分为固定成本和变动成本两部分, 固定成本指不受产量变化影响的成本，如厂房，机器设备的费用等，常用G表示。可变成本指随产量变化而发生变化的成本，如原材料费，工人工资，包装费等，常用C?表示，它是产量q 的函数，即C2=C2(q)o

生产q个单位某种产品时的可变成本C?与固定成本G之和，成为总成本函数，记作C, 即C = C(g) = C[ +C?⑷ o

评注：(1)总成本函数C(g)是产量今的单调增加函数。

(2)常见的成本函数有线性函数、二次函数、三次函数等。

(3)要评价企业的生产状况，还需要计算产品的平均成本，即生产g个单位产品时，单位产

品的成本，记做E(g),即乙⑷=£@=£+9^1 ,其中9^2称为平均可变成本。

q q q q

例2:生产某种商品的总成本(单位：元)是C(g) = 500 + 4q,求生产50件这种商品的总成本和

平均成本。

解：生产50件这种商品的总成本为C(50) = 500 + 4x50 = 700 (元)；

平均成本为A(50) = -^l _50= —= 14 (元/件)。

q 150

四、收益(收入)函数与利润函数

1 •收益函数

收益是指销售某种商品所获得的收益，又可分为总收益和平均收益。

总收益是销售者售出一定数量商品所得的全部收益，常用R表示。

平均收益是售出一定数量的商品时，平均每售出一个单位商品的收益，也就是销售一定数量商品时的单位商品的销售价格。常用尺表示。

总收益和平均收益都是售出商品数量的函数。

设P为商品价格，q为商品的销售量，则有

R=R(q) = qP(q), 示= ^l = p⑷，其中P(q)是商品的价格函数。

q

例3 :设某商品的价格函数是P = 50-|^,试求该商品的收入函数，并求出10件商品时的总收入和平均收入。

解：收入函数为R=Pg = 50g_*2；

-R 1

平均收入为R = -=P = 50 — q；

q 5

1 0

销售10件商品时的总收入和平均收入分别为/?(10)=50X10--X102=480,

— 1

/?(10) = 50--xl0 = 48o

2.利润函数

总利润指生产一定数量的产品的总收入与总成本之差，记做厶，即

L = L(q) = R(q) — C(q)，其中q是产品数量。

平均利润记做L = Z(q)= 如o

q

例4:已知生产某种商品q件时的总成本(单位：万元)为C(q) = 10 + 6q + 0.1g2如果该商品的销售单价为9万元，试求：

(1)该商品的利润函数；

(2)生产10件该商品时的总利润和平均利润；

(3)生产30件该商品时的总利润。

解：(1)该商品的收入函数为R(q) = 9q,得到利润函数为

L(q) = R(q) - C⑷=3q -10 - 0.1/

(2)生产10件该商品时的总利润为L (10) = 3x10-10-0」xl02=10 (万元)，

此时的平均利润为Z = = —= 1 (万元/件)

10 10

(3)生产30件该商品时的总利润为厶(30) = 3x30 — 10-0」x302 =-10 (万元)

评注：一般地，收入随着销售量的增加而增加，但利润并不总是随销售量的增加而增加。

它可出现三种情况

(1)如果厶⑷= /?(g)— C⑷>0,则生产处于盈利状态；

(2)如果L(q) = R(q)-C(q) < 0 ,则生产处于亏损状态；