概率论和数理统计抽样分布

N(,2), 则
21
2
n
(Xi )2~2(n)
i1
(2) 设 X 1~2(n 1)X ,2~2(n 2),且X1,X2相互
独立，则 X 1X 2~2(n 1n 2)
这个性质叫 2分布的可加性.
(3)若X~2(n),
则可以求得， E(X)=n, D(X)=2n
例1
设 X1 , X2 , X3 , X4 是取自总体N(0,4)的简单
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i1
Xik
样本k阶中心矩 Mk n1in1(Xi X)k
k=1,2,…
例1：设E(X)=μ,D(X)=σ2，再记 证明下面结果：
(1)这实际上是求n个随机变量的平均值的数学期望与方差；
(2)这实际上是求n个随机变量的样本方差的表达式。
(3)这实际上是求n个随机变量的样本方差的表达式。
布 N(0,9),而 X1,, X9 和 Y1,,Y9
分别是来自总体 X 和 Y 的,则统计量
U
解
X1 X9 Y12 Y92
服从(
t
X1 9 9i1
Xi
~N(0,1),
)分布,参数为( 9 ).
Yi ~ N(0,1) 3
故
Y ~i 91(Y 3i)21 9i 91Yi2~ 2(9)
X 与Y~独立,
F 分布的性质 1
F1(n1,n2)F(n2,n1)
例1 求 F 0 .0 ( 1 5 ,1 0 )F 6 , 0 .9 ( 1 9 ,3 2 ) .0
解 由 0 . 0 ,n 5 1 1 ,n 2 0 16
查得 F 0 . 0 ( 1 5 ,1 0 ) 2 6 . 49
由 0 .9 ,得 9 1 0 .0 ,n 1 1 1,2 n 2 3.0
Y n2
服从自由度为
n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2称为 第二自由度，记作F~F(n1,n2).
若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
f(x ;n 1,n 2) 0 (n 2 (1)n 1 2n (2)n 2 2)(n n 1 2)n n (1 2x)n 2 1 11n n 1 2xn 1 x 2n 2 0x0
2X 12X 22 X n2
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布.
记为 2 ~2(n)
2 分布的密度函数为
f(x;n)2n21(n2)xn 21e2x
0
x0 x0
其中伽玛函数 (x)通过积分
(x)ettx1d,t x0 0
来定义.
由 2 分布的定义，不难得到：
(1) 设 X1,X2,,Xn相互独立, 都服从正态分布
2.性质 由定义可见，
1 Y n2 F X n1
~F(n2,n1)
F 分布的分位点
对于给定的正数 ,01称满足条件 ∫ P F F ( n 1 , n 2 ) ∞ F ( n 1 , n 2 )f ( y ) d a y
的点 F(n1,n2) 为 F(n1,n2) 分布的上
分位点 F(n1,n2)
统计量
一、 统计量
由样本值去推断总体情况，需要对样本 值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数 ，它把样本中所含的（某一方面）的信息 集中起来.
这种不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量.
二、几个常见统计量
样本均值
1 n
X n i1 Xi
样本方差 S2n11in1(Xi X)2
（二）t 分布
1.定义: 设X～N(0,1) , Y～ 2(n) , 且X与Y
相互独立， 则称变量 T X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为T～t(n). T的密度函数为：
f(x;n)[n (1)2](1x2)n2 1 (n2) n n
例1 设随机变量X 和Y 相互独立且都服正态分
所以
U
X Y~/ 9 ~ t(9)
2.性质 t分布的密度函数关于x=0对称，且
当n充分大时，其图形类似于标准正态分 布密度函数的图形.
t 分布的分位点
对于给定的正数 ,01称满足条件 ∫ P t t( n ) ∞ t(n )h ( t) a
的点 t (n) 为 t (n ) 分布的上
分位点
查得 F 0 . 0 ( 3 1 ,1 0 ) 3 2 . 70
于F 0 是 . 9 ( 1 9 , 3 ) 2 1 / 0 得 3 . 7 0 . 2 07
随机样本 X a (X 1 2 X 2 )2 b (3 X 3 4 X 4 )2
当a=
, b=
时, X ห้องสมุดไป่ตู้ 2(2).
解 由题意得
a(X12X2)~N(0,1)
b(3X34X4)~N(0,1)
D[ a(X1 2X2)]1 D[ b(3X3 4X4)]1
a =1/20 b=1/100
2—分布的密度函数曲线
第六章第三节 几个常用的分布
抽样分布
统计量既然是依赖于样本的，而 后者又是随机变量，故统计量也是随 机变量，因而就有一定的分布，这个 分布叫做统计量的“抽样分布” .
统计三大分布
一、 2 分布
2 分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1,X2,,Xn相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
t (n)
例 2 已知随 T~t(1机 ),0求 变 当 0 .量 05
时 t0 .0(5 1)0 t,0 .02 (15)0
解
t0.05(1)01.81.2
t0.02(1 5 )02.228
（三）F分布
1.定义: 设X~2(n 1)Y ,~2(n 2),X与Y相互
独立，则称统计量 F X n1
解 102.02(510) 2 02.95(10)
（二）t 分布 1.定义: 设X～N(0,1) , Y～ 2 (n) , 且X与Y 相互独立， 则称变量 T X
Yn 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为T～t(n). T的密度函数为：
f(x;n)[n (1)2](1x2)n2 1
(n2) n n
f(x;n)2n21(n2)xn 21e2x
0
x0 x0
(4) 2 分布的分位点
对于给定的正数 ,01称满足条件
P2 2 (n ) 2(n )f(y )d y
的点
2
(
n)
为
2 (n)
分布的上
分位点.
2
(n
)
例2 设X~ 2(10),P(X>λ1)=0.025, P(X<λ2)=0.05,求λ1,λ2.