离散数学复习知识点
离散数学知识点汇总
离散数学知识点汇总
1. 集合：集合是由一组具有某种共同特征的元素组成的一个整体，元素可以是任何类型的对象，比如数字、字母、函数等。
2. 关系：关系是一种描述两个或多个对象之间的关联的概念。
它由一组元组组成，每个元组都有两个或多个不同的对象，这些对象之间存在某种关系。
3. 函数：函数是一种把一个或多个输入变量转换为一个输出变量的规则。
它是一种从输入变量到输出变量的映射，可以用来描述复杂的关系。
4. 数学归纳法：数学归纳法是一种推理方法，用于证明一个总体结论是正确的，通过分析一系列具体例子。
5. 逻辑：逻辑是一种用来分析和证明论证的学科，通过推理和证明来解决问题。
6. 排列组合：排列组合是指从一定数量的物品中取出若干不同的物品排列成不同的组合，以达到某种目的的方法。
7. 组合数学：组合数学是一种研究物体的组合及其组合中的性质的数学学科。
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。
其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。
详见教材P12、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1⇔1，0∨0⇔0，1→0⇔0，11⇔1，00⇔1详见P53、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。
特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q →P；除非P否则Q，应为┐P→Q。
B设出原子命题写出符号化公式。
详见P54、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。
详见P95、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。
②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。
③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。
详见P8。
6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15,7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A B的充要条件是A B且B A。
主要等价式：(1)双否定：A A。
(2)交换律：A∧B B∧A，A∨B B∨A，A B B A。
3)结合律：(A∧B)∧C A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C A∨(B∨C)，(A B)C A(B C)。
(4) 分配律：A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)。
(5) 德·摩根律：(A∧B)A∨B，(A∨B)A∧B。
(6) 等幂律：A∧A A，A∨A A。
(7) 同一律：A∧T A，A∨F A。
(8) 零律：A∧F F，A∨T T。
(9) 吸收律：A∧(A∨B)A，A∨(A∧B)A。
(10) 互补律：A ∧A F，(矛盾律)，A∨A T。
(排中律)(11) 条件式转化律：A→B A∨B，A→B B→A。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学必备知识点总结资料
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
离散数学复习要点
离散数学复习要点离散数学是数学的一个分支领域，主要研究离散的结构和离散情形下的数学对象及其相关性质。
它与连续数学不同，离散数学的对象是离散的，如集合、图、布尔代数等。
在计算机科学、信息科学、通信工程等领域中，离散数学的理论和方法被广泛应用。
以下是离散数学的一些重要的复习要点：1.集合论：集合是离散数学的基础，集合的基本运算如交、并、差等，以及集合的基本性质如并集和交集的结合律、分配律等，都是需要复习的内容。
此外，还需要了解集合的基数和幂集等概念。
2.命题逻辑：命题是一个可以判断真假的陈述句，命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数学体系。
需要复习的内容包括命题的逻辑运算，如非、与、或、异或等，以及逻辑等价、逻辑推理等。
3.谓词逻辑：谓词逻辑是对自然语言中的谓词进行形式化表示和推理的系统。
复习重点包括一阶谓词逻辑的基本概念，如谓词、量词、域、项等，以及谓词的合取、析取、全称量词和存在量词等逻辑联结词的语义。
4.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。
需要复习的内容包括图的基本概念，如顶点、边、路径、圈等，以及图的表示方法、图的遍历算法、连通图、树等。
5. 网络流模型：网络流模型是研究流动网络的数学方法，主要包括最大流、最小割等问题。
需要复习的内容包括网络的基本概念，如容量、割、流等，以及Ford-Fulkerson算法等解决网络流问题的方法。
6.布尔代数：布尔代数是一种关于逻辑运算的代数系统，常用于电路设计和逻辑推理。
需要复习的内容包括布尔代数的基本运算，如与、或、非等，以及布尔函数的最小项与最大项表示、卡诺图等。
7.组合数学：组合数学是研究离散中的计数问题的数学分支。
需要复习的内容包括排列、组合、多元排列组合等的计数方法，如乘法原理、加法原理、排列组合的顺序问题等。
8.代数系统：代数系统是研究代数结构及其性质的数学分支，包括群、环、域等。
需要复习的内容包括群的基本概念和性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。
离散数学知识点总结及应用
离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。
高三离散数学知识点汇总
高三离散数学知识点汇总离散数学是计算机科学、信息技术以及其他相关领域中的重要基础学科，是高中阶段的数学课程之一。
下面将对高三离散数学的主要知识点进行汇总，以帮助学生更好地复习和掌握这门学科。
一、命题逻辑命题逻辑是离散数学的基础，它研究命题的逻辑关系及其合成。
以下是命题逻辑中常见的知识点：1. 命题与命题的合取（与）、析取（或）、非（非）运算；2. 命题的真值表与真值；3. 命题的等价、蕴含、互斥等逻辑关系；4. 命题的可满足性与有效性。
二、集合与关系集合论是离散数学中的另一重要组成部分，它研究集合及其间的关系。
以下是集合与关系中的主要知识点：1. 集合的表示方式与基本操作，如并集、交集、差集和补集；2. 笛卡尔积与关系的定义；3. 关系的性质，如自反性、对称性、传递性等；4. 等价关系与偏序关系的概念与判断；5. 关系的闭包与传递闭包。
三、图论图论是离散数学中的重要分支，它研究图及其相关的性质与算法。
以下是图论中的常见知识点：1. 图的基本概念与表示方式，如顶点、边、度、路径等；2. 树与森林的定义与性质，包括最小生成树与最短路径树等；3. 图的连通性与强连通性的判定；4. 图的着色与平面图的概念；5. 图的网络流与匹配等问题。
四、代数系统代数系统是离散数学的重要组成部分，它研究运算规则及其相应的结构。
以下是代数系统中的主要知识点：1. 半群、幺半群、群的概念与性质；2. 环、域的定义与性质；3. 线性方程组与矩阵的基本运算；4. 同余与剩余类的概念与应用。
五、概率与统计概率与统计是离散数学的重要应用领域，它研究随机事件及其规律性。
以下是概率与统计中的常见知识点：1. 随机事件的基本概念与性质；2. 概率的计算方法，包括古典概型、几何概型、条件概率等；3. 随机变量与概率分布的概念与应用；4. 抽样与统计推断，包括参数估计与假设检验等。
综上所述，高三离散数学的知识点涵盖了命题逻辑、集合与关系、图论、代数系统以及概率与统计等方面。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
离散数学总复习-知识点
离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。
4、我正在说谎。
二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。
2、付明和杨进都是运动员。
3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。
4、李飞现在在宿舍或在图书馆。
5、只要天不下雨，我就步行上学校。
6、只有天不下雨，我才步行上学校。
7、并非只要你努力了，就一定成功。
三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。
例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。
3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。
问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。
问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。
明天天气好。
所以我们去爬长城。
例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。
同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。
例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。
《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结
《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结1.集合论-集合的定义和运算：交、并、差、补、反转。
子集与真子集的概念。
-集合的基数：有限集、无限集、可数集、不可数集的定义与特性。
-集合的运算律：交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律。
-集合的等价关系：等价关系的定义和性质，等价关系的划分和等价类。
2.逻辑与命题关系-命题与命题符号：命题的定义、真值表和含有逻辑连接词的复合命题。
-命题逻辑：命题的蕴涵、等价、否定、充分条件和必要条件。
-谓词逻辑：命题的全称量词、存在量词及其关系。
-命题逻辑推理：假言推理、析取推理、拒取推理、类比推理等。
3.图论-图的基本概念与术语：顶点、边、邻接、路径、回路、连通、子图、生成树等。
-图的分类：无向图、有向图、简单图、多重图、完全图。
-图的矩阵表示：邻接矩阵、关联矩阵、度矩阵等。
-图的遍历算法：深度优先、广度优先。
-图的最短路径算法：迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法。
4.代数系统与半群-代数结构：代数系统的定义、代数公理、代数性质。
-半群：半群的定义与性质，封闭性、结合律和单位元。
-半群的子半群与同态：子半群的概念，同态映射的定义与性质。
-有限半群与无限半群：有限半群的定义和性质，无限半群的特点与例子。
5.数论与代数-整数与整数集合的性质：整数的除法原理、整除、公约数、最大公约数和最小公倍数。
-同余关系与同余类：同余关系的定义、同余类的性质、同余关系的基本定理。
-质数与素数：质数的定义、素数的性质、素数的判定方法。
-线性同余方程：线性同余方程的解法、同余方程的应用。
以上仅是《离散数学》中的部分重要知识点总结，该教材还包括很多其他内容，如排列组合、概率论、布尔代数等等。
期末复习时，建议从教材中选取一些重点章节进行深入学习和复习，同时要进行大量的习题训练，加深对知识点的理解和掌握。
祝你在期末考试中取得好成绩！。
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q"，即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理，3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系，^说的是集合与集合的关系。
(完整word版)离散数学复习提纲(完整版)
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明)一、命题逻辑[复习知识点］1、命题与联结词(否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔）,复合命题2、命题公式与赋值(成真、成假）,真值表,公式类型（重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与（主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理［复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法.2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取(合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取)范式的方法.4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析］1、公式类型的判定判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法,二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律）,结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语(或子句）只保留一个.3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法）. 例1.试求下列公式的主析取范式:(1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真?恒假？可满足？（1)（PP ）Q （2)（P Q)Q （3）（（P Q)(Q R ））（P R) 解：（1） 真值表 P QP P P （P P)Q 0 01 0 1 0 11 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0因此公式(1)为可满足.（2） 真值表P Q P Q （P Q) （P Q）Q0 0 1 0 00 1 1 0 01 00 1 01 1 1 0 0因此公式（2）为恒假。
离散数学知识点全归纳
离散数学知识点全归纳离散数学是数学的一个分支，研究的是离散对象和离散结构。
在计算机科学、信息技术以及其他领域中，离散数学具有重要的应用价值。
以下是离散数学的一些重要知识点的全面总结。
1. 集合论和逻辑- 集合：基本概念、运算、包含关系、并集、交集、差集、幂集等。
- 命题逻辑：命题、命题的连接词、真值表、逻辑等价、析取范式、合取范式等。
- 谓词逻辑：谓词、量词、逻辑推理、存在量词和全称量词等。
2. 证明方法- 直接证明：利用已知事实和逻辑推理，直接得出结论。
- 对证法：从假设的反面出发，利用矛盾推理得出结论。
- 数学归纳法：证明基础情况成立，再证明递推步骤成立。
3. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度、连通性等。
- 图的表示：邻接矩阵、邻接表等。
- 最短路径：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等。
- 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法等。
4. 关系与函数- 关系及其性质：自反性、对称性、传递性、等价关系等。
- 函数及其性质：定义域、值域、单射、满射、双射等。
- 逆函数和复合函数：求逆函数、复合函数的定义和性质。
5. 组合数学- 排列和组合：排列、组合的计算公式和性质。
- 递归关系：递推公式、递归算法等。
- 图的着色：色数、四色定理等。
6. 代数系统- 半群、幺半群、群、环、整环和域的定义和性质。
- 同态：同态映射、同构等。
- 应用：编码理论、密码学等。
以上是离散数学的一些重要知识点的概括。
深入理解和掌握这些知识，对于解决实际问题和在相关领域中取得成功非常重要。
在学习过程中，建议结合实际例子和习题进行练习，加深对知识的理解和应用能力。
离散数学最全知识点
逻辑学： 研究思维规律的学问。包含形式逻 辑、辩证逻辑、名辩逻辑和因明逻辑等。
形式逻辑(传统逻辑)：主要通过研究思维形式 来讨论演绎推理。
数理逻辑(符号逻辑)：数学的方法研究形式逻 辑。
亚里士多德与三段论
所有的人都会死； 苏格拉底是人； 苏格拉底会死。
亚里士多德(公元前384～前322)古 希腊哲学家、科学家和教育家。
2) 复合命题：可分解为若干个简单命题。
原子命题：今天天气很冷。 复合命题：今天天气很冷并且刮风。 复合命题：今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。
3、命题的表示
例设 A：今天天气很冷。 B：今天在刮风。 C：今天室内暖和。
今天天气很冷。
A
今天天气很冷并且刮风。
A并
且B
二、命题联结词
0
1
1
0
0
4、主析取范式和主合取范式之间的转换
主析取范式=>主合取范式
主合取范式=>主析取范式
3.6 命题逻辑的推理理论
一、推理的基本概念和推理形式
二、判断有效结论的常用方法
例 判断下面各推理是否正确：如果天气凉快，小王就不 去游泳；天气凉快。小王没去游泳。
00 1 1
0
1
01 0 1
0
1
莱布尼茨之梦
“精炼我们的推理的唯一方 式是使它们同数学一样切实，这 样我们能一眼就找出我们的错误， 并且在人们有争议的时候，我们 可以简单的说： 让我们计算， 而无须进一步的忙乱，就能看出 谁是正确的。”
莱布尼茨(1646年~1716年) 德国哲学家、数学家。
布尔与布尔代数
“以计算的符号语言来表示 它们，以此为基石建立逻辑的科 学，并且构造他们的方法。”
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。
- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。
- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。
2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。
- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。
- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。
3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。
- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。
- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。
4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。
- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。
- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。
5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。
- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。
- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。
6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。
- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。
- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。
7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。
- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。
- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。
- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。
- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。
- 空间复杂度：算法空间需求的分析。
- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。
离散数学知识点
离散数学知识点
离散数学是数学中的一个分支，它主要涉及离散对象和离散结构的研究。
下面将介绍离散数学的一些主要知识点。
1. 集合论：集合是离散数学中的基础概念，集合论研究集合的性质与运算。
它包括集合的定义、运算、关系、等价关系、函数和逆映射等概念。
2. 图论：图论是研究图及其性质的数学分支。
图是由节点（或称为顶点）和边组成的数学模型。
它的重点包括图的分类、图的遍历、最短路径、生成树、染色问题等。
3. 逻辑学：逻辑学是研究推理和论证的学科，在离散数学中应用广泛。
逻辑学包括命题逻辑、谓词逻辑、组合逻辑、模态逻辑等多个分支。
4. 组合数学：组合数学是研究离散结构中离散对象的组合方式的数学分支。
它包括组合计数、排列组合、生成函数、递归等概念。
5. 离散数学在计算机科学中的应用：离散数学在计算机科学中应用广泛，例如计算机算法、图像处理、密码学、编译器等领域都有着重要的应用。
以上是离散数学的主要知识点，它们都有着广泛的应用和研究领域，对于理解和
应用离散数学具有重要作用。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息技术、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面为大家整理了一些离散数学的重要知识点。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法包括列举法，如{1, 2, 3}；描述法，如{x ｜ x 是大于 0 的整数}。
集合的运算有并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起；交集是两个集合中共同的元素；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素；补集是在全集中去掉给定集合的元素。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，则 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集且 A 不等于 B，则 A 是 B 的真子集；如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
关系可以用矩阵和关系图来表示。
矩阵表示直观清晰，关系图则更形象。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是没有元素与自身有关系。
对称性是若 a 与 b 有关系，则 b 与 a 也有关系；反对称性是若 a 与b 有关系且 b 与 a 有关系，则 a ＝ b。
传递性是若 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，则 a 与 c 有关系。
特殊的关系有等价关系和偏序关系。
等价关系满足自反性、对称性和传递性，它将集合划分为等价类。
偏序关系满足自反性、反对称性和传递性，常用于描述元素之间的排序。
三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数有单射、满射和双射之分。
单射是不同的定义域元素对应不同的值域元素；满射是值域中的每个元素都有定义域元素与之对应；双射则既是单射又是满射。
复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
四、图论图由顶点和边组成。
图的分类有有向图和无向图。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习知识点：第1章1． 命题、真命题、假命题 2． 命题符号化（连接词）设P ：天下大雨，Q ：他在室内运动，命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为（ D ）A ．Q P ∧⌝B ．Q P →⌝C ．Q P ⌝→⌝D ．Q P ⌝→设P ：只有你通过了大学英语六级考试，Q ：你是英语专业的学生，R ：你可以选修这门课程。
命题“只有你通过了大学英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以选修这门课程”( B ) A ．R Q)(P →∧B ．R Q)(P →⌝∧C ．R Q)(P ↔⌝∧D ．R Q)(P ↔∧3． 什么是命题公式 4． 命题公式的等价式5． 利用逻辑等价关系证明下面的等价关系 证明：6． 用真值表法求命题公式的主析取范式和主合取范式 7． 符号化以下语句，并推证结论的有效性。
有些学生相信所有的老师，任何一个学生都不相信骗子，所以老师都不是骗子。
解：设论述域为全总个体域，S(x)：x 是学生，T(x)：x 是老师，P(x)：x 是骗子，L(x,y)：x 相信y 。
将前提和结论符号化为（1）y)))L(x,y(T(y)x(S (x)→∀∧∃ P （2）y))L(a,y(T(y)S (a)→∀∧ T1，ES （3）S(a)T2，I （4）y))L(a,y(T(y)→∀ T2，I （5）b)L(a,T(b)→T4，US （6）y)))L(x,y(P(y)x(S (x)⌝→∀→∀ P （7）y))L(a,y(P(y)S (a)⌝→∀→T6，US（8）y))L(a,y(P(y)⌝→∀ T3,7，I （9）b)L(a,P(b)⌝→ T8，US （10）P(b)b)L(a,⌝→ T9，E （11）P(b)T(b)⌝→T5,10，I （12）P(x))x(T(x)⌝→∀T11，UG侦查员在调查了某珠宝店的珠宝失窃案现场以及询问了认证之后，得到以下事实： （1） 是营业员甲或营业员乙作案。
（2） 如果是甲作案，则案发在非营业时间。
（3） 如果乙提供的证词可信，则案发时货柜未上锁。
（4） 如果乙提供的证词不可信，则案发在营业时间。
（5） 货柜在案发时上锁了。
侦查员推断是营业员乙作案，请用命题逻辑判断该推断是否正确。
解：设P ：甲作案；Q ：乙作案；R ：发在营业时间；S 乙的证词可信； T ：案发时货柜未上锁。
由题意可知，前提为：Q P ∨，R P ⌝→，T S →，R S →⌝，T ⌝ 推理过程： （1）T ⌝ P （2）T S → P （3）S ⌝T1，2，I （4）R S →⌝ P （5）RT3，4，I（6）R P ⌝→ P （7）P ⌝T5，6，I （8）Q P ∨ P （9）Q P →⌝ T8，E （10）QT7，9，I所以Q P ∨，R P ⌝→，T S →，R S →⌝，T ⌝Q ⇒第2章8． 谓词的定义、量词包括： 9． 什么是谓词公式10． 谓词公式的自由变元、约束变元、辖域11． 自然语句的符号化：比如：所有的狼都吃人，设T(x)表示为x 是狼，C(x)表示为x 吃人。
C(x))x(T(x)→∀ 12． 判断什么是前束范式，y)H(x,y)yG (x,→∃⌝∀x 是前束范式，Q(x))y)y(P(x,→∀∀x 是前束范式 13．证明xB(x)xA(x)B(x))x(A(x)∃→∀⇔→∃证明： 第3章1.集合的元素、集合的基数、集合的子集、集合的运算空集的问题（空集的基数、空集与集合的子集、真子集的关系）幂集的问题（集合幂集的求法，幂集的基数） 下面那个命题是不正确的是（ A ）A ．???B ．??{?}C ．???D ．??{?}下面那个命题是不正确的是（ A ） A ．{?}??B ．{?}?{?}C ．??{{?}}D ．??{?}下列命题中不正确的是（ ） A.x ?{x}-{{x}}B.{x}?{x}-{{x}}C.A={x}∪x,则x ?A 且x ?AD.A-B=??A=B设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x 2+16≥5x},则下列选项正确的是（ ） A.P ?Q B.P ?Q C.Q ?PD.Q=P设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ B ） A ．{a}??(A)B ．{a}??(A)C ．{{a}}??(A)D ．{{a}}??(A)在0（ D ）?之间写上正确的符号。
A ．=B ． ?C ． ?D ．?判断下列命题哪个为真?（C ） A ．空集只是非空集合的子集B ．空集是任何集合的真子集C ． A-B=B-A ?A=BD ．若A 的一个元素属于B ，则A=B判断下列命题哪几个正确？（ B ）)()()()()()())()((B(x))x(A(x)x xB x xA x xB x xA x xB x A x x B x A x ∃→∀⇔∃∨⌝∀⇔∃∨⌝∃⇔∨⌝∃⇔→∃A．若A∪B＝A∪C，则B＝C B．{a, b}={b, a}C．?（A∩B）??（A）∩?（B），（?(S)表示S的幂集）D．若A为非空集，则A?A∪A成立设A={a, b}，B={c}。
求下列集合：（1）A?{0, 1}?B；（2）B2??A；（3）(A?B)2；（4）? (A)?A。
解：（1）A?{0, 1}?B={<a, 0, c>, <a, 1, c>, <b, 0, c>, <b, 1, c>}；（2）B2?A={<c, c, a>, <c, c, b>}；（3）(A?B)2={<a, c, a, c>, <a, c, b, c>, <b, c, a, c>, <b, c, b, c>}；（4）? (A)?A={<Ф, a>, <Ф, b>, <{a}, a>, <{a}, b>, <{b}, a>, <{b}, b>, <a, a>, <a, b>}。
关系1. 设A={a,b,c}，则A上的二元关系有23*3或512 个。
2. 集合A={1, 2, …, 10}上的关系R={<x, y>：x+y=10, x, y?A}，则R 的性质为（B）A．自反的B．对称的C．传递的，对称的D．传递的设A={Ф, {1}, {1, 3}, {1, 2, 3}}，则A上包含关系“?”的哈斯图为（C）A．{1,2,3}{1,3}{1}ÆB．{1,2,3}{1,3}{1}ÆC．{1,2,3}{1,3}{1}ÆD．{1,2,3}{1,3}{1}Æ集合A上的等价关系的三个性质是自反性、对称性和传递性。
集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。
A上的偏序关系≤的Hasse图如下。
（1）下列哪些关系式成立：a≤b，b≤a，c≤e，e≤f，d≤f，c≤f；（2）分别求出下列集合关于≤的极大（小）元、最大（小）元、上（下）界及上（下）确界（若存在的话）：（a）A；（b）{b, d}；（c）{b, e}；（d）{b, d, e}。
解：（1） b ≤a ，c ≤e ，d ≤f ，c ≤f 成立；（2）（a ）的极大元为a, e, f ，极小元为c ；无最大元，c 是最小元；无上界，下界是c ；无上确界，下确界是c 。
（b ）的极大元为b, d ，极小元为b, d ；无最大元和最小元；上界是e ，下界是c ；上确界是e ，下确界是c 。
（c ）的极大元为e ，极小元为b ；最大元是e ，b 是最小元；上界是e ，下界是b ；上确界是e ，下确界是b 。
（d ）的极大元为e ，极小元为b,d ；最大元是e ，无最小元； 上界是e ，下界是c ；上确界是e ，下确界是c 。
设A={2，3，4}，B={2，4，7，10，12}从A 到B 的关系},,,{b a B b A a b a R 整除且∈∈><=，试给出R 的关系图和关系矩阵，并说明此关系R 及其逆关系1R -是否为函数？为什么？解：}12,4,4,4,12,3,12,2,10,2,4,2,2,2{><><><><><><><=R ，则R 的关系图为：R 的关系矩阵为关系R 不是A 到B 的函数， 因为元素2，4的象不唯一 逆关系1R -也不是B 到A 的函数 因为元素7的象不存在． 下列函数是双射的为（A ）。
A ．f : Z ?E , f (x) = 2x B ．f : N ?N ?N, f (n) =<n C ．f : R ?Z , f (x) = [x]D ．f : Z ?N, f (x) = | x |（注：Z —整数集，E —偶数集， N —自然数集，R —实数集）设Z N E 、、分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（ A ） A ．f : Z E → , ()2f x x = B ．f : Z E → , ()8f x x =C ．f : Z Z →, ()8f x =D ．f : N N N →⨯, (),1f n n n =<+> 设{,,},{1,2,3}A a b c B ==，则下列关系中能构成A 到B 函数的是（ C ） A ．1{,1,,2,,3}f a a a =<><><> B ．2{,1,,1,,2}f a b b =<><><> C ．4{,1,,1,,1}f a b c =<><><> D ．1{,1,,2,,2,,3}f a a b c =<><><><>设函数:f B C →，:g A B →都是单射，则:f g A C →（ A ）A ．是单射B ．是满射C ．是双射D ．既非单射又非满射 设函数:f B C →，:g A B →都是满射，则:f g A C →（ B ）A ．是单射B ．是满射C ．是双射D ．既非单射又非满射 设,f g 是自然数集N 上的函数,x x g x x f N x 2)(,1)(,=+=∈∀，则()f g x =21x +，()g f x =2(1)x +．关系F={<x 1,y 1>,<x 2,y 2>,<x 3,y 2>}是函数 （ 对 ） 关系F={<x 1,y 1>,<x 1,y 2>}是函数 （ 错 ） 设图G 的邻接矩阵为 则G 的边数为( B )．A ．6B ．5C ．4D ．3 已知图G 的邻接矩阵为，则G 有（ D ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( D )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的 在自然数集N 上，运算 C 是不可结合的。