广义积分的收敛判别法

故

t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数
,因此
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t

lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在 ,
说明: 已知
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得下列比较判别法.
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定理4. (比较判别法 1)
p 1,
f (x) d x
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定义. 设广义积
分
f (x) d x 收敛 ,
a
若 a
f (x)
dx 收敛 , 则称
若 a
f (x) dx 发散 , 则称
例4. 判断广义积分 的收敛性 .
解:
绝对收敛 ; 条件收敛 .
根据比
较判别法知 eax sin bx dx 收敛，故由定理6知所 0
11
x
2
x2
d
x
的收敛性
.
解:
3

lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2

lim
x
1
x
2
x
2

1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
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定理6.若
f
(
x)

C
[a
,

)
,
且

a

f（x）d x收敛 ,
则广义积分 f(x)dx收敛 . a
证：令
(
x)

1 2
[
f
(
x)

f (x) ], 则 0 (x)
f (x)


a
f（x）d x收敛 ,

a

(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2 (x) f (x)

f (x)d x 2
(x)d x

a
a
a
可见广义积分 f (x) d x 收敛 . a
在定20理19。/11/29
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定理3 . (比较原理) 设 f (x) C[a , ),且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x) , 则

a

g
(
x)
dx
收敛

a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性 ,
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
2) 当
例5.
3
判别广义积分1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
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1
f
(x)

M xp
p 1,
f
(x)

N xp
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例1. 判别广义积 分
解:
的收敛性 .
由比较判别法 1 可知原积分收敛 .
思考题: 讨论广义积分
提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
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定理5. (极限判别法1)
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2


1 ba
f
(a

1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
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利用
b
a (
x
1 a)
q
dx

收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
定理7. (比较判别法
2)
瑕点 ,使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
q 1,
有
f
(
x)

(
x
M a)q
有 f (x) N xa
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定理3
定理8. (极限判别法2)
lim (x a)q f (x) l
x
则有: 1) 当
即
注意:
此极限的大小刻画了
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d x
例2. 判别广义积分 1 x 1 x2 的收敛性 .
解: lim x2 1 lim 1 1
x
x 1 x2
x
1 x2
1
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
3
例3.
判别广义积分
§2 广义积分的收敛判别法
无穷限的广义积分 广义积分
无界函数的广义积分
一、无穷限广义积分的收敛判别法 二、无界函数广义积分的收敛判别法
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一、无穷限广义积分的收敛判别法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则广义积分 f (x) d x收敛. a
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1)当p 1时, 根据极限定义,对取定的
分大时, 必有
,即
当x充
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2) 当
p 1时,可取 0, 使l 0, (l 时用任意正
数 N 代替 l ), 必有
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在 , 即广义积分 f (x) d x收敛 . a
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定理 2. （Cauchy收敛原理）
广义积分 f (x)dx收敛 a
0, A0 a, 使对A, A A0都有
因数学上的成
பைடு நூலகம்
就被推荐为科学院院士，同时任工科
大学教授。后来
在巴黎大学任教授，一直到逝世。在
代数学 上，他有
行列式论和群论的创始性的功绩；在
理论物理学、光
学弹性理论等方面，也有显著的贡献。
他的特长是在
分析学方面，他对微积分给出了严密
的基础。他还证
明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存
给积分收敛 (绝对收敛) .
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二、无界函数广义积分的收敛判别法
无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分.例如
由定义
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
a
0 a
令 x a 1 , 则有
t
b
f (x) d x lim
A
| A f (x)dx | .
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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柯西（Cauchy，Augustin
Louis 1789-1857），
十九世纪前半世纪的法国数学家。
• 1789年8月21日生
于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，