函数的零点及应用

函数的零点及应用

一、要点扫描

1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点．

2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根．

二、典型例题剖析 1．求函数的零点

例1 求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点．

解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1，

∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1.

评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数

例2 已知函数f (x )＝a x ＋x －2

x ＋1

(a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数．

解 设f 1(x )＝a x

(a ＞1)，f 2(x )＝－x －2

x ＋1

，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x )

与f 2(x )的交点的横坐标．

在同一坐标系下，分别作出函数f 1(x )＝a x (a ＞1)与f 2(x )＝－x －2

x ＋1的图象(如图所示)．

所以方程f (x )＝0的根有一个．

评注 利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f 1(x )与f 2(x )两函数的图象，从而观察出两函数的交点的个数(即是原函数的零点的个数)． 3．确定零点所在的区间

例3 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2

的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)

D ．(3,4)

解析 y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点的横坐标即为x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －2的根，即f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点，f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－1＝－1＜0，f (2)＝23－⎝⎛⎭⎫120＝7＞0， ∴f (x )的零点在区间(1,2)内． 答案 B

评注 本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．

4．利用函数零点的存在性求参数范围

例4 关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， 又∵f (0)＝1>0，由题意得

①⎩⎨

⎧

0<－m －12≤2，

Δ＝(m －1)2

－4≥0

或②⎩⎪⎨⎪⎧

－m －12>2，

f (2)≤0.

解①得－3≤m ≤－1，解②得m <－3，即m ≤－1. 所以m 的取值范围为(－∞，－1]．

评注 本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求．

函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点．本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型． 一、判断函数零点的存在性

例1 已知函数f (x )＝2x 3－4x 2－3x ＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是( )

A ．函数在区间(－1,0)内有零点

B ．函数在区间(0,1)内有零点

C ．函数在区间(1,2)内有零点

D ．函数在区间(2,3)内有零点

分析 根据选项提供的区间来看，需要计算f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)，f (3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点所在的区间．

解析 因为f (－1)＝－2<0，f (0)＝1>0，f (1)＝－4<0，f (2)＝－5<0，f (3)＝10>0， 所以f (－1)·f (0)<0，f (0)·f (1)<0，f (2)·f (3)<0. 又因为一个三次方程最多有三个实根，

所以函数f (x )＝2x 3－4x 2－3x ＋1在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点． 答案 C

评注 由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，用排除法找到正确答案． 二、判断函数零点所在的大致区间

例2 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 解析 因为f (－1)＝1

2－3＜0，f (0)＝1＞0，

所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点． 答案 B

评注 若f (a )·f (b )<0，且f (x )在[a ，b ]上连续，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内一定有零点，但要注意，若f (a )·f (b )≥0，并不能证明f (x )在(a ，b )内没有零点.

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．

方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．

一、判断方程解的存在性

例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？

分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．

解因为f(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，

f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.

又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，

所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．

评注要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．

二、确定方程根的个数

例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

分析利用等价转化将方程根的问题转化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．

解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1，