函数的零点及应用

函数的零点及应用一、要点扫描1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点．2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根．二、典型例题剖析 1．求函数的零点例1 求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点．解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1，∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1.评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数例2 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数．解 设f 1(x )＝a x(a ＞1)，f 2(x )＝－x －2x ＋1，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x )与f 2(x )的交点的横坐标．在同一坐标系下，分别作出函数f 1(x )＝a x (a ＞1)与f 2(x )＝－x －2x ＋1的图象(如图所示)．所以方程f (x )＝0的根有一个．评注 利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f 1(x )与f 2(x )两函数的图象，从而观察出两函数的交点的个数(即是原函数的零点的个数)． 3．确定零点所在的区间例3 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析 y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点的横坐标即为x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －2的根，即f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点，f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－1＝－1＜0，f (2)＝23－⎝⎛⎭⎫120＝7＞0， ∴f (x )的零点在区间(1,2)内． 答案 B评注 本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．4．利用函数零点的存在性求参数范围例4 关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， 又∵f (0)＝1>0，由题意得①⎩⎨⎧0<－m －12≤2，Δ＝(m －1)2－4≥0或②⎩⎪⎨⎪⎧－m －12>2，f (2)≤0.解①得－3≤m ≤－1，解②得m <－3，即m ≤－1. 所以m 的取值范围为(－∞，－1]．评注 本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求．函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点．本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型． 一、判断函数零点的存在性例1 已知函数f (x )＝2x 3－4x 2－3x ＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是( )A ．函数在区间(－1,0)内有零点B ．函数在区间(0,1)内有零点C ．函数在区间(1,2)内有零点D ．函数在区间(2,3)内有零点分析 根据选项提供的区间来看，需要计算f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)，f (3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点所在的区间．解析 因为f (－1)＝－2<0，f (0)＝1>0，f (1)＝－4<0，f (2)＝－5<0，f (3)＝10>0， 所以f (－1)·f (0)<0，f (0)·f (1)<0，f (2)·f (3)<0. 又因为一个三次方程最多有三个实根，所以函数f (x )＝2x 3－4x 2－3x ＋1在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点． 答案 C评注 由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，用排除法找到正确答案． 二、判断函数零点所在的大致区间例2 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 解析 因为f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点． 答案 B评注 若f (a )·f (b )<0，且f (x )在[a ，b ]上连续，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内一定有零点，但要注意，若f (a )·f (b )≥0，并不能证明f (x )在(a ，b )内没有零点.函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解因为f(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．评注要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4分析利用等价转化将方程根的问题转化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1，得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)上有零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时，g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案 A评注在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有唯一的零点．三、求参数的取值范围例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的取值范围．解析因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，所以f(－2)f(0)≤0，即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.答案[1，＋∞)评注本题对方程实根的研究转化为对一次函数f(x)在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程利用了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．例4 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围．分析若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示.对应的条件是⎩⎨⎧k >0，f (1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f (1)>0，解出即可．解 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎨⎧k >0，f (1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，f (1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是{k |k >0或k <－4}．评注 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决.讲解一 求函数模型例1 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少85t (t ＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．解 设每年销售量为x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税为y ＝250x ·t 100＝52tx .依题意，知x ＝40－85t ＞0，即t ＜25.故所求的函数关系式为y ＝52×⎝⎛⎭⎫40－85t t ＝－4t 2＋100t (0＜t ＜25)． 评注 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．练习1 将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少15个，求利润y 与每个商品涨价x 元之间的函数关系式． 答案 y ＝－15x 2＋50x ＋15 000⎝⎛⎭⎫0≤x ≤1003 讲解二 函数模型的选用例2 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q (万元)与上市时间t (天)的关系如下表所示：模拟函数可以选用二次函数Q ＝a (t －150)2＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)或一次函数Q ＝kt ＋m (k ，m 为常数，且k ≠0)．已知种植成本Q ＝112.5万元时，上市时间t ＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．分析 根据题目给定的两组Q ，t 的值，可分别求出模拟函数中的未知量a ，b ，k ，m . 解 设f (t )＝a (t －150)2＋b (其中a ，b 为常数，a ≠0)， g (t )＝kt ＋m (k ≠0)．由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (50)＝150，f (150)＝100，⎩⎪⎨⎪⎧g (50)＝150，g (150)＝100.所以⎩⎪⎨⎪⎧a (50－150)2＋b ＝150，a (150－150)2＋b ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋m ＝150，150k ＋m ＝100.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1200，b ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝175.所以f (t )＝1200(t －150)2＋100，g (t )＝－12t ＋175.因为f (200)＝1200(200－150)2＋100＝112.5，g (200)＝－12×200＋175＝75，所以选用f (t )＝1200(t －150)2＋100作为模拟函数较好．评注 本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化． 练习2 现有一组数据如下表所示：其中最能近似地表达这些数据规律的函数是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －12D ．y ＝x 3－x ＋1 答案 C讲解三 转化为熟悉的函数模型例3 有A ，B 两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M (万元)和N (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系式分别为：M ＝12x ，N ＝3x2，今有4万元资金投入经营A ，B 两种商品．为获得最大利润，应分别对A ，B 两种商品的资金投入多少万元？ 解 设对A 种产品投资x 万元，则对B 种产品投资(4－x )万元． 于是获得总利润y ＝12x ＋34－x2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，4－x ≥0，得0≤x ≤4. 令t ＝4－x (0≤x ≤4)，则x ＝4－t 2(0≤t ≤2)，所以y ＝12(4－t 2)＋32t ＝－12⎝⎛⎭⎫t －322＋258(0≤t ≤2)． 于是，当t ＝32时，y max ＝258(万元)．此时，x ＝4－t 2＝74＝1.75(万元)，4－x ＝2.25(万元)．故为了获得最大利润，对A 种商品的资金投入为1.75万元，对B 种商品的资金投入为2.25万元．练习3 某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？并求出最大利润．答案安排生产童装10天，生产西服20天，可获得最大利润，最大利润为124 000元．。