高三文科数学线面平行和线面垂直(课件)
高考一轮复习通用版8.4直线平面平行的判定与性质课件(55张)
【对点训练】
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
2.[2022·江苏南通市检测]《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经 十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1 000多年．在《九
线线平行”)
符号语言
因为 _l_∥__a__， _a_⊂__α__， __l⊄__α__， 所以l∥α
因为 __l∥__α__， __l⊂__β__， ______， 所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件 必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝AD， E为AD的中点，在线段B1C1上是否存在点F， 使得平面A1AF∥平面ECC1？若存在，请加 以证明，若不存在，请说明理由．
微专题29 函数思想破解立体几何中的问题
名师点评利用函数思想建立MN与a的函数关系式是解此题的关键， 立体几何中的最值问题，通常借助函数思想求解．
因为 _α_∥__β__， ______， ______， 所以a∥b
二、必明2个常用结论 1．平行间的三种转化关系
2．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
关键能力—考点突破
考点一 与线、面平行相关命题的判定 [基础性]
1．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法 正确的是( )
《直线、平面垂直的判定及其性质》新课程高中数学高三一轮复习课件
连接BO并延长交AC于F.
∵PA⊥平面ABC,BF 平面ABC,
∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC, ∴BF⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BF⊥PC.
连接BQ并延长交PC于M,连接MF. ∵Q为△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,
∵AB 平面EAB,∴AB⊥CD.
学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面. 若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰 三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.
举一反三
1. （2010·淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正 方形，DF⊥平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证： GN⊥AC.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直
(1)定义:如果直线 与l 平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平l
面α互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫 做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段, 垂线段的长度叫做点到平面的距离. (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直 线垂直. (3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与 这个平面垂直. (4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂 直于这个平面. (5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
举一反三
2. 如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面 ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求 证:OQ⊥平面PBC.
高考数学一轮复习 直线、平面垂直的性质定理课件
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
《直线和平面垂直》PPT课件.ppt
二、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
la l b a b a b A
l
l
b
A
a
作用： 判定直线与平面垂直．
记忆：线线垂直，则线面垂直
(2)a , b a b a b ， a （3）
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面
三．定理探索:线面垂直
线线垂直
判断1:如果一条直线和平面内的无数条直线都 假命题，一组平行线； 垂直,那么这条直线就垂直于这个平面. 判断2:如果一条直线和平面内的所有直线都垂 直,那么这条直线就垂直于这个平面. 真命题，操作困难； 判断3:如果一条直线和平面内的一条直线垂直, 那么这条直线就垂直于这个平面. 假命题; 判断4:如果一条直线和平面内的两条直线都垂 假命题; 直,那么这条直线就垂直于这个平面.
一．问题引入
直线与平面的位置关系有 哪几种？ 直线与平面的位置关系有 哪几种？
直线与平面的位置关系有 哪几种？ 复习 :直线与平面的位置关系有 哪几种 ?
线在面内
线 面 位置关系
线面平行 线面相交
垂直 斜交
√
线面垂直的实例
线 面 垂 直 最 重 要
不然倒掉
万 丈 高 楼 平 地 起
回顾复习：
两条相交
真命题，用来判定线面 垂直；
四．线面垂直的判定
如果一条直线和平面α内两相交直线都垂直，那么 判定定理 这条直线就垂直于这个平面． 已知：m 、n是α内的两条相交直线 ，l∩α=B ，且l⊥m，l⊥n。 求证：l⊥α 。
高考数学考点回归总复习《第四十七讲 直线平面垂直的判定及其性质》课件 新人教
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
答案:B
3.菱形ABCD中,∠BAD=60°,如图所示沿对角线BD将△BCD向上折起, 使AC=AB,则二面角C—BD—A的余弦值的大小为( )
A .1 3
答案:A
B .1 6
C .1 9
D .1 1 2
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
第四十七讲 直线､平面垂直的判定及其性质
回归课本
1.直线与平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和
这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一 条直线和平面平行或在平面内,就说它们所成的角是0°的角,可见,直
线和平面所成的角的范围是
0
,
ABC为 正 四 面 体 ,设 棱 长 为 a,则 AB1 3a,棱 柱 的 高A1O a2 AO 2
1.2.3.线面垂直的课件
【变式训练】(2015·浙江高考改编)如 图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°， AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为 BC的中点，D为B1C1的中点. 证明：A1D⊥平面A1BC.
【证明】取BC的中点E，连接A1E，DE，AE，由题意得
A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，
【方法技巧】线面垂直的判定定理的应用 (1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂 直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论.
(2)证明线面垂直的常用方法：
①利用定义，要证明一条直线a⊥平面α ，转化为证明
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.因为PA⊥面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为ABCD为矩形，
所以BC⊥AB，CD⊥AD， 又PA⊥BC，PA⊥CD，PA∩AB=A，PA∩AD=A，
所以BC⊥面PAB，CD⊥面PAD，
所以BC⊥PB，CD⊥PD， 所以直角三角形为：Rt△PAB，Rt△PAD，Rt△PBC，
直线a垂直于平面α 内的任何一条直线c. ②利用判定定理，如果一条直线和一个平面内的两条
相交直线垂直，那么这一条直线就和这个平面垂直.
③利用有关结论：两条平行线之一垂直于平面，则另
一条直线必垂直于该平面.
特别提醒：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻 找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明 线面垂直.三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、 高；菱形、正方形的对角线；三角形中的勾股定理等 都是找线线垂直的方法.
因为CD⊥A1D，所以CD⊥PN， 又MP⊥CD，MP∩PN=P， 所以CD⊥平面MPN， 因MN⊂平面MPN，所以MN⊥CD. 又A1C∩CD=C， 所以MN⊥平面A1CD.
新高考数学直线、平面垂直的判定与性质精品课件
◈ 知识聚焦 ◈
任意一条直线
垂线
垂面
类别
语言表述
图形表示
符号语言
应用
判定
根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
b是平面α内任意一条直线, a⊥b⇒a⊥α
证明直线和平面垂直
如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
(2)直线与平面垂直的判定与性质
课堂考点探究
探究点一 垂直关系的基本问题
[思路点拨]画出图形,利用线面平行、线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理和性质定理逐一判断;
B
课堂考点探究
[解析] 对于A,如图①,平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,若a∥l,则由线面平行的判定定理可得a∥β,故A中说法正确;由A可知,B中说法错误;对于C,如图②,设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a,b外任取一点O,作OA⊥a,因为
[解析]如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC ⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB ⊂平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC, ∴AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.
例1 (1)下列说法中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
人教版高中数学新教材必修第二册课件8.6.2 直线与平面垂直3性质
讲
课 人 ： 邢 启
∴EF∥BD1.
强
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,
∴EF⊥平面AB1C.
13
反思感悟
本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目 的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据. 在空间证明线线平行的方法有: （1）定义法（2）基本事实4（3）线面平行的性质定 理（4）面面平行的性质定理（5）线面垂直的性质定 理.（6）初中所学(三角形中位线,平行四边形对边等)
【证明】 (1)∵四边形ADD1A1为正
方形，∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC.
讲 课 人
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
：
邢
启 强
17
巩固练习
如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点， 过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的 中点，D是VA上的点，若DE⊥平面VBC，试确定D 点的位置．
一条直线与一个平面平行时,这条直线上任 意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这 个平面的距离.
思考：如果两个平面平行,在其中一个平面内任取几个 点,这些点到另一个平面的距离相等吗?
平面与平面的距离
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任 意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫 做这两个平行平面间的距离.
棱柱和棱台的高就是上、下底面这两个平行
讲
课 人 ： 邢
平面之间的距离.
启 强
24
典型例题
[例 3] 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝ 2，又已知 S 是△ABC 所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝ 5， 点 P 是 SC 的中点，求点 P 到平面 ABC 的距离．
【三维设计】高考数学 第七章第四节直线、平面平行的判定及性质课件 新人教A版
理行
符号语言
α∥β
α∩γ＝a β∩γ＝b
⇒a∥b
1．(教材习题改编)下列条件中，能判断两个平面平行
的是
()
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析：由面面平行的定义可知选D. 答案： D
第四
第 七
节
章
直线、
平面
立
平行
体 几
的判
何
定及
性质
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和 理解空间中线面平行的有关性质与判定.
怎么考
1.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点． 2.着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多
(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥ 平面SAB.(8分)
取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近点A的三等分 点为F，连接CE，EF，BF，
则EF綊23AD，BC綊23AD，
∴BC綊EF.
∴CE∥BF. 又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB， ∴CE∥平面SAB.(12分)
答案： C
2．(2012·金华模拟)已知m、n、l1、l2表示直线，α、β
表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2
＝M，则α∥β的一个充分条件是
()
A．m∥β且l1∥α C．m∥β且n∥l2
B．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2
解析：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与 另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.
2012届高三数学复习课件(广东文)第9章第3节__直线、平面垂直的判定与性质
2 证明：设DF的中点为N，
1 连接AN，MN，则MN // CD. 2 1 又AO // CD，则MN // AO 2 所以四边形MNAO为平行四边形，所以OM //AN . 又AN 平面DAF，OM 平面DAF， 所以OM //平面DAF .
3 过点F 作FG AB于G.
反思小结: 本题考查直线与直线垂直、直线与平 面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理 论证能力．立体几何的证明关键是学会分析和 掌握一些常规的证明方法．如：已知中点证明 垂 直 时 要 首 先 考 虑 等 腰 三 角 形 中 的“ 三 线 合 一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好 标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂 直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是 选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论 或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等．
4.如图，直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面， C为圆上异于点A和点B的任意一点．有下列四个结论： ①PC BC； ②BC 平面PAC； ③AC PB； ④PA BC. 其中不正确的是 ③
解析：依题意，ACB 90，即BC AC. 又PA 底面ABC，所以PA BC. 而PA AC A，所以BC 平面PAC，所以BC PC. 综上得①②④正确． 假设③正确，则因为AC PB，AC BC， 所以AC 平面PBC，所以AC PC. 显然，这与由PA 底面ABC，得PA AC矛盾． 故不正确的结论是③.
解析：A错，由m ，n ， m n ， 相交或平行； B对，因为由 //，m m ， 又n //，所以m n； C错，m，n垂直、相交、异面均有可能； D错，只有当n 时才会有n . 综上，知选B
高中数学课件-立体几何复习——平行、垂直证明
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F， 连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点， ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中，F 为 CB 的中点， ∴BF＝12BC＝1. 又∵AD∥BC，且 AD＝1， ∴AD // BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B， ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE⊂平面 EFD，∴DE∥平面 PAB.
F
构造平面法
(1) 证明 如图所示，取线段 PB 的中点 H， 连接 EH、ＡＨ.
在△PBC 中，E、Ｈ和分别为 PC、PB 的中点， ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC，且 AD＝1，BC＝２ ∴AD // 12BC. ∴AD // EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴ＥD∥AH.
β
a
αlHale Waihona Puke a all
a
☺ 简称：面面垂直，线面垂直.
归纳小结
1．垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若 这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂 直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转 化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
➳性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行．
//
a
a // b
b
☺ 简称：面面平行，线线平行.
定理应用
空间中的平行
1.长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是BA1，BC1的中点。 求证：EF // 平面ABCD
高三数学线面平行和线面垂直
浙江省鄞州高级中学2009届高三数学复习讲义线面平行和线面垂直（1）例1（1）有下列三个命题：①分别在两个平行平面内的两条直线一定是异面直线；②垂直于同一平面的两条直线是平行直线；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直。
其中正确的命题的个数为（ ） A 、０ B 、１ C 、２ D 、３（2）设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,B A ,分别为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为：（ ）A 、B 、C 、D 、例2如图，在四棱锥ABCD V -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 。
（Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ；（2）若E 为VD 的中点，求证//VB 平面EBD （3）求VB 与底面ABCD 所成角的正切值 （1)证明：AB ADAB AB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⋂⎭平面VAD 平面ABCD平面VAD 平面平面平面（2）连AC 交BD 于O（3） 取AD 的中点F 则AF ⊥平面ABCD ，故VBF ∠即为VB 与底面ABCD所成角，又tan 5VF VBF BF ∠==故VB 与底面ABCD例3 如图，在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中，AC AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且 AB PA =，点E 是PD 的中点.。
（Ⅰ）求证：PB AC ⊥；（Ⅱ）求证PB //平面AEC ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的大小。
Ⅰ）∵PA ⊥平面 ABCD ，∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB. 又 PB ∉平面 AEC ，EO ⊂平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.例4 如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面为正方形,1O ,O 分别为 上、下底面中心，且1A 在底面ABCD 上的射影为O ．(1) 求证：1O DC ABCD ⊥平面平面；(2) 若点E 、F 分别在棱1AA 、BC 上，且1AE 2EA =，问F 在何处时，EF AD ⊥？(3) 若1A AB 60∠= ,求二面角1C AA B --的大小．．(1) 平行六面体底面为正方形，∴1A A //1，∴ 1A C //，又1O ,O 分别为上下底面中心,∴1A O //，∴CO //1O . 1A 在底面ABCD 射影为O ，∴1A O AC ⊥平面，1CO AC ⊥平面，又11CO O DC ⊂平面，∴1O DC ABCD ⊥平面平面．(2)过E 作AC 垂线,垂足为G,则1EG //A O ，∴EG AC ⊥平面，若要EF AD ⊥,即EF BC ⊥,则需GF BC ⊥， 底面ABCD 图形为正方形,∴FG //AB ， 由11A E AE 2=,则1OG AG 2=，∴GF CF 42AB CB 63CG CA ====，∴F 为BC 的三等分点,靠近B ．(3) 11,,BO AO BO A O AO A O O ⊥⊥⋂=,1BO CA ∴⊥面,过O 作1OM AA M ⊥于，连接BM ，则1BM AA ⊥，BMO ∠是二面角1C A A B--的平面角，由1,AO AC AO BO ⊥=面得111,60O A A A B A AB =∠=，∴1A A B 为正三角形，设ABCDD 1A 1B 1C 1OO 1EF1,,AB a A A a AO BO ====则，1A ∴，122AA a OM ==，在R t B O M中，tan BOBMO BMO OM∠==∠=所以所求的二面角大小为． 同步练习1平面//α平面β的一个充分条件．．．．是 （ D ）A ．存在一条直线a a a αβ，//，//B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，//C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，//，// D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，//，//2三棱锥ABC S -中,90=∠=∠SCA SBA , △ABC 是斜边a AB =的等腰直角三角形,则以下结论中: ① 异面直线SB 与 AC 所成的角为90; ② 直线⊥SB 平面ABC ;③ 面⊥SBC 面 S A C ; ④ 点C 到平面SAB 的距离是a 21. 其中正确结论．．．．的序号是_______________ .答案：①．②．③．④3半径为25的球面上有A 、B 、C 三点，AB=6，BC=8，AC=10，则球心到平面ABC 的距离为 5 ．4 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ C ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 5 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为DA.3B.5C.5D.56在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为( )A.3 B 23C.4D.13已知直线α⊂a ，直线l 与平面α所成的角为3π，则两直线a 、l 所成的角的范围是 .]2,3[ππ6四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ， AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．AC CD CG AD ==，DG =，EG ==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos -⎝⎭．CDEAB7 如图：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1．（1）求证：A 1C//平面AB 1D ； （2）求二面角B —AB 1—D 的大小； （3）求点C 到平面AB 1D 的距离．（1）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1=E ，连结DE ，∵ABC —A 1B 1C 是正三棱柱且AA 1=AB ， ∴四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B的中点，又D 是BC 的中点，∴DE//A 1C …DE ⊂平面AB1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ，∴A 1C//平面AB 1D （2）在平面ABC 内作DF ⊥AB 于点F ，在平面A 1ABB 1内作FG ⊥AB 1于点G ，连结DG 。
高中数学立体几何初步8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定定理课件
【变式训练2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
解:(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,
√
设 A1A=1,则 AC=√,∴tan∠A1CA= .
D1O⊂平面ACD1,AC⊂平面ACD1”,其余不变.
判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键性词语,此
处强调相交,若两条直线不相交(即平行),即使直线垂直于平
面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.
【变式训练】 如图,已知PA⊥BC,AB是☉O的直径,C是☉O上
不同于点A,B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证: AE⊥
图形
直线与
平面垂
直的判
定定理
文字
符号
m ⊂ α,
如果一条直线与
n ⊂ α,
一个平面内的
两条相交直线垂 m⋂n = P, ⇒l⊥α
l ⊥ m,
直,那么该直线与
l⊥n
此平面垂直
3.做一做:一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,不能
保证该直线与平面垂直的是
(填序号).
①平行四边形的两条对角线;②梯形的两条边;③圆的两条直
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易证AE=CE.
因为AO=OC,
所以OE⊥AC.
在正方体中易求出:
D1O=
OE=√
D1E=
+
+
+
=
=
=
新课程2021高考数学一轮复习第七章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质课件
2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个 平面内的两条直线是相交直线.
(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90°， ∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，AB＝1.设 M，N 分别为 PD， AD 的中点.
2．如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB， AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面；
证明 (1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线，则 GH∥B1C1. 又 B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 直线与平面平行的判定与性质
角度 1 线面平行判定定理的应用 1．(2019·全国卷Ⅰ节选)如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱 形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中 点．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时 间，你们休息一下眼睛，
(1)试确定点 E 的位置，并说明理由； 解 (1)如图，在棱 C1D1 上取点 N，使 D1N＝A1M＝1.
又 D1N∥A1M， ∴四边形 A1MND1 是平行四边形，∴MN∥A1D1∥AD. ∴四边形 AMND 为平行四边形，∴AM∥DN. 过 C1 作 C1E∥DN 交 CD 于点 E，连接 BE， ∴DN∥平面 BC1E，AM∥平面 BC1E，∴CE＝1.
第3节 空间直线、平面的平行--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴M是A1C的中点.连接MD,
∵D为BC的中点,
∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知,D1C1∥BD且D1C1=BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,
因为AB∥CD,AB=CG=2,
所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.
因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,
所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,
所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.
[对点训练1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,
证明 如图,连接 OC,OD.因为 C 为 上靠近 A 的三等分点,D 为 上靠近 B
的三等分点,所以 =
π
,则∠AOC=∠BOD=3,
∴△AOC,△BOD均为正三角形,∴∠OAC=∠OBD,∴AC∥BD.
∵BD⊂平面PBD,AC⊄平面PBD,
∴AC∥平面PBD.又平面PAC∩平面PBD=l,AC⊂平面PAC,∴AC∥l.
由平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,
所以BC1∥D1O,所以D1为A1C1的中点.
同理,AD1∥C1D.又AD∥C1D1,
所以四边形ADC1D1是平行四边形,
所以
1
AD=D1C1=2A1C1.
又 AC=A1C1,所以