导数公式的证明(最全版)教学文案

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导数公式的证明

导数公式的证明导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数随着自变量的变化率。

导数通常被用来求解函数的极值点，以及描述函数的斜率。

下面，将给出导数公式的证明，其中包括了常见的导数基本公式和导数的非常量倍率公式的推导。

首先，我们定义函数f(x)在x点的导数为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim(h→0)表示当h趋近于0时的极限。

证明导数公式时，我们将使用一些基本的极限性质和导数的定义。

我们来逐个证明常见的导数公式：1.常数导数公式：f(x)=c，其中c为常数根据导数的定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h由于f(x)为常数，那么f(x+h)也为常数，所以上述式子变为：f'(x) = lim(h→0) [c - c] / h当分母h趋近0时，分子恒为0，因此整个式子的极限为0，即：f'(x)=02.幂函数导数公式：f(x)=x^n，其中n为自然数根据导数的定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h将f(x)带入以上式子，得：f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^n - x^n] / h使用二项式定理展开(x+h)^n：f'(x) = lim(h→0) [C(0,n)h^n + C(1,n)h^(n-1)x + ... +C(i,n)h^(n-i)x^i + ... + C(n,n)x^n - x^n] / h上述式子中，所有含有h的项在极限h趋近0时都会趋于0，只剩下一项C(1,n)h^(n-1)x，即：f'(x) = lim(h→0) C(1,n)h^(n-1)x = nx^(n-1)使用类似的方法可以证明其他的幂函数导数公式。

现在，我们来证明导数的非常量倍率公式：设函数g(x) = cf(x)，其中c为常数，f(x)为原函数的导数。

导数公式的证明讲解学习

导数公式的证明讲解学习1.常数的导数公式（f(x)=c）常数的导数等于零，即f'(x)=0。

证明：根据导数的定义，f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]。

对于常数函数f(x) = c，f(x+h) = c，所以[f(x+h) - f(x)] = 0，因此导数f'(x) = lim(h->0) (0/h) = 0。

2.幂函数的导数公式（f(x)=x^n，n为正整数）幂函数的导数为n乘以x的n-1次幂，即f'(x) = nx^(n-1)。

证明：我们可以使用数学归纳法来证明这个公式。

首先考虑n=1的情况，即f(x) = x，那么f'(x) = 1、假设对于一些正整数k成立，即f(x) = x^k，那么f'(x) = kx^(k-1)。

现在我们来证明对于k+1也成立。

根据导数的定义，f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]。

将f(x) = x^k代入得到f'(x) = lim(h->0) [(x^k + kx^(k-1)h + h^k - x^k)/h]。

因为h^k/h = h^(k-1)，所以f'(x) = lim(h->0) [kx^(k-1) + h^(k-1)] = kx^(k-1)。

因此，对于所有的正整数n，f(x) = x^n的导数等于nx^(n-1)。

3.乘法法则（f(x)=u(x)v(x)）乘法法则指出，两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

证明：根据导数的定义，f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]。

将f(x) = u(x)v(x)代入得到f'(x) = lim(h->0) [(u(x+h)v(x+h) -u(x)v(x))/h]。

导数求导公式运算法则证明

导数求导公式运算法则证明在微积分中，导数求导是一项重要的基本运算，通过导数可以得到函数在某一点的变化率。

在求导过程中，我们可以利用一些基本的运算法则来简化计算。

本文将对导数求导公式运算法则进行证明，展示其中的数学原理和推导过程。

1. 导数定义首先，我们回顾一下导数的定义。

对于函数f(f)，在点f 处的导数定义为：$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$这个定义描述了函数在点f处的变化率，也可以理解为函数在点f处的切线斜率。

2. 基本导数求导法则在实际计算导数时，我们可以利用一些基本的导数求导法则来简化计算。

常用的导数求导法则包括：2.1 常数法则如果f(f)=f，其中f为常数，则f′(f)=0。

这是因为常数函数的斜率始终为0。

证明过程：根据导数的定义，我们有：$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{c - c}{h} = 0$$2.2 幂函数法则如果f(f)=f f，其中f为自然数，则f′(f)=ff f−1。

这是因为幂函数的导数可以利用差分求和公式来证明。

证明过程：根据导数的定义，我们有：$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{(x + h)^n - x^n}{h}$$利用二项式定理展开(f+f)f，得到：$$(x + h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2 + \\ldots$$带入上式，得到：$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} n(x^{n-1} + \\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h + \\ldots) = nx^{n-1}$$2.3 和、差、积、商的法则对于和、差、积、商等复合函数，我们可以利用它们的导数性质进行求导。

这些法则在很多实际应用中都是非常有用的。

导数的计算方法与公式推导

导数的计算方法与公式推导导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的切线斜率或者变化率。

它在许多数学和科学领域中都有广泛应用。

本文将介绍导数的计算方法和公式推导，帮助读者更好地理解这一概念。

一、导数的定义在介绍导数的计算方法和公式推导之前，我们首先来了解导数的定义。

设函数f(x)在点x=a处有定义，如果极限$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$存在，那么它的极限值就是函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)或者$\frac{df(x)}{dx}$。

二、导数的计算方法计算导数的方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。

1. 函数关系式法对于已知的基本函数，我们可以通过其关系式来计算导数。

例如，对于常数函数f(x)=c，其导数为0；对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其导数为nf(x^{n-1})。

2. 限定增量法通过限定增量$\Delta x$的大小，计算函数在某一点的近似导数。

具体步骤如下：a. 设定一个小增量$\Delta x$的值。

b. 计算函数在点x=a处的两个近邻点的函数值，即f(a)和f(a+$\Delta x$)。

c. 计算函数在点x=a处的近似导数，即$\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$。

通过不断减小增量$\Delta x$的值，我们可以得到更准确的导数近似值。

3. 极限法利用导数的定义，通过极限运算来计算导数。

这种方法更加精确，但通常需要一定的数学功底。

通过代入定义式，化简表达式并进行极限运算，可以得到导数的具体值。

三、导数的公式推导导数的公式推导是根据函数的特性和运算法则，推导出一些常见函数的导数公式。

这些公式在实际计算中非常有用，可以简化计算过程。

下面列举几个常见函数的导数公式：1. 常数函数的导数对于常数函数f(x)=c，其中c为常数，其导数为0。

导数公式的证明最全

导数公式的证明(最全版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。

高中数学导数基础讲解教案

高中数学导数基础讲解教案一、导数的定义1. 导数的概念：对于函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h2. 导数的几何意义：导数表示函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点的变化率。

3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数y=f(x)的导数。

二、导数的计算1. 导数的基本运算规则：- 常数求导法则：若f(x) = C，则f'(x) = 0- 幂函数求导法则：若f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)- 指数函数求导法则：若f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a) * a^x- 三角函数求导法则：若f(x) = sin(x)或cos(x)，则f'(x) = cos(x)或-sin(x)2. 导数的加减乘除法则：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 乘法法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 除法法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2三、导数的应用1. 导数在求解函数变化率、极值、凹凸性等问题中的应用。

2. 导数在解析几何、物理、生物等领域的实际问题中的应用。

3. 利用导数求函数的最大值、最小值以及函数的增减性等问题。

四、练习和示例1. 让学生完成一些基础的导数计算练习，巩固导数的计算规则。

2. 给出一些关于导数应用题目，让学生灵活应用导数知识解决实际问题。

3. 提供一些导数的示例题，让学生进行分析和解答，加深对导数概念的理解。

五、课堂讨论和总结1. 通过讨论示例题和练习题，帮助学生理解导数的计算方法和应用技巧。

高中数学求导课程讲解教案

高中数学求导课程讲解教案教学内容：求导一、基本概念1.1 导数的概念：函数在某一点处的导数表示函数在该点的瞬时变化率。

1.2 导数的求法：利用极限概念求函数在某一点处的导数。

1.3 导数的性质：导数存在的必要条件是函数在该点处连续，导数的计算规则包括常数法则、和法则、积法则和商法则等。

二、求导方法2.1 利用定义求导：根据导数的定义，使用极限的方法求函数在某一点处的导数。

2.2 利用导数的性质求导：根据导数的常数法则、和法则、积法则和商法则等求函数的导数。

2.3 隐函数求导：对于含有隐式变量的函数，需要使用隐函数求导法则求导。

三、典型例题3.1 求函数f(x)=x^2的导数3.2 求函数f(x)=sin(x)+cos(x)的导数3.3 求函数f(x)=3x^2+5x的导数3.4 求函数f(x)=ln(x)的导数四、综合练习4.1 求函数f(x)=x^3+2x^2-3x的导数4.2 计算函数f(x)=e^x的导数4.3 求函数f(x)=sin(2x)的导数4.4 求函数f(x)=5/x的导数五、作业1. 求函数f(x)=x^4的导数2. 求函数f(x)=2cos(x)-3sin(x)的导数3. 求函数f(x)=ln(2x)的导数4. 求函数f(x)=x/x的导数六、评价与反思通过本节课的学习，学生能够掌握导数的概念、求导的方法和性质，并能够独立计算各种函数的导数，进一步提高数学分析的能力和技巧。

同时，通过课堂练习和作业，学生能够巩固知识点，提高解题能力和应用能力。

在评价中，要注重学生的理解和运用能力，鼓励学生主动思考和讨论，促进学生的学习效果和兴趣。

在反思中，要及时总结教学过程中出现的问题和困难，调整教学方法和策略，为学生提供更好的学习环境和指导。

导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数旳导数公式：
(arcsin x) 1 , 1- x2
-1
(arccos x)
,
1- x2
(arctan
x)
1 1 x2
,
(arc
cot
x)
1
dx 4
dx n
f (x) 称为 f (x) 旳一阶导数.
而把
例3 求下列函数旳二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2sin x - x cos x
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) - u2(x) .
乘法法则旳推广：
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw '
补充例题：求下列函数旳导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
解根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
故

导数证明题的解题思路与方法备课教案

导数证明题的解题思路与方法备课教案一、导言导数是微积分中的重要概念之一，也是解析几何中刻画曲线变化率的重要工具。

在高中数学中，学生学习导数的概念后，通常会接触到一些导数证明题。

本节课将介绍导数证明题的解题思路与方法，帮助学生更好地理解导数的含义和性质。

二、知识点梳理1. 导数的定义2. 导数的性质3. 导数的计算方法4. 导数证明题的常见形式三、解题思路与方法1. 利用导数的定义进行证明导数的定义是解决导数证明题的基本工具之一。

应用导数的定义，将导数的计算问题转化为极限的计算问题，从而推导出所需结论。

2. 利用导数的性质进行证明导数具有一系列的性质，如导数与函数的和、差、积、商的关系等。

利用这些性质，可以简化导数证明题的推导过程，使证明更加简洁明了。

3. 利用导数的计算方法进行证明掌握导数的计算方法是解决导数证明题的关键。

熟练掌握一阶导数的计算方法，包括用定义法、求导法则及公式法计算导数，以及高阶导数的计算方法。

4. 采用反证法进行证明有些导数证明题较为困难，可以采用反证法进行证明。

假设所要证明的结论不成立，利用反证法推导出矛盾，从而证明原结论的正确性。

四、解题实例现以一些典型的导数证明题为例，讲解具体的解题步骤和方法。

1. 导函数存在性证明给定函数f(x)，要求证明f(x)在某一点x=a处可导。

解题步骤：（1）利用导数的定义：计算f'(a)的极限；（2）利用极限的性质：证明极限存在。

2. 导函数的和差法则证明给定函数f(x)和g(x)，要求证明(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。

解题步骤：（1）利用导数的定义：假设f(x)和g(x)可导，计算(f(x)±g(x))'的导数；（2）利用极限的性质：化简计算过程，得到f'(x)±g'(x)。

3. 导函数的乘法法则证明给定函数f(x)和g(x)，要求证明(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)。

高中数学备课教案导数与微分的推导与证明

高中数学备课教案导数与微分的推导与证明高中数学备课教案导数与微分的推导与证明在高中数学中，导数与微分是重要的概念和计算方法。

本文将对导数与微分的推导与证明进行详细的讲解，以帮助学生理解和掌握这一知识点。

一、导数的推导导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率，通常用极限来表示。

设函数y=f(x)，当自变量x沿着x轴趋近于某一点a时，函数值f(x)也趋近于某一值L。

那么，函数在点a处的导数可以表示为：f'(a) = lim[x→a] [(f(x) - L)/(x - a)]其中，f'(a)表示函数在点a处的导数，也可以表示为dy/dx，表示函数y=f(x)对自变量x的变化率。

导数的推导主要分为两种情况：1. 导数的几何推导假设函数y=f(x)在点A(x, f(x))处有切线L，切线与x轴的交点为B(x+h, 0)。

根据切线的定义，我们可以得到以下关系式：斜率k = AB/BO = (f(x) - 0)/(x+h - x) = f(x)/h当h趋近于0时，B点趋近于A点，此时斜率k即为点A处的切线斜率，也即是函数在点A处的导数。

因此，我们可以得到导数的几何推导公式：f'(x) = lim[h→0] [f(x+h) - f(x)] / h2. 导数的代数推导假设函数y=f(x)在点A(x, f(x))处有切线L，L的斜率为k。

我们可以通过直线的斜截式方程得到切线的方程：y - f(x) = k(x - x)化简得到：y - f(x) = kx - kx由于切线通过点A(x, f(x))，代入得到：y - f(x) = kx - kx = kf(x) - f(x)化简得到：y = (k-1)f(x) + f(x)当点B(x+h, f(x+h))趋近于点A(x, f(x))时，切线L就是函数y=f(x)在点A处的切线。

此时，我们可以得到以下关系式：[f(x+h) - f(x)] / h = kf(x) - f(x)通过移项，化简得到：f(x+h) - f(x) = h[kf(x) - f(x)]再除以h，得到：f'(x) = lim[h→0] [f(x+h) - f(x)] / h以上就是导数的两种推导方式，通过几何和代数的方法，我们可以得到导数的定义和计算公式。

常用导数公式推导过程教学

常用导数公式推导过程教学一、导数的定义在微积分中，导数是用来衡量函数在某一点上变化率的概念。

对于一个函数f(f)来说，其在f处的导数为：$$f'(x) = \\lim_{{h \\to 0}} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$这里的导数f′(f)也可以记作 $\\frac{df}{dx}$。

二、常用导数公式1. 常数函数的导数对于常数函数f(f)=f来说，其导数为0，即f′(f)=0。

2. 幂函数的导数幂函数f(f)=f f的导数为f′(f)=ff f−1。

3. 指数函数的导数指数函数f(f)=f f的导数为f′(f)=f f。

4. 对数函数的导数对数函数 $f(x) = \\log_a(x)$ 的导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x\\ln(a)}$。

5. 三角函数的导数•正弦函数 $f(x) = \\sin(x)$ 的导数为 $f'(x) = \\cos(x)$。

•余弦函数 $f(x) = \\cos(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\\sin(x)$。

•正切函数 $f(x) = \\tan(x)$ 的导数为 $f'(x) = \\sec^2(x)$。

•余切函数 $f(x) = \\cot(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\\csc^2(x)$。

三、导数的运算法则导数具有一些运算法则，使得我们能够根据已知函数的导数求得新的函数的导数。

常用的导数运算法则包括：1.导数的和与差：$(f \\pm g)' = f' \\pm g'$2.导数的积：$(f \\cdot g)' = f'g + fg'$3.导数的商：$\\left(\\frac{f}{g}\\right)' = \\frac{f'g- fg'}{g^2}$4.复合函数的导数：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \\cdot g'(x)$四、常用导数公式的推导过程1. 幂函数导数的推导设f(f)=f f，其中f是常数。

导数公式大全ppt课件

(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);

v( u(
x) x)

u( x)v( x) - u( x)v( x)

[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2

1 u( x)

-
u( x) u2 ( x)
(3)
y'

x ( )' 1- x2

x '(1-
x2 ) - x(1(1- x2 )2
x2 ) '

1-
x2 - x(-2x) (1- x2 )2
1 x2
(1 - x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'-3(x sin x)'0 6x2 - 3(sin x x cos x)
故
f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1)
= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例 2 设 y = xlnx ，求 y .
d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(-sin x) cos x - xsin x

导数公式的证明最全版

导数公式的证明最全版导数的定义是函数在特定点处的变化率，即斜率。

要证明导数的定义，需要使用极限的概念和微分的概念。

假设函数f(x)在点x=a处有导数，记为f'(a)。

我们可以通过极限定义来证明导数的公式。

1.导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗2.应用极限的性质：根据极限的性质，我们可以将上述公式改写为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖f(a+h)-f(a))/lim┬(h→0)⁡h〗3.差商：我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h理解为两点(x,y)间的斜率。

根据微积分的思想，我们可以通过使用两点间的切线来近似表示曲线的斜率。

4.切线近似：在点(x,y)处，我们可以使用切线来近似表示曲线的斜率，该切线与曲线相切于点(x,y)处，并且与曲线在该点的切线斜率相同。

5.切线方程：曲线在点x=a处的切线方程为：y=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f'(a)表示导数，(x-a)表示函数的自变量变化量。

6.近似函数：对于足够小的自变量变化量h，我们可以使用切线方程近似表示函数f(x)在点x=a+h处的函数值：f(a+h)≈f(a)+f'(a)h7.导数公式推导：根据近似函数的表示，我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h表示为：(f(a)+f'(a)h-f(a))/h化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a))/h8.推导细节：进一步化简上述式子，得到：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)/h - f(a)/h)根据极限的性质，推出：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)/h) - lim┬(h→0)⁡(f(a)/h)化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a)/h)这与导数的定义一致，因此我们证明了导数的定义公式。

导数公式的证明(最全版)

导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。

〖2021年整理〗《拓展资料导数的计算公式的证明方法》优秀教案

1．常见函数的导数公式：1 ′=0C 为常数解：=f =C ， ∴Δ=f Δ-f =C -C =0,xy ∆∆=0 ′=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0,∴′=0 2公式2 n ′=n n -1n ∈Q3公式3 in′=co解：Δ=inΔ-in=incoΔcoinΔ-in,xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴xy y x ∆∆='→∆0lim x x x x x xx x x x x xx x x x xxx x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim22002000+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=∆-∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆ =-2in·1·0co=co∴′=co4公式4 co′=-in解：Δ=coΔ-co=cocoΔ-ininΔ-co,x x x x x x x yy x x ∆-∆-∆=∆∆='→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim001sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim2200200⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆x x x x x xx x x x x xxx x x x x x x =-2co·1·0-in=-in,∴′=-in5a a a x x ln )'(=；6x x e e =)'(；7e x x a a log 1)'(log =； 8xx 1)'(ln =． 2．导数的运算法则：法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．和或差的导数等于导数的和或差证明：=f =u ±v ,Δ=u Δ±v Δ-［u ±v ］=u Δ-u ±［v Δ-v ］=Δu ±Δv∴xv x u x v u x y ∆±∆∆=∆∆±∆=∆∆ ∴x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim )(lim lim =u ′±v ′,即′=u ±v ′=u ′±v ′法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即uv ′=u ′vuv ′证明：=f =uv ,Δ=u Δv Δ-uv=u Δv Δ-uv Δuv Δ-uv=［u Δ-u ］v Δu ·［v Δ-v ］∴x x v x x v x u x x v x x u x x u x y ∆-∆++∆+∆-∆+=∆∆)()()()()()( ∵v 在点处可导，∴v 在点处连续 ∴当Δ→0时，v Δ→v∴xx v x x v x u x x v x x u x x u x y x x x ∆-∆++∆+∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆)()()(lim )()()(lim lim 000 =u ′vuv ′∴′=uv ′=u ′vuv ′法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭．两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即2)(v v u v u v u '-'=' v ≠0证明：)()()(x v x u x f y ==, )()()()(x v x u x x v x x u y -∆+∆+=∆=)()()()()()(x u x x v x x v x u x v x x u ∆+∆+-∆+ =)()()]()()()([)]()()()([(x v x x v x v x u x x v x u x v x u x v x x u ∆+-∆+-∆+ =)()()]()()()[()()]()([(x v x x v x v x x v x v x u x v x u x x u ∆+-∆+--∆+,)()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ∆+∆-∆+-∆-∆+=∆∆∵v 在点处可导，所以v 在点处连续,∴当Δ→0时，v Δ→v∴)()()()()()(lim 0x v x v x v x u x v x u x y x •'-'∆∆→∆,即2)(v v u v u v u y '-'='='。