新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.4 4.4.3

4.4.3不同函数增长的差异

(教师独具内容)

课程标准：利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数的图象，探索、比较它们的变化规律．

教学重点：比较一次函数、指数函数、对数函数增长的快慢差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：指数函数、幂函数不同区间增长快慢的差异.

【知识导学】

知识点几种函数模型的增长差异

(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是□01增函数，并且当a越□02大时，其函数值的增长就越快．

(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是□03增函数，并且当a越□04小时，其函数值的增长就越快．

(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是□05增函数，并且当x＞1时，n 越□06大，其函数值的增长就越快．

(4)一般地，虽然指数函数y＝a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)

上都单调递□07增，的增大，□08指数函数y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，即使□09k的值远远大于□10a的值，□11y＝a x(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于□12y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，□13a x会小于□14kx，但由于□15指数函数y＝a x(a>1)的增长最终会快于□16一次函

数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有□17a x>□18kx.

(5)一般地，虽然对数函数y＝log a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递□19增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，□20一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而□21对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢．不论□22a的值比□23k的值大多少，在一定范围内，□24log a x可能会大于□25kx，但由于□26log a x的增长慢于□27kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒

有□28log a x<□29kx.

【新知拓展】

指数函数、对数函数和幂函数的增长差异

一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()

(2)函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．()

(3)对数函数y＝log a x(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．()

答案(1)×(2)√(3)√

2．做一做

(1)下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()

A．一次函数B．幂函数

C．对数函数D．指数函数

(2)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()

A．y＝100x B．y＝100ln x

C．y＝x100D．y＝100·2x

(3)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．

答案(1)C(2)D(3)减少3个单位

题型一几类函数模型增长差异的比较

例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

关于x呈指数函数变化的变量是________．

[解析]以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．

[答案]y2

金版点睛

常见的函数及增长特点

(1)线性函数

线性函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数

指数函数y＝a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

(3)对数函数

对数函数y＝log a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

(4)幂函数

幂函数y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

[跟踪训练1]有一组数据如下表：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()

A．v＝log2t B．v＝log1

2

t

C．v＝t2－1

2D．v＝2t－2

答案 C

解析从表格中看到此函数为单调增函数，排除B；增长速度越来越快，排除A，D，选C．

题型二指数函数、对数函数与幂函数的比较

例2函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2018)，g(2018)的大小．

[解](1)当x充分大时，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.

∴C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.

(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，

∴1

∴x1<6x2.

从图象上可以看出，当x1