新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.4 4.4.3
对数函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(4)对数的真数仅有自变量.
同学们，再见
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物
体内碳14含量看成1个单位，那么
问题情境
设生物死亡年数为 x ，死亡生物体内碳 14 含量为 y
死亡 1 年后，生物体内碳 14 含量为 (1 p ) ；
1
死亡 2 年后，生物体内碳 14 含量为 (1 p ) ；
y (1 p)
物价
年数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
解:(2)根据函数 = 1.05 , ∈ [1, +∞)，利用计算工具，可得下表：
物价
��
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年数 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加
1所需要的年数在逐渐缩小.
行线，与 =
1
( )5730 (
2
≥ 0)的图象有且只有一个交点(0 , 0 ).
概念构建
同样地，根据指数与对数的关系，由 = ( > 0, 且 ≠ 1)可以得到
= ( > 0, 且 ≠ 1),也是的函数.通常，我们用表示自变量，表示函数.为
此，将 = ( > 0, 且 ≠ 1)中的字母和对调，写出 = ( > 0, 且 ≠ 1).
反过来，已知死亡生物体内碳 14 的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？
问：死亡时间 x 是碳 14 的含量 y 的函数吗？
问题探究
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第四章 4.4.3 不同函数增长的差异
51.4-50 2
100(1+ 50 ) ≈105.68(元),收益为
元一年到期的本息和为
3.09 元.通过以上分析,应购买 B 种债券.
本节要点归纳
1.知识清单:
三种函数模型的增长差异:幂函数型增长模型、指数型函数增长模型、对
数型函数增长模型.
2.方法归纳:数形结合、化归与转化、数学建模.
第四章
4.4.3 不同函数增长的差异
课标要求
1.通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增
长特性.
2.掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异,并能解决相关
问题.
3.能正确地选择函数模型解决实际问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,
所以x1∈[1,2],即a=1.
又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,
f(8)<g(8),f(9)=29=512,
g(9)=93=729,f(9)<g(9),
f(10)=210=1 024,g(10)=103=1 000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.
(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数
模型,其增长情况由a和α的取值确定.
变式训练1
下列函数中,随x的增大函数值增长速度最快的是(
1 x
A.y= e
100
2020-2020学年高中数学第一册学案第4章 4.4 第3课时不同函数增长的差异含解析
2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：第4章4.4 第3课时不同函数增长的差异含解析第3课时不同函数增长的差异学习目标核心素养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．(易混点）3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点）借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养。
澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只,喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长．问题：指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?提示：都是增函数,而y＝a x（a〉1)增长速度越来越快；y＝log a x(a〉1）在（0，＋∞）上增长速度非常缓慢．三种函数模型的性质y＝a x（a〉1）y＝log a x(a>1)y＝kx（k〉0)在（0,＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx（k>0）的增长速度，y＝log a x （a〉1）的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x〉x0时，有a x>kx〉log a x1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）(1）函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．()（2）当a〉1，n>0时,在区间(0,＋∞)上，对任意的x,总有log a x 〈x n〈a x成立．(）(3)函数y＝log错误!x衰减的速度越来越慢．（)[答案］（1)×(2)×(3)√2．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是（）A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：x0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2590 1 62029 160524 8809 447 840170 061 120y35305580105130155其中关于x呈指数增长的变量是________．y2［由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．] 4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年）的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．②③［结合图象可知②③正确，故填②③。
高中数学必修一课件：第四章对数函数的概念
2－x>0，
探究2 (1)给定函数解析式求定义域的限制条件如下： ①分母不为0. ②偶次方根下非负． ③x0中x≠0. ④对数的真数大于0. ⑤对数、指数的底数a满足a>0且a≠1. (2)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式 组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式．
【解析】 设经过y年后公司全年投入的研发资金为x， 则x＝130(1＋12%)y，即13x0＝1.12y， 所以y＝log1.1213x0，令x＝200， 所以y＝log1.12210300＝log1.1212.3＝lg l2g－1l.1g21.3≈3.8， 所以到2021年，公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
4．设f(x)＝l1g0xx，，xx≤>00，，则f(f(－2))＝___－_2____． 解析 f(－2)＝10－2>0，f(10－2)＝lg 10－2＝－2.
5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 x万元时，奖励y万元．若y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销 售额应为___1_2_8___万元．
解析 据题意5＝2log4x－2，所以7＝2log4x＝log2x， ∴x＝27＝128.
C．y＝logxe
D．y＝2lg x
解析 B中真数不对；C中底数不对；D中系数不对．
2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( B )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
解析 由x－1>0得x>1，故定义域为(1，＋∞)．
2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册
知识点二 比较大小
3．已知 log3 b＜log3 a＜log3 c，则( )
5
5
5
A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b
答案 B
解析 由于函数 y＝log3 x 为减函数，因此由 log3 b＜log3 a＜log3 c 可得
5
5
5
5
b＞a＞c，又由于函数 y＝7x 为增函数，所以 7b＞7a＞7c.
7．不等式
log1
2
x－12>－1
的解集是(
)
A.－32，52
B.－32，12∪12，52
C.－12，12∪12，52
D.－32，12∪12，2
答案 B
解析
由
log1
2
x－12＝－log2x－12>－1，得
log2x－12<1＝log22，即 0<x－12<2，即
－32<x<52，且 x≠12.
1－x 13．已知函数 f(x)＝lg 1＋x的定义域为(－1,1)． (1)求 f20120＋f－20120； (2)探究函数 f(x)的单调性，并证明．
解 (1)∵函数 f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，
1＋x
1－x
且 f(－x)＝lg 1－x＝－lg 1＋x＝－f(x)，
4．设 a＝log2 3，b＝30.01，c＝ln 22，则(
)
A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<a<c
答案 A
解析
先和 0 比较，a＝log2 3>log21＝0，b＝30.01>0，c＝ln
新人教版高中数学必修第一册对数函数的图象和性质
得 0<a<23，
综上，实数 a 的取值范围是0，23∪(1，＋∞).
1234
课时对点练
基础巩固
1. 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，
c，d的大小顺序是
A.1<d<c<a<b
√B.c<d<1<a<b
C.c<d<1<b<a
D.d<c<1<a<b
特殊点
_(_1_,0_)_
y的变 当0<x<1时， y<0 ；
化情况 当x>1时，_y_>_0__
_非__奇__非__偶__函__数__ _(_1_,0_)_
当0<x<1时， y>0 ； 当x>1时，__y<__0_
对称性
y＝log2x和y = log1 x的图象关于x轴对称
2
问题3
为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a＝3,4,
∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， 2x>0，
∴由 log0.7(2x)<log0.7(x－1)，得x－1>0， 2x>x－1，
解得x>1. ∴x的取值范围是(1，＋∞).
课堂 小结
1.知识清单： (1)对数函数的图象及性质. (2)利用对数函数的图象及性质比较大小. (3)利用单调性解对数不等式.
反思感悟
对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b ＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解. (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可 利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
人教A版高中数学必修第一册第四章4-4-3不同函数增长的差异课件
[学以致用] 1．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1，2， 3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f 1(x)＝x2，f 2(x)＝4x，f 3(x)＝ log2x，f 4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有 的函数关系是( )
A．f 1(x)＝x2 C．f 3(x)＝log2x
探究建构
探究1 几个函数模型增长差异的比较 探究问题1 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x
22
24
26
28
210
212
214
216
2
4
8
16
32
64
128
256
y＝log2x
2
4
6
8
10
12
14
16
探究问题2 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x
20
24
28
210
214
220
y＝2x
2
216
2256
21 024
216 384
21 048 576
y＝x100
1
2400
2800
21 000
21 400
22 000
提示：当x的值充分大时，指数函数y＝2x比幂函数y＝x100增长快，
而且快很多．
[新知生成] 三种函数模型的增长差异
函数 在(0，＋∞) 上的增减性 图象的变化 趋势
反思领悟 常见的函数增长特点
一次函数
一次函数y＝kx＋b(k>0)的增长特点是随着自变量的增 大，函数值保持固定的增长速度，即增长速度不变
指数函数
人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4
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第四章 指数函数与对数函数
知识点三 对数函数在实际问题中的应用 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不 超过 10 万元时，按销售利润的 15%进行奖励；当销售利润超过 10 万 元时，若超出 A 万元，则超出部分按 2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为 y(单位：万元)，销售利润为 x(单元：万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的解析式； (2)如果业务员老江获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多 少万元？
强弱等级 L/dB
10
m
பைடு நூலகம்
求 a 和 m 的值．
很嘈杂 的马路 1×10－3
90
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第四章 指数函数与对数函数
解：将 I0＝1×10－12 W/m2，I＝1×10－11 W/m2 代入 L＝a lg
I I0
，
得 10＝alg
1×10－11 1×10－12
＝a lg 10＝a，即 a＝10，m＝10lg
解：由题意知(x－3)(x＋3)>0， 解得 x<－3 或 x>3， ∴函数 y＝loga(x－3)(x＋3)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
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第四章 指数函数与对数函数
求含对数式的函数定义域的关键是真数大于 0，底数大于 0 且不 为 1.如需对函数式变形，须注意真数底数的取值范围是否改变．
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第四章 指数函数与对数函数
角度 2
求对数函数的解析式
3
已知函数
f(x)是对数函数，且
f
高中数学新教材必修一第四章《指数函数与对数函数》全套课件
学习新知 探究:
分数指数幂
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
2
33 aa22 a 3 (a 0),
1
)3
=36+9－7－5=33
巩固练习 3.化简或求值：
1
1
1
1
(3)求值： (1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )
1
1
1
1
解： (1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )
1
1
1
1
1
(1 2 16 )(1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )
巩固练习
1. 已知 9a2－6a+1=3a－1, 求 a 取值范围.
a1 3
巩固练习
2.设 10m=2, 10n=3,求 10-2m－10-n的值
1 12
巩固练习 3.化简或求值：
1
(1)0.00814
3
(4 4
)2
(2
4
2) 3
160.75
解：
1
0.00814
3
(4 4
)2
(2
4
2) 3
160.75
当 n 为奇数时
2n (a b)n n (a b)n 2(a b) (a b) 3a b
巩固练习
4
1
练习5 : 化简
a 3 8a 3b
2
2
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。
4.4 对数函数(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第一册(共38张PPT)
解：
（1）根据对数的运算性质，有
pH
lg[H
]
lg[H
] 1
lg
1 [H
]
.在
(0,
)
上，随着
[H
]
的增大，
1 [H
]
减小，相应地，
lg
1 [H
]
也减小，即
pH
减小.所以，随着[H
]
的
增大，pH 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
（2）当[H] 10 7 时， pH lg10 7 7 .所以，纯净水的 pH 是 7.
对数函数的图像和性质
0 a 1
a 1
图象
定义域 值域
单调性 过定点
(0， )
R
减函数
增函数
过定点 (1，0) ，即 x 1 时， y 0
例 3 比较下列各题中两个值的大小： （1） log2 3.4 ， log2 8.5 ； （2） log0.3 1.8 ， log0.3 2.7 ； （3） loga 5.1 ， loga 5.9 (a 0 ，且 a 1) .
例 2 假设某地初始物价为 1，每年以5% 的增长率递增，经过 t 年后的物价为 w .
（1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
物价 w
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数 t
0
解：
（1）由题意可知，经过 t 年后物价 w 为 w (1 5%)t ，即 w 1.05t (t [0, )) .由对
4.4 对数函数
学习目标
1.了解对数函数的概念 2.了解对数函数的单调性和特殊点 3.了解指数函数和对数函数互为反函数
不同函数增长的差异教学设计-高一上学期数学人教A版
《4》教学设计一、教材分析本节内容是新教材人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章第4.4.3节《不同函数增长的差异》，是在学习了幂函数、指数函数、对数函数后对函数学习的一次梳理和总结.本节提出函数增长快慢的问题，通过多角度的分析来认识函数的增长规律.既是对三种函数学习的总结，也是为后续函数的应用的学习作铺垫.二、教学目标1.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.2.通过探究活动，感受从特殊到一般的研究方法和从图象到性质的研究路径.三、教学重难点1.教学重点：借助信息工具，通过观察图象，归纳出不同函数增长的差异.2.教学难点：对“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的理解.四、教学过程环节一：整体感知，明确路径师生活动：教师播放视频（描述上海市2022年3月1日至4月8日新冠肺炎疫情的累计感染人数和累计治愈人数变化情况），学生观看.设计意图：教师引导学生体会本节课的研究背景和研究问题——不同的现实问题有不同的增长规律，需要用不同增长方式的函数模型刻画，因此要研究不同函数的增长方式的差异，以此更好地研究现实问题中的不同增长规律。
思考1：类比函数图象和性质的研究方法，你计划如何研究这个问题？师生活动：教师给出问题，并引导学生类比之前研究函数的研究方法和路径，得到本节课的研究方法和研究路径。
设计意图：明确本节课的研究框架，为后续的研究做准备.环节二：观察图象，把握趋势思考2：观察当x∈[0，3]时，两个函数的图象及函数值怎样变化？师生活动：教师给出问题，让学生明确以通过取值描点的方式作出图象. 然后教师直接给出数表和图象，引导学生从微观角度分析两个函数的图象及函数值的变化，从而得到两个函数的增长速度不同的结论.设计意图：初步让学生感受如何从图象观察两个函数的增长速度的不同，为接下来的思考3作铺垫.思考3：在更大范围内，这两个函数的增长情况如何？师生活动：教师继续给出更大范围内的数表与图象，借助信息工具演示，让学生总结在更大的范围内，两个函数图象及函数值的差异.设计意图：让学生直观感受到，如果在更大的范围内，两个函数的增长差异就更加明显了，而这正是指数函数的增长由慢变快且越来越快的爆炸性增长的特点，为后续的归纳作铺垫.活动1：请小组讨论，归纳这两个函数在[0，+∞)的增长差异.师生活动：学生进行小组讨论，教师巡视指导. 学生展示想法、补充完善，最后得到完整的结论.设计意图：通过小组讨论，补充完善，让学生进一步加深对两个函数增长差异的理解.思考4：对于一般的指数函数y=a x(a>1)和一次函数y=kx(k>0)是否有类似的结论？师生活动：教师借助信息工具演示当参数变化时，函数的增长规律，引导学生进行总结归纳.设计意图：让学生感受从特殊到一般，从有限到无限的一个过程；借助计算工具，让学生感受两类图象的动态变化.练习巩固：教材P139练习第2题.师生活动：学生思考，并回答思考过程，教师总结完善.设计意图：让学生再次理解指数函数与一次函数变化规律的不同，特别是对总会存在一个0x ，当0x x >时，恒有x a kx >的理解.环节三：类比探究，获得结论思考5：y =lgx 和y =110x 两个函数的增长有何差异？师生活动：教师展示数表和函数图象，学生通过数表和图象观察两个函数的增长差异.设计意图：让学生再一次通过数表和图象得到具体两个函数的增长差异，提升学生类比探究的能力，同时初步感受对数函数与一次函数的增长差异和对数增长逐步趋缓的特点.思考6：如果把y =lgx 放大1000倍，还有上述规律吗？师生活动：教师借助信息工具演示，学生通过观察动态图象，归纳对数函数和一次函数增长差异一般化的结论。
新教材高中数学第4章数列4.4数学归纳法课件新人教A版选择性必修第二册
2．结合探究问题 1，试给出一些常见的不等式放缩方法．
[提示] 在不等式证明时，我们可以使分母变大(小)，从而实现
数值变小(大)．如：
(1)
1＝ k
2 k＋
k>
2 k＋
k＋1＝2
k＋1－
kk∈N*，k>1，
1＝ k
2 k＋
k<
2 k＋
k－1＝2
k－
k－1k∈N*，k>1.
(2)k12<kk－1 1＝k－1 1－1k (k≥2)， k12>kk＋1 1＝1k－k＋1 1.
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
C [当 n＝1 时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故 C 正确．]
3．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，
从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是( )
A．(2k＋1)＋(2k＋2)
B．(2k－1)＋(2k＋1)
1 1×4
＋4×1 7
＋7×110
＋…
＋3k－213k＋1
＝3k＋k 1
，
则当 n＝k＋1 时，
1 1×4
＋4×1 7
＋7×110
＋…
＋3k－213k＋1
＋
1 [3k＋1－2][3k＋1＋1]
＝3k＋k 1 ＋3k＋113k＋4 ＝33kk＋2＋143kk＋＋14 ＝33kk＋＋113kk＋＋14 ＝3k＋k＋11＋1， 所以，当 n＝k＋1 时猜想也成立． 根据(1)和(2)，可知猜想对任意 n∈N*都成立．
4．已知 f (n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得 f (2)＝32，f (4) ＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，由此推测，当 n＞2 时，有________．
高中数学必修第一册4.4.3 不同函数增长的差异 教学设计
【新教材】4.4.3 不同函数增长的差异（人教A 版）本节课在已学幂函数、指数函数、对数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反应.而本节课重在研究不同函数增长的差异.课程目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养.数学学科素养1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；3.数学运算：由函数图像求函数解析式；4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.重点：比较函数值得大小；难点：几种增长函数模型的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入请学生用画2,2xy y x ==图像，观察两个函数图像,探索它们在区间[0，+∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本136-138页，思考并完成以下问题1.三种函数模型的性质？2.三种函数的增长速度比较？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、 新知探究1.三种函数模型的性质2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,+∞)上,函数y=a x (a>1),y=log a x (a>1)和y=x n (n>0)都是增函数,但增长速度不同.(2)在区间(0,+∞)上随着x 的增大,函数y=a x (a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x n (n>0)的增长速度,而函数y=log a x (a>1)的增长速度则会越来越慢.(3)存在一个x 0,使得当x>x 0时,有log a x<x n <a x.四、典例分析、举一反三题型一 比较函数增长的差异例1 函数f (x )=2x 和g (x )=x 3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 1<x 2.(1)指出图中曲线C 1,C 2分别对应的函数;(2)结合函数图象,判断f (6),g (6),f (2 019),g (2 019)的大小.【答案】(1)C 1对应的函数为g (x )=x 3,C 2对应的函数为f (x )=2x . （2）f (2 019)>g (2 019)>g (6)>f (6).【解析】(1)C 1对应的函数为g (x )=x 3,C 2对应的函数为f (x )=2x .(2)因为f (1)>g (1),f (2)<g (2),f (9)<g (9),f (10)>g (10),所以1<x 1<2,9<x 2<10,所以x 1<6<x 2,2 019>x 2,从图象上可以看出,当x 1<x<x 2时,f (x )<g (x ),所以f (6)<g (6).当x>x 2时,f (x )>g (x ),所以f (2 019)>g (2 019).因为g (2 019)>g (6),所以f (2 019)>g (2 019)>g (6)>f (6).变式1.在本例(1)中,若将“函数f (x )=2x ”改为“f (x )=3x ”,又如何求解第(1)题呢?【答案】C 1对应的函数为g (x )=x 3,C 2对应的函数为f (x )=3x.【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C 1对应的函数为g (x )=x 3,C 2对应的函数为f (x )=3x . 函数性质 y=a x (a>1) y=log a x (a>1)y=x n (n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增图象的变化 随x 增大逐 渐变陡 随x 增大逐 渐变缓随n 值不同而不同变式2.本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小.【答案】f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2 019>x2,从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8),当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).因为g(2 019)>g(8),所以f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).解题技巧：（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法）根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.跟踪训练一1.当a>1时,有下列结论:①指数函数y=a x,当a越大时,其函数值的增长越快;②指数函数y=a x,当a越小时,其函数值的增长越快;③对数函数y=log a x,当a越大时,其函数值的增长越快;④对数函数y=log a x,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是( )A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<x<4时,有 ()A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y2>y3>y1【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.题型二体会指数函数的增长速度例2甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你觉得哪个公司捐款最多?【答案】丙公司捐款最多,为102.3万元.【解析】三个公司在10天内捐款情况如下表所示.由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元.解题技巧：（指数函数的增长速度的实际应用）解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.跟踪训练二1.某民营企业生产A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资的函数模型为y=k 1x ,B 产品的利润与投资的函数模型为y=k 2x α(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.(1)分别求出A,B 两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B 两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)【答案】(1)A:y=12x (x ≥0),B:y=54√x (x ≥0).(2)投资A 产品844万元,投资B 产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.【解析】(1)A:y=k 1x 过点(1,0.5),∴k 1=12. B:y=k 2x α过点(4,2.5),(9,3.75),∴{k 2·4α=2.5,k 2·9α=3.75.∴{k 2=54,α=12. ∴A:y=12x (x ≥0),B:y=54√x (x ≥0). (2)设投资B 产品x(百万元),则投资A 产品(10-x)(百万元),总利润y=12(10-x )+54√x =-12(√x -54)2+18532(0≤x ≤10). 所以当√x =1.25,x=1.562 5≈1.56时,y max ≈5.78.故投资A 产品844万元,投资B 产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计总计50 55 102.3七、作业课本140页习题4.4本节课通过数形结合研究不同函数增长的差异,借助结论解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.。
新教材高中数学第四章不同函数增长的差异教案新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教B版选择性必修第二册：4.4.3 不同函数增长的差异教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、一次函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学程序与环节设计：实际问题引入，激发学生兴趣．选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异．总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告．归纳一般的应用题的求教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动创设情境思考：存在一个x，当x x>时，为什么log(1,0)xn aa x x a n>>>>一定成立？师：指出：当1,0a n>>时，由,,logx nay a y x y x===的增长速度，存在x，当x x>时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有logxn aa x x>>组织探究例1．四个变量1234,,,y y y y随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是______.探究：1）从表格观察函数值1234,,,y y y y的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．2）分析解答根据例1表格中所提供的数据，你对四种函数从表格中可以看出，四个变量1234,,,y y y y均是从2开始变化，变量1234,,,y y y y都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．分师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．生：阅读题目，理解题意，思考探究问题．师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．生：观察表格，获取信息，体会四种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．师：引导学生观察表格中四种函数的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．。
新教材人教版高中数学必修第一册 4-4-3 不同函数增长的差异 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
4.4.3 不同函数增长的差异
第一页，共三十页。
4．4.3 不同函数增长的差异 1．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较一次函数、
指数函数、对数函数的增长速度的差异． 2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的现实
第六页，共三十页。
题型一 三类函数模型增长差异的比较
[学透用活]
[典例 1] (1)下列函数中，增长速度最快的是
A．y＝2 019x
B．y＝x2 019
C．y＝log2 019x
D． (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指
数函数增长速度最快，故选 A.
第十三页，共三十页。
[解] 作出函数 y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x 的图象(如图所 示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x 的图象都有一部 分在直线 y＝3 的上方，只有 y＝log5x 的图象始终在 y＝3 和 y＝0.2x 的下 方，这说明只有按模型 y＝log5x 进行奖励才符合学校的要求．
解析： D 中一次函数的增长速度不变，A、C 中函数的增长速度越来
越快，只有 B 中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
答案：B
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2．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y 的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是 ()
A．指数函数 y＝2t C．幂函数 y＝t3
第三页，共三十页。
(二)基本知能小试
1．判断正误
新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.4.3 不同函数增长的差异
(2) 再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超 过利润的25%，即当x∈ [10,1000]时，是否有
y log7 x 1 0.25 成立。
x
x
令 f(x)= log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用计算机 作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此 f(x) ≤f(10) ≈-0.3167<0,
实际问题
实际问题的解
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演算 推理
还 原 说 明 数学问题的解
logax<kx<xn<ax
种函数模型的性质：
函数性质
在（0，+∞） 上的增减性
y=ax (a＞1) 增函数
增长的速 度
图象的变 化
越来越快
随x的增大 与y轴靠近
y=logax (a＞1) 增函数
越来越慢
随x的增大 与x轴平行
y=xn (n＞1) 增函数
相对平衡
随n值而不 同
1、指数函数是爆炸式增长 2、幂函数的增长速度是随底数的增大而向y轴靠近 3、对数函数增长速度相对慢一些
A.0 B.1 C.2 D.3
5. f x 3x , gx 2x, x R 时有( A )
A. f x gx B.gx f x C. f x gx D.gx f x
6. D
小结：
1.几种常见函数的增长情况：
常数函数 一次函数 没有增长 直线上升 2.解决实际问题的步骤：
指数函数 对数函数 指数爆炸 “慢速”增长
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少， 尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由 于ax的增长快于xn的增长，因此总存在 一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
高中数学必修一课件：第四章不同函数增长的差异
解析 A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为 球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度 的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器 快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
【解析】 (1)不符合，理由：对于函数模型 f(x)＝3x0＋10， 当 x∈[25，1 600]时，f(x)是增函数，则 f(x)≤f(1 600)≤75，显然恒成立，若 f(x)≤5x，即3x0＋10≤5x，解得 x≥60. ∴当 x∈[25，1 600]时，f(x)≤5x不恒成立． 综上所述，函数模型 f(x)＝3x0＋10 满足基本要求①②，但是不满足③，故函 数模型 f(x)＝3x0＋10 不符合要求．
关于x呈指数型函数变化的变量是___y_2____．
130 1.015 1
30 4 505 2.28×108 155 1.005
5．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的 高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应 ___(_4)____；B对应___(_1_) ___；C对应___(_3_) ___；D对应___(_2_) ___．
①试根据函数增长差异找出曲线 C1，C2 对应的函数； ②以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较．
【解析】 (1)当 0<x<2 或 x>4 时，log2x<x2<2x； 当 2<x<4 时，log2x<2x<x2；当 x＝2 或 x＝4 时，log2x<2x＝x2. (2)①C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1，C2 对应的函数为 f(x)＝lg x. ②当 0<x<x1 时，g(x)>f(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)>g(x)；当 x>x2 时，g(x)>f(x)．
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4.4.3不同函数增长的差异(教师独具内容)课程标准：利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数的图象，探索、比较它们的变化规律．教学重点：比较一次函数、指数函数、对数函数增长的快慢差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：指数函数、幂函数不同区间增长快慢的差异.【知识导学】知识点几种函数模型的增长差异(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是□01增函数，并且当a越□02大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是□03增函数，并且当a越□04小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是□05增函数，并且当x＞1时，n 越□06大，其函数值的增长就越快．(4)一般地，虽然指数函数y＝a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递□07增，的增大，□08指数函数y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，即使□09k的值远远大于□10a的值，□11y＝a x(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于□12y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，□13a x会小于□14kx，但由于□15指数函数y＝a x(a>1)的增长最终会快于□16一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有□17a x>□18kx.(5)一般地，虽然对数函数y＝log a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递□19增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，□20一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而□21对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢．不论□22a的值比□23k的值大多少，在一定范围内，□24log a x可能会大于□25kx，但由于□26log a x的增长慢于□27kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有□28log a x<□29kx.【新知拓展】指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(2)函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．()(3)对数函数y＝log a x(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数(2)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝100x B．y＝100ln xC．y＝x100D．y＝100·2x(3)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．答案(1)C(2)D(3)减少3个单位题型一几类函数模型增长差异的比较例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析]以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案]y2金版点睛常见的函数及增长特点(1)线性函数线性函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数指数函数y＝a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数对数函数y＝log a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数幂函数y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[跟踪训练1]有一组数据如下表：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2t B．v＝log12tC．v＝t2－12D．v＝2t－2答案 C解析从表格中看到此函数为单调增函数，排除B；增长速度越来越快，排除A，D，选C．题型二指数函数、对数函数与幂函数的比较例2函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2018)，g(2018)的大小．[解](1)当x充分大时，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.∴C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2018>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2018)>g(2018)．又g(2018)>g(6)，∴f(2018)>g(2018)>g(6)>f(6)．金版点睛由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[跟踪训练2]函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e 为分界点)．解由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x 12，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)＞h(x)>g(x)．1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是() A．y＝50 B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝1 1000ex答案 D解析指数函数y＝a x，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D．2．有一组实验数据如下表所示：下列所给函数较适合的是()A．y＝log a x(a＞1) B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)答案 C解析通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C．3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x答案 B解析解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2和y＝2x 的图象(图略)，在区间(2,4)内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法，如取x＝3，经检验易知选B．4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为________万件．答案 1.75解析∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有⎩⎨⎧ 1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝2.∴y ＝－2×(0.5)x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．5．下面是四个不同函数随x 的增大而得到的函数值表：试问：(1)随着x 的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ (2)各函数增长速度的快慢有什么不同？解 (1)随着x 的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中f (x )＝2x 的增长速度最快，而且越来越快；其次为f (x )＝x 2，增长速度也在变大；而f (x )＝2x ＋7的增长速度不变；增长速度最慢的是f (x )＝log 2x ，其增长速度越来越小．。