(完整版)数值分析第7章答案
李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)讲课教案
(2)牛顿法是不动点迭代的一个特例(正确)
(3)不动点迭代法总是线性收敛的法(正确)
(5)求多项式 的零点问题一定是病态的问题(错误)
(7)二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解(错误)
(8)牛顿法有可能不收敛(正确)
4从以上可以看出,每次运算后,区间长度减少一半,是线形收敛。
3.什么是函数 的不动点?如何确定 使它的不动点等价于 的零点
P215.
将方程 改写成等价的形式 ,若要求 满足 ,则 ;反之亦然,称 为函数 的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法? 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 的不动点
取 ,
这时它与精确解的距离 。
2.为求方程 在 附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
1) ,迭代公式 ;
2) ,迭代公式 ;
3) ,迭代公式 ;
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。
[解]1)设 ,则 ,从而 ,所以迭代方法局部收敛。
2)设 ,则 ,从而
(9)不动点迭代法 ,其中 ,若 则对任意处置x0迭代都收敛。(对)
(10)弦截法也是不动点迭代法的特例(正确)
习题
1、用二分法求方程 的正根,要求误差 。
[解]令 ,则 , ,所以有根区间为 ;
又因为 ,所以有根区间为 ;
,所以有根区间为 ;
,所以有根区间为 ;
,所以有根区间为 ;
,所以有根区间为 ;
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618,小于牛顿法2
可用于所想是的实根和复根的求解。
9.什么是方程的重根?重根对牛顿法收敛阶有何影响?试给出具有二阶收敛的计算重根方法。
最新(完美版)第七章习题答案_数值分析
第七章习题解答2、试确定系数a ,b 的值使220[()cos ]ax b x dx p+-ò达到最小解:设220(,)[()cos ]I a b ax b x dx p=+-ò确定a ,b 使(,)I a b 达到最小,必须满足0,0I Ia b ¶¶==¶¶即3222222000022222000012[cos ]0cos 248212[cos ]0cos 82a b ax b x xdx a x dx b xdx xxdx a b ax b x dx a xdx b dx xdx p p p p p p p pp p p p p ììì+=-+-=+=ïïïïïïÞÞíííïïï+=+-=+=ïïïîîîòòòòòòòò解得:0.6644389, 1.1584689a b »-»5、试用Legendre 多项式构造()f x x =在[-1, 3]上的二次最佳平方逼近多项式 解:作变量代换,将区间[-1, 3]变为[-1, 1],令21x t =+,即12x t -=则()()(21)21(11)F t f x f t t t ==+=+-££对()F t 利用Legendre 多项式求其在}{21,,span t t上的最佳平方逼近多项式20()()j j j S t C P t ==å,其中11(,)21()()(0,1,2)(,)2j j j j j P f j C F t P t dt j P P -+===ò20121()=1,()=t,()=(31)2P t P t P t t - 则有:1121012112111212212121215[(21)(21)]24311[(21)(21)]285(31)(31)45[(21)(21)]22264C t dt t dt C t tdt t tdt t t C t dt t dt ---------=--++==--++=--=--++=òòòòòò 01251145()()()()4864S t P t P t P t \=++则()f x 在[-1, 3]上的最佳二次逼近多项式*01222151111451()()()()()()2428264251114511=()((3()1))4826422135+82243512x x x x S t S t S P P P x x x x ----===++--++-+=7、确定一条经过原点的二次曲线,使之拟合下列数据ix123iy0.2 0.5 1.0 1.2并求平方误差2d解:设2012()1,(),()x x x x x j j j ===由题,拟合函数须过原点 则令001122()()()()f x C x C x C x j j j =++,其中00C =,即212()f x C x C x =+ 12000.2110.5,,24 1.039 1.2Y f f æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 11122122(,)(,)1436(,)(,)3698G f f f f f f f f æöæö==ç÷ç÷èøèø 12(,) 6.1(,)15.3Y F Y f f æöæö==ç÷ç÷èøèø得法方程GC F = 121436 6.1369815.3C C æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø解方程得:120.61840.0711C C »»-2()0.61840.0711f x x x \=-误差222121(,) 2.730.6184(,)0.0711(,)0.04559j j j YC Y Y Y df f f ==-=-´+´=å8、已知一组数据ix1 2 3iy3 2 1.5试用拟合函数21()S x a bx =+拟合所给数据解:令2()f x a bx =+ 201()1,()x x x j j ==01()()()f x a x b x j j =+则123113111114,219213y A F y y æöæö÷ç÷çæöç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷ç÷ç÷ç÷èøèøT T a A A A F b æö\=ç÷èø,即331422514983a b æöç÷æöæö=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøç÷èø解方程组得0.3095,0.0408a b == 即210.30950.0408()x f x y=+=从而有21()0.30950.0408S x x =+补充题:用插值极小化法求()sin f x x =在[0, 1]上的二次插值多项式2()P x ,并估计误差 解:作变量替换1(1)2x t =+,将[0, 1]变换[-1, 1]取插值点11(21)cos 0,1,2222(1)K K x K n p+=+=+ 0120.933001270.50.0669873x x x ===利用这些点做插值商表i xi y一阶插商 二阶插商0.9330127 0.80341740.5 0.479425 0.74863250.0669873 0.0659372 0.9549092 -0.23818779则:20.9330127()0.80)0.2341740.743818779(0.9330127)(0.5)86325(x P x x x ---=+-同时误差213322()()()22(1)!3!24n n M M M R x f x P x n --+=-£==+其中(3)3max ()M f x = 由于1(1)2x t =+,即21t x =- 则(3)(3)3max (21)max sin (21)8max cos(21)8[0,1]M f x x x x =-=-=-=Î281()243R x \£=。
完整版数值分析第7章答案
1数值分析第七章第七章非线性方程求根一、重点内容提要(一)问题简介求单变量函数方程f(x)?0(7.1)f(x*)?0x*x*x*为也称为方程的根是指求(7.1).(实数或复数),使得称的根,m f(x)?(x?x*)g(x)f(x)f(x)函数的零点.若可以分解为g(x)g(x)?0x*x*为单称m=1满足时,是方程(7.1)的根.,则当其中m为正整数,g(x)x*x*是方程(7.1)的m称,充分光滑,为m重根.若重根,则有根;当m>1时(m?1)(m)f(x*)?f'(x*)?...?f(x*)?0,f(x*)?0f(x)f(a)f(b)?0,则方程(7.1)在(a,b)[a,b]若上连续且内至少有一个实根,称在[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的几种常用方法1.二分法f(x)f(a)f(b)?0f(x)?0f(x)?0*x在上连续,再设内有根,则设.在(a,b)在[a,b]1x?(a?b)a?a,b?bf(x)f(x)?0000计算和.,若则(a,b)内仅有一个根.令20000a?xb?b[a,b])f(a)f(x?0x*?x;,则令,结束计算;若若得新的有根区间,10,11001a?ab?x0)?(f(a)fx,得新,则令的有根区间0110,0011b?a?(b?a)x?(a?b)[a,b][a,b]?[a,b]f(x)0101111再令计算,.,.同上法得221110101[a,b],如此反复进行出新的有根区间,可得一有根区间套22...?[a,b]?[a,b]?...?[a,b]001?n1?nnn2数值分析第七章11a?x*?b,n?0,1,2,...,b?a?(b?a)?...?(b?a)0n0?1nnn?1nn且. 221lim(b?a)?0,lim x?lim(a?b)?x* nnnnn故2????n??nn1x?(a?b)f(x)?0nnn的近似根,可作为,且有误差估计因此21(b?a)|x?x*|?n1?n(7.2)22.迭代法?(x?)x等价变形为将方程式(7.1) (7.3)??(x*)?)(xf(x*)?0x**xx*的一个不动点为函数.;反之亦然则.若要求称满足?(x)的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也求方程(7.1)的根等价于求称简单迭代法)为?(x),k?0,1,2...x?(7.4)k1?k?(x),k??x0,1,2...?(x)称为迭代函数.函数如果对任意,由式(7.4)产生的序列??x有极限kk??k则称不动点迭代法(7.4)收敛.kk?1x?x*lim?(x)?C[a,b]满足以下两个条件: 定理7.1(不动点存在性定理)设?(x)??b;x?[a,b]a有1.对任意??(y)|?|x?y|?,y[a,b]|(x)?x 2.存在正常数使对任意, ,都有(7.5)1?L?(x)[a,b]x*.则在上存在惟一的不动点?(x)?C[a,b]满足定理7.2(定理不动点迭代法的全局收敛性定理)设7.1中的两个??x]b,?x[a?(x)并条件,由,(7.4),的不动点式得到的迭代序列则对任意到.收敛k0有误差估计式3数值分析第七章L|x?*|?x||x?x1kkk?(7.6)L1?k L|x?x*|?|x?x|1?kkk L1?(7.7)和??'(xx))(xx**的某,为设在的不动点定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)?'(x)|?|1,则迭代法(7.4)局部收敛个邻域连续,且.?(xx?)x*,的根如果迭代误差收敛阶的概念设迭代过程(7.4)收敛于方程e?x?x*k??时成产下列渐近关系式当kk e k?1?C(常数C?0)e(7.8) k则称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.(K)?(x)x*的邻近连续,并定理7.4(收敛阶定理在所求根)对于迭代过程(7.4),如果且(p?1)???(x*)?...?*)?'(x*)?0''(x(p)?(x*)?0(7.9)*x的邻近是收敛的,则该迭代过程在点并有e1)(p?1k?*)x?lim(p!ep??k (7.10)k斯蒂芬森(Steffensen)迭代法当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为??(y?)(x),zy?kkkk2)?x(y kk x?x?kk?1z?2y?x kkk k?0,1,2,...(7.11)4数值分析第七章此法也可写成如下不动点迭代式?(x),kx??0,1,2,...kk?12?)?x(x)(?(x)?x????(x)?2?(x(x))(7.12)?(x)x**x是为式(7.12)中则的不动点7.5(定理斯蒂芬森迭代收敛定理)设,?(x)???1*)''(x)?'(x(x)*x的不动点,存在,的不动点;设则,则斯蒂芬森迭代法是(7.11)是2阶收敛的.3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为f(x)k,x?k?0,1,2,...?x k?k1)xf'(其迭代函数为(7.13)k f(x)??(x)?x f'(x)f(x*)?0,f'(x*)?0,f''(x*)?0时牛顿迭代法的收敛速度当,容易证f''(x*)??0*)?''(x 0'(x*)?ff'(x*),由定理,明,7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且ef''(x*)1?k?lim2*)f'(ex2??k(7.14)k f(x)?0(m?2)*x时,迭代函数的m重顿重根情形的牛迭代法当根是f(x)1??x)?(x?'(x*)?1??0?'(x*)|?1|)xf'(*x.所以牛顿迭代法求处的导数在,且m x*的重数m知道,重根只是线性收敛.若则迭代式f(x)k,k?0,1,2,...??xx?m kk?1)'(xf(7.15)k f(x)??x()f'(x)*x此时迭代式,的单重零点一定是函数,未知时m当.求重根二阶收敛5数值分析第七章?(x)f(x)f'(x)kkk?xx??x?kk?1k?)f''(x)x)]?f(x'(x)[f'(kkkk k?0,1,2,...(7.16)也是二阶收敛的.f(x)k,?k?0,1,2,...x?x k1k?)xf'(如下迭代法简化牛顿法0称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材.4.弦截法f'(x)xxf(x)在,处的一阶差商来代替,将牛顿迭代法(7.13)中的即可得弦用kkk?1截法f(x)k(xx?x??x)1kk?1k?k f(x)?f(x)(7.17)??x*|:|x??*x内具有二阶连续导数,的邻域在其零点定理7.6假设且对任1kk?)(xfx,x??10f'(x)?0?x?,又初值,,意则当邻域充分小时,有弦截法(7.17)将按阶?1?5?p?1.6182???1?0?*x2的正根收敛到是方程..这里p5.抛物线法(x,f(x)),(x?f(x))两点的直线方程的根近似替弦截法可以理解为用过kk?1kk?1xxx0x)?(fx)?0f(用,过三若的根.已知个近似根,的2kk?1k?(x,f(x)),(x,f(x)),(x,f(x))f(x)?0的根,的抛物线方程的根近似代替2??k?k121k?kkk所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法.f(x)f'(x*)?0*x,则抛物线法局部收敛当,在,的邻近有三阶连续导数且收敛阶p?1.839?1.84. 为数值分析第七章二、知识结构图三、常考题型及典型题精解3上有一个实根x*,并用二分法2]在[1,?1?例7-1 证明方程x0?x-6-3,需二分区间[1,2]10.若要求|x-x*|?求这个根,要求|x-x*|?10kk多少次?3在[1,2],则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0x?解设f(x)=x1?2在[1,2]时,f'(x)>0,即f(x)=0-1,所以当x?上有根x*.又因f'(x)=3x上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.[1,2]7-1表k abxf(x)的符号kkkk+ 2 0 1 1.5- 1.5 1 1 1.25+ 2 1.25 1.51.3751.3125 3 1.251.375 -1.375 1.3438 1.3125 4 +1.312551.3282+1.1341.3125-861.32041.32041.32827-1.32431.32431.32821.3263+87数值分析第七章9 1.3243 1.3282 1.3253 +1.32631-3-3,可以作为x*的近??10此时x=1.3253满足|x-x*|?10?0.97799102似值.1-6?6,只需|x10-x*|?-x*|即可,解得k+1?19.932, 若要求|x?10?kkk+12即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.x=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动e例7-2 已知函数方程(x-2)点迭代公式使之对任意初始近似x?[a,b],迭代方法均收敛;(3)用所构0?3.|?10造的公式计算根的近似值,要求|x?x1k k?xx因此区间[2,3]0,e解 (1)令f(x)=(x-2)-1>-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=e x x)=-1,f(,lim,lim f(x)=+?是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1)e???xx???1-1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-?,+?)内f'(1)=-e有且仅有一根x*,即x*?[2,3].x?xx?.由于当?将(x-2)e[2,3].则=1等价变形为x=2+ee(x)=2+,x(2)2??x??<1'(x)|=|-e?e[2,3]x?时2?|(x)?3,|x?[2,3]均收敛.??故不动点迭代法x=2+e x,k=0,1,2,...,对k0k+1x?进行迭代计算,结果如表7-2所示.e(3)取x=2.5,利用x=2+k k+10表7-28数值分析第七章此时x已满足误差要求,即x*?x?2.120094976.44例7?3考虑求解方程2cos x?3x?12?0的迭代公式2 x=4+cos x,k=0,1,2,...k k+13(1)试证:对任意初始近似x?R,该方法收敛;0-3;10-x|?(2)取x=4,求根的近似值x,要求|x k0k+1k+1(3)所给方法的收敛阶是多少?2?(x)=4+cos x,解 (1)由迭代公式知,迭代函数322?(x)的值域介于(4-)与(4+由于)之间,且(??,??).x?3322?'(x)|=|-sin x|??1|33?(x)在(??,??)内存在惟一的故根据定理7.1,7.2知,??收敛于x*.x?x?R,迭代公式得到的序列不动点x*,且对k0(2) 取x=4,迭代计算结果如表7-3所示.0表7-3x*?xx?3.347529903已满足误差要求,即此时55?'(x*)?0.136323129?0,故根据定理7 .4)由于(3知方法是线性收敛的,并e?1k?'(x?*)lim e??k。
数值分析第七章打印版(东南大学)
这是一个 n 次多项式, 根据代数基本定理, 它有 n 个根。
λ 是 A 的特征值当且仅当它是其特征多项式的零点。 A 的特征值的个数为 n。
求一个矩阵特征值的问题转化为求其特征多项式的零点。 求相应的特征向量问题转化为求齐次方程组的非零解问题。
李元庆 (版权本人所有)
Introduction to Numerical Analysis Chapter 7: Eigenvalue 2012 Problems 年 5 月 14 日
max a1 x1 + ∑ ai
i =2
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归一化幂法的收敛性(3)
从而
k →∞
lim uk =
x1 . max(x1 )
Ax = λ x → By = λ y , x = Ty .
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幂法(Power iteration) (1)
从而当 k 充分大, 有
k vk ≈ a1 λ1 x1 , k +1 vk +1 ≈ a1 λ1 x1 ≈ λ1 vk .
由上式知 vk +1 = Avk ≈ λ1 vk 。该式说明 vk 是 λ1 对应的近似 特征向量, vk 和 vk +1 近似线性相关。 所以
λ1 = lim (vk +1 )i , k →∞ (vk )i
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学第一章测试1.算法效率就是指算法的快慢()答案:错2.数值分析的任务就是:根据要求解的数学问题去设计算法()答案:错3.用3.14近似π的有效数字位数是( )答案:34.真值经‘四舍五入’得到的近似数一定是有效数 ( )答案:对5.自然底数e=2.718281828的近似数2.7,2.71,2.718,2.7182中,有效数有()个答案:2第二章测试1.n+1个互异节点,能够构造多少个拉格朗日插值基函数?()答案:n+12.插值条件越多,拉格朗日插值多项式和原函数之间的误差越小()答案:错3.通过牛顿插值法构造插值多项式时,首先需要建立什么?()答案:差商表4.相同插值条件下,牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式的次数是一样的()答案:对5.埃尔米特插值相比于拉格朗日插值的区别在哪?()答案:多了一些与导数相关的插值条件6.分段插值主要解决了什么问题?()答案:插值次数过高7.分段插值的本质就是在多个区间上做了多次的拉格朗日插值()答案:对第三章测试1.在C[a, b]中,是范数()答案:对2.在C[a,b]中,内积诱导范数与函数的2-范数相等()答案:对3.可以利用相邻三项的关系确定一个正交多项式系,且结果唯一()答案:错4.连续函数最佳平方逼近法中涉及的范数是连续函数空间中哪种范数()答案:2-范数5.内积空间中线性无关元素确定的Gram矩阵是实对称正定矩阵()答案:对6.函数,则 ( )答案:7.连续函数最佳平方逼近法中,平方误差一定是一个()答案:非负数8.在对一组离散数据进行函数近似时,可以选用的方法有()答案:曲线拟合;Lagrange插值;Newton插值9.在离散数据最小二乘曲线拟合问题中,所涉及的范数是()答案:实向量空间2-范数10.线性矛盾方程组的最小二乘解是存在且唯一的 ( )答案:错11.下面是Newton-Cotes公式中Cotes系数特点的是()答案:全为正(时);和为1;对称性第四章测试1.含有n+1个互异求积节点,代数精确度至少为n的数值求积公式是()答案:存在且唯一2.具有n次代数精确度的数值求积公式是插值型求积公式 ( )答案:对3.含有n+1个求积节点的插值型求积公式至少具有n次代数精确度 ( )答案:对4.Simpson公式的代数精确度为()答案:3次5.积分区间为[a, b],Simpson公式的Cotes系数为()答案:1/6 4/6 1/66.用相同的求积节点对同一定积分进行近似求解,通常复化Simpson比复化梯形公式更准确 ( )答案:对7.被积函数足够光滑,复化Simpson公式的收敛阶数是 ( )答案:错8.被积函数足够光滑,复化梯形公式的收敛阶数是 ( )答案:对9.被积函数足够光滑,复化Simpson公式的收敛阶数是()答案:第五章测试1.为什么在消元前要选择主元?()答案:增强算法稳定性2.当线性方程组Ax=b的系数矩阵A是()时,可用回代法求解.答案:上三角矩阵3.用高斯顺序消去法解线性方程组时,消元能进行到底的充分必要条件是().答案:系数矩阵A的前n-1阶顺序主子式非零4.矩阵A的哪种分解对应着高斯顺序消去法?()答案:Doolittle5.n阶三对角矩阵A能够进行三角分解的充要条件为().答案:A的前n-1阶顺序主子式都非零第六章测试1.向量序列还是矩阵序列,也不管是定义中的按范数收敛还是按分量收敛,不可转化为数列的收敛。
数值分析答案第七章
第七章9.已知一组数据:试用y =来拟合这组数据(写出matlab 程)解:x=-1:6; y=[10,9,7,5,4,3,0 ,-1];p=polyfit(x,y,1); a=p(1);c 二exp(p (2));ax解:In y = In c ax令Y = In y,b = In c, X = xx=0:4; y=[1.5,2.5,3.5,5.0,7.5] ;Y=logy;X=xp=polyfit(X, Y,1);a=p(1);c=exp(p(2));试求出3次,4次多项式的曲线拟合,画出计算曲线。
具体步骤:三次拟合:x=0:0.25:1.5 ;y=[1.0000, 1.2840,1.6487 ,2.1170,2.7183, 3.4903, 4.4817 ];plot(x,y, '* 'p=polyfit(x,y,3)x1=0:0.1:1.5;y1=polyval(p,x1);hold onplot(x1,y1,''过程中得出的三次拟合多项式的系数矩阵为p=[ 0.3659 0.2891 1.0642 0.9982] 曲线拟合图:4.5 .4 _ 一3.5■M -3 .S&2.5 - 」.42 _ 」-I1.5 - _■*1. _ 一050 0^5 ' 1.5四次拟合:x=0:0.25:1.5 ;y=[1.0000, 1.2840,1.6487 ,2.1170,2.7183, 3.4903, 4.4817 ];plot(x,y, '* 'p=polyfit(x,y,4)x1=0:0.1:1.5;y1=polyval(p,x1);hold onplot(x1,y1,''曲线拟合图:X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0 Y1.00.410.500.610.912.022.46试求出3次,4次多项式的曲线拟合,画出计算曲线。
数值分析课后习题答案
7、计算的近似值,取。
利用以下四种计算格式,试问哪一种算法误差最小。
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解:计算各项的条件数由计算知,第一种算法误差最小。
解:在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。
因为随着的增大,会出现大数吃小数的现象。
9、通过分析浮点数集合F=〔10,3,-2,2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。
10、试导出计算积分的递推计算公式,用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差,计算取三位有效数字。
解:此算法是数值稳定的。
第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。
〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞,“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
设A是n×n的正交矩阵。
证明A-1也是n×n的正交矩阵。
证明:〔2〕A是n×n的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是n×n的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵,证A-1也是非奇异的对称阵。
A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。
证A-1也是单位上〔下〕三角阵。
证明:A是单位上三角阵,故|A|=1,∴A可逆,即A-1存在,记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E,那么〔其中 j>i时,〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得,b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k>j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。
R n×n中的子集“正交矩阵〞,“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。
A=解:A=~~~故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为,3.求以下矩阵的特征值和特征向量。
数值分析作业答案(第7章part2)
7.2.为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式。
(1).2/11x x +=,迭代公式21/11k k x x +=+;(2).123+=x x ,迭代公式3211+=+k k x x ; (3).112-=x x ,迭代公式1/11-=+k k x x 。
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。
解 考虑5.10=x 的领域]6.1,3.1[。
(1).当]6.1,3.1[∈x 时,]6.1,3.1[11)(2∈+=xx ϕ,1910.03.122)('33<=≈≤-=L x x ϕ,故迭代2111kk x x +=+在]6.1,3.1[上整体收敛。
(2).当]6.1,3.1[∈x 时,()]6.1,3.1[1)(3/12∈+=x x ϕ,1522.0)3.11(6.132)1(32)('3/223/22<=≈+<+=L x x x ϕ, 故迭代3211+=+k k x x 在]6.1,3.1[上整体收敛。
(3).当]6.1,3.1[∈x 时,11)(-=x x ϕ,1)16.1(21)1(21)('2/3>->--=x x ϕ,故迭代1/11-=+k k x x 发散。
7.4.给定函数)(x f ,设对一切x ,)('x f 存在且M x f m ≤<<)('0,证明对于范围M /20<<λ内的任意定数λ,迭代过程)(1x f x x k k λ-=+均收敛于0)(=x f 的根*x 。
证明 由于0)('>x f ,故)(x f 为单调函数因此方程0)(=x f 的根*x 是唯一的。
迭代函数)()(x f x x λϕ-=,)('1)('x f x λϕ-=。
由M x f m ≤<<)('0及M /20<<λ,得:2)('0<≤≤<M x f m λλλ11)('111<-≤-≤-<-m x f M λλλ故1}1,1max{)('<--=≤M m L x λλϕ因此可得0*0*1*→-≤≤-≤--x x L x x L x x k k k Λ )(∞→k即*lim x x k k =∞→。
数值分析(课后习题答案详解).ppt
x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ,得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解: A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为: A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1(第10页)
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解: A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为: A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元?哪些方程组可以不选主元?k答:使用高斯消去法时,在消元过程中可能出现a的情况,这时消去法无法进行;即kkk时主元素0和舍入增长a,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散,最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元,以保证计算的进行和算的准确性。
当主对角元素明显占优(远大于同行或同列的元素)时,可以不用选择主元。
计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系?用它们解线性方程组Ax=b有何不同?A要满足什么条件?答:高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一个为上三角矩阵U,一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算,减少计算量,提高计算精度。
A需要满足的条件是,顺序主子式(1,2,⋯,n-1)不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比,有什么优点?楚列斯基分解是LU分解的一种,当限定下三角矩阵L的对角元素为正时,楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定?具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
,切对角元素恒为正数,因此,是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定?对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数?给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53,符合3个运算法则。
正定性齐次性三角不等式x为向量,则三种常用的向量范数为:(第3章p53,第5章p165)设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数?何谓矩阵的算子范数?给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1,||A||2,精品.资料WORD格式.分享||A||∞,||A||1与||A||2哪个更容易计算?为什么?向量范数定义见p162,需要满足四个条件。
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下湖南师范大学
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下湖南师范大学第一章测试1.在数值计算中因四舍五入产生的误差称为()A:观测误差 B:方法误差 C:舍入误差 D:模型误差答案:舍入误差2.当今科学活动的三大方法为()。
A:科学计算 B:实验C:数学建模 D:理论答案:科学计算;实验;理论3.计算过程中如果不注意误差分析,可能引起计算严重失真。
A:错 B:对答案:对4.算法设计时应注意算法的稳定性分析。
A:对 B:错答案:对5.在进行数值计算时,每一步计算所产生的误差都是可以准确追踪的。
A:错 B:对答案:错第二章测试1.A: B: C: D:答案:2.某函数过(0,1),(1,2)两点,则其关于这两点的一阶差商为A:3 B:0 C:2 D:1 答案:13.A: B: C: D:答案:4.下列说法不正确的是A:高次多项式插值不具有病态性质 B:分段线性插值逼近效果依赖于小区间的长度 C:分段线性插值的导数一般不连续D:分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来答案:分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来5.下列关于分段线性插值函数的说法,正确的是A:对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值 B:对于光滑性较好的函数优先用分段线性插值 C:一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身 D:二次函数的分段线性插值函数是该二次函数本身答案:对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值;一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身6.A: B: C:D:答案:;;7.同一个函数基于同一组插值节点的牛顿插值函数和拉格朗日插值函数等价。
A:错 B:对答案:对第三章测试1.A: B:C:D:答案:2.以下哪项是最佳平方逼近函数的平方误差A: B: C:D:答案:3.当区间为[-1,1],Legendre多项式族带权 ( ) 正交。
A: B: C: D:答案: 4.n次Chebyshev多项式在 (-1,1) 内互异实根的个数为A:n+1 B:n-1 C:nD:n+2 答案:n5.用正交函数族做最小二乘法有什么优点A:每当逼近次数增加1时,系数需要重新计算 B:得到的法方程非病态C:不用解线性方程组,系数可简单算出 D:每当逼近次数增加1时,之前得到的系数不需要重新计算答案:得到的法方程非病态;不用解线性方程组,系数可简单算出;每当逼近次数增加1时,之前得到的系数不需要重新计算6.用正交多项式作基求最佳平方逼近多项式,当n较大时,系数矩阵高度病态,舍入误差很大。
数值分析练习题加答案(七)
数值分析练习题加答案(七)11、(本题5分)试确定722作为π的近似值具有⼏位有效数字,并确定其相对误差限。
解因为722=3.142857…=1103142857.0-?π=3.141592…所以31210211021005.0001264.0722--?==<=-π(2分)这⾥,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知722作为π的近似值具有3位有效数字。
(1分)⽽相对误差限310210005.00004138.0001264.0722-?=<≈=-=πππεr (2分)12、(本题6分)⽤改进平⽅根法解⽅程组:=? ?--654131321112321x x x ;解设???===???--111111131321112323121321323121l l l d d d l l l LDL A T由矩阵乘法得:57,21,21527,25,2323121321-==-==-==l l l d d d (3分)由y D x L b Ly T 1,-==解得TTx y )923,97,910(,)563,7,4(== (3分)13、(本题6分)给定线性⽅程组=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321321431x x x x x x x x x x x x x x1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式;2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性;解 1)Jacoib 迭代格式为-+-=----=+-=+--=++++7)2217()8()2323(8)311(10)57()(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (2分)Gauss-Seidel 迭代格式为-+-=----=+-=+--=++++++++++7)2217()8()2323(8)311(10)57()1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (2分)2)由于所给线性⽅程组的系数矩阵----=72211823038151010A 是严格对⾓占优的,所以Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式均是收敛的。
数值分析详细答案(全)
第二章 插值法习题参考答案2.)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅+------⋅-+-+-+⋅=x x x x x x x L3723652-+=x x . 3. 线性插值:取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ,则620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0010101-=-⋅--+=≈x x x y y y L ;二次插值:取510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ,则)54.0(54.0ln 2L ≈))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅+----⋅+----⋅==-0.616707 .6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值,则有)()(x R x P x n n k +=)())(()!1(1)(0)1(0n n ni k j j x x x x f n x x l --++=+=∑ ξ由于0)()1(=+ξn f,故有kni k j jxx x l≡∑=0)(.ii) 构造函数,)()(kt x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值,有∑=-=ni j k j n x l t x x L 0)()()(.插值余项为 ∏=+-+=--nj j n n kx x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ, 由于).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .)()()()(0∑=-==-ni j k j n kx l t x x L t x令,x t =即得 ∑==-ni j k jx l t x)()(.8. 截断误差].4,4[),)()((61)(2102-∈---=ξξx x x x x x e x R其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则hx x 331+=时取得最大值321044392|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .由题意, ,10)392(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R所以,.006.0≤h16. ;1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f .0!7)(]2,,2,2[)8(810==ξf f19. 采用牛顿插值,作均差表:i x)(i x f一阶均差 二阶均差0 1 20 1 11 0-1/2],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=))()()((210x x x x x x Bx A ---++)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22-=x x x p第三章 函数逼近与计算习题参考答案4.设所求为()g x c =,(,)max(,),max (),min ()a x ba x bf g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==,由47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点,恰好分别为()f x 的最大值和最小值处,故由1(),()2M c m c c M m -=--=+可以解得1()()2g x M m =+即为所求。
李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
求 的零点就等价于求 的不动点,选择一个初始近似值 ,将它代入 的右端,可求得
,如此反复迭代有
,
称为迭代函数,如果对任何 ,由 得到的序列
有极限
,则称迭代方程收敛,且 为 的不动点,故称 为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶?如何衡量迭代法收敛的快慢?如何确定 的收敛阶
P219
设迭代过程 收敛于 的根 ,如果当 时,迭代误差 满足渐近关系式
4从以上可以看出,每次运算后,区间长度减少一半,是线形收敛。
3.什么是函数 的不动点?如何确定 使它的不动点等价于 的零点
P215.
将方程 改写成等价的形式 ,若要求 满足 ,则 ;反之亦然,称 为函数 的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法? 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 的不动点
从而 ,
又当 时,
。
当 时,
。
综上所述, 时最小,这时 ,即 。
18、设 ,计算A的条件数
由 可知, ,从而
,
由 ,
,
由 ,
可得 ,从而
。
, ,从而 。
19、证明:如果 是正交矩阵,则
若A是正交阵,则 ,从而 , ,故 , 。
20、设 ,且 为 上矩阵的算子范数,证明:
21、设 ,其中 为非奇异矩阵,证明:
的最大特征值为0.3690
所以2-范数为0.6074
F-范数0.8426
13、求证:
(a) ;
(b) 。
根据定义求证。
。
14、设 且非奇异,又设 为 上一向量范数,定义 。试证明 是 上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明:
要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。
数值分析老师布置题目及“参考答案”(1到8章)
第二章3.给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。
解:由表格知,若采用线性插值法计算即,则若采用二次插值法计算时,7.设且求证:解:令,以此为插值节点,则线性插值多项式为插值余项为8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长h应取多少?解:若插值节点为和,则分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h,即若截断误差不超过,则9.若,解:根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
12.证明证明:得证。
14.若有个不同实根,证明:证明:有个不同实根且令则而令则得证。
16.求及。
解:若则17.证明两点三次埃尔米特插值余项是解:若,且插值多项式满足条件插值余项为由插值条件可知且可写成其中是关于的待定函数,现把看成上的一个固定点,作函数根据余项性质,有由罗尔定理可知,存在和,使即在上有四个互异零点。
根据罗尔定理,在的两个零点间至少有一个零点,故在内至少有三个互异零点,依此类推,在内至少有一个零点。
记为使又其中依赖于19.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足.解:利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式设其中,A为待定常数22.求在上分段线性插值函数,并估计误差。
解:在区间上,函数在小区间上分段线性插值函数为误差为23.求在上分段埃尔米特插值,并估计误差。
一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商0 0.11.000000.99500-0.05000在区间上,令函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为误差为又24.给定数据表如下:X j0.250.300.390.450.53Y j0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值,并满足条件:解:由此得矩阵形式的方程组为2 1 M02 M12 M22 M31 2 M4求解此方程组得三次样条表达式为将代入得课外:解:有题意,插值条件为0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61.00000 0.99500 0.980070.95534 0.921060.877580.82534为使用牛顿插值公式,先构造查分表0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.980070.955340.921060.877580.82534-0.14930-0.24730-0.34280-0.43480-0.52240-0.49650-0.49000-0.4775-0.4600-0.438000.021670.041670.058330.07330.050000.041650.03742-0.01670-0.00846第三章4.假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式?解:在闭区间上连续存在,使取则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。
数值分析第四版习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2%,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差. 25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+. 27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x 第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式,并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析原理习题答案
数值分析原理习题答案【篇一:数值分析习题】学号班级习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算) 2 ??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算)3 已知a?1.2031,b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值,问a?b,a?b有几位有效数字?(有效数字的计算)4 设x?0,x的相对误差为?,求lnx的误差和相对误差?(误差的计算)**5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm,底面半径r的值为r?5cm,已知?5|h?h*|?0.2cm,|r?r*|?0.1cm,求圆柱体体积v??rh的绝对误差限与相对误差限。
(误差限的计算)6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。
(函数误差的计算) 7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径r时允许的相对误差限为多大?(函数误差的计算)128 设in?e?1nxx?edx,求证: 0(1)in?1?nin?1(n?0,1,2?)(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推计算时误差逐步减小。
(计算方法的比较选择)第二章插值法姓名学号班级习题主要考察点:拉格朗日插值法的构造,均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。
1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1,求f(x)的拉氏插值多项式。
(拉格朗日插值)2 已知y?x,x0?4,x1?9,用线性插值求7的近似值。
(拉格朗日线性插值) 3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点,且有lj(x)?试证明(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(x j?xj?1)?(xj?xn)?xlj?0nkjj(拉格朗日插值基函数的性质) (x)?xk(k?0,1,...n)。
数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案第一章绪论(12)第二章插值法(40-42)2、当时,,求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取,,则,,则,从而。
若取,,,则,,,则,从而补充题:1、令,,写出的一次插值多项式,并估计插值余项。
[解]由,可知,,余项为,故。
2、设,试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理,有,从而。
5、给定数据表:,1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式,并写出插值余项。
[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为:,插值余项为。
第三章函数逼近与计算(80-82)26、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据相拟合,并求均方误差。
19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。
又,,,故法方程为,解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动,得出以下数据:时间t(秒)0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(米)0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式,则由。
,。
又,,,故法方程为,解得。
故直线运动为。
补充题:1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表:I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系:。
应用最小二乘原理,求R使得达到最小。
对求导得到:。
令,得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次,得到n个近似值,通常取平均值作为所求长度,请说明理由。
[解]令,求x使得达到最小。
对求导得到:,令,得到,这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。
数值分析习题与答案知识讲解
数值分析习题与答案第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。
解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足,而,故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。
解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.下列公式如何才比较准确?(1)(2)解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。
(1)(2)4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取,利用:式计算误差最小。
四个选项:第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。
线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值误差限,因,故二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值误差限,故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少?解:用误差估计式(5.8),令因得3. 若,求和.解:由均差与导数关系于是4. 若互异,求的值,这里p≤n+1.解:,由均差对称性可知当有而当P=n+1时于是得5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解:根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解:先构造差分表计算,用n=4得Newton前插公式误差估计由公式(5.17)得其中计算时用Newton后插公式(5.18)误差估计由公式(5.19)得这里仍为0.5658.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。
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第七章非线性方程求根一、重点内容提要 (一)问题简介 求单变量函数方程()0f x = (7.1)的根是指求*x (实数或复数),使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为()(*)()mf x x xg x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有(1)()(*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001()2x a b =+和0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若00()()0f a f x <,则令10,10a ab x ==,得新的有根区间11[,]a b .0011[,][,]a b a b ⊂,11001()2b a b a -=-.再令1111()2x a b =+计算1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,]a b ,如此反复进行,可得一有根区间套1100...[,][,]...[,]n n n n a b a b a b --⊂⊂⊂⊂且110011*,0,1,2,...,()...()22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-. 故 1lim()0,lim lim ()*2n n n n n n n n b a x a b x →∞→∞→∞-==+= 因此,1()2n n n x a b =+可作为()0f x =的近似根,且有误差估计11|*|()2n n x x b a +-≤- (7.2)2.迭代法将方程式(7.1)等价变形为 ()x x ϕ= (7.3)若要求*x 满足(*)0f x =则*(*)x x ϕ=;反之亦然.称*x 为函数()x ϕ的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求()x ϕ的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为1(),0,1,2...k k x x k ϕ+== (7.4)函数()x ϕ称为迭代函数.如果对任意1(),0,1,2...k k x x k ϕ+==,由式(7.4)产生的序列{}k x 有极限 lim *k k x x →∞= 则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设()[,]x C a b ϕ∈满足以下两个条件: 1.对任意[,]x a b ∈有();a x b ϕ≤≤2.存在正常数1L <,使对任意,[,]x y a b ∈,都有|()()|||x y x y ϕϕ-≤- (7.5) 则()x ϕ在[,]a b 上存在惟一的不动点*x .定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设()[,]x C a b ϕ∈满足定理7.1中的两个条件,则对任意0[,]x a b ∈,由(7.4)式得到的迭代序列{}k x 收敛.到()x ϕ的不动点,并有误差估计式1|*|||1k k k Lx x x x L --≤-- (7.6)和 1|*|||1kk k k L x x x x L --≤-- (7.7)定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设*x 为()x ϕ的不动点,'()x ϕ在*x 的某个邻域连续,且|'()|1x ϕ<,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程()x x ϕ=的根*x ,如果迭代误差*k k e x x =-当k →∞时成产下列渐近关系式1(0)k k e C C e +→≠常数 (7.8)则称该迭代过程是p 阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果()()K x ϕ在所求根*x 的邻近连续,并且(1)()'(*)''(*)...(*)0(*)0p p x x x x ϕϕϕϕ-====≠ (7.9)则该迭代过程在点*x 的邻近是收敛的,并有()11lim(*)!p k p k ke x e p ϕ+→∞= (7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为21(),()()20,1,2,...k k k k k k k k k k ky x z y y x x x z y x k ϕϕ+==-=--+= (7.11)此法也可写成如下不动点迭代式12(),0,1,2,...(())()(())2()k k x x k x x x x x x x ψϕψϕϕϕ+==-=--+ (7.12) 定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设*x 为式(7.12)中()x ψ的不动点,则*x 是()x ϕ的不动点;设''()x ϕ存在,'(*)1x ϕ≠,则*x 是()x ψ的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的. 3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为其迭代函数为1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=-= (7.13)()()'()f x x x f x ϕ=-牛顿迭代法的收敛速度 当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时,容易证明,'(*)0f x ≠,''(*)''(*)0'(*)f x x f x ϕ=≠,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且12''(*)lim2'(*)k k k e f x e f x +→∞=(7.14) 重根情形的牛顿迭代法 当*x 是()0f x =的m 重根(2)m ≥时,迭代函数()()'()f x x x f x ϕ=-在*x 处的导数1'(*)10x m ϕ=-≠,且|'(*)|1x ϕ<.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若*x 的重数m 知道,则迭代式1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x mk f x +==-= (7.15)求重根二阶收敛.当m 未知时,*x 一定是函数()()'()f x x f x μ=的单重零点,此时迭代式1()()'()'()['()]()''()0,1,2,...k k k k k k k k k k x f x f x x x x x f x f x f x k μμ+=-=--= (7.16)也是二阶收敛的.简化牛顿法 如下迭代法10(),0,1,2,...'()k k k f x x x k f x +=-=称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法 为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法将牛顿迭代法(7.13)中的'()k f x 用()f x 在1k x -,k x处的一阶差商来代替,即可得弦截法111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=--- (7.17)定理7.6假设()f x 在其零点*x 的邻域:|*|x x δ∆-≤内具有二阶连续导数,且对任意x ∈∆有'()0f x ≠,又初值01,x x ∈∆,,则当邻域∆充分小时,弦截法(7.17)将按阶1 1.6182p =≈收敛到*x .这里p 是方程210λλ--=的正根.5.抛物线法弦截法可以理解为用过11(,()),(())k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替()0f x =的根.若已知()0f x =的三个近似根k x ,1k x -,2k x -用过1122(,()),(,()),(,())k k k k k k x f x x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替()0f x =的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法. 当()f x 在*x 的邻近有三阶连续导数,'(*)0f x ≠,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为 1.839 1.84p =≈.二、知识结构图10[1,2]1x x --=≤≤--∈3-3-6k k 32三、常考题型及典型题精解例7-1 证明方程x 在上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|x -x*|10.若要求|x -x*|10,需二分区间[1,2]多少次?解 设f(x)=x ,则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*.又因f'(x)=3x -1,所以当x [1,2]时,f'(x)>0,即f (x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.表7-1k ka kb kx ()k f x 的符号0 1 2 3 4 5 6 7 81 1 1.25 1.251.3125 1.3125 1.3125 1.3204 1.32432 1.5 1.51.375 1.375 1.13438 1.3282 1.32821.5 1.251.375 1.3125 1.3438 1.3282 1.3204 1.3243 1.3263+ - + - + + - - +610x e -≤≤⨯≤≤≤≤≥∈-3-39910-6k k k+101此时x =1.3253满足|x -x*|0.9771010,可以作为x*的近2似值.1若要求|x -x*|,只需|x -x*|10即可,解得k+119.932,2即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2 已知函数方程(x-2)=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x [a,b],31|10.k x ---<k 迭代方法均收敛;(3)用所构造的公式计算根的近似值,要求|x1lim lim x x x x x e e e e →+∞→-∞∞∞∞∈解 (1)令f(x)=(x-2)-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1),f(x)=+,f(x)=-1,f'(1)=--1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3].2'k k x x x x x x e e e e e e e ϕϕϕ-----∈∈≤≤≤∀∈k+100k+1(2)将(x-2)=1等价变形为x=2+,x [2,3].则(x)=2+.由于当x [2,3]时2(x)3,|(x)|=|-|<1故不动点迭代法x =2+,k=0,1,2,...,对x [2,3]均收敛.(3)取x =2.5,利用x =2+进行迭代计算,结果如表7-2所示.表7-24 2.120094976.73cos 3120cos c k x x x x ϕ≈=--+=∈≤4k+10-30k+1k+1k 此时x 已满足误差要求,即x*例 考虑求解方程2的迭代公式2x =4+,k=0,1,2,...3(1)试证:对任意初始近似x R,该方法收敛;(2)取x =4,求根的近似值x ,要求|x -x |10;(3)所给方法的收敛阶是多少?2解 (1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+3{}os ,(,).|'sin |1(,)x x x ϕϕϕ∈-∞+∞≤<-∞+∞∀∈0k 022由于(x)的值域介于(4-)与(4+)之间,且3322(x)|=|-33故根据定理7.1,7.2知,(x)在内存在惟一的不动点x*,且对x R,迭代公式得到的序列x 收敛于x*.(2) 取x =4,迭代计算结果如表7-3所示.表7-3此时5x 已满足误差要求,即5* 3.347529903x x ≈=(3)由于'(*)0.1363231290x ϕ≈≠,故根据定理7 .4知方法是线性收敛的,并且有1lim'(*)k k k e x e ϕ+→∞=。