第3章流体运动及其分类

（2）迁移加速度（位变加速度）——流动过程中流体由于流场中速度随位置
（Connective Acceleration）
变化而引起的加速度，即 (ur • ∇)ur 。
∇=
∂
v i
+
∂
v j
+
∂
v k
称为哈密顿算子
∂x ∂y ∂z
用欧拉法研究流体运动时，流体质点的导数可表示为
d dt
=
∂ ∂t
+ (ur • ∇) =
dθ2
∂y
uy
+
∂uy ∂x
dx
B
ux
+
∂ux ∂x
dx
dθ1
A´
dx + ∂ux dxdt ∂x
D´ B´
∂uy dxdt ∂x
x
从图中可见，各点速度均包含平动速度ux、uy，而各点之间的速 度差则产生变形和转动。dt时段后，ABCD变为A´B´C´D´。
1、平移 平移速度：ux，uy，uz
2、线变形 线变形速率
∂u z ∂z
等号右边第一项是 当地加速度（时变 加速度）；后三项 是迁移加速度（位 变加速度）；
写成矢量形式
ar = dur = ∂ur + (ur • ∇)ur
dt ∂t
质点的加速度（流速对时间求导）由两部分组成：
（1）当（地Lo加cal速A度cc（ele时ra变tio加n）速度）——流变动化过而程引中起流的体加由速于度流，场即中∂∂速utr 度随；时间
求解出dα和dβ，分别除以dt ，得
角变形速率
dα
dt
=
1 2dt
(dθ1
+
dθ2
)
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂u y ∂x
+ ∂u x ∂y
⎟⎟⎠⎞
旋转角速度
dβ dt
=
1 2dt
(dθ1
− dθ2 ) =
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂uy ∂x
− ∂ux ∂y
⎟⎟⎠⎞
3、角变形 角变形速率
εxy
= εyx
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
= =
du x dt
du y dt
= =
∂u x ∂t
∂u y ∂t
+ ux + ux
+ u ∂u x
∂x
y
+ u ∂u y
∂x
y
+ u ∂u x
∂u x
∂y
z ∂z
+ u ∂u y
∂u y
∂y
z ∂z
⎪ ⎪⎩ a z
=
du z dt
=
∂u z ∂t
+ ux
∂u z ∂x
+ uy
∂u z ∂y
+ uz
− uydx + uxdy
=
∂ψ
∂x
dx +
∂ψ
∂y
dy
= dψ
=0
ψ(x, y, t ) = C
流函数值相同的曲线是一条流线。
流函数存在的充分必要条件是
∂ux + ∂uy = 0 ∂x ∂y
这正是不可压缩流体平面流动所应满足的连续性微分方程。
三、流管、元流、总流、过水断面、流量与断面平均流速
1、流管 在流场中作一根不是流线的封闭曲线，经过该曲线上各 点的所有流线就构成了一个封闭的管状曲面，称为流管。 流管有以下性质：
改变。恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等于零，
即
∂ ∂t
=0
。
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变
化的。
二、迹线、流线与流函数
迹线：液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成 的线称为迹线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。
流线：某一瞬时在流场中绘出的曲线，在该曲线上所有各点的速 度向量都与该曲线相切。
QΦ = ∫ φu cos αdA A
例如： 质量流量 动量流量
Qm = ∫ ρu cos αdA
A
v QK
= ∫ ρuvu cosαdA
A
nr
α
ur
A
类似可以定义能量流量等。
四、一维流、二维流、三维流
凡水流中任一点的运动要素只与一个空间变量有关，这种水流 称为一维流。
流场中任何点的运动要素与两个空间变量有关，此种水流称为 二维流。
若水流中任一点的运动要素与三个空间变量有关，这种水流称 为三维流。 例：微小流束为一元流；过水断面上各点的流速用断面平均流速 代替的总流也可视为一元流；宽直矩形明渠为二元流；大部分水 流的运动为三元流。
五、均匀流与非均匀流
1、均匀流：水流的流线为互相平行的直线的水流称为均匀流。 均匀 流具有以下特性：
∂ ∂t
+ ux
∂ ∂x
+ uy
∂ ∂y
+ uz
∂ ∂z
这种导数即全导数，称为随体导数。随体导数由两部分组成：
（1）当地导数
∂ ∂t
（2）迁移导数
ur • ∇ = u x
∂ ∂x
+uy
∂ ∂y
+uz
∂ ∂z
3-2 流体运动的一些基本概念
一、 恒定流与非恒定流
恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而
x 方向 y 方向 z 方向
ε xx
=
∂u x ∂x
⎫ ⎪ ⎪
ε yy
=
∂u y ∂y
⎪⎪ ⎬ ⎪
ε zz
= ∂u z ∂z
⎪ ⎪⎪⎭
x 方向 y 方向 z 方向
∂ u x dxdt
ε xx =
∂x dxdt
∂ u y dydt
ε yy =
∂y dydt
∂ u z dzdt
ε zz =
∂z dzdt
（x,y,z,t）——欧拉变量
由于位置又是时间t的函数，所以流速是t的复合函数，对流速求导可得加速度:
a = = + + + du x
∂u x
∂u x dx
∂u x dy
∂u x dz
x
dt
∂t
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Qwk.baidu.com
dx dt
=
ux,
dy dt
=
u
y
,
dz dt
=
uz
∴
⎧ ⎪⎪ ⎨
a a
x y
1）均匀流过水断面为平面，且过水断面形状和尺寸沿程不变。 2）均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过水断 面上的流 速分布相同，断面平均流速相等。 3）均匀流过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律 相同，即在同一过水断面上各点测压管水头为一常数。 在管道均匀流中任意选择1-1与2-2两过水断面，分别在两过水断 面上装上测压管，则同一断面上各测压管水面必上升至同一高度。 即 z + p = C ，但不同断面上测压管水面所上升的高程是不同的。
在流线上取矢量元
r rr r dl = dxi + dyj + dzk
，它平行于该点的流速，则
dx
=
dy
=
dz
ux (x,y,z,t) uy (x,y,z,t) uz (x,y,z,t)
这就是流线微分方程 ，其中 t 是参数而不是自变量，求解时可作为常数。
流线具有以下两个性质：
（1）恒定流动中，流线与迹线重合。 （2）一般情况下，流线不能相交，也不能是折线。（除驻点与奇点外）
第三章 流体运动及其分类
实际工程中经常遇到运动状态的液体。液体的运动 特性可用流速、加速度等一些物理量，也即运动要素 来表征。
本章的内容为流体的运动、变形和流体运动的分 类，但暂不涉及流体的受力。首先要解决的问题是如 何描述流体的运动。
3-1 描述液体运动的两种方法
液体是由众多质点所组成的连续介质，其运动要素随时间和空间变化，描述整 个液体的运动规律有两种方法。（液体质点指具有无限小体积的液体。）
∫ ∫ ∫ 为断面平均流速。 Q = udA = vdA = v A = vA
A
A
A
v =Q A
断面A的法线方向与流速方向的夹角为α，则
Q = ∫ u cos αdA A
将流量的概念拓展，定义：单位时间通过流管断面的流体所具有 的某物理量Φ的大小称为物理量Φ 的流量，用符号QΦ表示。令 φ为单位体积流体内具有的物理量Φ的大小， 则
二、欧拉法
欧拉法 以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间的
流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做流场法。
流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数：
速度
⎧u ⎪⎨u
x y
= =
ux (x, uy (x,
y, z,t) y, z,t)
⎪⎩uz = uz (x, y, z, t)
⎫
=
∂u x ∂x
⎪ ⎪ ⎪
⎪
=
∂u y ∂y
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪
= ∂u z
⎪ ⎪
∂z ⎪
⎪
转动与角变形
dθ1
=
∂u y ∂x
dxdt
dx = ∂u y dt ∂x
dθ2
=
∂u x ∂y
dt
若是单纯角变形，则
dθ1 = dθ2 = dα
若是单纯转动，则
dθ1 = dβ dθ2 = −dβ
既有角变形又有转动的情况，dθ1 = dα + dβ dθ2 = dα − dβ
ρg
今在均匀流过水断面上取一微 分柱体，其
轴线n-n与流线正交，并与铅垂线呈夹角α。
作用于微分柱体下端动水压力为 pdA 上端动水压力为 ( p + dp)dA
内摩擦力及侧面动水压力投影为零。柱体自
重沿n方向的投影为 ρgdAdn cosα = ρgdAdz
n方向无加速度，故有 ρgdz + dp = 0 ⇒ z + p = C
ρg
2、非均匀流：流线不是相互平行的直线的水流称为非均匀流。 按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、急变流两种类型：
1）渐变流：水流的流线虽然不是相 互平行直线，但几乎近于平行直线的 流动（缓变流）。渐变流的极限情况 就是均匀流。
2）急变流 ： 略
在恒定流中，任意空间点质点运动要素不随时间变化，所以时 变加速度等于零；
5、流量 单位时间内通过某一过水断面的液体体积称为流量。流量
常用的单位为 米３／秒（m3/s），符号Ｑ表示。
∫ ∫ 微小流束流量 dQ
总流流量
Q=
dQ =
Q
udA
A
6、断面平均流速 总流过水断面上的平均流速ν，是一个想象的流
速，如果过水断面上各点的流速都相等并等于ν，此时所通过的流
量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则流速ν就称
ux = ux (x, y, t )， uy = uy (x, y, t )
为了求出比较复杂的平面流动的流线，可以引入流函数的概念。
流函数ψ(x, y, t )是满足如下关系式的函数
ux
=
∂ψ , ∂y
uy
=
− ∂ψ ∂x
如果这种流函数确实存在，则可将平面流动的流线微分方程
dx/ux = dy/uy 作如下变化
一、拉格朗日法
拉格朗日法以研究液体质点的运动为基础，通过对每个液体质
点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性。所以这种方法又
可叫做质点系法。
质点运动轨迹
质点速度
质点加速度
⎧x = x(a,b, c,t)
⎪ ⎨
y
=
y(a,b, c,t)
⎪⎩z = z(a,b, c,t)
⎧u x ⎪ ⎨u y
= =
∂x ∂t
3-3 液体质点运动的基本形式
一、液体质点运动的基本形式
在液体中取一个微分平行六面体，各边长dx, dy, dz，取一 点P（x，y， z），令该点在各坐标轴上的分速度为ux，uy，uz 。由泰勒级数，Q点速度为
沿x方向 沿y方向
ux
+
∂u x ∂x
dx
uy
+
∂u y ∂x
dx
沿z方向
uz
+
∂u z ∂x
∂y ∂t
⎪ ⎩
u
z
=
∂z ∂t
⎧ ⎪⎪ ⎨
a a
x y
⎪
⎪⎩ a z
= = =
∂u x ∂t
∂u y ∂t
∂u z ∂t
= = =
∂2x ∂t 2
∂2y ∂t 2
∂2z ∂t 2
（1） （a,b,c）=const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =const ，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
例3-1：已知某恒定平面流动的流速为 ux = -ay，uy = ax, a≠0，求 此流场中的流线。
解： 流线微分方程为
dx = dy = dz − ay ax 0
得 xdx + ydy = 0 解得 x2 + y2 = C1 z = C2
平面流动的流函数 ：
平面流动只有两个流速分量，且均与z无关，即
∂uy ∂x
+
∂ux ∂y
⎟⎟⎠⎞
εyz
= εzy
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂uz ∂y
+
∂uy ∂z
⎟⎟⎠⎞
ε zx
= εxz
=
1 ⎜⎛ ∂ux 2 ⎝ ∂z
（1）任一瞬时，不能有流线穿过流管表面。 （2）恒定流的流管形状不随时间变化。
2、元流 流管横断面积为无穷小（dA）时，其内部流动称为 微元流束，简称元流。元流的极限情况即为流线。
3、总流 流管横断面积为有限大时，其内部流动称为总流。管 道、河渠中的流动都属于总流。总流是由无数元流组成的 。
4、过水断面 与微小流束或总流的流线正交的横断面称为过水断 面。该面积dA或A称为过水面积，单位m2。过水断面可为平面也 可为曲面。
在均匀流中，质点流速沿流程不变，所以位变加速度等于零。
1、在水位恒定的情况下： （1）A→A′ 不存在时变加速度和位变加速度。 （2）B→B′ 不存在时变加速度，但存在位变加速度。
2、在水位变化的情况下： （1）A→A′ 存在时变加速度，但不存在位变加速度。 （2）B→B′ 既存在时变加速度，又存在位变加速度。
dx
平行六面体的整个变化过程可看作是由下列几种基本运动形式所组成： 1、位置平移。 2、线变形。 3、 (1)角变形；(2) 旋转运动。
以平面流场中一矩形微团ABCD为例分析微团的变形运动。
uy
y
+
∂uy dy ∂y
ux +
∂ux ∂y
dy
C
dy
uy
dx A ux
O
∂ux dydt ∂y
C´
D
dy + ∂uy dydt