2012年数学一轮复习试题 双曲线

第四十一讲 双曲线

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( )

A. 3

B.

62 C.63 D.33

解析：由图易知：c

b

＝tan60°＝3， 不妨设c ＝3，b ＝1，则a ＝ 2. ∴e ＝c a

＝32

＝

6

2

.故选B. 答案：B

2．已知双曲线9y 2－m 2x 2

＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15

，则m 等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：9y 2－m 2x 2

＝1(m >0)⇒a ＝13，b ＝1m ，取顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，一条渐近线为mx －3y ＝0，

∵15＝|－3×1

3|

m 2

＋9⇒m 2

＋9＝25，∴m ＝4，故选D. 答案：D

3．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且

满足12120,||||2,MF MF MF MF ==

则该双曲线的方程是( ) A.x 2

9－y 2＝1 B ．x 2

－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 2

3

＝1

解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1，且M 为右支上一点，

由已知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴221212||||2||||MF MF MF MF +- ＝4a 2

.

又∵12120,.MF MF MF MF =∴⊥

∴4c 2－4＝4a 2，即b 2＝1. 又∵c ＝10，∴a 2

＝9.∴双曲线方程为x 2

9－y 2

＝1，故选A.

答案：A

4．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2

a 2－y

2

b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几

个说法：

①双曲线x 2

－

2y

2

5＋1

＝1是黄金双曲线；

②若b 2

＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( )

A ．①② B．①③ C ．①③④ D．①②③④

解析：①e ＝

1＋b 2a

2＝1＋

5＋1

2

＝5＋32＝5＋1

2

，双曲线是黄金双曲线． ②由b 2

＝ac ，可得c 2

－a 2

＝ac ，两边同除以a 2

，即e 2

－e －1＝0，从而e ＝5＋1

2

，双曲线是黄金双曲线．

③|F 1B 1|2＝b 2＋c 2，|A 2B 1|2＝b 2＋a 2，|F 1A 2|2＝(a ＋c )2，注意到∠F 1B 1A 2＝90°，所以b 2

＋c 2

＋b 2

＋a 2

＝(a ＋c )2

，即b 2

＝ac ，由②可知双曲线为黄金双曲线．

④∵|MN |＝2b 2a ，由射影定理知|OF 2|2＝|MF 2|·|F 2N |，即c 2＝b 4

a

2，从而b 2

＝ac ，由②可

知双曲线为黄金双曲线．

答案：D

5．过双曲线x 2

－y 2

＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )

A ．28

B ．14－8 2

C ．14＋8 2

D ．8 2

解析：|PF 2|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 2|－|PF 1|＋|QF 2|－|QF 1|＋2·|PQ |＝14＋8 2. 答案：C

6．已知双曲线x 2a －y 2

b

＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )

A ．[1,2]

B ．(1,2)

C ．[2，＋∞)

D ．(2，＋∞)

解析：依题意，应有b

a ≥tan60°，又

b a

＝e 2－1，∴e 2

－1≥3，解得e ≥2. 答案：C

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1上除顶点外的任意一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，c

为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ，则|F 1M |·|F 2M |＝________.

解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，

|F 1M |－|F 2M |＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|F 1M |＋|F 2M |＝2c ， 解得|F 1M |＝a ＋c ，|F 2M |＝c －a ，从而|F 1M |·|F 2M |＝c 2

－a 2

＝b 2

. 答案：b 2

8．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若双曲线上

存在点P ，使sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝a

c

，则该双曲线的离心率的取值范围是________．

解析：∵e ＝c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝2a ＋|PF 2||PF 2|＝1＋2a

|PF 2|

，

∵|PF 2|>c －a ，即e <1＋2e －1

，∴e 2

－2e －1<0.又∵e >1，∴1

9．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当它们的实、虚轴都在变化时，e 2

1＋e 2

2的最小值是________．