第11章 简谐运动

注：量 y 不局限于位移，它可以是角度、电量、 电压、磁感应强度…… ----广义的简谐运动
2. 准弹性力
O’
10
θ
l
T
o
mg
F mg sin 当θ很小时（小于5°） sin F mg 2 d mg ma ml ml 2 dt 2 d g 0 2
2
2
d y k d y y0 mg ky kl0 m 2 即 2 m dt dt 2 k d y 2 设 则 y 0 ----得证 2 m dt
[ 例 2] （复摆）一任意形状的物体，质量为 m ，质心位 置为C，现让其绕过O点的光滑水平轴作小角度摆动， 试证明这种摆动为简谐运动。设OC=l。 O 解：设任一时刻物体所受重力矩M为
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T
初始条件t=0，y0=4cm，v0=0
v0 A x0 4 cm
2 2
简谐运动方程
y 4 cos(4t ) cm
v0 arctan x 0 0
（ 2 ）向下拉 10cm 后静止释放， ω 、 φ 均不变，仅 A 发生了变化，因此简谐运动为 y 10 cos(4t ) cm
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一、简谐运动方程
物体的振动量y随时间t变化的函数关系，即y=y(t)。 力
d2y 2 y0 2 dt
y Acos(t )
d 1 2 1 2 1 2 1 2 mv ky 常量 ( mv ky ) 0 功能 dt 2 2 2 2 d2y k dv dy mv ky 0 2 y0 m dt dt dt d2y 2 2 y 0 y A cos(t ) dt
������ ； ������ ������ − ； ������ ������ ； ������ ������ − ； ������ ������ ； ������ ������������ ； ������ ������������ − 。 ������
（ 3 ）同理，向上托举 5cm 后静止释放， ω 不变， A=5cm， φ=±π，简谐运动方程为
y 5 cos(4t ) cm
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1、简谐运动的三个特征量是什么？ 2、试确定下列情况下振子的运动状态： （1）初相位������ = （2）初相位������ = （3）初相位������ = （4）初相位������ =
4 理解同方向、同频率的合成规律，了解相互垂直 谐振动的合成。
§1
1. 弹簧振子模型
简谐运动及其特征
6
一、弹簧振子及其运动分析（理想模型）
k
m
y
0
如果振动物体可将全部质量集中为一质点，而把 “弹性”等效为一轻弹簧，忽略所有摩擦，这样 的物理模型称为弹簧振子。
7
2. 运动分析
F ky
13
M mgh sin
当 很小时（小于 5°) sin C 设物体对 O 轴的转动惯量为 I ，按顶轴 转动的转动定律，有 2
d mgh I I 2 dt 2 2 d mgh d 2 0 2 0 2
dt I dt
§2
简谐运动的描述方法
11
自然 长度
m
平衡 位置
m
l0
0
y
y
m
解： 建立如图坐标系，原点为物体静止平衡时位置， 它距弹簧原长位置的距离为 l0
kl0 mg
l0 mg k
12
自然 长度
m
平衡 位置
l0 mg k
my
在任意y处时，有
m
d y mg F m 2 dt
F k ( y l0 )
位于点O，将沿-y运动
位于负的最大位移点M，将 沿+y运动
位于点O，将沿+y运动 位于最大位移点N，将沿-y 运动
5 简谐运动的三个特征量A、ω、φ
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ω由系统决定
2 T
k m
由初始条件可确定A和 设 t =0 时，
y y0
v v0
v0 v0 2 φ = arctan() y0 + ωy0 ω
y A cos(t )
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2 振幅A 简谐运动物体离开平衡位置最大位移的绝对值。
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3
周期 、频率和角频率
周期 T：物体作一次完全振动所经历的时间，单位 s。
频率ν：单位时间内振动重复的次数，单位Hz。
角频率ω（又称圆频率）：表示2π时间内振动的重复 次数，单位是rad/s。
1 T 2
E Ek E p 1 1 2 2 2 2 2 m A sin (t ) kA cos (t ) 2 2 1 1 2 2 2 m A kA 2 2
y Acos(t )
21
t
Ep Ek
1 2 E kA 2
t
1 2 2 1 2 2 2 Ek m A sin ( t ) E p kA cos ( t ) 2 2 讨论: 弹簧振子的动能和势能是随时间(或位移)而变化的 总的机械能保持不变，即动能和势能相互转化 谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比
dy v A sin(t ) A cos(t ) dt 2 2 d y a 2 2 A cos(t ) 2 A cos(t ) dt 讨论：
1 振动量 y 任意时刻物体离开平衡位置的位移， y 以平衡 位置为参考点
1
1
2
3
广义振动：任一物理量（如位移、电流等）在某 一数值附近反复变化。 振动有各种不同的形式：机械振动、电磁振动 、 晶格振动 …

机械振动：物体在一定位置的附近作来回往复的 周期性运动
可以证明：任何复杂的振动都可以认为是由若干 个简单而又基本的振动的合成。这种简单而又基本 的振动形式就称为简谐振动。
F ma dv a dt 1 2 E P ky 线性回复力 2
质点 m 在弹性力与惯性的作用下，在平衡位置 O 附近作来回往返的周期性运动。
二、简谐运动的特征
1. 运动特征
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d y F ma m 2 ky dt d2y k y0 2 m dt
d y 2 y0 2 dt
② 下一步振动物体将向何处去；
③ 反映周期运动在时间上的周期性。
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相位的作用 序号 1 2 3 4 5 ωt+φ 0 π/2 π 3π/2 2π y +A 0 -A 0 +A v 0 -ωA 0 +ωA 0 a -ω 2A 0 ω2A 0 -ω 2A t 时刻的运动状态
位于最大位移点N，将沿-y 运动
2
y0 Acos
v0 2 可得 A = y + 0 ω
2
v0 A sin
6
简谐运动的能量
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动能
势能
1 2 1 2 2 2 E k mv m A sin (t ) 2 2 1 2 1 2 2 E p ky kA cos (t ) 2 2
简谐运动总能量为
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(1)物体的运动方程及速度、加速度、动能和势能表达 式；
(2)t=0.5s时，物体的位置及所受的力； (3)由起始位置运动到y=12cm处所需的最短时间； (4)在y=12cm处，物体的总能量。
y/cm
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解 （1）只要知道了A、ω、φ三个特征量即可写出简 谐运动方程
A 0.24 m y0 cos 1 0 A y 0.24 cos( t ) m 简谐运动方程 2 dy v 0.12 sin( t ) m/s 速度
2
2
令
k m
2
角频率 ----简谐运动方程
y Acos(t )

简谐运动：物体距平衡位置的位移（或角位移） 随时间按余弦（或正弦）函数规律变化
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简谐运动判据（任一满足即可）
动力学特征
运动学特征
F ky
d2y 2 y 0 2 dt
运动方程
y Acos(t )
单摆
dt
l
3. 能量特征 系统做简谐运动时，势能和动能相互转换，系统 1 2 1 2 机械能守恒： E Ek E p mv ky 常量 2 2
ω=
g l
l 单摆 T 2 g
[例1]一劲度系数为k的轻弹簧，下挂一质量为m的砝码。 开始时用手托住砝码，使弹簧为原长，放手后砝码开 始振动。证明砝码作简谐振动。
4
§11.1 简谐运动及其特征 §11.2 简谐运动的描述方法 §11.3 简谐运动的合成
§11.4 阻尼振动 受迫振动
5
教 学 要 求
1 理解振幅、周期、相位、及简谐振动的速度、加 速度等概念； 2 深刻理解简谐振动的特征，建立简谐振动方程并 理解其意义； 3 理解简谐振动的旋转矢量法并用以分析讨论问题；
J
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[例4] 一竖直弹簧振子的上、下振动为简谐运动，其 周期 T=0.5s 。试分别写出其在下列各情况下的运动 方程：
(1) 将它由平衡位置向下拉 4cm 后静止释 放；
(2)将它由平衡位置向下拉10cm后静止释 放； (3) 将它由平衡位置向上托举 5cm 后静止 释放。
解 （1） 2 4 rad/s
当n=0时，t显然最小，则
y Acos(t ) Acos[ (t T ) ]
0.12 0.24 cos( t ) 2
E kA
t min 2 s 3
（4）简谐运动机械能守恒，故y=12cm处，物体的 1 2 1 总能量为 2 2 4