微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解.doc

第9章
习题9-1
1． 判定下列级数的收敛性：
(1) 1
1
5n n a ∞
=⋅∑（a ＞0）； (2)
∑∞
=-+1
)1(
n n n ;
(3) ∑∞
=+13
1
n n ; (4)
∑∞
=-+1
2)1(2n n
n
; (5) ∑∞
=+11ln n n n
; (6)
∑∞
=-12)
1(n n
;
(7) ∑∞
=+11
n n
n ; (8)
0(1)21
n n n
n ∞
=-⋅+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a <,即1a >时，级数收敛，当1
||1a
≥即01a <≤时，级数发散. （2
）
(1n S n =++
++
1=
lim n n S →∞
=
∞
∴
1
n ∞
=∑发散.
（3）113n n ∞
=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11
n n
∞
=∑发散，故原
级数
1
1
3n n ∞
=+∑发散. （4）
1112(1)1(1)22
2n n n
n n n n ∞
∞-==⎛⎫
+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而11
12n n ∞
-=∑,1(1)2m n
n ∞=-∑是公比分别为1
2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)2
2n n n n ∞
-=⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛.
（5）
ln
ln ln(1)1
n
n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+
ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞
=-∞,所以级数
1
ln
1
n n
n ∞
=+∑发散. （6）
2210,2n n S S +==-
∴
lim n n S →∞
不存在，从而级数1
(1)2n n ∞
=-∑发散.
（7）
1
lim lim
10n n n n U n
→∞
→∞+==≠
∴ 级数
1
1
n n n ∞
=+∑发散. （8） (1)(1)1
, lim 21212
n n n n n n U n n →∞--==++
∴ lim 0n x U →∞
≠，故级数1(1)21
n n n
n ∞
=-+∑发散.
2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：
(1) ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※
∑∞
=++1
)2)(1(1
n n n n ; (3) ∑∞
=⋅1
2sin n n n π
; (4)
π
cos
2
n n ∞
=∑． 解：（1）1111, 23n n n n ∞
∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112
3n n n ∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其
和为1+
12=3
2
. （2）
11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫
=-+ ⎪++++⎝⎭
∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
1lim 4n n S →∞
=
故级数收敛，且其和为14
. （3）πsin 2n U n n =,而π
sin
ππ2lim lim 0π222n n n U n
→∞→∞=⋅=≠，故级数1
πsin
2n n n ∞
=⋅∑发散. （4）π
cos 2
n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-
故lim n n U →∞不存在，所以级数
π
cos
2
n n ∞
=∑发散. 3※
． 设
1n
n U
∞
=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明
1
n
n U
∞
=∑亦收敛．
证：设
1
(0)n
n n U
U ∞
=>∑加括号后级数1
n n A ∞
=∑收敛，其和为S .考虑原级数1
n n U ∞
=∑的部分和
1
n k k S U ∞
==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=，故存在0n ,使
1
1
n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑
又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n
n S →∞
存在，即原级数
1
n
n U
∞
=∑亦收敛.
习题9-2
1． 判定下列正项级数的收敛性：
(1) ∑∞
=++1n n n )2)(1(1
; (2)
∑
∞
=+1n n n 1; (3) ∑∞
=++1n n n n )2(2; (4)
∑
∞
=+1n n n )
5(12
；
(5) 1
11n
n a
∞
=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞
=+1
n n
b
a 1
(a , b ＞0);
(7)
(
)
∑∞=--+1n a n a n 2
2 (a ＞0); (8)
∑∞
=-+1
n n
n 1
21
4
； (9) ∑∞
=⋅1n n
n n 23； (10) ※
∑∞
=1
n n
n n !; (11) ∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1
n n n )13(1074)
12(753 ; (12)
∑∞
=1
n n n
3； (13) ※
∑∞
=1n n n 22
)!(2； (14)
∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+1n n
n n 12; (15)
∑∞
=1
πn n
n
3sin
2
; (16) ∑
∞
=1
π
n n n n 2cos 3
2
．
解：（1）因为211
(1)(2)n n n <++而211n n
∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞
=++∑收
敛.
（2
）因为lim lim
10n n n U →∞
→∞
==≠，故原级数发散. （3）因为21
(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111
n n ∞
=+∑发散，由比较判别法知，级数
1
2
(1)n n n n ∞
=++∑发散. （4）
3
2
1n
<
=
,
而
1
n ∞
=是收敛的p -
级数3
(1)2
p =
>,由比较判别法知,
级数
1
n ∞
=收敛.
（5）因为1
1
1lim lim lim(1)111n n n n n n n n a a a a
a
→∞→∞→∞+==-++ 11112001
a a a >⎧⎪⎪
==⎨⎪<<⎪⎩
而当1a >时，11n n a ∞
=∑收敛，故11
1n
n a
∞
=+∑收敛; 当1a =时，11
n n a
∞
=∑=
1
1n ∞
=∑发散，故1
1
1n
n a ∞
=+∑
发散; 当01a <<时1lim
101n n a →∞=≠+，故1lim
1n
n a →∞+发散; 综上所述，当01a <≤时，级数1lim 1n n a →∞+发散，当1
a >时，1
lim 1n
n a →∞+收敛. （6）因为1lim lim lim(1)1n n n n
n n n n
b a a b a b a b b →∞→∞→∞+==-++
1
1111
01b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时, 11n n b ∞
=∑收敛，故1
1
n
n a b ∞
=+∑收敛; 当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 1
01a <<+∞+,故11n
n a b ∞=+∑也发散; 当01b <<时，11
lim 0n n a b a →∞=≠+故1
1n n a b ∞
=+∑发散; 综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞
=+∑发散;当b >1时，级数11
n
n a b
∞
=+∑收敛. （7
）因为n n n
→∞=
0n a ==>
而11n n
∞
=∑
发散，故级数10)n a ∞
=>∑发散.
（8）因为43443
1121lim lim 1212
n n n n n n n n →∞→∞++-==-
而311n n ∞
=∑收敛，故级数21
121n n n ∞
=+-∑收敛.
（9）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n n
U n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数1
32n
n
n n ∞
=⋅∑发散. （10）因为11(1)!1
lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n n
U n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别
法知，级数1!
n
n n n ∞
=∑发散.
（11）因为1357(21)(23)4710(31)
lim
lim 4710(31)(34)357(21)n n n n
U n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+
232
lim
1343
n n n →∞+==<+,
由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.
（12）因为111311
lim lim lim 1333n n n n n n n
U n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，
级数
13
n
n n
∞
=∑收敛. （13）因为2
222
1221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n n
U n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1
lim lim lim 222ln 22ln 2
x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅
212
1lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2
121(1)lim lim 012n n n n n
U n U ++→∞→∞+==<
由达朗贝尔比值判别法知，级数
2
21
(!)2
n n n ∞
=∑
收敛.
（14
）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121n
n n n ∞
=⎛⎫
⎪+⎝⎭
∑收敛.
（15）因为ππ
2sin
sin 33lim lim 1π2π
33n n n
n n n n n
→∞→∞==⋅
而112233n
n n n n ∞
∞
==⎛⎫
= ⎪⎝⎭
∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，
由比较判别法的极限形式知，级数
1
π
2sin
3n n
n ∞
=∑收敛. （16）因为
2
π
cos 322n n n n n ≤而与（12）题类似地可证级数1
2n n n ∞
=∑收敛，由比较判别法知级数
1
π
cos 32n
n n n ∞
=∑
收敛.
2． 试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：
(1) ∑∞
=1
n n
n x ; (2)
n
n x n ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛1
23． 解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n n
U x n nx
x U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++
由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散;
当01x <<时，原级数收敛; 而当1x =时，原级数变为调
1
1
n n ∞
=∑，它是发散的. 综上所述，当01x <<时，级数1
n
n x n ∞
=∑收敛.
（2）因为1
31
3(1)2lim
lim 2
2n n n n n n
x n U x
U x n ++→∞→∞
⎛⎫
+⋅ ⎪
⎝⎭==
⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即
2x >时，原级数发散;。