苏教版八年级一次函数知识点整理(精华)

苏教版八年级上学期一次函数知识点整理（最新）知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （ k ， b 为常数， k ≠0）的形式，则称y 是 x 的一次函数（ x为自变量），特别地， 当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数 . 例如： y=2x+3 ，y=-x+2 ，y= 12 1 x 等都是一次函数， y= x ，2y=-x 都是正比例函数 .【说明】 （ 1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定 .（ 2）一次函数 意义相同，即自变量 y=kx+b （k ， b 为常数， b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次” x 的次数为 1，一次项系数 k 必须是不为零的常数， b 可为任意常数 .（ 3）当 b=0， k ≠ 0 时， y=b 仍是一次函数 . （ 4）当 b=0， k=0 时，它不是一次函数 探究交流有人说：“正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别．. ”点拨 这种说法不完全正确．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当 次函数才能成为正比例函数．知识点 2 确定一次函数的关系式b=0 时，一根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式， 实质是先列出一个方程， 再用含 x 的代数式表示 y ．知识点 3 函数的图象 把一个函数的自变量x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 4 一次函数的图象由于一次函数 y=kx+b ．y=kx+b （ k ，b 为常数， k ≠ 0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一 b 般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（ 0，b ），直线与 x 轴的交点（ -， 0）. 但也不必一定选取这两个特殊k点 . 画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0， 0），（1， k ）即可 .知识点 （ 1）k 5 一次函数 y=kx+b （ k ， b 为常数， k ≠ 0）的性质的正负决定直线的倾斜方向； ① k ＞0 时， y 的值随 ② k ﹤O 时， y 的值x 值的增大而增大； x 值的增大而减小． （ 2） |k| 大小决定直线的倾斜程度，即 |k| 越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡）， |k| 越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（ 3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当 ②当 ③当 b ＞ 0 时，直线与 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴上； y 轴交于负半轴上； b=0 时，直线经过原点，是正比例函数．（ 4）由于 k ， b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图 11－ 18（ l ）所示，当 k ＞0， b ＞ 0 时，直线经过第一、二、 三象限（直线不经过第四象限） ； ②如图 11－ 18（ 2）所示，当 k ＞0， b ﹥ O 时，直线经过第一、三、 四象限（直线不经过第二象限） ； ③如图 11－ 18（ 3）所示，当 k ﹤O ， b ＞ 0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图 11－ 18（ 4）所示，当 k ﹤ O ， b ﹤ O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （ 5）由于 |k| 决定直线与 x 轴相交的锐角的大小， k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角， 因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线 移一个单位得到的．知识点 6 正比例函数 y=kx （ k ≠ 0）的性质 y=x ＋ 1 可以看作是正比例函数y=x 向上平（ 1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点； （ 2）当 （ 3）当 k ＞ 0 时，图象经过第一、三象限 k ＜ 0 时，图象经过第二、四象限,y 随 ,y 随 x 的增大而增大； x 的增大而减小．知识点 7 点 P （ x 0， y 0）与直线 （ 1）如果点 P （ x 0， y 0）在直线 的图象的关系y=kx+b y=kx+b 的图象上，那么 x 0,y 0 的值必满足解析式 y=kx+b ；（ 2）如果 x 0，y 0 是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0， y 0 为坐标的点 P （ x 0，y 0）必在函数的图象上．例如：点 P （ 1， 2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时， y=2，则点 P （ 1， 2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P ′（ 2， 1）不满足解析式 y=x+1，因为当 x=2 时， y=3 ，所以点 P ′（ 2， 1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点 8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 （ 1）由于正比例函数 y=kx （ k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得 k 的值．（ 2）由于一次函数 y=kx+b （k ≠ 0）中有两个待定系数 k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于 的值．k ， b 的方程，求得 k ， b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 知识点 9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组） ，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．知识点 10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 例如： 函数 y=kx+b 中， k ，b 就是待定系数．（ 1）设函数表达式为y=kx+b ；（ 2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组） （ 3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式． ；例如：已知一次函数的图象经过点（ 2， 1）和（ -1 ，-3 ）求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为 由题意可知，y ＝ kx+b （ k ≠ 0），4k, 3 5 31 2k b, k 4 35 3解∴此函数的关系式为y= x．3b,b. 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式， 具体步骤如下： 第一步， 设（根据题中要求的函数 “设”关系式 y=kx+b ，其中 k ，b 是未知的常量，且 k ≠ 0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程 组），解这个方程（或方程组） ，求出待定系数 k ， b ）；第三步，求（把求得的k ， b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式） 知识点 11 一次函数与一次方程（组） 解一次方程（组）与.、不等式的关系一 次 函 数 问 题不等式问题 从“数”的角度从“形”的角度当直线 y=kx ＋ b 上点的纵坐标为 0 时，解一元一次方程kx ＋ b=0 当一次函数 y=kx ＋ b 的函数值（ y 求这个点的横坐标是什么？（即求直线与 x 轴的交点坐标）值）等于 0 时求自变量 x 的值解一元一次方程kx ＋ b=c 解一元一次不等式当一次函数 值）等于 c 当一次函数 y=kx ＋ b 的函数值（ 当直线 y=kx ＋ b 上点的纵坐标为求这个点的横坐标是什么？c 时，y 时求自变量 x 的值 y=kx ＋ b 的函数值（ 当直线 y=kx ＋ b 上的点的纵坐标大于y 0kx ＋ b ﹥ 0（或﹤ 0）值）大于 0（或小于 0）时求自变 量 x 的值（或小于 0）时，求这些点的横坐标在 什么范围？（即求直线与 x 轴的交点坐标的上方（或下方）的部分直线的横坐标的范围）当直线 y=kx ＋ b 上的点的纵坐标大于 当一次函数 y=kx ＋ b 的函数值（ y m解一元一次不等式 kx ＋ b ﹥ m （或﹤ m ）值）大于 m （或小于 m ）时求自变 量 x 的值（或小于 什么范围？m ）时，求这些点的横坐标在 在相同横坐标的情况下, 当直线 y=kx ＋当一次函数 y=kx ＋ b 的值大于 mx 解一元一次不等式 kx ＋ b ﹥ mx ＋ n b 上的点的纵坐标大于直线 y=mx ＋ n 上＋ n 的值时，对应的自变量 围是多少？x 的范 的点的纵坐标时，求这些点的横坐标在什么范围？解二元一次方程组当一次函数 y=kx ＋b 与 y=mx ＋ n 当直线 y=kx ＋ b 与直线 y=mx ＋ n 相交时 求交点坐标y y kx b 的值相等时，对应的自变量值是多少？这个函数值是多少？x 的mx n思想方法小结：（ 1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的 方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（ 2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问 题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结（ 1）常数 k ， b 对直线 y=kx+b(k ≠ 0）位置的影响．①当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴的正半轴相交； 当 b=0 时，直线经过原点；当 b ﹤ 0 时，直线与 y 轴的负半轴相交．②当 k ， b 异号时，即 - b＞ 0 时，直线与 k当 b=0 时，即 - b=0 时，直线经过原点；kx 轴正半轴相交；b 当 k ， b 同号时，即 -﹤ 0 时，直线与 k轴负半轴相交．x ③当 b ＞ O ， b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限；当 当 当 当 当 k ＞ 0， b=0 时，图象经过第一、三象限； b ＞ O ， b ＜ O 时，图象经过第一、三、四象限； k ﹤ O ， b ＞ 0 时，图象经过第一、二、四象限； k ﹤ O ， b=0 时，图象经过第二、四象限；b ＜ O ， b ＜ O 时，图象经过第二、三、四象（ 2）直线 y=kx+b （ k ≠ 0）与直线 y=kx(k ≠0) 的位置关系． 直线 y=kx+b(k ≠ 0) 平行于直线y=kx(k ≠ 0)当 b ＞ 0 时，把直线 当 b ﹤ O 时，把直y=kx 向上平移 y=kx 向下平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b ； |b| 个单位，可得直线 y=kx+b ． （ 3）直线 ① k 1≠ k 2 b 1=k 1x+b 1 与直线 y 2=k 2x+b 2（ k 1≠ 0 ，k 2≠ 0）的位置关系． y 1 与 y 2 相交；k1 b1k2 b2②y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；k1 b1k2 , b2③y 1 与y2 平行；k1 b1k2 , b2④y 1 与y2 重合典x=2 时，y=7. 型例题例1 已知与x 成正比例，且y-3（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4 时，求y 的值；（3）当y=4 时，求x 的值．[分析] 由y-3 与成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2 ，y=7 ，可求出k，则可以写出关系式．x解：（1 ）由于y-3 与x 成正比例，所以设．y-3=kx把x=2 ，y=7 代入y-3=kx 中，得7-3 ＝2k，∴k ＝2．∴y与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即．y=2x+3（2）当x=4 时，y=2 ×4+3=11 ．1（3）当y＝4 时，4=2x+3 ，∴x= .2学生做一做已知y 与x+1 成正比例，当x=5 时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是.老师评一评由y 与x+1 成正比例，可设y 与x 的函数关系式为x=k （x+1 ）.再把x=5 ，y=12 代入，求出k 的值，即可得出y 关于x 的函数关系式．设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1 ）.∵当x=5 时，y=12 ，∴12= （5+1 ）k，∴k=2 ．∴y关于x 的函数关系式为y=2x+2 ．【注意】y 与x+1 成正比例，表示y=k(x+1) ，不要误认为y=kx+1.例2 （2003·哈尔滨）若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m的取值范围是（）1212A．m﹤O ．m＞0 ．m﹤ D ．m＞B C[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1＜x2 时，y 1＞y 2，说明y 随x 的增大而减小，所以1-2m1，故正确答案为﹤O, ∴m＞ D 项．2例3（2003·陕西）已知直线y=2x+1 ．（1）求已知直线与y 轴交点M的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k，b 的值．老师评一评（1）令x=0 ，则y=2 ×0+1=1，∴M （0，1）．∴直线y=2x+1 与y 轴交点M 的坐标为(0 ，1)（2）∵直线y=kx+b 与y=2x+l 关于y 轴对称，∴两直线上的点关于y 轴对称．1又∵直线y＝2x+1 与x 轴、y 轴的交点分别为 A （- ，0），B（0 ，1 ）,2 1∴A（- ，0），B （0，1）关于y 轴的对称点为21A ′（- ，0），B′（0，1）．21∴直线y=kx+b 必经过点A′（- ，0），B ′（0，1）．212把A′（- ，0），B′（0，1）代入y=kx+b 中得1kkb2, 1.0b,∴∴k＝-2 ，b＝1．21 0 b,小结当两条直线关于x 轴（或y 轴）对称时，则它们图象上的点也必关于x 轴（或y 轴）对称．例如：对于两个一次函数，若它们关于x 轴对称，求出已知一个一次函数和x 轴、y 轴的交点，再分别求出这两个点关于x 轴的对称点，利用求出的两个对称点，就可以求出另一个函数的解析式．例4 已知y+2 与x 成正比例，且（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；x=-2 时，y=0 ．（3）观察图象，当x 取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，且S△ABP=4，求P 点的坐标．［分析］由已知y+2 与x 成正比例，可设y+2=kx ，把x=-2 ，y=0 代入，可求出k，这样即可得到y 与x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6 ）在该函数的图象上，把x=m ，y=6 代入即可求出m 的值．解：（1 ）∵y+2 与x 成正比例，∴设y+2=kx （k 是常数，且k ≠0）∵当 x=-2 时， y=0 ． ∴0+2 ＝k ·（ -2 ），∴k ＝ -1 ． ∴函数关系式为 x+2=-x ， 即 y=-x-2 ．（ 2）列表；x 0 -2 y-2描点、连线，图象如图11－ 23 所示．（ 3）由函数图象可知，当 x ≤-2 时， y ≥0．∴当 x ≤-2 时， y ≥0．(4) ∵点（m ，6）在该函数的图象上， ∴6=-m-2, ∴m ＝ -8 ．（ 5）函数 y=-x-2 分别交 x 轴、 y 轴于 A ， B 两点， ∴A （ -2 ， 0 ）， B （ 0， -2 ）． 1 28 ∵S △ABP =·|AP| ·|OA|=4 ，82∴|BP|=4 . ∴点P 与点 B 的距离为 4 ．| OA | 又∵B 点坐标为 (0 ， -2), 且 P 在 y 轴负半轴上， ∴P 点坐标为 (0 ， -6).2例 5 已知一次函数 y=（ 3-k ） x-2k +18. （ 1）k （ 3）k （ 4）k 为何值时，它的图象经过原点？（ 2） k 为何值时，它的图象经过点（0， -2 ） ?为何值时，它的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（ 5） k 为何值时， y 随 x 的增大而减小？[分析 ] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与 y 轴的交点在 y 轴上方，说明常数项b ＞ O ；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随 x 的增大而减小，说明一次项系数小于0 ．解：（1 ）图象经过原点，则它是正比例函数．22k 180, 0,∴∴k＝-2．∴当k=-3 时，它的图象经过原点．3k（2）该一次函数的图象经过点（0 ，-2 ）.∴k= ±10∴-2=-2k 2 +18 ，且3-k ≠0，∴当k=±10 时，它的图象经过点(0 ，-2)（3）∵图象与y 轴的交点在x 轴上方，即b＞0 ．∴-2k 2+18 ＞0 ，∴-3 ＜k＜3，∴当-3 ﹤k﹤3 时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．（4）函数图象平行于直线y=-x ，∴3-k=-1 ，∴k＝4 ．∴当k＝4 时，它的图象平行于直线x=-x ．（5）∵随x 的增大而减小，∴3-k ﹤O．∴k＞3．∴当k＞3 时，y随x 的增大而减小．5 225 4例6 已知直线y=kx+b 经过点（，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为，求此直线的解析式.52设直线y=kx+b 与x 轴、5错解：∵直线经过点（，0），∴0=k+b, ①2y 轴的交点坐标分别为bkA （- ，0），B （0，b），25 411b254又S△ABO = ,∴S △ABO = |OA| ·|OB|= ·（- ）·b=.22k1 2bk254即() b ，②5由①得b=- k，代入②中得2k=-2 ，∴b=5.∴所求直线的解析式为y=-2x+5 ．b[分析] 上述解法出现了漏解的情况，由于解题时忽略了|OA|=|- | ，|OB|=|b|k中的绝对值符号，因此，也就漏掉了一个解析式．5 25正解：∵直线经过点（，0），∴0=k+b ，①2b 设直线 y=kx+b 与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为 A （ - ， 0 ）， B （0 ， b ），kb b∴|OA|=|-|=||， |OB|=|b|.kk25 41 21 b 25 4又∵S △AOB =，∴S △AOB |OA| ·|OB|=·| |·|b|=，=2 k 1 2 b k25 45 即b，② 由①得 b=- k ，代入②中得 |k|=2 ，2∴k 1＝ 2 ， k 2＝-2 ，∴b 1＝-5 ， b 2＝ 5． ∴所求直线的解析式为 y=2x-5 或 y=-2x+5 ．例 7 （ 2004·沈阳）某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为吨和 60 吨，该市的 C 县和 D 县分别 90 储存化肥 所示．100 吨和 50 吨，全部调配给 A 县和 B 县．已知 C ， D 两县运化肥到 A ， B 两县的运费（元／吨）如下表（ 1）设 C 县运到 A 县的化肥为x 吨，求总运费 并写出自变量 W （元）与 x （吨）的函数关系式， x 的取值范围；（ 2）求最低总运费，并说明总 运送方案．运费最低时的［分析］ 利用表格来分析 C ， D两县运到 A ，B 两县的化肥情况如下表．则总运费 （元）与 x （吨） W的函数关系式为：W=35x+40 （ 90-x ）+30 （ 100-x ） +45[60-（ 100-x ） ]=10x+4800 ．自变量 x 的取值范围是 40≤x ≤90 ．解：（1 ）由 C 县运往 A 县的化肥为 x 吨，则 C 县运往 B 县的化肥为（ 100-x ）吨． D 县运往 A 县的化肥为（ 90-x ）吨， D 县运往 B 县的化肥为（ x-40 ）吨． 由题意可知W ＝ 35x+40 （ 90-x ） +30 （ 100-x ） +45 （ x-40 ）＝ 10x+4800 ． 自变量 x 的取值范围为 40≤x ≤90 ．∴总运费 W （元）与 x （吨）之间的函数关系式为 w ＝ 1Ox+480O （ 40≤x ≤9O ）．（ 2）∵10 ＞0 ， ∴W 随 x 的增大而增大．∴当 x=40 时， W 最小值 =10 ×40+4800=5200（元）．运费最低时， x=40 ， 90-x=50 （吨），x-40=0 （吨）． ∴当总运费最低时，运送方案是： C 县的 100 吨化肥 40 吨运往 A 县， 60 吨运往 B 县， D 县的 50 吨化肥全部运往 A 县．例 8 （ 2004·黑龙江） 图 11－ 30 表示甲、 乙两名选手在一次自行车越野赛中， 路程 y （千米） 随时间 x （分）变化的图象（全程） ，根据图象回答下列问题． （ 1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？（ 2）这次比赛全程是多少千米？（ 3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？［分析］ 本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的 能力．解决本 题的关键是写出甲、乙两人在行驶中，路程y （千米）随时间x （分）变化的函数关 系式，其中：乙的函数图象为正比例函数，而甲的函数图象则是三段线 段，第一段是正比例函数，第二段和第三段是一次函数，需分别求出．1 910 31 910 3解：（ 1）当 15≤x ＜ 33 时，设 y A B =k 1x+b 1 ，把（ 15 ，5 ）和（ 33，7）代入， 解得 ∴y AB =k 1 =,b 1=, x+.1 当 y=6 时，有 6=x+910 3， ∴x=24 。