研究生2008矩阵理论试卷

矩阵理论试卷（A ）（2008级） (共1页) 成绩

学院班级＿＿ ＿; 姓名＿＿＿ ＿＿； 学号＿ ＿＿ ＿＿ 1 （15分）给定 2222{()|}ij ij R A a a R ⨯⨯==∈（数域R 上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子集 221122i j {()|0, }

i j V A a a a a R ⨯==+=∈ （1）证明V 是22R ⨯的子空间；（2）求V 的维数和一组基；（3）求3253A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

在所求基下的坐标。 2 （15分）设α为n 维欧氏空间V 中的单位向量，对V 中任意一向量x , 定义线性变换: ()2(,)T T x x x αα=-, （1）证明：T 为正交变换； （2）证明 T 对应特征值1有n-1 个线性无关的特征向量；（3）问T 能否在某组基下的矩阵为对角阵，说明理由。

3 （15分）设矩阵010120110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

（1）求A 的若当标准形；（2）求A 的最小多项式；（3）计算532()45g A A A A E =+-+。

4（10分）设3

R 中的线性变换T 如下：123122323(,,)(2,,) ; ()i T x x x x x x x x x x R =--+∈

(1) 写出T 在基T T T 123 =(1, 1, 0),=(0, 1, 1), =(0, 0, 1)βββ下的矩阵；(2) 求3()T R 及()Ker T 。 5 （10分）已知多项式矩阵 2210007(2)00()00(1)00

00(1)(5)A λλλλλλλ-⎛⎫ ⎪++ ⎪= ⎪- ⎪++⎝⎭，求()A λ的初等因子及史密斯标准形。 6（10分）在欧氏空间4R 中， 对任意两个向量12341234(,,,) , (,,,),T T a a a a b b b b αβ==定义内积

1122334(, )2a b a b a b a b

αβ=+++ 求齐次方程组1234123

20 = 0x x x x x x x +-+=⎧⎨+-⎩ 的解空间的一组标准正交基。 7 （10分）(1) 设A 为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有11||||||||--≥A A 。

（2）设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+-=21512363

11684i i A , 利用(1)的结论分别估计11||||-A 和∞-||||1A 的下界。 8（15分）已知200111113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

A , 求矩阵函数()e t f =A A 。