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专题：旋转相似

模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。

条件： CD∥AB（本质即为△ OCD∽△ OAB），将△ OCD绕点 O旋转到图 1 和图 2 的位置。

结论：⑴、△ OCD∽△ OAB△ OAC∽△ OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。

⑵、延长AC交 BD于点 E，则∠ AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、 E、 B 四点共圆）

模型特例：共直角顶点的直角三角形相似

当∠ AOB=∠COD=90°时，除

⑴、△ OCD∽△ OAB△ OAC∽△ OBD

⑵、延长AC交 BD于点 E，则∠ AEB=∠ BOA=90°（用蝴蝶形图证明）外，还有结论

⑶、BD

OD OB tan OCD tan OAB AC OC OA

⑷、因为 AC⊥ BD于点 E，那么，若连AD、 BC，则四边形 ABCD对角线互相垂直，则

S

四边形 ABCD 1

AC BD 2

AD 2BC 2AB 2CD 2

例题讲解

例 1. 已知△ ABC 与△ DEF 都是等腰三角形， AB 、 EF 的中点均为 O ，且顶角∠ ACB=∠ EDF.

（1）如图 1，若∠ ACB=90, 探究 BF 与 CD 间的数量关系；

3

，求

BF

（2）如图 2，若 tan ∠ ACB=

的值；

4

CD

（3）如图 3，若△ ABC 中 AC=BC=a ，将△ DEF 绕点 O 旋转，设直线 CD 与直线 BF 交于点 H ，则 S BCH 最大

值

为__________ （用含 a 的式子表示）。分析：

（ 1）连 OC ， OD ，△ OBF ≌ △ OCD ， BF=CD

B

E

B

O

D

E

O

F

F

A

C

D

C

A

（2）构造手拉手旋转相似。可证△

OBC ∽ △ OFD, △ ODC ∽ △ OFB

BF OB

1

∠ACB

= =tan

CD OC

2

tan ∠ ACB=3 ，求 tan

1

∠ACB 的问题，必须

问题转化为已知

4

2

熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。

由右图提示可得 tan

1

∠ ACB = 1

； 2 3

（ 3）由（ 2）△ OBC ∽ △ OFD, △ ODC ∽ △ OFB ，蝴蝶形图易得∠ CHB=∠ COB=90°；又 BC=a ，定边定角，

点 H 在以 BC 为直径的圆上，易求 S BCH max

1 a 1 a 1 a 2

2 2 4

例 2. 如图１，已知在正方形ABCD和正方形 BEFG中，求证：AG＝CE；求DF

的值AG

分析：如图 2，证△ABG△ CBE，∴AG=CE 如图 2，连接 BD， BF，DF，

易证BD BF

2 ，DBC FBE45，BC BE

∴∠DBF = ∠CBE ∴△DBF ~△CBE ∴ DF BD2 CE BC

∵AG=CE

∴ DF DF2 AG CE

变式：如图 3，正方形 ABCD和 EFGH中， O为 BC，EF 中点 (1) 求证： AH=DG;(2)求AH

的值。CF

分析： (1) 连接 OA, OH, OD, OG,

易证： △ AOH ~△ DOG

AH

DG

OE OB

1

(2)

AB ,

EH 2

△ ABO ~△ HEO , AOB HOE ,

AOH BOE ,

又

OE

OH

OB

,

OA

△OBE ~△OAH ,

AH

AO

5

BE BO

易证△ BOE △ COF ，

BE CF,

AH 5

CF

例 3. 如图，∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 90°，∠ ABC ＝∠ CED ＝∠ CAE ＝ 30°， AC ＝ 3， AE ＝ 8，求 AD 的长。

A

C

B

分析：

连接 BE ，由基本图形易得

D

E

3

可证△ ACD ∽△ BCE ， AD ＝

3 BE ，∠

BAE ＝ 90°

在 Rt △

作，由勾股定理求得 ＝ 10

ABE

BE

则 AD ＝ 10 3

A

3

C

B

D

E

练习

1.如图，点

A

是△内一点，

AB

2 3,

BC

8,

ABC

600

， DAC

1200,

求 BD DBC， AD AC

得长。

分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.