空间向量的正交分解及坐标表示
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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
空间向量的正交分解及其坐标表示
OP xOA yOB zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
如果基向量 e1 、e2 、e3 是空间三个两两垂直的 单位向量,那么对空间任一向量 p ,存在一个有序实
数组x, y, z 使得 p xe1 ye2 ze3 .这种分解叫做
空间向量的单位正交分解.
其中 xe1、ye2、ze3 分别叫做 p 在 e1、e2、e3 方向 上的分向量.
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
1.长度的计算 已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
2.角度的计算
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
则顶点 D 的坐标为__(1_,_-1_,_2_)_______; ⑵ Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C( x, 0,1) ,则 x _2___;
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
如果基向量 e1 、e2 、e3 是空间三个两两垂直的 单位向量,那么对空间任一向量 p ,存在一个有序实
数组x, y, z 使得 p xe1 ye2 ze3 .这种分解叫做
空间向量的单位正交分解.
其中 xe1、ye2、ze3 分别叫做 p 在 e1、e2、e3 方向 上的分向量.
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
1.长度的计算 已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
2.角度的计算
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
则顶点 D 的坐标为__(1_,_-1_,_2_)_______; ⑵ Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C( x, 0,1) ,则 x _2___;
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
选修2-1空间向量正交分解及坐标表示
已知A(x 1，y1，z 1）,
(4)则点A(x 1，y 1，z 1）关于x轴的 对称点A 4(x 1，-y 1，-z 1 ); (5)则点A(x 1，y 1，z 1）关于y轴的 对称点A5(-x 1，y 1，-z 1 ); (6)则点A(x 1，y 1，z 1）关于z轴的 对称点A6(-x 1，-y 1，z 1 )。
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a / /b的 充要条件是存在实数，使a＝ b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
一、空间向量的正交分解 设 i, j , k 是空间三个两两垂直的向
如果 i , j , k 是空间三个两两垂直的向量，那么， 对空间任一向量 p ，存在一个有序实数组 x, y, z, 使得
p xi y j z k
这一过程叫做将空间向量正交分解
我们称xi,y j, z k为向量 p在i, j, k上的 分向量
思考2：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类 似的结论吗？
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5O 1y源自x例．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
z
A` B` B D`
O A
2.将向量的终点坐标减去起点坐标，即为向量 坐标。
探究：向量运算的坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
z
以 i, j, k 为单位正交基底
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
i
j
x
y y 记 p (x, y, z)
x
OP ( x, y, z) P( x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
使 AP xa yb .
O
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上
3.中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
空间向量的正交分解及其坐标表示
1 1 MN ( , 0, ), 2 2 DC (已知向量 p 在基底{ a, b, c }下的坐标是 (2，3，-1)，求 p 在基底{ a, a b, a b c }下的
坐标.
例2.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
M，N分别是AB，PC的中点，且PA=AD=1，试建 立适当的坐标系写出向量 的坐标 . MN， DC
1 1 1 1 M (0, , 0) N ( , , ) 答案： 2 2 2 2
z
C( -1, 1, 0 ) , D( 1, 0, 0 )
1 2 略解： OP OM MP OA MN 2 3 1 1 1 OA OB OC 6 3 3 1 1 OQ OM MQ OA MN 2 3 1 1 1 OA OB OC 3 6 6
2.空间向量的坐标表示 当基向量 e1 , e 2 , e 3 为两两垂直的单位向量时（我们称 它们为单位正交基底），以 e1 , e 2 , e 3 的公共起点O为原 点，分别以 e1 , e 2 , e 3 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建
立空间直角坐标系，则对于空间任一向量 p 作正交分解
(1) AP (2) AM (3) AN (4) AQ
1 1 1 答案 (1) AP a b c 2 2 2 1 (3) AN a b c 2
.
1 1 (2) AM a b c 2 2 1 1 4 (4) AQ a b c 5 5 5
二、新知识 1.空间向量基本定理 定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任 a , b , c 一向量 p ，存在有序实数组 { x , y , z } ，使得 p xa yb zc 其中{ a, b, c }叫做空间的一个基底，而 a, b, c 都
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
2 2 2
| AB | AB AB
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
DA i , DC j , DD1 k . 建立如图的空间直角坐标系
D1
C1 B1
A1 D A
E F
B C
y
x
AE D1 F (0,1, ) (0, , 1) 0. AE D1 F .
2 2 2 2
例 4.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
∵ a， b ，不同面， c
1 （x y ） 1 2 x 1 ∴ B1C OD OC1， ∴1 （ x y ） 0 即 2 y 1 x 1
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
类比：
由平面向量的基本定理，平面内的任意向量a, 均可分解为可分解为不共线的向量 1a 1和2 a 2，使得 a 1a 1 2 a 2 .如果 a 1 a 2时，这种分解就是平 面向量的正交分解. 如果取a 1，a 2为平面直角坐标 系的坐标的坐标轴方向单位向量 i , j , 则存在 一 对实数x、 y，使得 a x i y j ,，即得到平面向量 的坐标坐标a ( x, y).
2 2 2
| AB | AB AB
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
DA i , DC j , DD1 k . 建立如图的空间直角坐标系
D1
C1 B1
A1 D A
E F
B C
y
x
AE D1 F (0,1, ) (0, , 1) 0. AE D1 F .
2 2 2 2
例 4.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
∵ a， b ，不同面， c
1 （x y ） 1 2 x 1 ∴ B1C OD OC1， ∴1 （ x y ） 0 即 2 y 1 x 1
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
类比：
由平面向量的基本定理，平面内的任意向量a, 均可分解为可分解为不共线的向量 1a 1和2 a 2，使得 a 1a 1 2 a 2 .如果 a 1 a 2时，这种分解就是平 面向量的正交分解. 如果取a 1，a 2为平面直角坐标 系的坐标的坐标轴方向单位向量 i , j , 则存在 一 对实数x、 y，使得 a x i y j ,，即得到平面向量 的坐标坐标a ( x, y).
空间向量的正交分解及其坐标表示
z
).
e3 e1
p e2
y
x
例题分析
例2. 设{i , j , k}是空间向量的一个单位正交基底
且m
2i
3
j
4k，n
i
2
j
5k ,
则m ,
n
的坐标分别为__(2_,_3_, _－__4_) _; _(－__1_,_2_, _－__5_) .
同步练习
注意: 1.空间任何三个不共面的向量都可以构成 一个基底;
2.基底确定后,任何一个向量的表示都是唯一 确定的,不同的向量对应不同的一组{x, y, z}.
例题分析
例1.
若
{a,
b,
c}
是空间的一个基底, 试问:
{a
b,
b
c,
c
a}能 否 作 为 空 间 的 一 个 基底 ?
已知向量 p 在基底{ a , b , c }下的坐标是
( 2 , 3 , －1 )求 p 在基底 { a , a＋b , a＋b＋c }
下的坐标.
(－1,4, －1)
空间向量的加减和数乘运算的坐标表示
设a
(1)a
(2)a
(3)a
(a1 , a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 ) (
c
b＋c
a＋c
O
b
a
a＋b
例题分析
例1.
若
{a,
b,
c}
是空间的一个基底, 试问:
{a
b,
b
课件13：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
讲一讲 3．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥ BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥底面 ABCD，∠PDA＝30°.试建立适当的坐标 系并求出图中各点的坐标．
解：以点 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在的 直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系．
2．归纳总结，核心必记 (1)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c__不__共__面___，那么对空间任一向 量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝_x_a_＋__y_b_＋__z_c_． 其中{a，b，c}叫做空间的一个__基__底__，a，b，c 都叫 做__基__向__量__．
∵AB＝BC＝a，
∴A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)．
∵AD＝2a，∴D(0，2a，0)．
∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AD.
又∵∠PDA＝30°，∴PA＝ADtan 30°＝233a，
故
P0，0，2
3
3a.
类题通法
(1)要用坐标表示空间向量，首先应建立恰当的空间直 角坐标系，建立空间直角坐标系时，一般选取从同一 点出发的，两两互相垂直的直线作为坐标轴． (2)根据空间向量基本定理对向量进行分解，用三个单 位正交基底的基向量表示，即可得到向量的坐标．
问题导思 (1)平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成 空间向量基底的三个向量有什么条件？
提示：__三__个__向__量__不__共__面____． (2)空间向量的基底是唯一的吗？ 提示：__由__空__间_向__量__基__本__定__理__可__知__，_任__意__三__个__不__共__面____ _的__向__量__都__可__以__组__成__空__间_的__一__个__基__底__，__所__以__空__间__的__基______ _底__有__无__数__个__，__因_此__不__唯__一__.
空间向量的标准正交分解与坐标表示
我们把a i x, a j y, a k z分别称为 向量a在x轴, y轴, z轴正方向上的投影.
向量的坐标等于它在坐 标轴正方向上的投影 .
一般地, 若b0为b的单位向量, 称a b0 | a | cos a, b 为向量a在向量b上的投影 .
z A(x,y,z) y
y叫做点A的纵坐标,
z叫做点A的竖坐标.
x
k i O j
在给定的坐标系中 , 令i, j, k为直角坐标系中 x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量 , 设a是空间任意向量 , 作OP a.
z
C P O
a
B y
k
j
D
根据向量的加法运算 ,有 OP OA AD DP
例1 如图, 在平行六面体ABCD ABC D中, AB a, AD b, AA c, M 是AC 的中点, N 是BC的中点, 用a, b, c表示MN .
D' A'
M
B' C
C'
c b
A
D
N
a
B
空间向量基本定理： 如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的 向量，a是空间任一向量,那么存在 唯一一组实数1,2,3,使得
a= 1e1+2e2+3e3。 空间不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个
空间的一个基底.
对于基底e1 , e2 , e3 (1)此三个向量不共面； (2)任意不共面的三个向量都可做为空间的 一个基底，零向量的表示唯一 (3)由于零向量可视为与任意一个非零向量 共线，与任意两个非零向量共面，所以三个 向量不共面，就隐含它们都不是零向量 (4)一个基底是指一个向量组，一个基向 量是指基底中的某一个向量
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
0＝λ＋μ. 不共面．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
空间向量的正交分解及其坐标表示
题型一
基底的判断
【例1】 若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c ＋a}能否作为该空间的一个基底． 解 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c不共面，
1＝μ， ∴1＝λ， 此方程组无解． 0＝λ＋μ， ∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋ a}可以作为空间一个基底．
6 4 8 B. ( 5 , 5 , 5 ) 6 4 8 D. ( , , ) 5 5 5
解析 设点C坐标为(x，y，z)， 则 OC ＝(x，y，z)． 2 又 AB ＝(－3，－2，－4)， OC AB 5 4 6 8 ∴x ＝ ， y＝ ， z＝ . 5 5 5 答案 A
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自学导引
空间向量的正交分解及其坐标表示 2．
(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向 量e1，e2，e3称为单位正交基底．
(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，
分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空 间直角坐标系O－xyz.
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【变式3】 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别
是 AB、PC 的中点，并且 PA＝AD＝1，求MN的坐标．
→
解
作以 AD， AB， AP 为坐标轴
建立空间直角坐标系如图所示， 1 1 1 1 则 M(0， ， 0)， N( ， ， )． 2 2 2 2 1 1 ∴MN＝ ( ， 0， )． 2 2
空间向量的正交分解及其坐标表示
中点，求异面直线
SM
与
BN
所成角的余弦值 新疆 王新敞
奎屯
解：设 SA a ，SB b ，SC c ，则 a b b c a c 1 ，
∵ SM BN 1 (SA SB) (SN SB) 1 (a b) ( 1 c b) 2
2
2
2
11
1
2
( acab bcb )
22
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
2
2
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b
bc
ca
1
,
2
a
2
b
2
c
1 ,∴ MN MP
1
2
4
练习 2.在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中, AB 2 , BC 2 ,
显然这种正交分解更有利于我们的问题解决, 因为关于这些分向量的数量积运算非常简单.
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BO 的长都等于1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、b、c 表示 MN, MP ; ⑵求 MN MP .
AA1 6 ,且记 AB a , AD b , AA1a 、b 、c 表示 BD1, B1C ;
A1
B1
⑵求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值.
D
C
解:⑴ BD1 BA AD DD1 = a b c A
B
B1C B1B BC c b
⑵∵ a b b c c a 0 , a 2 4, b 2 4, c 2 36 ,
原创1：3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
以e1，e2， e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立
P(x，y，z)
e3
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量p，可以把它平移到以原点O为起点， O
e1
e2
y
得到OP=p.由空间向量基本定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得p= xe1 + e2 +ze3
Q (x，y，0)
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
2
2
D
x
N
M
C
B
y
归纳小结
(1)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，
解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
(2)根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的
线性关系式．
三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标．
所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量．
当堂训练
＝ OA＝ a.
2
2
典例分析
在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，
2
D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、1 的坐标．
【解析】(1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)
1
＝－[OO1＋ (OA＋OB)]
2
1
1
＝－OO1－ OA－ OB.
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的正交分解及坐标表示
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
平面向量基本定理是什么？空间向量中有类似的结论吗？
三个不共面的向量
如果有，应该如何表述？
,
Ԧ , Ԧ
P(x，y，z)
e3
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量p，可以把它平移到以原点O为起点， O
e1
e2
y
得到OP=p.由空间向量基本定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得p= xe1 + e2 +ze3
Q (x，y，0)
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
2
2
D
x
N
M
C
B
y
归纳小结
(1)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，
解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
(2)根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的
线性关系式．
三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标．
所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量．
当堂训练
＝ OA＝ a.
2
2
典例分析
在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，
2
D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、1 的坐标．
【解析】(1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)
1
＝－[OO1＋ (OA＋OB)]
2
1
1
＝－OO1－ OA－ OB.
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的正交分解及坐标表示
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
平面向量基本定理是什么？空间向量中有类似的结论吗？
三个不共面的向量
如果有，应该如何表述？
,
Ԧ , Ԧ
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练习3
（1） OB a b c
BA c b
CA a b c
( 2 ) OG 1 a b 1 c
2
2
四、学后反思
1、知识点：
2、问题探究过程的思路剖析：
[课下探究] 空间向量基本定理与课 本95页“思考“栏目中的第二问题 有什么联系？你有何体会？
五、作业：
11
1 , 1), 2 1) 0.
1, 1 ), 2
D A
x
uuur
F E Cy
B
uuuur
AE
D1F
(0,1,
) (0, 2
2
,
1)
0.
AE
D1F .
又A D I A E= A , D1F 平面ADE.
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底
建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以
uuur EF
(
1
,
1
,
1
)
，
2 22
又
A1
(1 , 0 uuuur
,
1)
，
D(0
,
0
,
0)
，
所以 所以
uDuAur1 EF uuur
(1 , 0 uuuur DA1
二、探究与发 现 [量探，究那一么]设对于i 、空j间、k任为意由一公个共向pr起量点O，的如三何个i用两两j 、互k相、垂直来的表向示？
z
P
p
k
o
j
y
i
Q
x
p xi y j zk
[探究二]如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互 相垂直的向量 a,b, c ，还有类似结论吗？
由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
P e3
O e1
e2
y
有序数组( x, y, z)叫做p在空间 x
直角坐标系O--xyz中的坐标，
记作.P=(x,y,z)
三、空间向量的正交分解及其坐标表示
由于空空间间向任量一向基量本定p理存，在对唯
z
一的p 有序xi实数y组j (xz,yk, z)使
2.空间向量的基底唯一吗？
任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。
（2）空间向量的坐标表示
单位正交基底：如果空间的一个基底的
三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个
基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一
个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别
注意：
rr
rr
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；
rr
rr
（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
rr
rr
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
例 4.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，
O 是 B1Duu1u的ur 中r点uu，uur求证r ：uuuuBr 1Cr∥面uuuOurDCr 1.r uuuur
证明：设 C1B1 a，C1D1 b，C1C c ,则 B1C c a ，C1O
uuur OD
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
r
r
已知 a (x, y, z),则 a x2 y2 z2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
uuuur
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
例 3.在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E 、F
分别是 BB1 、CD 的中点,求证: D1F 平面ADE .
证uu明ur : r设u正uur方体r 的uu棱uur长为ur 1,
uuuur OD1
r c
1（br 2
r a）
r c
,若存在实数
x,
y
,使得
uuuur B1C
uuur xOD
1（ar
r b）,
2 uuuur
yOC1成立，
则
r c
r a
x
1（br 2
r a）
cr
y
1（ar 2
br）
1（x 2
r y）a
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则
uuur AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
uuur | AB |
uuur uuur ABgAB
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
|
uuBuuEr 1 BE1 |
gDuFuu1ur | DF1
|
16 15 . 17 17 17
44
例 2 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E ，F 分别是 BB1 ，D1B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， uuur uuur uuuur
k j
i
三、定理应用
例1如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的
中点，P,Q是MN的三等分点。用向量 OA、OB 、OC
表示 OP 和 OQ 。
O
M
Q
A
P
C
N
B
解： OP OM MP 1 OA 2 MN
1
OA
2
2
(ON
OM
3
)
O
23
M
12
1
OA (ON OA)
P106 A组1. 2.
D’ A’
C’ B’
D A
C B
D’ A’
C’ B’
D A
C B
谢谢！再见！
练习.空间四边形OABC
中,OA=a,OB=b,OC=c
点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的
M
O中点,则 MN=().Biblioteka (A)1 2a
－2
3
b
+
1 2
c
(B)－
2 3
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
rar (a1, a2 , a3 )( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3
rr
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
rr
rr
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a,b都不是零向量)
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
学习目标
1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义， 掌握空间向量的正交分解及坐标表示
2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空 间向量基本定理及坐标表示。
3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题， 认识到事物都是在不断的发展变化的。
学习重点
空间向量基本定理
为共面向量,且
uuuur uuur uuuur B1C不在OD，OC1所确定的平面ODC1
内
∴ B1C // 平面ODC1，即B1C // 平面ODC1.
小结：
1、空间向量的坐标运算；
2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键：
PP k
记作 p =(x,yr,z)r ur
i Oj
i, j, k 为基底
y P′
空间向量 ur p
ur
一一对应 rr
x 有序实数组 ur ( x, y, z)
p xi y j zk
练习. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以A为 坐方轴标向、y原建轴点立、，空z以间轴直正AB角方,A坐向D标的,A系单A，位1为设向x向轴量量、，iy用轴，i向j、量，jkz轴为k，正x ， 表示向量AC1和BD1。
z
D1
C1
DA i, DC j, DD1 k.
A1
建立如图的空间直角坐标系
B1
uuur
uuuur
则uAuuADuurDuruDu1uF(uruu1u,u(0r, 01,)0, D,u0u1)uFr (0,(120,,
AD D1F. 又 AE (0,
uuur uuuur
以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、
z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个