九年级数学下册自主复习15直角三角形与勾股定理练习(新版)新人教版

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2023~2024学年新人教版九年级下《28.2 解直角三角形及其应用》高频题集

2023~2024学年新人教版九年级下《28.2 解直角三角形及其应用》高频题集考试总分：53 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）1. 如图，在塔前的平地上选择一点，测出塔顶的仰角为，从点向塔底走到达点，测出塔顶的仰角为，则塔的高为（）A.B.C.D. 2.已知，，观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是( )A.B.C.D.AB C 30∘C B 100m D 45∘AB 50m3–√100m3–√50(−1)m3–√50(+1)m3–√Rt △ABC ∠BAC =90∘∠C =∠BADAB ×AC =BC ×AD△ABD ∽△CADA =BD ×CDB 2BC =6AB 1:3–√3. 河堤横断面如图所示，坝高米，迎水坡的坡长比为，则的长为（）A.米B.米C.米D.米4. 为了有效地利用土地，安徽省各大中城市兴建高楼，如图，小明在某高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（）A.米B.米C.米D.米5. 如图所示，在两建筑物之间有一旗杆，高米，从点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角点，且俯角为，又从点测得点的俯角为，若旗杆底点为的中点，则矮建筑物的高为( )A.B.C.D.6. 如图，电线杆的高度为，两根拉线与互相垂直（，，在同一条直线上），若，则拉线的长度可以表示为( )BC =6AB 1:3–√AB 53–√43–√1263–√D 30∘60C 45∘82163527012A C α60∘A D β45∘G BC CD 2024−83–√24−43–√83–√CD =m AC BC A D B ∠CBA =αACA.B.C.D.7. 如图，一架飞机在点处测得水平地面上一个标志物的俯角为，水平飞行千米后到达点处，又测得标志物的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为（）A.千米B.千米C.千米D.千米8. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，则的周长为（）A.msin αm cos αmcos αm tan αA P αmB P βm cot α−cot βm cot β−cot αm tan α−tan βm tan β−tan α△ABC AC =BC =18∠B =75∘A C AC 12M N MN AC BC D E AE △AEC 18+63–√18+12–√B.C.D.卷II （非选择题）二、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）9. 如图，无人机在空中处测得地面，两点的俯角分别为，如果无人机距地面高度为米，，，在同一水平直线上，则，两点间的距离是__________米．（结果保留根号）10. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则＝________．11. 小明沿坡比为的山坡向上走了米．那么他升高了________米．三、解答题（本题共计 2 小题，每题 10 分，共计20分）12. 如图，在中，已知点，是以为直径的上的弧，交于点，是上一点（包括端点，点的坐标为．（1）若．①求的长；②求的最小值；18+122–√18+123–√18+62–√C A B ,60∘45∘CD 1003–√A D B A B 3⊙A O B(0,2)C y ⊙A tan ∠OCB 1:3–√100Rt △AOB O (0,0)，A (2,0)B (0,n),n >，32OD OA ⊙C AB D P OD O,D)E (0,)32n =2BD PB n =23–√∠POA =60∘（2）若，，求的长；（3）连接，若与相切的情况只存在一种，写出的取值范围，并说明理由．13. 如图，一幢居民楼临近山坡，山坡的坡度为，小亮在距山坡坡脚处测得楼顶的仰角为，当从处沿坡面行走米到达处时，测得楼顶的仰角刚好为，点，，在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，）n =23–√∠POA =60∘PB EP EP ODn OC AP AP i =1:3–√A C 60∘A 10P C 45∘O A B ≈1.733–√参考答案与试题解析2023~2024学年新人教版九年级下《28.2 解直角三角形及其应用》高频题集一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题锐角三角函数的定义【解析】本题根据等腰直角三角形，特殊的锐角三角函数值及锐角三角函数的定义，解直角三角形得到答案.【解答】解：在中，，，在中，，，，，，.故选．2.【答案】D【考点】作图—基本作图相似三角形的判定三角形的面积勾股定理Rt △ABD ∠ADB =45∘∴BD =AB Rt △ACB ∠C =30∘∴=tan AB BC 30∘∴BC ==AB AB tan 30∘3–√∵CD =100∴BC −BD =AB −AB =CD =1003–√∴AB =50(+1)(m)3–√D根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【解答】解：由尺规作图可得：，故正确；，，，即，，即，故正确；，，，故正确；是直角三角形，，故错误．故选．3.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长．【解答】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是，，∴，∴．故选．4.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】由于是和的公共直角边，可在中，根据的正切值，用表示出的长；同理可在中，根据的度数，用表示出的长；根据，即可求得的长．∠C =∠BAD A ∵∠BAC =90∘∴∠BAC =∠BAD +∠CAD =∠C +∠CAD =90∘∴∠ADC =90∘AD ⊥BC ∴=×AB ×AC =×BC ×AD S △ABC 1212AB ×AC =BC ×AD B ∵∠BAD =∠C ∠ADB =∠ADC =90∘∴△ABD ∽△CAD C ∵△ABD ∴A =B +A B 2D 2D 2D D AC AB AB 1:3–√BC =6m AC =6m 3–√AB ==12m A +B C 2C 2−−−−−−−−−−√C AB Rt △ABD Rt △ABC Rt △ABC ∠ACB AB BC Rt △ABD ∠D AB BD CD =BD −BC AB解：设楼高为．则，在中有：.解得．故选．5.【答案】B【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据点是中点，可判断是的中位线，求出，在和在中，利用特殊角的三角函数值分别求出、，继而可求出的长度．【解答】解：过点作于点，点是中点，，是的中位线，（米）.在中，，（米）．在中，（米），（米），米.故选.6.【答案】B【考点】AB x AB =CB =x Rt △ADB =DB AB 60+x x =tan60°=3–√x ≈82m A G BC EG △ABC AB Rt △ABC Rt △AFD BC DF CD D DF ⊥AF F ∵G BC EG//AB ∴EG △ABC ∴AB =2EG =24Rt △ABC ∵∠CAB =30∘∴BC =AB tan ∠BAC =24×=83–√33–√Rt △AFD ∵AF =BC =83–√∴FD =AF tan β=8×1=83–√3–√∴CD =AB −FD =(24−8)3–√B解直角三角形的应用锐角三角函数的定义【解析】根据同角的余角相等得，由，即可求出的长度．【解答】解：∵，，∴，在中，∵，.故选．7.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．【解答】作交于点，如右图所示，，，∵＝，∴，∴，8.【答案】C【考点】作线段的垂直平分线∠ACD =∠CBD cos ∠ACD =CD AC AC ∠ACD +∠BCD =90∘∠CBD +∠BCD =90∘∠ACD =∠CBD Rt △ACD cos ∠ACD =CD AC ∴AC ==CD cos ∠ACD m cos αB PC ⊥AB AB C AC =PC tan αBC =PC tan βm AC −BC m =−PC tan αPC tan βPC ==m −1tan α1tan βm cot α−cot β等腰三角形的判定与性质线段垂直平分线的性质解直角三角形的应用【解析】根据题意得出垂直平分，然后根据垂直平分线的性质、等腰三角形的的性质及解直角三角形的知识来解答即可.【解答】解：由题意可得，垂直平分，∴，.在中，，,∴.在中，，，∴的周长为.故选.二、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）9.【答案】【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【解答】解：∵无人机在空中处测得地面、两点的俯角分别为、，∴，，在中，∵，∴，在中，，∴．答：、两点间的距离为米．故答案为：．10.MN AC MN AC AD =CD =AC =912CE =AE △ABC AC =BC =18∠B =75∘∠C =−2∠B =180∘30∘Rt △CDE ∠CDE =90∘CE ==6CD cos 30∘3–√△AEC AC +CE +AE =18+6+6=18+123–√3–√3–√C 100(1+)3–√C A B 60∘45∘∠A =60∘∠B =45∘Rt △ACD tan A =CD AD AD ==1001003–√tan 60∘Rt △BCD BD =CD =1003–√AB =AD +BD =100+100=100(1+)3–√3–√A B 100(1+)3–√100(1+)3–√【考点】坐标与图形性质解直角三角形圆周角定理【解析】作直径，根据勾股定理求出，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得到＝，等量代换即可．【解答】作直径，在中，＝，＝，则，，由圆周角定理得，＝，则，11.【答案】【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】设＝米，根据坡度的概念得到米，根据勾股定理计算即可．【解答】∵坡比为，∴设＝米，则米，由勾股定理得，＝，即＝，解得，＝，＝（舍去），∴＝米，三、解答题（本题共计 2 小题，每题 10 分，共计20分）12.2–√4BD OD tan ∠BDO ∠OCB ∠BDO BD Rt △OBD BD 6OB 2OD ==4B −0D 2B 2−−−−−−−−−√2–√tan ∠BDO ==OB OD 2–√4∠OCB ∠BDO tan ∠OCB =2–√450BC x AC =x 3–√1:3–√BC x AC =x 3–√B +A C 2C 2AB 2+(x x 23–√)21002x 150x 2−50BC 50解：(1)连接，如图，①∵，是的直径，，，；②连接，当点，，在同一条直线上时，最小，此时，，的最小值为；(2)作于点，如图，，，是等边三角形，，∴，∴，；(3)，理由：如解图③，连接，，由题意知，与相切于点；当点在右侧时，，若与相切，，，，OD A (2,0)，B (0,n)，n =2，∴B (0,2)∵OA ⊙C ∴OD ⊥AB ∵OA =OB =2∴AB =22–√∴BD =AB =122–√BC B P C PB BC ==+1222−−−−−−√5–√∴PB −15–√PH ⊥OB H ∵n =2，3–√∴OB =2，3–√∵∠POA =60∘CO =CP ∴△COP ∠POH =，∴OP =OC =130∘PH =OP =,OH =12123–√2BH =OB −OH =2−=3–√3–√233–√2∴PB ==B +P H 2H 2−−−−−−−−−−√7–√1.5<n <3CD ED EO ODO P EC ∠1≤∠CPE<180∘ED OD ∴∠1=，ED =EO =，∠2+∠390∘32=，∠A +∠OBA =90∘90∘∴∠2=∠OBA ∴EB =ED =32∴OB =3，即当时，点与点重合，切于；当时，变长，，必存在点，使，此时，与相切；当时，变短，，而，∴不存在点，使，综上所述，则的取值范围为．【考点】切线的判定与性质解直角三角形【解析】略略略【解答】解：(1)连接，如图，①∵，是的直径，，，；②连接，当点，，在同一条直线上时，最小，此时，，的最小值为；(2)作于点，如图，，，是等边三角形，，∴OB =3n =3P D EP ODP n >3OD ∴∠1<90∘P ∠CPE=90∘EP OD n <3OD ∴∠1>90∘∠CPE ≥∠1P ∠CPE =90∘n 1.5<n <3OD A (2,0)，B (0,n)，n =2，∴B (0,2)∵OA ⊙C ∴OD ⊥AB ∵OA =OB =2∴AB =22–√∴BD =AB =122–√BC B P C PB BC ==+1222−−−−−−√5–√∴PB −15–√PH ⊥OB H ∵n =2，3–√∴OB =2，3–√∵∠POA =60∘CO =CP ∴△COP ∠POH =，∴OP =OC =130∘H =OP =,OH =–√∴，∴，；(3)，理由：如解图③，连接，，由题意知，与相切于点；当点在右侧时，，若与相切，，，，，即当时，点与点重合，切于；当时，变长，，必存在点，使，此时，与相切；当时，变短，，而，∴不存在点，使，综上所述，则的取值范围为．13.【答案】解：如图，过点作于点，于点，∵山坡的坡度为，，∴可设，则．在中，，解得或（舍去），∴，则．∵，∴．设米，则米，米．在中，，PH =OP =,OH =12123–√2BH =OB −OH =2−=3–√3–√233–√2∴PB ==B +P H 2H 2−−−−−−−−−−√7–√1.5<n <3CD ED EO OD O P EC ∠1≤∠CPE<180∘ED OD ∴∠1=，ED =EO =，∠2+∠390∘32=，∠A +∠OBA =90∘90∘∴∠2=∠OBA ∴EB =ED =32∴OB =3n =3P D EP OD P n >3OD ∴∠1<90∘P ∠CPE=90∘EP OD n <3OD ∴∠1>90∘∠CPE ≥∠1P ∠CPE =90∘n 1.5<n <3P PE ⊥OB E PF ⊥CO F AP i =1:3–√AP =10PE =x AE =x 3–√Rt △AEP +(x =x 23–√)2102x =5x =−5PE =5AE =53–√∠CPF =∠PCF =45∘CF =PF CF =PF =m OC =(m +5)OA =(m −5)3–√Rt △AOC tan ==60∘OC OA m +5m −53–√m +5即，解得，∴（米）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】过点作于点，于点，解，求出，．解，得出．设米，则米，米．在中，由，求出，进而得到．【解答】解：如图，过点作于点，于点，∵山坡的坡度为，，∴可设，则．在中，，解得或（舍去），∴，则．∵，∴．设米，则米，米．在中，，即，解得，∴（米）．=m +5m −53–√3–√m =10(+1)3–√OC =10(+1)+5≈323–√P PE ⊥OB E PF ⊥CO F Rt △AEP PE =5AE =53–√Rt △CPF CF =PF CF =PF =m OC =(m +5)OA =(m −5)3–√Rt △AOC tan ===60∘OC OA m +5m −53–√3–√m =10(+1)3–√OC P PE ⊥OB E PF ⊥CO F AP i =1:3–√AP =10PE =x AE =x 3–√Rt △AEP +(x =x 23–√)2102x =5x =−5PE =5AE =53–√∠CPF =∠PCF =45∘CF =PF CF =PF =m OC =(m +5)OA =(m −5)3–√Rt △AOC tan ==60∘OC OA m +5m −53–√=m +5m −53–√3–√m =10(+1)3–√OC =10(+1)+5≈323–√。

九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形达标题新人教版(2021年整理)

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28.2.1解直角三角形一、选择题1、在△ABC 中,已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（）A.SinA ＝45B.cosA ＝53C.tanA ＝43 D 。

cosA ＝54 2、在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2,则6cos B 等于( ）A 。

3B 。

2C 。

33 D. 323、为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处,测得楼顶B 的仰角为α，则楼房BC 的高为（）。

A ．30tan α米B ．30tan α米 C ．30sin α米 D ．30sin α米 4、从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为（） A.23 B 。

32 C.2 D 。

22 二、填空题5、求值：1sin 60452︒+2sin30°－tan60°＋tan45°=__________。

: 6、若∠A 是锐角,cos A ＝23,则∠A ＝。

7、在△ABC 中，∠C ＝90°,若tan A ＝21，则sin A ＝ .8、如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、A B C αE D CB A第10题图D CBAB 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为米。

人教部编版初中九年级数学下册第四单元直角三角形中考专项复习练习(含答案)WORD

人教部编版初中九年级数学下册第四单元直角三角形中考专项复习练习（含答案）一、选择题 1．【2016·宁波】能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞－a ”是假命题的一个反例可以是( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝13C ．a ＝1D ．a ＝ 2 2．【2016·潍坊】木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是()图K20－13．【2017·湖州】如图K20－2，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝6，点P 是Rt △ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于( )图K20－2A ．1B ． 2C ．32D ．24．【2016·连云港】如图K20－3①，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图②，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6．其中S 1＝16，S 2＝45，S 5＝11，S 6＝14，则S 3＋S 4＝( )图K20－3A ．86B ．64C ．54D ．485．【2017·十堰】如图K20－4，已知圆柱的底面直径BC ＝6π，高AB ＝3，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为( )图K20－4A ．3 2B ．3 5C ．6 5D ．6 2二、填空题6．【2016·无锡】写出命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b”的逆命题：________________________________________________________________________．7．【2016·随州】如图K20－5，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝13BD ，连接DM 、DN 、MN ．若AB ＝6，则DN ＝________．图K20－58．如图K20－6所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于________．图K20－69．【2017·丽水】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图K20－7①所示．在图②中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH 的边长为________．图K20－710．如图K20－8，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB ＝4，BC ＝2，则AF ＝________．图K20－8三、解答题11．如图K20－9，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号)图K20－912．【2017·徐州】如图K20－10，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．图K20－10(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．13．【2016·宁夏】如图K20－11，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，已知CD＝2，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．图K20－11B组·拓展提升14．【2015·徐州】如图K20－12，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，…，如此下去，第n个正方形的边长为________．图K20－12参考答案1．A 【解析】说明命题“对于任何实数a，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是a＝－2，|－2|＝2.故选A.2．D 【解析】如图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP＝12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，即OP是一个定值，点P就在以O为圆心，以OP长为半径的一段圆弧上，所以点P下落的路线是一段弧线．故选D.。

《勾股定理》专项训练练习

60 120140 60BACC A BDE 1015《勾股定理》专项训练练习基础篇1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，7 2、在△ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，•则这个三角形三边长分别是（）A ．5，4，3 B ．13，12，5 C ．10，8，6 D ．26，24，10 3、若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（）． A. 3cm2B. 32cm2C. 33cm 2D. 4cm 24. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶12 5. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.6．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定7、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（） A ．600米 B . 800米 C . 1000米 D. 不能确定8、ΔABC 中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（）A.1B.3C.6D.非以上答案9、在△ABC 中，AB=12cm ， BC=16cm ， AC=20cm ，则△ABC 的面积是( )A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 210、已知如图，水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ，现由水厂A 和B 、C 两厂供水，要在A 、B 、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（）11、在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．12、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.13、如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为．14、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt △ABC 的面积是_____15、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．16、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？17、小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？18、如图，铁路上A 、B 两点相距25km , C 、D 为两村庄，若DA =10km ,CB =15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.（1）求E 应建在距A 多远处？（2）DE 和EC 垂直吗？试说明理由19、如图,在△ABC 中，∠BAC =120°,∠B =30°,AD ⊥AB ，垂足为A,CD=2cm,求AB 的长.第12题图第13题图第15题图A B D专题篇一、勾股定理与梯子问题1、如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米．2、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系例2如图3，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是________．（要求写出过程）二、勾股定理中的数学思想1、面积法．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5㎝．BC＝3㎝，CD⊥AB于点D，求CD的长．2、构造法．如图，已知△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，AC＝22．求△ABC的面积．3、转化思想．如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．4、分类讨论思想．已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．5、方程思想．如图4，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐苹果，一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB的高度．如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．6、逆向思维的方法如图1，在△ABC中，D为BC边上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，那么DC＝_____．图3DABC图4DCBAABC三、勾股定理在影响范围问题中的运用1、如图1，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所中学，AP =160m 。

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2021年新初三数学人教新版专题复习《勾股定理》选择题（共10小题）1.（2021春•海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）2.（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）3.（2021*海曙区模拟）如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,以其三边为边分别向外作正方形，延长EC, DB分别交GF, AH于点M K,连接KN交AG于点若Si - $2 = 2, AC=4,则A3的长为（）A. 2B.C. 2^2D. 234.（2020秋•南沙区期末）如图，在等腰AABC和等腰AABE中，ZABC= 120°, AB=BC=BE=2, D为AE的中点，则线段CD的最小值为（）E.DL__ BA. 2B. V?- 1C. 2>/3 - 1D. V6- 15.（2019春•寿县期末）在△ABC中，AB=BC=2,。

是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，ZAOC=60°,则当△招B为直角三角形时，AP的长为（）A. 1,归7B. 1,施，V?C. 1,而，V?D. 1, 3, V?6.（2019-滨湖区模拟）在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0, 2）,点M的坐标为（m-1, - —m -—）（其中所为实数），当的长最小时，m的值为（）4 4A. - 12B. - -LC. 3D. 45 57.（2018秋•惠山区校级月考）如图，点。

在线段AB上，AO=2, 08=1, OC为射线，且ZBOC=60。

,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为，秒.当△ABP是直角三角形时，f的值为（）A. 土匝B.上座C. 1或土座D. 1或回亟8 8 8 88.（2015春•苍溪县期末）在△ABC中，AB=AC=10,BD是AC边上的高，DC=2,则&D 等于（）9.（2020・宿迁一模）如图，在RtAABC中，NC=90° , ZA=30°,点E, F在斜边AB上，且满足AE=EF=FB=2,点F在直角边上，且满足PE+PF=5,则这样的F点个数有（C. 3D. 410.（2020春•和平区校级月考）如图，在中，ZD=90° , DG ： GE=1： 3, GEGF, Q 是EF 上一动点，过点。

人教版九年级数学下册《解直角三角形》同步作业(含答案)

图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中 (1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：___________________,____________________； ___________________，__________________； ___________________，____________________；二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____.10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21C.1D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.23514.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的图28-4影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3m B.3 m C.2 m D.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-)16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32m C.3 m ，1 mD.1 m,3m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552C.553D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66cm B.68 cm C.38 cm D.154cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53B.55C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ；第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ；第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_______________________ ______；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90° (3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=bacotA=ab ，sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________. 答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________. 答案：3310m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________. 答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：10106.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：8548.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 答案：2329.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________. 答案：530° 60°三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21 C.1D.)32(21+答案：B13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3m B.3 m C.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( )A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-)D.(23,21-)答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32 m C.3 m ，1 mD.1 m,3m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32mD.32m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552 C.553D.32 答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m 答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66 cm B.68 cm C.38cmD.154cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53 B.55C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s24.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ；第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ；第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。

【新】人教版九年级数学下册《解直角三角形及其应用》同步检测附答案

人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数——解直角三角形及其应用》同步检测1附答案1．=︒-2)30tan 31( _________ [ ]A ．31--B ．3+1C ．3－1 D ．1－3 2．直角三角形两锐角的正切函数的积为 __________． [ ]A ．2B ．1C ．42D ． 353．在△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=1,那么cosB= __________． [ ]A ．52B ． 53C ．54D ． 554．在△ABC 中,CD ⊥AB 于 D ．则sin ∠ACD=_______cot ∠BCD=_________5．在△ABC 中,∠C=90°,设AC=b ．若b 等于斜边中线的34,则△ABC 的最小角的正弦=________,较大锐角的余切=______．6．在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sinA 是方程52x -14x+8=0的一个根,求sinA,tanA ．7、等腰三角形一腰上的高为1，且这条高与底边的夹角的正弦值为23，求该直角三角形的面积。

8、（1）求边长为8，一内角为120°的菱形的面积。

（2）在△ABC 中，∠A=75°，∠B=60°，AB=22，求AC 的长。

答案1．C 2．B 3．C 4．DB CDACAD ⋅ 5．552,32 6．解：∵sinA 是方程52x -14x+8=0的一个根则5A 2sin -14sinA+8=0∴sinA=54，sinA=2（舍去） tanA=347、338、（1）323 （2）23。

勾股定理全学案人教版

勾股定理课堂练习（1）导入：如图，每个小方格的面积均为1，请你分别计算图1、图2中正方形A 、B 、C 的面积，并观察正方形A 、B 、C 的三个面积之间存在的关系.图1中：图2中：结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 . 勾股定理再证明：将四个全等的直角三角形如图围成一个大的正方形，请你利用两种不同的方法计算正方形的面积.探究1：一个门框的尺寸如图所示，一个长m 3，宽m 2.2的薄木板能否从门框内通过？说明理由.练习：1．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c⑴若2=a ，4=b ，则c = ；斜边上的高为 .⑵若3=b ，4=c ，则a = . 斜边上的高为 . ⑶若3=ba ，且102=c ，则a = ，_______=b .斜边上的高为 . ⑷若21=c b ，且33=a ，则c = ，_______=b .斜边上的高为 . 2．正方形的边长为3，则此正方形的对角线的长为 .3．正方形的对角线的长为4，则此正方形的边长为 .4．有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长（结果保留整数）--1--勾股定理强化练习（1）一．选择题1．如图，正方形A 的面积为16，正方形B 的面积为9，则正方形C 的面积为（）A ．7B ．25C ． 12.5D ．1442．如上图，正方形C 的面积为16，正方形B 的面积为9，则正方形A 的面积为（）A ．7B ．25C ． 12.5D ．1443．若ABC Rt ∆的两直角边长分别为3cm 和4cm ，则斜边长为（）A ．2cmB ．7cmC ．5cmD ．12cm4．在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，cm a 13=，cm b 5=，则c 为（）A ．194B ．12C ．8D ．185．如图，在ABC ∆中，边AC 的长为（）A ．1B ．21C ．3281D ．96．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则另一边长为（）A ．7B ．5C ．7D ．7或5二．填空题：7．在ABC Rt ∆中，已知两直角边长为6和8，则斜边长为 .8．如图1，在ABC ∆中，边AC 的长为 .9．如图2，在ABC ∆中，边AB 的长为 .10．在ABC ∆中，12=AB ，3:4:=BC AC ，则AC = .三．解答题：11．一旗杆离地面m 6处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部m 8处，求旗杆折断之前有多高？12．如图，要从电杆离地面5米处向地面拉一条长为7米的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离（保留根号）--2--勾股定理课堂练习（2）一．复习：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c⑴若6=a ，8=b ，求c 的值 ⑵ 若5=a ，13=c ，求b 的值二．探究2：如图，一个m 3长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为m 5.2，如果梯子顶端A 沿墙下滑m 5.0，那么梯子底端B 也外移m 5.0吗？练习：如图，等边三角形的边长为6.⑴求高AD 的长；⑵求这个三角形的面积（保留根号）三．探究3：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？练习：请你在数轴上表示出下列各数的点：5，10，17--3--勾股定理强化练习（2）1．计算：⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷a b a b 3232 ⑵ ()y x xy x xy -⋅-22．解方程：⑴xx x --=+-21321 ⑵ 11113122-=--+x x x3．已知y 是x 的反比例函数，且该函数的图象经过点A （2，3）.⑴求这个函数的解析式；⑵画出该函数图象4．如图，池塘边有A 、B 两点，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得m CB 60=，m AC 20=，你能求出A 、B 两点间的距离吗？（结果保留根号）5．请你在数轴上表示出下列各数的点：2，3，66．在ABC ∆中，︒=∠90C ，cm AC 1.2=，cm BC 8.2=.⑴求ABC ∆的面积； ⑵求斜边AB 的长； ⑶求高CD 的长.--4--勾股定理课堂练习（3）一．复习：如图，一个圆锥的高cm AO 4.2=，底面半径cm OB 7.0=，求AB 的长二．练习1．长方形零件尺寸（单位：mm ）如图，求两孔中心的距离.2．在ABC ∆中，︒=∠90C ，10=AB .⑴︒=∠30A ，求BC ，AC 的长（精确到0.01） ⑵︒=∠45A ，求BC ，AC 的长（精确到0.01）3．如图，有一个圆柱形水杯，底面直径为15厘米.将一个塑料吸管靠在一边正好高出水杯5厘米，如果把它拉向另一边，它的顶端恰好到达水杯的顶沿。

「精品」九年级数学下册自主复习14三角形练习(新版)新人教版

14.三角形(八上第十一章、第十二章、第十三章)知识回顾1．三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3．全等三角形的对应边相等，对应角相等．证明两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL(只适用于直角三角形)．4．角平分线上的点到角两边的距离相等．在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．5．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．6．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形两腰相等；(2)等边对等角；(3)三线合一：顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．7．等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．8．等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；三边相等的三角形是等边三角形．达标练习1．如图，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A的大小是(C)A．10°B．20°C．30°D．80°2．已知△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)A．4 B．6 C．8 D．103．三角形的下列线段中一定能将三角形的面积分成相等两部分的是(A)A．中线B．角平分线C．高D．中位线4．下列各组数可能是一个三角形的边长的是(C)A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，115．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠ADE＝40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC 于E，则∠C的大小是(C)A．46°B．66°C．54°D．80°6．如图，在△ABC中，∠B＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等于(B)A．56°B．66°C．76°D．无法确定7．如图，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是AB＝AC(或AD＝AE或BD＝CE或BE＝CD或EF＝DF或BF＝CF)．8．如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1－S2＝1．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为36°．x－4＋y－8＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为20．10．若实数x，y满足||11．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝40°．12．如图，CD ＝CA ，∠1＝∠2，EC ＝BC.求证：DE ＝AB.证明：∵∠1＝∠2，∴∠BCA ＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝EC ，∠BCA ＝∠ECD ，CA ＝CD ，∴△BCA ≌△ECD(SAS)． ∴DE ＝AB.13．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E.求证：∠CBE ＝∠BAD.证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C.∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC.∴∠BAD ＋∠ABC ＝90°.∵BE ⊥AC ，∴∠CBE ＋∠C ＝90°. ∴∠CBE ＝∠BAD.14．如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC.求证：AB ＝AD.证明：∵AD ∥BC ， ∴∠DBC ＝∠ADB. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.15．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．证明：(1)∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC .∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE.又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE.(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°.∴∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF＝60°.同理可得∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形．16．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.(1)求证：DE平分∠BDC；(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.证明：(1)在等腰直角△ABC中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°.∴BD＝AD.又∵∠CBD＝∠CAD，BC＝AC，∴△BDC≌△ADC.∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDE＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.(2)连接MC，∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形．∴CM＝CD，∠DMC＝60°. 又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠MEC＝15°.∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝BD.。

近年届九年级数学下册自主复习15直角三角形与勾股定理练习新人教版(2021年整理)

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15。

直角三角形与勾股定理(八上第十三章、八下第十七章）知识回顾1．直角三角形的性质：(1）直角三角形的两个锐角互余；(2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半;（3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．2．勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．3．勾股定理的逆定理：若一个三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形为直角三角形．达标练习1．(毕节中考）下列各组数据中三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(B）A。

错误!，错误!，错误!B．1，错误!，错误!C．6，7，8 D．2,3，42．如图，在矩形ABCD中，AB＝3,AD＝1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为(C)A．(2,0）B．(5－1，0)C．（错误!－1，0) D．（错误!，0）3．（黄冈中考)如图,在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为（C）A．6 B．6错误!C．9 D．3错误!4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为（D)A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m5．(烟台中考）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 015的值为（C)A．(错误!）2 012B．(错误!）2 013C．(错误!）2 012D．（错误!)2 0136．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，则边AC的长为26．7．已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系错误!＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．8．如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm.9．如图,每个小正方形的边长都为1.(1）求四边形ABCD的面积与周长；(2)∠DAB是直角吗?请说明理由．解：（1)四边形ABCD的面积为25－1－12×1×5－错误!×1×4－错误!×1×2－错误!×2×4＝14.5；周长为AB＋BC＋CD＋AD＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝3错误!＋错误!＋错误!。

2022学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》期末复习自主提升训练1(附答案)

2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》期末复习自主提升训练1（附答案）1．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝米．（结果保留根号）2．如果一个斜坡的坡度为i＝1：2.4，那么这个斜坡坡角α的余弦值等于．3．如图，△ABC的顶点都在边长为1的方格的格点上，则sin∠ACB的值为．4．如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝2，则点C的坐标为．5．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了米．6．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离BC＝5米，眼镜与底面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知，则点D到底面的距离CD是米．7．某人沿着坡度i＝1：的山坡起点向上走了50米，则他离地面米高．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）8．如图等腰△ABC，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，则cos∠ACB ＝．9．如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC＝60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM＝CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为．10．如图建筑楼顶立有广告牌DE，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼AD的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行15米到达C处，此时，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为60°（身高忽略不计），已知广告牌DE＝10米，则该主楼AD的高度约为米（结果保留根号）．11．某区域平面示意图如图所示，AB和BC是两条互相垂直的公路，AB＝800米，甲勘测员在A处测得点D位于北偏东45°，乙勘测员在C处测得点D位于南偏东60°，CD＝300米，则公路BC的长为米．12．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是m．13．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是40m，则水库大坝的高度h是m．（结果保留根号）14．将一个装有水的圆柱体杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角α＝37°时，其主视图如图所示．若该水杯的杯口宽度BC＝6cm，则水面宽度EF＝cm．（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）15．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A 为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB ＝．16．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB与CD相交于点E，则tan∠AEC＝．17．等腰△ABC中，顶角∠ABC＝45°，AM⊥BC，BN⊥AC，AM与BN交于点P，则S△BPM：S△ABP的值为．18．为倡导“低碳生活”，人们常常选择共享单车作为代步工具．图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可以在射线BE方向自由调节．已知车轮半径为30cm，BE＝40cm，∠ABE＝75°．小明将坐垫从位置E上移至C，CE＝20cm，则此时坐垫C离地面的高度为cm．（结果精确到1cm）（参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）．19．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为米．20．如图，某同学在附中红星校区（A处）测得他家位置在北偏西45°方向，当他沿红星路向西骑行600米到了市委（B处）的位置，又测得他家在北偏西30°方向，该同学每天从家（C处）出发，先向正南骑行到路口D处，再沿红星路向东到红星校区上学，假（结设他骑行的速度是250米/分，请你帮他计算一下，他从家到学校大约用分钟．果精确到1分钟，≈1.732）21．如图，由一段斜坡AB的高AD长为0.6米，∠ABD＝30°，为了达到无障碍通道的坡道标准，现准备把斜坡改长，使∠ACD＝5.71°．（1）求斜坡AB的长；（2）求斜坡新起点C与原起点B的距离．（精确到0.01米）（参考数据：≈1.732，tan5.71°≈0.100）22．如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B 处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．23．“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200m．（1）求观测点C到公路MN的距离；（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73）24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC ＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．25．如图，在某建筑物AC上挂着一幅宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）26．钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．M、N为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，MN之间的距离约为3.6km，某日，我国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，在A点测得岛屿的西端点N在点A的北偏东35°方向；海监船继续航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点M在点B的北偏东60°方向，求点M距离海监船航线的最短距离（结果精确到0.1km，tan35°≈0.7）．27．博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日在海南博鳌拉开帷幕，组委会在会议中心的墙壁上悬挂会旗，已知矩形DCFE的两边DE，DC长分别为1.6m，1.2m．旗杆DB的长度为2m，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°．当会旗展开时，如图所示，（1）求DF的长；（2）求点E到墙壁AB所在直线的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）28．如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）29．放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广场上放风筝，如图，他在A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为50°，已知点A，B，C在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大高度为20米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到1米）（风筝线AD，BD均为线段，≈1.732，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）30．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）参考答案1．解：过点A作AM⊥BC于M，则∠MAB＝45°，∠MAC＝60°，BP＝AM＝30米，在Rt△ABP中，BP＝30米，∠P AB＝90°﹣45°＝45°，∴AP＝BP＝30米＝BM，在Rt△ACM中，∠MAC＝60°，AM＝30米，∴CM＝AM＝30（米），∴BC＝BM+CM＝（30+30）米，故答案为：（30+30）．2．解：如图所示：由题意，得：tanα＝i＝1：2.4＝，设斜坡的竖直高度为5x，则水平距离为12x，则斜坡长＝＝13x，则cosα＝＝．故答案为：．3．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．由格点可求得：BC＝＝2，AC＝＝2．∵S△ABC＝×2×2＝2，S△ABC＝AC×BD＝×2×BD＝BD，∴BD＝2，∴BD＝．∴sin C＝＝＝．故答案为：．4．解：∵∠C＝∠C，∵OC2＝BC•AC，即，∴△OBC∽△OAC，∴∠A＝∠COB，∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α，∵tanα＝2，∴tan∠ABO＝，∴OA＝2OB，∵AB＝3，由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2，即，解得：OB＝3，∴OA＝6．∴tan A＝．如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵tanα＝2，∴设C（﹣m，2m），m＞0，∴AD＝6+m，∵tan∠A＝，∴，∴，解得：m＝2，经检验，m＝2是原方程的解．∴点C坐标为：（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．5．解：设此人升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．6．解：如图，过A作AE⊥CD于E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝5米，CE＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，∠DAE＝α，tanα＝＝，∴DE＝AE＝×5＝1.5（米），∴CD＝CE+DE＝3.2米．故答案为：3.2．7．解：设坡面的竖直高度为x米，则水平距离为x米，由勾股定理得：x2+（x）2＝502，解得：x＝25或x＝﹣25（不合题意舍去），即坡面的竖直高度为25米，故答案为：25．8．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，∴DM＝DN．∵，，∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝CE＝．∴CE：AC＝1：3．∴cos∠ACB＝．故答案为：．9．解：连接AM、AN，∵∠ABC＝60°，AB＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM＝AN，∴△AMN为等边三角形，AM＝MN，当MN最短时，AM最短，此时AM⊥BC，如图，则∠MAC＝30°，∵∠AMP＝60°，∴∠APM＝90°，∵AM＝AB＝5，∴AP＝AM＝，∴PC＝AC﹣AP＝10﹣＝．故答案为：．10．解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝15米，∴BG＝9（米），AF＝CG＝12（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝60°，∴EF＝tan60°•CF＝x（米），∵DE＝10米，∴x﹣x＝10，∴x＝5（+1），∴DF＝5（+1）米，∴AD＝AF+DF＝12+5（+1）＝（17+5）米，故答案为：（17+5）．11．解：过D作DE⊥OC于E，∵∠C＝60°，CD＝300米，∴CE＝CD＝150（米），∴DE＝CE＝150（米），∵∠B＝90°，AB＝800米，∠A＝45°，∴∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝800米，∵∠DOE＝∠AOB＝45°，∴△DEO是等腰直角三角形，∴OE＝DE＝150米，∴公路BC的长为150+150+800＝（950+150）（米），故答案为：（950+150）．12．解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝150m，∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m），∴AH＝CD＝50m．在Rt△ABH中，∵∠BAH＝30°，AH＝50m，∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m），∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），答：这栋楼的高度为100m．故答案为：100．13．解：如图，作CH⊥AB于点H．∵∠ABC＝135°，∴∠CBH＝45°，∴CH＝BC•sin45°＝40×＝20（m），故答案为：20．14．解：过E作EH⊥AB于H，则四边形ACEH是矩形，∴EH＝AC＝BC＝6cm，∠EHF＝∠EHA＝90°，∵EF∥桌面，∴∠EF A＝α＝37°，∴sin37°＝＝，∴EF＝6×＝10（cm），故答案为：10．15．解：如图1所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，∴点D是符合条件的点．在Rt△ADM中，tan∠ADB＝＝2．如图2所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，∴点D是符合条件的点．∵AD＝AB＝，BD＝，∴BD2＝AD2+AB2．∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，tan∠ADB＝＝1．故答案为：2或1．16．解：连接格点AF、BF．∵AC∥DF，AC＝DF＝1，∴四边形ACDF是平行四边形．∴AF∥CD．∴∠F AB＝∠CEA．∵AF＝2，BF＝，AB＝，∴AB2＝AF2+BF2．∴△AFB是直角三角形．∴tan∠CEA＝tan∠F AB＝＝＝．故答案为：．17．解：如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，∵AB＝CB，BN⊥AC，∴BN平分∠ABC，∵AM⊥BC，PQ⊥AB，∴PM＝PQ，∴S△BPM：S△ABP＝BM：AB，∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，∴AM＝BM，∴△AMB是等腰直角三角形，∴sin45°＝BM：AB＝．∴S△BPM：S△ABP＝．故答案为：．18．解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N．由题意可知MN＝30cm，BC＝60cm，∴在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，∴sin∠ABE＝sin75°＝≈0.966，∴CM≈58（cm），∴CN＝MN+CM＝88（cm），∴坐垫C离地面的高度为88cm．故答案为：88．19．解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，则MN最短，∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，∴∠CAM＝30°，∴∠AMN＝60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM＝60°，∴∠MCB＝30°，∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠BCA＝30°，∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，∴NC＝MC＝500，∵AC＝2000米，∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，故答案为：1500．20．解：由题意得：∠D＝90°，∠BCD＝30°，∠A＝90°﹣45°＝45°，AB＝600米，则AD＝BD，△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD＝BD，∴AD﹣BD＝AB，∴BD﹣BD＝600米，解得：BD＝（300+300）米，∴CD＝AD＝BD＝（900+300）米，∴CD+AD＝（1800+600）米，∴（1800+600）÷250≈11（分钟），即某同学从家到学校大约用11分钟，故答案为：11．21．解：（1）在Rt△ABD中，AB＝AD÷sin30°＝0.6÷＝1.2（米），（2）在Rt△ABD中，BD＝AD÷tan30°＝0.6≈1.039（米），在Rt△ACD中，CD＝AD÷tan5.71°≈6（米），∴BC＝CD﹣BD＝6﹣1.039＝4.96（米）．答：求斜坡AB的长为1.2米，斜坡新起点C与原起点B的距离为4.96米．22．解：（1）作MC⊥AB于C，则MC＝BM×cos45°＝60海里，答：渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离为60海里；（2）在Rt△ACM中，AM＝＝40，40÷20＝2，答：渔船从A到达码头M的航行时间为2小时．23．解：（1）过C作CH⊥MN，垂足为H，如图所示：∵∠CBN＝60°，BC＝200m，∴CH＝BC•sin60°＝200×＝100（m），即观测点C到公路MN的距离为100m；（2）该汽车没有超速．理由如下：∵BH＝BC•cos60°＝100（米），∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100m，∴AB＝100﹣100≈73（m），∴车速为＝14.6m/s．∵60千米/小时＝m/s，又∵14.6＜，∴该汽车没有超速．24．解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．25．解：∵∠BFC＝30°，∠BEC＝60°，∴∠EBF＝∠EFB＝30°，∴BE＝EF＝20m，在Rt△BEC中，∵∠BEC＝60°，∴BC＝BE•sin60°＝20×＝10m．答：宣传条幅BC的长为m．26．解：如图，延长MN交AB于K．设KN＝x，KB＝y，在Rt△MBK中，tan60°＝，∴x+3.6＝y①在Rt△ANK中，tan35°＝，∴x＝0.7（4+y）②，由①②可得x＝7.1（km），∴MK＝7.1+3.6＝10.7（km），答：点M距离海监船航线的最短距离为10.7km．27．解：（1）在Rt△DEF中，由题意知ED＝1.6 m，BD＝2 m，DF＝＝2．答：DF长为2m．（2）分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分别为点M、N、H，在Rt△DBM中，sin∠DBM＝，∴DM＝2•sin35°≈1.14．∵∠DEC＝∠CNB，∠DCE＝∠NCB，∴∠DEC＝∠CBN＝35°，在Rt△DEH中，cos∠DEH＝，∴EH＝1.6•cos35°≈1.31．∴EN＝EH+HN＝1.31+1.14＝2.45≈2.5m．答：E点离墙面AB的最远距离为2.5 m．28．解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，由题意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，在Rt△BHC中，，∴，∵sin36°≈0.588，∴BH≈117.6，又，∴．∵cos36°≈0.809，∴HC≈161.8，在Rt△AHC中，，∵∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∴AH≈161.8，又AB＝AH+BH，∴AB≈279.4，∴AB≈279（米），答：A、B之间的距离为279米．29．解：作DH⊥BC于H，设DH＝x米．∵∠ACD＝90°，∴在直角△ADH中，∠DAH＝30°，AD＝2DH＝2x，AH＝DH÷tan30°＝x，在直角△BDH中，∠DBH＝50°，BH＝，BD＝DH•sin50°＝sin50°x，∵AH﹣BH＝AB＝10米，∴x﹣＝10，∴x＝，∴BD＝＝÷0.766≈15（米），20＞15，∴小明能把风筝捡回来．30．解：如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H，由题意知，AB＝300cm、BE＝AC＝50cm、AH＝50cm、∠AGH＝30°，在Rt△AGH中，∵AG＝2AH＝100cm，∴CG＝AC+AG＝150cm，则CD＝CG＝75cm；∵EG＝AB﹣BE+AG＝300﹣50+100＝350（cm），∴在Rt△EFG中，EF＝EG tan∠EGF＝350tan30°＝350×＝（cm），所以支撑角钢CD的长为75cm，EF的长为cm．。

九年级中考数学总复习课时训练：直角三角形与勾股定理(附答案)

课时(十八)直角三角形与勾股定理基础练习1.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图1方式叠放在一起,若∠1=30°,则∠2的度数为()图1A.10°B.15°C.20°D.30°2.[2020·黄石]如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点H,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若EF+CH=8,则CH的值为()图2A.3B.4C.5D.63.如图3摆放的是一副学生用直角三角板,∠F=30°,∠C=45°,AB与DE相交于点G,当EF∥BC时,∠EGB的度数是()图3A.135°B.120°C.115°D.105°4.[2020·陕西]如图4,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为()图4A.1013√13B.913√13C.813√13D.713√135.[2020·河北]图5是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是()图5A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,46.[2019·河南]如图6,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分别以点A,C为圆心,大于12AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O,若点O是AC的中点,则CD的长为()图6A.2√2B.4C.3D.√107.数学文化[2020·宁夏]2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图7①),且大正方形的面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图②的形式摆放,那么图②中最大的正方形的面积为.图78.如图8,已知△ABC中,∠BAC=132°,现将△ABC进行折叠,使顶点B,C均与顶点A重合,则∠DAE的度数为.图89.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是.图910.[2020·江西样卷五]如图9,在△ABC中,∠BAC=120°,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D,△DCE为等边三角形,连接BE.若BD=√3,DC=2,则BE的长为.11.[2019·枣庄]把两个同样大小含45°角的三角尺按如图10所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD=.图1012.如图11,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于点F,连接AF.下列结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°.其中正确结论为.(填序号)图1113.[2020·贵阳]如图12,在4×4的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;(2)在图②中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数;(3)在图③中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.图1214.[2019·巴中]如图13,等腰直角三角板如图13放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.图13能力提升15.[2020·名校联盟]如图14①,△EBD和△ABC都是等腰直角三角形,△BDE的斜边BD落在△ABC的斜边BC上,直角边BE落在边AB上.(1)当BE=1时,求BD的长.(2)如图②,将△EBD绕点B逆时针旋转,使BD恰好平分∠ABC,DE交AB于点F,延长ED交BC于点M.①当BE=1时,求EM长.②写出FM与BE的数量关系,并说明理由.图14【答案】1.B2.B3.D[解析]过点G作HG∥BC,∵EF∥BC,∴GH∥BC∥EF,∴∠HGB=∠B,∠HGE=∠E,∵在Rt△DEF和Rt△ABC中,∠F=30°,∠C=45°,∴∠E=60°,∠B=45°.∴∠HGB=∠B=45°,∠HGE=∠E=60°,∴∠EGB=∠HGE+∠HGB=60°+45°=105°,故∠EGB的度数是105°,故选:D.√13.4.D[解析]首先利用作差法求出△ABC的面积为3.5,AC=√13,再运用等面积法求出BD=3.5×2÷√13=7135.B[解析]设选取的三块纸片的面积分别为a,b,c(a≤b<c),根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片可能为:①a=b=1,c=2,此时ab=1;②a=1,b=2,c=3,此时ab=2;③a=1,b=3,c=4,此时ab=3;④a=1,b=4,c=5,此时ab=4;⑤a=2,b=2,c=4,此时ab=4;⑥a=2,b=3,c=5,此时ab=6.∴选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形的面积最大,故答案为B.6.A[解析]过点B作BM⊥AD于点M,如图.∵AD∥BC,∴∠BCD+∠D=180°.又∵∠D=90°,∴∠BCD=90°,∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°,∴四边形BCDM为矩形,∴BM=CD,DM=BC.连接AE,CE,由作图可知AE=CE.又∵O是AC的中点,∴BF所在的直线垂直平分线段AC,∴AB=BC=3.在Rt△ABM中,∠AMB=90°,AM=AD-MD=1,∴BM=√AB2-AM2=√32-12=2√2,∴CD=2√2.故选A.7.27[解析]由题意可得在图①中:a2+b2=15,(b-a)2=3,图②中大正方形的面积为:(a+b)2,∵(b-a)2=3,∴a2-2ab+b2=3,∴15-2ab=3,2ab=12,∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27,故答案为27.8.84°[解析]∵∠BAC=132°,∴∠B+∠C=180°-132°=48°.由题意得∠B=∠DAB(设为α),∠C=∠EAC(设为β),∴∠ADE=2α,∠AED=2β,∴∠DAE=180°-2(α+β)=180°-96°=84°.9.17[解析]设AB=x,则AC=x-2.由勾股定理,得x2-(x-2)2=82.解得x=17.10.√711.√6-√2[解析]如图,过点A作AF⊥BC于F.在Rt△ABC中,∠B=45°,∴BC=√2AB=2√2,BF=AF=√22AB=√2.由题意知AD=BC=2√2,在Rt△ADF中,根据勾股定理得,DF=√AD2-AF2=√6,∴CD=BF+DF-BC=√2+√6-2√2=√6-√2.故答案为√6-√2.12.①②④[解析]∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴AB=AC,AD=AE,∵∠BAD=90°+∠CAD,∠CAE=90°+∠CAD,∴∠BAD=∠CAE,在△ADB与△AEC中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△ADB≌△AEC(SAS),∴BD=CE,故①正确;∵△AEC≌△ADB,∴∠ADB=∠AEC,∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°,∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°,∴∠DEF+∠EDF=90°,∴BD⊥CE,故②正确;作AN⊥CE于N,AM⊥BD于M,∵△AEC≌△ADB,AM和AN是对应高,∴AM=AN,∴F A是∠BFE的平分线,∵∠BFE=90°,∴∠AFE=45°,故④正确.当且仅当AB=AE时,AF平分∠CAD,故③错误.故正确的结论为①②④.13.解:(1)如图,△ABC即为所求.(2)如图,△ABC即为所求(答案不唯一).(3)如图,△ABC 即为所求(答案不唯一).14.解:(1)证明:∵△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC ,∠ACE+∠BCD=90°. ∵AE ⊥EC ,∴∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠CAE.∵BD ⊥CD ,∴∠AEC=∠CDB=90°,∴△AEC ≌△CDB (AAS),∴EC=BD.(2)∵△AEC ≌△CDB ,∴BD=EC=a ,CD=AE=b ,BC=AC=c.∵S 梯形AEDB =12(AE+BD )·ED=12(a+b )(a+b ), S 梯形AEDB =12ab+12c 2+12ab ,∴12(a+b )(a+b )=12ab+12c 2+12ab ,整理可得a 2+b 2=c 2,勾股定理得证.15.解:(1)∵△EBD 是等腰直角三角形,BD 是斜边,∴DE=BE=1,∴BD=√BE2+DE2=√12+12=√2.(2)①∵△BDE,△ABC都是等腰直角三角形,∴∠EBD=∠EDB=∠ABC=∠C=45°,∵BD平分∠ABC,∴∠DBM=∠DBF=∠EBF=22.5°,∵∠EDB=45°,∴∠DBM=∠DMB=22.5°,∴DB=DM.∵DE=BE=1,DM=BD=√2,∴EM=DM+DE=1+√2.②FM=2BE,理由如下:∵∠EBF=∠DMB=22.5°,∠E=∠E=90°,∴△FBE∽△BME,∴BEEM =EF BE,∴EF·EM=BE2.设BE=a,则EM=(√2+1)a,∴EF=(√2-1)a,∴FM=EM-EF=(√2+1)a-(√2-1)a=2a,∴FM=2BE.。

人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案

人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由元素求元素的过程，就是解直角三角形.注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图，在Rt ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：三边关系：.两锐角关系：.边角关系：sin A＝，sin B＝；cos A＝，cos B＝；tan A＝，tan B＝.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于（）A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝√3，AB＝√6，则∠A＝，∠B ＝，AC＝.3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.知识点2已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，BC＝6，则AB＝（）A.4B.6C.8D.105.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝12，AC＝8，则△ABC的面积为（）A.12B.16C.32D.486.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，b＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）中档提分训练7.如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（）A.3√2B.3√5C.6√2D.3√78.（2024·武威校级二模）如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB＝AC，BC＝10，则tan B的值为（）A.512B.513C.125D.12139.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2√7，则BC的长为.10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD .＝35（1）求BC的长；（2）求∠ACB的正切值.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料：题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A.解：如图2，作AB 边上的中线CE ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CE ＝12AB ＝12，∠CED ＝2∠A ，CD ＝AC ·sin A ，AC ＝AB ·cos A ＝cos A .在Rt △CED 中，sin 2A ＝sin ∠CED ＝CD CE＝AC·sinA12＝2AC ·sin A ＝2cos Asin A .图1图2根据以上阅读材料，请解决以下问题：如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ＝3，求sin A ，sin 2A 的值.图3参考答案1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图，在Rt ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系：三边关系：a2＋b2＝c2.两锐角关系：∠A＋∠B＝90°.边角关系：sin A＝ac ，sin B＝bc；cos A＝bc ，cos B＝ac；tan A＝ab ，tan B＝ba.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于（D）A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝√3，AB＝√6，则∠A＝45°，∠B＝45°，AC＝√3.3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，c ＝8 根据勾股定理，得b ＝√c 2－a 2＝√82－42＝4√3. ∴sin A ＝ac＝48＝12∴∠A ＝30°∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.知识点2 已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形 4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝（ D ） A .4B .6C .8D .105.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，AC ＝8，则△ABC 的面积为（ B ） A .12B .16C .32D .486.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，b ＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝25°∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－25°＝65°. ∵b ＝10，sin 25°＝bc，tan 25°＝ba∴c ＝bsin25°≈100.42≈23.8a ＝btan25°≈100.47≈21.3.中档提分训练7.如图，AD 是△ABC 的高.若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则边AB 的长为（ C ）A .3√2B .3√5C .6√2D .3√78.（2024·武威校级二模）如图，△ABC 是周长为36的等腰三角形，AB ＝AC ，BC ＝10，则tan B 的值为（ C ）A .512B .513C .125D .12139.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝8，AC ＝2√7，则BC 的长为 2√3或6√3 .10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，CD 是AB 边上的中线，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，若CD ＝5，sin ∠BCD ＝35.（1）求BC 的长；解：（1）∵DE ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DEB ＝90° 在Rt △ECD 中，sin ∠DCE ＝sin ∠BCD ＝35，CD ＝5∴DE ＝CD ·sin ∠BCD ＝5×35＝3∴CE ＝√CD 2－DE 2＝√52－32＝4. ∵∠B ＝45°，∠DEB ＝90° ∴BE ＝DE ＝3∴BC ＝BE ＋CE ＝3＋4＝7. （2）求∠ACB 的正切值.（2）如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F . ∵DE ⊥BC ，AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ∴△DEB ∽△AFB ，∴DEAF ＝BD BA＝BE BF.∵CD 是AB 边上的中线，即点D 为AB 的中点 ∴BA ＝2BD ，∴AF ＝2DE ＝6，BF ＝2BE ＝6. ∴CF ＝BC －BF ＝7－6＝1∴tan ∠ACB ＝tan ∠ACF ＝AFCF＝61＝6.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料：题目：如图1，在△ABC 中，已知∠A （∠A ＜45°），∠C ＝90°，AB ＝1，请用sin A ，cos A 表示sin 2A .解：如图2，作AB 边上的中线CE ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CE ＝12AB ＝12，∠CED ＝2∠A ，CD ＝AC ·sin A ，AC ＝AB ·cos A ＝cos A .在Rt △CED 中，sin 2A ＝sin ∠CED ＝CD CE＝AC·sinA12＝2AC ·sin A ＝2cos Asin A .图1 图2根据以上阅读材料，请解决以下问题：如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A 的值.图3解：如图3，作AB边上的中线CE，过点C作CD⊥AB于点D.sin A＝13，sin 2A＝4√29.。

人教新版九年级下册《28.2_解直角三角形及其应用》2024年同步练习卷(13)+答案解析

人教新版九年级下册《28.2解直角三角形及其应用》2024年同步练习卷（13）一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，，则拉线BC的长度为、D、B在同一条直线上()A.B.C.D.2.身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、250米、200米，线与地面的夹角分别为、、假设风筝线是拉直的，三人所放风筝()A.甲的最高B.乙的最高C.丙的最高D.一样高3.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为()A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里4.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为度，，则树高BC为用含的代数式表示()A.B.C.D.5.如图，这是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12m，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为()A. B. C. D.24m6.如图，斜面AC的坡度与AD的比为1：2，米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若米，则旗杆BC的高度为()A.5米B.6米C.8米D.米7.如图，小明利用一个锐角是的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为即小明的眼睛与地面的距离，那么旗杆的高度是()A.B.C.D.8.如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度为：，坡顶D到BC的垂直距离米，点A、B、C、D、E在同一面内，在点D处测得建筑物顶点A的仰角为，则建筑物AB的高度约参考数据：，，A.米B.米C.米D.米9.如图，为了测量某建筑物BC高度，小明采用了如下的方法：先从与某建筑物底端B在同一水平线上的A 点出发，先沿斜坡AD行走260米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，其中点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度：，根据小明的测量数据，计算得出建筑物BC的高度约为计算结果精确到米，参考数据：，，，()A.米B.米C.米D.米二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。

九年级数学下册高频考点专训15.直角三角形与勾股定理第13章第17章

A.3 cm
B.6 cm
C.3 2 cm
D.6 2 cm
3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离
旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A.12 m
B.13 m C.16 m
D.17 m
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4.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF=2，则PE的长为( )
A.2
B.2 3
C. 3
D.3
5.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 .
6.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系 c2 - a 2 - b2 +|a-b|=0，则△ABC的形状为
------------------------- 谢谢喜欢 ------------------------
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九年级数学下册考点专题训练 15.直角三角形与勾股定理(八上第13章、八下第17章)
1.直角三角形的性质： (1)直角三角形的两个锐角； (2)直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的； (3)直角三角形斜边的中线等于斜边的 . 2.勾股定理：在直角三角形中，两直角边的等于斜边的 . 3.勾股定理的逆定理：若一个三角形两小边的平方和等于最大边的平方，则这个三角形为形.
三角
1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )
A.(2，0)

人教版九年级数学中考总复习《直角三角形与勾股定理》课件20张 (共20张PPT)

考点精讲
【例】（2016广东）如图1-4-5-1，
Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E= 30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC， ∠HCI=90°. 若AC=a，求CI的长.
课堂巩固训练
1. 将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为
（B）
A. 140°
B. 160°
C. 170° D. 150°
2. 如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂
思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH 的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CI的长. 解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-30°=60°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°. ∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱACD=30°.
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021 8:14:06 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021

九年级数学勾股定理专项复习练习

考点1：已知直角三角形的两边求第三边练习：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别为直角边，c 为斜边，求下列问题：（1）已知：a=5，b=12，则c=_____ （2）已知：c=17，b=8，则a=_____（3）已知a ：b=3：4，且c=15，则a=__ __；b=__ ___2.① 在Rt △ABC 中，已知两直角边长为5、12，则第三边的长为； ② 在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 .3. 在Rt △ABC 中，已知两直角边长为6、8，则斜边上的高为 .4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=10cm,BC=24cm. 求 :① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长。

巩固练习：1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是，面积是_________。

2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为_____ 。

3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为。

4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（） A 、6厘米； B 、 8厘米； C 、 80/13厘米； D 、 60/13厘米；5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm ，求（1）两直角边的长; (2）斜边上的高线长. 小结：① 在直角三角形中，斜边上的高：cab h =；② 注意所求的是直角三角形中的哪一条边，是用勾股定理的公式还是变形公式；③ 在没有直角三角形时，适当构造直角三角形。

考点2：勾股定理的逆定理（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）D A B C练习：1. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，5，22C ．5，12，13D ．4，6，72. 在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是三角形，且∠ ︒903.已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为．4. 如图己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB .求四边形ABCD 的面积.练习：1. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A ．a:b:c=8∶16∶17B ．a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c) D ．a:b:c =13∶5∶12 2. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是____________.3.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

人教版九年级数学下册28.2：解直角三角形及其应用同步练习 (含解析)

第二十八章 28.2解直角三角形及其应用同步练习直角三角形的边角关系同步练习（答题时间：15分钟）1. 在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝（）A. 3sin40°B. 3sin50°C. 3tan40°D. 3tan50°2. 在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sinA ＝53，cosA ＝54，tanA ＝43，则BC 的长为（）A. 6B. 7.5C. 8D. 12.5*3. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，DC ＝4，cosC ＝54，那么AB 边的长为（）A. 4B. 512C. 59D. 5**4. 如图是一把30°的三角尺，外边AC ＝8，内边与外边的距离都是2，那么EF 的长度是（）A. 4B. 43C. 2.5D. 6－25. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3AC ，那么∠A ＝__________度。

*6. 已知钝角三角形ABC ，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝23，根据题意画出示意图，并求tanD 的值。

**7. 通过锐角三角函数的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化。

类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。

我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）。

如图在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A ＝ABBC 腰底边。

我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的。

根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad 60°＝__________；sad 90°＝__________。

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15.直角三角形与勾股定理(八上第十三章、八下第十七章)
知识回顾
1．直角三角形的性质：
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
2．勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
3．勾股定理的逆定理：若一个三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形为直角三角形．
达标练习
1．(毕节中考)下列各组数据中三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B) A.3，4， 5 B．1，2， 3
C．6，7，8 D．2，3，4
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为(C)
A．(2，0) B．(5－1，0)
C．(10－1，0) D．(5，0)
3．(黄冈中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为(C)
A．6 B．6 3 C．9 D．3 3
4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m ，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为(D)
A ．12 m
B ．13 m
C ．16 m
D ．17 m
5．(烟台中考)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2 015的值为(C)
A ．(2
2)2 012
B ．(22
)2 013 C ．(12
)2 012
D ．(12)2 013 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝7，BC ＝5，则边AC 的长为2
6． 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足关系
c 2－a 2－b 2＋|a －b|＝0，则△ABC 的形
状为等腰直角三角形．
8．如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm ，底面周长为18 cm ，在杯内离杯底4 cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿4 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm.
9．如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)求四边形ABCD 的面积与周长；
(2)∠DAB 是直角吗？请说明理由．
解：(1)四边形ABCD 的面积为25－1－12×1×5－12×1×4－12×1×2－12
×2×4＝14.5；周长为AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝
5＋17＋26＋20＝35＋17＋26.
(2)∠DAB 是直角，理由：
连接BD ，
∵AB 2＋AD 2＝5＋20＝25，BD 2＝25，
∴AB 2＋AD 2＝BD 2.
∴△ABD是直角三角形．∴∠BAD是直角.。